人教全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总及详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图1，对称轴为直线x=1的抛物线y=

1 2 x

2+bx+c，与x轴交于A、B两点（点A在点B

的左侧），且点A坐标为(-1，0).又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与抛物线对称轴交于点E，点C与坐标原点O关于该对称轴成轴对称.

（1）求点B 的坐标和抛物线的表达式；

（2）当AE：EP=1：4 时，求点E 的坐标；

（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到OC ′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接C ′D、C′B，求C ′B+

2

3

C′D 的最小值．

【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=

1

2

x2-x-

3

2

；（2）E(1，6)；（3）C′B＋2

3

C′D

4

10

3

【解析】

试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；

（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得

AE

AP

=

AG

AF

=

EG

PF

=

1

5

，从而求出E的坐标；

（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．

如图，取点M（0，

4

3

），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到

△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝

2

3

C′D，由C′B＋

2

3

C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．

试题解析：解：（1）∵抛物线y=

1

2

x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-1

2

2

b

=1，∴b=-1．∵抛物线过点A（-1，0），∴

1

2

-b+c=0，解得：c=-

3

2

，

即：抛物线的表达式为：y=1

2

x2-x-

3

2

．

令y=0，则1

2

x2-x-

3

2

=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；

（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．

∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴AE

AP =

AG

AF

=

EG

PF

=

1

5

．

又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．

当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．

（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．

如图，取点M（0，4

3

），连接MC′、BM．则OM＝

4

3

，BM＝22

4

3()

3

+＝

97

．

∵

4

2

3

'23

OM

OC

==，

'2

3

OC

OD

=，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴

'2

'3

MC

C D

=，

∴MC′＝2

3C′D，∴C′B＋

2

3

C′D＝C′B＋MC′≥BM＝

4

10

3

，∴C′B＋

2

3

C′D的最小值为

4

10

3

．

点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．

2．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.

(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?

(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?

【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元． 【解析】 【分析】

（1）根据售量与售价x （元/件）之间的关系列方程即可得到结论． （2）设每星期利润为W 元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题． 【详解】

解：（1）根据题意得，（60﹣x ）×10+100＝3×100， 解得：x ＝40， 60﹣40＝20元，

答：这一星期中每件童装降价20元； （2）设利润为w ，

根据题意得，w ＝（x ﹣30）[（60﹣x ）×10+100]＝﹣10x 2+1000x ﹣21000 ＝﹣10（x ﹣50）2+4000，

答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元． 【点睛】

本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．

3．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示． （1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；

（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P 为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．

【答案】（1）2

23y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；

（3）2213

(03)22

13(03)2

2t t t S t t t t ?-+??=??-??＜＜＜或＞

【解析】

试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；

（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程

2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线2

23

y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{

3b c c -+==-，∴2

{3

b c =-=-，∴抛物线解析式为

223y x x =--；

（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），

∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；

（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵

，∴QF=1．

①当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=

12

PM×QF=21(3)2t t -+=213

22t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t

＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=

12PM×QF=12

（23t t -）=213

22t t -．

综上所述，S=2213

(03)22

{13 (03)22

t t t t t t t 或-+<<-．

考点：二次函数综合题；分类讨论．

4．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，D 为抛物线对称轴上一动点，求D 运动到什么位置时△DAC 的周长最小； （3）如图2，点E 在第一象限抛物线上，AE 与BC 交于点F ，若AF ：FE ＝2：1，求E 点坐标；

（4）点M 、N 同时从B 点出发，分别沿BA 、BC 方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M 运动到点A 时，点N 停止运动，则当点N 停止运动后，在x 轴上是否存在点P ，使得△PBN 是等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）248433y x x =-++（2）81,3D ??

???

（3）点P 的坐标P 1（﹣1，0）或P 2（7，0）或P 3（﹣95，0）或P 4（1

3

，0）． 【解析】 【分析】

（1）直接待定系数法代入求解即可 （2）找到D 点在对称轴时是△DAC 周长最小的点，先求出直线BC ，然后D 点横坐标是1，直接代入直线BC 求出纵坐标即可 （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，易证△ABF ∽△EHF ，得

AB AF

2EH EF

==,得

EH=2，设E （x ，248x x 433-

++），则H （x ﹣2，420x 33

-+），y E ＝y H ，解出方程x ＝1或x ＝2，得到E 点坐标 （4）△PBN 是等腰三角形，分成三种情况，①BP ＝BC 时，利用等腰三角性质直接得到P 1（﹣1，0）或P 2（7，0），②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴，易得△NHB ∽△COB ，利用比例式得到NH 、 BH 从而得到 PH ＝BH ，BP ，进而得到OP ，即得到P 点坐标，③当PN ＝PB 时，取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ，易得△NOB ∽△PKB ，利用比例式求出PB ，进而得到OP ，即求出P 点坐标 【详解】

解：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+4， 得 40930a b a b c -+=??

++=?

解得a ＝43-

，b ＝8

3

， ∴抛物线的解析式248

433

y x x =-++； （2）2248416

4(1)3333

=-

++=--+y x x x ∴抛物线对称轴为直线x ＝1， ∴D 的横坐标为1，

由（1）可得C （0，4）， ∵B （3，0）， ∴直线BC ：4

y 43

x =-+ ∵DA ＝DB ，

△DAC 的周长＝AC+CD+AD ＝AC+CD+BD ， 连接BC ，与对称轴交于点D ，

此时CD+BD 最小， ∵AC 为定值， ∴此时△DAC 的周长，

当x ＝1时，y ＝﹣43×1+4＝83

， ∴D （1，

8

3

）； （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，

∴△ABF ∽△EHF ， ∵AF ：FE ＝2：1，

∴

AB AF

2EH EF ==， ∵AB ＝4， ∴EH ＝2，

设E （x ，248x x 433-

++），则H （x ﹣2，420x 33

-+） ∵EH ∥AB ， ∴y E ＝y H ，

∴248x x 433-++=420x 33-+ 解得x ＝1或x ＝2，

y ＝

16

3

或4， ∴E （1，

16

3

）或（2，4）； （4）∵A （﹣1，0）、B （3，0），C （0，4） ∴AB ＝4，OC ＝4，

点M 运动到点A 时，BM ＝AB ＝4， ∴BN ＝4，

∵△PBN 是等腰三角形， ①BP ＝BC 时，

若P 在点B 左侧，OP ＝PB ﹣OB ＝4﹣3＝1， ∴P 1（﹣1，0），

若P 在点B 右侧，OP ＝OB+BP ＝4+3＝7， ∴P 2（7，0）；

②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴， △NHB ∽△COB ，

∴4

5

NH BH BN OC OB BC === ∴NH ＝45OC ＝445?＝16

5

，

BH ＝

45BC ＝125

， ∴PH ＝BH ＝12

5

， BP ＝

245

， ∴OP ＝BP ﹣OB ＝249355

-=， ∴P 3（﹣

9

5

，0）； ③当PN ＝PB 时，

取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ， ∴△NOB ∽△PKB ，

∴

PB BK

BN OB

= ∴PB ＝83

，

∴OP＝OB﹣PB＝3﹣8

3＝

1

3

P4（1

3

，0）

综上，当△PBN是等腰三角形时，点P的坐标P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣9

5

，

0）或P4（1

3

，0）．

【点睛】

本题考查二次函数、平行线性质、相似三角形、等腰三角形性质及最短距离等知识点，综合程度比较高，对综合能力要求比较高. 第一问比较简单，考查待定系数法；第二问最短距离，找到D点是解题关键；第三问证明出相似是关键；第四问能够分情况讨论是解题关键

5．温州茶山杨梅名扬中国，某公司经营茶山杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅，包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（2≤x≤10，单位：吨）之间的函数关系如图所示．

（1）若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？

（2）当销售数量为多少时，该经营这批杨梅所获得的毛利润（w）最大？最大毛利润为多少万元？（毛利润＝销售总收入﹣进价总成本﹣包装总费用）

（3）经过市场调查发现，杨梅深加工后不包装直接销售，平均销售价格为12万元/吨．深

加工费用y（单位：万元）与加工数量x（单位：吨）之间的函数关系是y＝1

2

x+3

（2≤x≤10）．

①当该公司买入杨梅多少吨时，采用深加工方式与直接包装销售获得毛利润一样？

②该公司买入杨梅吨数在范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些？

【答案】（1）杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；（2）当x＝8时，此时W最大值＝40万元；（3）①该公司买入杨梅3吨；②3＜x≤8．

【解析】

【分析】

（1）设其解析式为y＝kx+b，由图象经过点（2，12），（8，9）两点，得方程组，即可

得到结论；

（2）根据题意得，w ＝（y ﹣4）x ＝（﹣12x +13﹣4）x ＝﹣1

2

x 2+9x ，根据二次函数的性质即可得到结论；

（3）①根据题意列方程，即可得到结论；②根据题意即可得到结论． 【详解】

（1）由图象可知，y 是关于x 的一次函数． ∴设其解析式为y ＝kx +b ，

∵图象经过点（2，12），（8，9）两点， ∴212

89k b k b +=??

+=?

，

解得k ＝﹣

1

2

，b ＝13， ∴一次函数的解析式为y ＝﹣1

2

x +13， 当x ＝6时，y ＝10，

答：若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元； （2）根据题意得，w ＝（y ﹣4）x ＝（﹣12x +13﹣4）x ＝﹣1

2

x 2+9x ， 当x ＝﹣

2b

a

＝9时，x ＝9不在取值范围内， ∴当x ＝8时，此时W 最大值＝﹣12

x 2

+9x ＝40万元； （3）①由题意得：﹣

12x 2+9x ＝9x ﹣（1

2

x +3） 解得x ＝﹣2（舍去），x ＝3， 答该公司买入杨梅3吨；

②当该公司买入杨梅吨数在 3＜x ≤8范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些．

故答案为：3＜x ≤8． 【点睛】

本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．

6．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点A （1，﹣1），且与直线y ＝kx +2相交于B （2，0）和C 两点

（1）求抛物线和直线BC 的解析式； （2）求证：△ABC 是直角三角形；

（3）抛物线上存在点E （点E 不与点A 重合），使∠BCE ＝∠ACB ，求出点E 的坐标；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点F ，使△BDF 是等腰三角形？若存在，请直接写出点F 的坐标．

【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ，y ＝﹣x +2；（2）详见解析；（3）E （

55

24

,）；（4）符合条件的点F 的坐标（17171，71，27 【解析】 【分析】

（1）将B （2，0）代入设抛物线解析式y ＝a （x ﹣1）2﹣1，求得a ，将B （2，0）代入y ＝kx +2，求得k ；

（2）分别求出AB 2、BC 2、AC 2，根据勾股定理逆定理即可证明；

（3）作∠BCE ＝∠ACB ，与抛物线交于点E ，延长AB ，与CE 的延长线交于点A '，过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ，设二次函数对称轴于x 轴交于点G ．根据对称与三角形全等，求得A '（3，1），然后求出A 'C 解析式，与抛物线解析式联立，求得点E 坐标；

（4）设F （1，m ），分三种情况讨论：①当BF ＝BD 2122m +=②当DF ＝BD 24522m m -+=，③当BF ＝DF 22145m m m +-+m ＝1，然后代入即可． 【详解】

（1）设抛物线解析式y ＝a （x ﹣1）2﹣1， 将B （2，0）代入， 0＝a （2﹣1）2﹣1， ∴a ＝1，

抛物线解析式：y ＝（x ﹣1）2﹣1＝x 2﹣2x ， 将B （2，0）代入y ＝kx +2， 0＝2k +2， k ＝﹣1，

∴直线BC 的解析式：y ＝﹣x +2； （2）联立2

2

2y x y x x

=-+??

=-?， 解得1113x y =-??=?，22

20x y =??=?，

∴C （﹣1，3），

∵A （1，﹣1），B （2，0）， ∴AB 2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2， AC 2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20， BC 2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18， ∴AB 2+BC 2＝AC 2， ∴△ABC 是直角三角形；

（3）如图，作∠BCE ＝∠ACB ，与抛物线交于点E ，延长AB ，与CE 的延长线交于点A '，过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ，设二次函数对称轴于x 轴交于点G ．

∵∠BCE ＝∠ACB ，∠ABC ＝90°， ∴点A 与A '关于直线BC 对称， AB ＝A 'B ，

可知△AFB ≌△A 'HB （AAS ）， ∵A （1，﹣1），B （2，0） ∴AG ＝1，BG ＝OG ＝1， ∴BH ＝1，A 'H ＝1，OH ＝3， ∴A '（3，1）， ∵C （﹣1，3）， ∴直线A 'C ：1522

y x =-

+， 联立：215222y x y x x ?

=-+???=-?，

解得13x y =-??=?或5254x y ?=

????=??

，

∴E （

52，5

4

）； （4）∵抛物线的对称轴：直线x ＝1， ∴设F （1，m ），

直线BC 的解析式：y ＝﹣x +2； ∴D （0，2）

∵B （2，0），

∴BD ＝1

2

x x

BF ==

DF ==

①当BF ＝BD

= m ＝

∴F 坐标（1

1

②当DF ＝BD

=， m ＝

∴F 坐标（1，

1，2

③当BF ＝DF

， m ＝1，

F （1，1），此时B 、D 、F 在同一直线上，不符合题意．

综上，符合条件的点F 的坐标（1

1

1，

1，2

﹣

【点睛】

考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

7．若三个非零实数x ，y ，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x ，y ，z 构成“和谐三组数”．

(1)实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由； (2)若M(t ，y 1)，N(t+1，y 2)，R(t+3，y 3)三点均在函数y ＝

k

x

(k 为常数，k≠0)的图象上，且这三点的纵坐标y 1，y 2，y 3构成“和谐三组数”，求实数t 的值；

(3)若直线y ＝2bx+2c(bc≠0)与x 轴交于点A(x 1，0)，与抛物线y ＝ax 2+3bx+3c(a≠0)交于B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)两点．

①求证：A ，B ，C 三点的横坐标x 1，x 2，x 3构成“和谐三组数”； ②若a ＞2b ＞3c ，x 2＝1，求点P(

c a ，b

a

)与原点O 的距离OP 的取值范围． 【答案】(1)不能，理由见解析；(2)t 的值为﹣4、﹣2或2；(3)①证明见解析；

②2

≤OP

OP≠1． 【解析】 【分析】

（1）由和谐三组数的定义进行验证即可；

（2）把M 、N 、R 三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用t 和k 分别表示出y 1、y 2、y 3，再由和谐三组数的定义可得到关于t 的方程，可求得t 的值； （3）①由直线解析式可求得x 1＝﹣

c

b

，联立直线和抛物线解析式消去y ，利用一元二次方程根与系数的关系可求得x 2+x 3＝﹣

b a ，x 2x 3＝c

a

，再利用和谐三数组的定义证明即可；②由条件可得到a+b+c ＝0，可得c ＝﹣(a+b)，由a ＞2b ＞3c 可求得

b

a

的取值范围，令m ＝b

a

，利用两点间距离公式可得到OP 2关于m 的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP 2的取值范围，从而可求得OP 的取值范围． 【详解】

（1）不能，理由如下：

∵1、2、3的倒数分别为1、12、13

， ∴

12+13≠1，1+12≠13，1+13≠12

， ∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”；

（2）∵M(t ，y 1)，N(t+1，y 2)，R(t+3，y 3)三点均在函数k

x

(k 为常数，k≠0)的图象上， ∴y 1、y 2、y 3均不为0，且y 1＝k t ，y 2＝1k t +，y 3＝3

k t +， ∴

11y ＝t k ，21y ＝1t k +，31y ＝3

t k

+， ∵y 1，y 2，y 3构成“和谐三组数”， ∴有以下三种情况：

当11y ＝21y +31y 时，则t k ＝1t k ++3

t k

+，即t ＝t+1+t+3，解得t ＝﹣4；

当21y ＝11y +31y 时，则1t k +＝t k +3t k +，即t+1＝t+t+3，解得t ＝﹣2；

当31y ＝11y +21y 时，则3t k +＝t k +1

t k

+，即t+3＝t+t+1，解得t ＝2；

∴t 的值为﹣4、﹣2或2； （3）①∵a 、b 、c 均不为0， ∴x 1，x 2，x 3都不为0，

∵直线y ＝2bx+2c(bc≠0)与x 轴交于点A(x 1，0)， ∴0＝2bx 1+2c ，解得x 1＝﹣

c

b

， 联立直线与抛物线解析式，消去y 可得2bx+2c ＝ax 2+3bx+3c ，即ax 2+bx+c ＝0，

∵直线与抛物线交与B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)两点， ∴x 2、x 3是方程ax 2+bx+c ＝0的两根， ∴x 2+x 3＝﹣

b a ，x 2x 3＝

c a

， ∴21x +31x ＝2323x x x x +＝b a c a

-

＝﹣b c ＝11x ，

∴x 1，x 2，x 3构成“和谐三组数”； ②∵x 2＝1， ∴a+b+c ＝0， ∴c ＝﹣a ﹣b ， ∵a ＞2b ＞3c ，

∴a ＞2b ＞3(﹣a ﹣b)，且a ＞0，整理可得253a b b a

>??>-?，解得﹣35＜b a ＜1

2，

∵P(

c a ，b

a

)， ∴OP 2＝(c a )2+(b a )2＝(a b a --)2+(b a )2＝2(b a )2+2b a +1＝2(b a +12)2+12

， 令m ＝

b a ，则﹣35＜m ＜12且m≠0，且OP 2＝2(m+12)2+12， ∵2＞0，

∴当﹣

35＜m ＜﹣12时，OP 2随m 的增大而减小，当m ＝﹣35时，OP 2有最大临界值1325，当m ＝﹣12时，OP 2有最小临界值1

2

， 当﹣12＜m ＜12时，OP 2随m 的增大而增大，当m ＝﹣12时，OP 2有最小临界值1

2

，当m ＝12时，OP 2有最大临界值52

， ∴

12≤OP 2<5

2且OP 2≠1， ∵P 到原点的距离为非负数，

∴

2≤OP

且OP≠1． 【点睛】

本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识．在(1)中注意利用和谐三数组的定义，在(2)中由和谐三数组得到关于t 的方程是解题的关键，在(3)①中用a 、

b、c分别表示出x1，x2，x3是解题的关键，在(3)②中把OP2表示成二次函数的形式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．

8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．

（1）当a=﹣1时，求抛物线顶点D的坐标，OE等于多少；

（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；

（3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；

（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．

【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）结论：OE的长与a值无关．理由见解析；（3）﹣3≤a≤﹣1；（4）n=﹣m﹣1（m＜1）．

【解析】

【分析】

(1)求出直线CD的解析式即可解决问题；

(2)利用参数a，求出直线CD的解析式求出点E坐标即可判断；

(3)求出落在特殊情形下的a的值即可判断；

(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．两条全等三角形的性质即可解决问题.

【详解】

解：(1)当a=﹣1时，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，

∴顶点D(﹣1，4)，C(0，3)，

∴直线CD的解析式为y=﹣x+3，

∴E（3，0），

∴OE=3，

(2)结论：OE的长与a值无关．

理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，

∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)，

∴直线CD的解析式为y=ax﹣3a，

当y=0时，x=3，

∴E（3，0），

∴OE=3，

∴OE的长与a值无关．

(3)当β=45°时，OC=OE=3，

∴﹣3a=3，

∴a=﹣1，

当β=60°时，在Rt△OCE中，OC=3OE=33，

∴﹣3a=33，

∴a=﹣3，

∴45°≤β≤60°，a的取值范围为﹣3≤a≤﹣1．

(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．

∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°，

∴∠DPM=∠EPN，

∴△DPM≌△EPN，

∴PM=PN，PM=EN，

∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，

∴EN=4+n=3﹣m，

∴n=﹣m﹣1，

当顶点D在x轴上时，P(1，﹣2)，此时m的值1，

∵抛物线的顶点在第二象限，

∴m＜1．

∴n=﹣m﹣1(m＜1)．

故答案为：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE的长与a值无关；(3)3﹣1；(4)n=﹣m﹣1（m＜1）．

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质。

9．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线

l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ． （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）已知点F （0

，1

2

），当点P 在x 轴上运动时，试求m 为何值时，四边形DMQF 是平行四边形？

（3）点P 在线段AB 运动过程中，是否存在点Q ，使得以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=﹣

12

x 2+3

2x+2；（2）m=﹣1或m=3时，四边形DMQF 是平行四边形；

（3）点Q 的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似． 【解析】

分析：（1）待定系数法求解可得；

（2）先利用待定系数法求出直线BD 解析式为y=12x-2，则Q （m ，-12

m 2+3

2m+2）、M

（m ，

1

2

m-2），由QM ∥DF 且四边形DMQF 是平行四边形知QM=DF ，据此列出关于m 的方程，解之可得；

（3）易知∠ODB=∠QMB ，故分①∠DOB=∠MBQ=90°，利用△DOB ∽△MBQ 得

12DO MB OB BQ ==，再证△MBQ ∽△BPQ 得BM BP BQ PQ

=，即214 132222

m

m m -=

-++，解之

即可得此时m 的值；②∠BQM=90°，此时点Q 与点A 重合，△BOD ∽△BQM′，易得点Q 坐标．

详解：（1）由抛物线过点A （-1，0）、B （4，0）可设解析式为y=a （x+1）（x-4）， 将点C （0，2）代入，得：-4a=2， 解得：a=-

1

2

， 则抛物线解析式为y=-

12（x+1）（x-4）=-12

x 2+3

2x+2；

（2）由题意知点D 坐标为（0，-2）， 设直线BD 解析式为y=kx+b ， 将B （4，0）、D （0，-2）代入，得：

402k b b +??

-?＝＝，解得：122

k b ??

??-?＝

＝， ∴直线BD 解析式为y=

1

2

x-2， ∵QM ⊥x 轴，P （m ，0），

∴Q （m ，--12m 2+32m+2）、M （m ，1

2

m-2），

则QM=-12m 2+3

2m+2-（12m-2）=-12

m 2+m+4，

∵F （0，1

2

）、D （0，-2）， ∴DF=

52

， ∵QM ∥DF ，

∴当-

12m 2+m+4=5

2

时，四边形DMQF 是平行四边形， 解得：m=-1（舍）或m=3，

即m=3时，四边形DMQF 是平行四边形； （3）如图所示：

∵QM ∥DF ， ∴∠ODB=∠QMB ， 分以下两种情况：

①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB ∽△MBQ ， 则

21

=42

DO MB OB BQ ==，

∵∠MBQ=90°，

∴∠MBP+∠PBQ=90°，∵∠MPB=∠BPQ=90°，∴∠MBP+∠BMP=90°，∴∠BMP=∠PBQ，

∴△MBQ∽△BPQ，

∴BM BP BQ PQ

=

，即2

14

13

22

22

m

m m

-

=

-++，

解得：m1=3、m2=4，

当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，

∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；

②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，

此时m=-1，点Q的坐标为（-1，0）；

综上，点Q的坐标为（3，2）或（-1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．

点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．

10．如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(3,0)，点c的坐标为(0,6).点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止.设运动时间为t秒.

（1）当2

t=时，线段PQ的中点坐标为________；

（2）当CBQ

?与PAQ

?相似时，求t的值；

（3）当1

t=时，抛物线2

y x bx c

=++经过P、Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示.问该抛物线上是否存在点D，使

1

2

MQD MKQ

∠=∠，若存在，求出所有满足条件的D点坐标；若不存在，说明理由.