数列不等式论文

目录1 引言 (1)2 文献综述 (1)2.1国外研究状况 (1)2.2国内研究状况 (1)2.3国内外研究状况评价 (1)2.4提出问题 (1)3 数列不等式的证法 (2)3.1定积分法 (2)3.2放缩法 (3)3.2.1裂项相消法 (3)3.2.2分拆法放缩 (4)3.2.3利用叠加叠成模型放缩 (5)3.2.4利用二项式定理放缩 (6)3.3凸函数法 (7)3.4柯西不等式法 (9)3.5利用函数﹑导数法证明 (12)4 综合法 (13)5 结论 (16)5.1主要发现 (16)5.2启示和意义 (16)5.3局限性 (16)5.4未来研究的建议 (16)参考文献 (17)1引言数列不等式一直是高考的热点和难点，而且多次作为压轴题出现，同时也是数学竞赛的常考知识点之一.通过研究近几年的高考试题及竞赛试题发现,这类问题主要以等比、等差数列作为载体，侧重考察数列不等式的基本证法—放缩法，以及函数方程的数学思想.但从查到的国内外文献资料来看，国内外研究者对这一问题的研究不是很多且不全面，因此对数列不等式证法的研究是一件很有意义的工作.2文献综述2.1国外研究状况国外研究者对这一问题的证法较少.2003年L·C拉森在其文献[1]《美国大学生数学竞赛例题选讲》中讨论了不等式的证明. L·C拉森在第七章介绍了不等式，包括基本不等式；算术平均-几何平均不等式；柯西-施瓦茨不等式；不等式的函数方法；不等式的级数方法等.2.2国内研究状况国内许多专家，学者研究过数列不等式的证法.文献[2]刘玉琏，付沛仁，刘宁等在《数学分析讲义》中介绍了定积分的知识；文献[3-14]从放缩法的角度介绍了数列不等式的证法；文献[15-18]介绍了函数凸凹性在证不等式中的应用及函数凹凸性在高考中的应用；文献[19-21]介绍了柯西不等式在数列不等式方面的应用；文献[22]叶立军在其专著《数学方法论》中介绍了函数思想在中学数学解题中的应用.2.3国内外研究状况评价从查到的国内外文献来看，国外研究者对数列不等式的证法的研究不是很完善，国内的研究者在这一问题的研究硕果累累，但是研究者介绍的方法中存在本质一样表述不一样的情况，并且所有的文献对数列不等式的证明的方法不是很完善.2.4提出问题针对以上情况，笔者试图较为完整的总结以前的证法，并在此基础给出数列不等式的一些新的证明方法.3数列不等式的证法3.1 定积分法定积分的产生是因为人们需要计算平面上封闭曲线围成区域的面积才产生的，为了计算这些区域的面积，把它归结为计算具有特定结构的和式的极限[2].那么我们可以利用定积分的有界性估计一些形如1()()ni i f m a f n =≤≤∑数列不等式的上下界，来证明数列不等式.在高中数学新教材A 版选修2—3中，已经对定积分的概念以及微积分的基本定理做了介绍.在高中阶段讲授用定积分来证明数列不等式这一重要方法，学生是可以接受的，并且是很有必要的. 例1求证n11)k =<< (1,)k k N *>∈.证明：考虑函数()f x =在区间[]k 1k -，，(1,2,,k n =)上的定积分.因为,k k -<⎰. 所以,nn k n 0k 1k 1==<==∑⎰⎰.同理考虑函数()f x =在区间[]k k+1，，(1,2,,k n =)上的定积分.因为11k k+=>⎰.所以nn 111k 1k 11)k n k ++==>==∑⎰⎰.综上问题得证在证明1()()ni i f m a f n =≤≤∑型数列不等式时，可以构造一个定义在区间[,]a b 上的可积函数()f x ，然后求出可积函数在这一区间的定积分即可. 定积分法是证明数列不等式的一种新方法.3.2 放缩法在证明过程中，根据题意对分式中的分子或分母进行适度的放大或缩小，从而证明不等式，这种证明方法就叫放缩法.放缩法是一种证明不等式的重要方法，在高考中用放缩法来证明数列不等式是一个热点也是一个难点，常常被作为试题的压轴题，难度很大.下面介绍放缩法的几种基本方法. 3.2.1裂项相消法对于通项是分数形式的数列，将其中的每一项都分裂为某两个分数之差，这列分数的和，除首尾两项或首尾几项外其它所有项前后相消，那么数列的前n 项和就等于首尾两项或首尾几项之差，这种方法称为裂项相消法. 例2[13] (2006年全国卷）设数列{}n a 的前n 项和n S =14122333n n a +-⨯+，1,2,n =.（Ⅰ）求首项1a 和通项n a ；（Ⅱ）设2nn n S T =，1,2,n =，证明：1ni i T =∑32<. 证明：由已知条件易得（Ⅰ）1a =2，n a =42n n -，1,2,n =.（Ⅱ） ∵S n =14122333n n a +-⨯+.∴n S =()1412422333n n n +--⨯+.()()1221213n n +=--. 2n n n S T ==()()13222121n n n+⨯--. =131122121nn +⎛⎫⨯- ⎪--⎝⎭.1ni i T =∑=223n 13111111 (2212)121212121n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-++-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. =1311 22121n +⎛⎫⨯-⎪--⎝⎭. 131312212n +⎛⎫=⨯-< ⎪-⎝⎭.在裂项放缩过程中关键是运用裂项相消法定义，将其中的每一项都分裂为某两个分数之差，本题的关键点就是将1322(21)(21)n n n +⨯--裂项为131122121n n +⎛⎫⨯- ⎪--⎝⎭. 3.2.2分拆法放缩在证明形如1()ni i a f n =≥∏的数列不等式时，设法将i a 分拆放缩使1()ni i a f n =≥∏相消后合并成几项之积.例3 （2009年山东卷）证明等比数列的前n 项和为n S ，已知对任意的n N *∈,点(,)n n S 均在函数x Y b r =+(0b >且1b ≠，b,r 均为常数)的图像上.（Ⅰ）求r 的值，（Ⅱ）当b=2时，记22(log 1)n n b a =+ （n N *∈）. 证明：对任意的n N *∈，不等式1212111···n nb b b b b b ++++++>成立解：（Ⅰ）由题意得 n S =n b r +. 当2n ≥时，11n n S b r --=+，()111n n n n a S S b b --=-=-.又1b ≠且0b >，所以2n ≥时，{}n a 是以b 为公比的等比数列. 又()12,1a b r a b b =+=-. ()211,b b a b b a b r-==+即. 解得 r=-1，（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知12n n a -=因此2n b n =. 当2n ≥时.=所证不等式为.214121242n n+++⨯⨯>而12122n nnn ++=>n=1时212+>故3572123412462123n n n n++⨯⨯⨯⨯>⨯⨯⨯⨯=1n +即对一切n N *∈不等式.1212111···n nb b b b b b ++++++>成立.本题考查了等比数列以及数列不等式的基本证法放缩法，应用到了函数方程思 想，是一道有典型意义的题，这类题今后还将是高考主要考察的内容. 3.2.3利用叠加叠成模型放缩在证明形如1()()ni i f m a f n =≤≤∑或1()()ni i f m a f n =≤≤∏的数列不等式时，若不能直接求出和或积，也不能把1n i i a =∑或1ni i a =∏合并成一项或几项之和或者之积，则可将()f n 拆成n 项，再通过累加或累乘就可以证明.例4 证明11352n 1212462n n -<⨯⨯⨯⨯<+(n )N *∈. 证明:111n n >+. 135********24623572121n n n n n --⨯⨯⨯⨯>⨯⨯⨯⨯=++. 又2135212462n n -⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭. 135212462246235721n n n n -⎛⎫⎛⎫<⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎪⎪+⎝⎭⎝⎭. 121n =+. 135212462n n -⨯⨯⨯⨯. 所以11352n 1212462n n -<⨯⨯⨯⨯<+()n N *∈. 此题如果裂项放缩的话，很难找到突破口也不能把式子合并成几项之积.而利用累乘的办法，问题变得简单.3.2.4利用二项式定理放缩二项式定理是高中数学中的一个重要内容,在高考试题及数学竞赛题中多次出现以二项式定理作为载体的题目,是考试的重点和难点,然而用它来解决一些数列不等式的问题,能使问题求解过程简洁优美.例5 设2n ≥且n N *∈,求证251)n >-.证明:因为2n ≥,所以用二项式定理展开后至少有三项,可以保留前三项进行放缩.011225(14)44n n n n n C C C =+≥+⨯+⨯=16(1)142n n n -++. 16(1)142n n n -++=2841n n -+.2284181n n n -+>+-=21).此题利用二项式定理证明过程单明了.证明时应注意n 大于某一常数，则用二项式定理展开后至少保留n+1项进行放缩.3.3凸函数法凸函数是数学分析中的一个重要知识，它有着广泛的应用，利用其性质可以证明一些初等不等式.下面我们先介绍凸函数的定义、性质以及Jensen 不等式[2]，然后再看凸函数在证明数列不等式方面的应用.凸函数的定义：设函数()f x 在开区间I 有定义.若12,,(0,1)x x I t ∀∈∀∈有[]1212(1)()(1)()f tx t x tf x t f x +-<+-.则称()f x 在区间I 是凸函数.若上式中12x x ≠，且不等号是严格不等号“<”,则称()f x 在区间I 是严凸函数.凸函数的性质：若凸函数()f x 在开区间I 存在二阶导数，且x I ∀∈,有''()0f x >，则函数()f x 严凸.Jensen 不等式：若函数f(x)在区间凸函数，则有不等式11221122()()()()n n n n f q x q x q x q f x q f x q f x +++≤+++.其中,0,1,2,,.i i x I q i n ∈>=且121n q q q +++=.例6 设122010,0x x x >，，且1220101x x x +++=.证明当1k ≥时有1220101220101111()()()2010(2010)2010k k k kx x x x x x ++++++≥+. 证明：引入辅助函数()f x =1()k x x+，(0,1)x ∈.因为'1211()()(1)k f x k x x x-=+-.''213112()(1)()()0k k dy f x k k x k x dx x x x--=-+++>. 故由定理知，()f x 在（0,1）为凸函数，根据Jensen 不等式有12201012201011[()()()]()()201020102010x x x f x f x f x f f ++++++≥=.即1220101220101111()()()2010(2010)2010k k k kx x x x x x ++++++≥+. 这里我们给出一些高学数学中常见函数的凹凸性.1. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，若0a >为凸函数，若0a <为凹函数.2. 指数函数x y a =(0a >且1)a ≠为凸函数.3. 对数函数log a y x =(0a >且1)a ≠，若01a <<为凸函数，若1a >为凹函数.4. 正弦函数sin [(0,)]y x x π=∈, 若(0,)x π∈为凹函数, 若(,2)x ππ∈为凸函数. 例7 设122010,,0x x x >，，且满足1220101x x x +++=.证明：2010122010111(1)(1)(1)2011x x x +++≥.证明：首先引入辅助函数1()ln(1)f x x=+，(0,)x ∈+∞.因为，''2221()(x f x x x +=+）,(0,)x ∈+∞. 所以，()f x 在(0,1)为凸函数，根据Jensen 不等式有.12201012201011[()()()]()()201020102010x x x f x f x f x f f ++++++≥=.在不等号两边取对数.122010111(1)(1)(1)2010(12010)x x x ++++++≥+㏑㏑㏑㏑.即2010122010111(1)(1)(1)2011x x x +++≥.用凸函数法来证明数列不等式，首先需要引入辅助函数，然后根据凸函数的定义和性质判断辅助函数的凹凸性，最后根据Jensen 不等式得出所证结论.3.4柯西不等式法柯西不等式是一个非常重要的不等式，在高中新课改中，数学A 版选修4中已经做了初步的介绍.在初等数学中灵活应用柯西不等式能使问题得到很好的解决；在各种数学竞赛中柯西不等式也有广泛的应用.柯西不等式的定义[19]：若,(1,2,,)i i a b R i n ∈=,则222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++.当且仅当1212nna a ab b b ===时等号成立. 例8[19]设12,,,n x x x R ∈且12n x x x +++=1.求证,22121211111n n n x x x x x x n +++≥++++. 证明：此处12n x x x +++=1，那么，21()n i i x =∑=21ni =∑.≤211(1)1nn i i i i i x x x ==++∑∑=21(1)1ni i ix n x =++∑. 所以，22121211111n n n x x x x x x n +++≥++++. 本题还可以进行如下推广.令i a i b (0i x >,0i y >,1,2,,.i n =).22221212112()()()nni n i nx x x x y y y y y y =≤++++++∑.2222112121()ni ni n nx x x x y y y y y y =+++≥+++∑.当且仅当1212nnx x x y y y ===时等号成立. 那么本题还可以这样证明：22212121212()11111111n n n n n x x x x x x x x x x x x n ++++++≥=++++++++++. 证明变得非常简洁.柯西不等式作为高中新课改新增的内容，是一个非常重要的不等式.已经引起了大家的重视.用柯西不等式可以证明一些初等数学中比较困难的不等式，特别地，它还可以用来处理一些数学竞赛试题. 例9[21]设已知12,,,n x x x 是正数，且满足11ni i x ==∑，求证,211(n ni i ==≤证明 ：设1i i x y +=则1i i x y =-,1i y >,1ni i y =∑=n+1.(1,2,,)i n =故原不等式等价于211(n ni i ==≤由柯西不等式有1y n+. (n y ≤+-. 11)(y n --+.1)2n y +-所以n≤同理有n≤.……n≤. 以上n式相加并应用柯西不等式有111[n n ni i i===≤≤==.所以有221111nni iiin ny ny==≥=+∑∑.所以11[n ni i==≤2≤=.本题反复应用柯西不等式最终达到了证明目的.在本次新课改以前，需要用柯西不等式来解决的问题主要出现数学竞赛中，现在柯西不等式已被引入高中教材，更彰显出了它的重要地位与作用.3.5利用函数﹑导数法证明证明不等式问题从本质上来说，是研究相应函数的零点正负区间及单调性质的问题，因此用函数思想来处理数列不等式问题，不仅优化解题过程，还能使我们快速获得解题途径.例10 证明21332nk k k =<∑.(1,2,)k n =.证明：我们将先求()f x =21nk k k x =∑,然后求1()3f .111,11n nkk x x x x -=-=≠-∑. 对上式两边求导得，1121(1)((1))(1)(1)n n nk k x n x x kxx +-=--++-=-∑. =121(1)(1)n n n x nx x +-++-.两边乘x 后再次对两边求导，然后再对求导个结果两边在成x ，得到，()f x =122231(1)(1)(1)n n nkk x x x nx n x k x x ++=+----=-∑. 所以，1()3f =21332nk k k ==-∑1223(1)(1)n n x nx n x x ++----<32. 本题证法新颖，其思想精华就是构造出一个函数，然后反复应用导数知识对这个函数求导，最后得到我们想要的式子.例11[22] 设{a n }是由正整数组成的等比数列，s n 是其前n 项和，求证：211(log log )log 2n n n s s s +++<证明：原问题⇔212n n n S S S ++> (0,n S n N >∈)利用方程的思想，原问题⇔21220n n n S x S x S ++++=有两个不相等的实根. 当1q =时.方程⇔22(1)20nx n x n ++++=即.(1)(2)0x nx n +++=.显然它有两个不相等的实根. 当1q ≠时.方程⇔212(1)2(1)10n n n q x q x q ++-+-+-=即.22(1)()0n x q x q +-+=.显然它有两个不相等的实根. 故211(log log )log 2n n n s s s +++<. 此题是典型的方程思想的应用，将数列不等式证明问题转化为求解方程根的问题. 若直接证明需要用到等比数列的前n 项和公式及均值不等式的知识，计算繁琐.用方程思想则避开了大量计算，使证明过程简化且不易出错.4综合法在近几年的高考试题中多次出现了以数列不等式作为压轴题的情况，从本次新课改的情况来看，数列不等式仍然会是一个重点和热点问题.在证明时一般会有多种证法，有时需要用几种方法综合证明.例1 （2009广东卷）已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==.从点(1,0)p -项曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n p x y . （1）求数列{}n x 与{}n y 的通项公式；（2）证明：13521n n nxx x x x y -⨯⨯⨯⨯<<. 证明：（1）直线n l 的方程为(1)n y k x =+，0n k >.代入曲线方程n C 得0)22()1(2222=+-++n n n k x n k x k .∵n l 与n C 相切，∴Δ=2222(22)4(1)0nn n k n k k --+=. 12+=n n k n （12+-n n 舍去）.所以方程的两个相等实根为2211n n n n k nx k n -==++. (1)(1)11n n n n y k x n n =+=+=++. （2）证明：先证明13521n x x x x -⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯<证法一 ：∵==135211321242n n x x x x n--⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯. 又2135212462n n -⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭135212462246235721n n n n -⎛⎫⎛⎫<⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎪⎪+⎝⎭⎝⎭121n =+. 所以 135212462n n -⨯⨯⨯⨯. 即 13521n x x x x -⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯<证法二： ∵2(21)(21)4n n n -+<可以得到22(21)(21)4(21)n n n n -+<-. 即212n n -<∴1352113521246235721n n n n --⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯+. =. 再证明n nxy <. nn n n x x n y x +-=+=11121. 令函数x x x f sin 2)(-=，得x x f cos 21)('-=. 令0)('=x f ，得22cos =x ， (0,)4x π∈. 则有0)('<x f ，则函数)(x f 在)4,0(π上单调递减.所以0)0()(=<f x f ，即x x sin 2<在)4,0(π恒成立.又 4311210π<≤+<n . 则有121sin 2121+<+n n . 即nn n n y xx x sin 211<+-. 所以 13521n n nxx x x x y -⨯⨯⨯⨯<<. 本题证法一应用到了分拆放缩的方法，将2135212462n n -⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭分拆为135212462246235721n n n n -⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎪⎪+⎝⎭⎝⎭累乘，此题为例5的一种加强形式.证法二用到了间接放缩后累乘的方法.根据要证的式子为2 (21)(21)4n n n-+<，再将其变形为22(21)(21)4(21)n n n n-+<-然后累乘得到要证的结果.5结论5.1主要发现首先本文系统地总结了数列不等式问题已有的证法，并提出了一种新的证明方法—定积分法.然后用一些典型的例题说明了这些证法在数列不等式证明中的应用.5.2启示和意义数列与不等式作为初等数学的重要知识，它们在相互的交融后组成一些新颖，灵活多变的题目，其中蕴含许多的数学思想和数学方法.深入研究数列不等式问题的证明方法，是很有必要的，能更好的为中学数学的教学服务.5.3局限性数列不等式的题目灵活多变，证明过程技巧性大，不同类型的题目所用的证法可能各不相同，现有的证法对一些数列不等式来说不是最好的证明方法.5.4未来研究的建议进一步深入研究数列不等式的证明方法，找到更多证明数列不等式的新证法，使证明过程变得准确﹑快速.参考文献[1] L·C拉森著，潘正义译.美国大学生数学竞赛例题选讲[M].北京：科学出版社,2003,(7):194-216.[2]刘玉琏,付沛仁,刘宁等.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,2003,(8):256-262.[3]任念兵.高屋建瓴—竞赛不等式中的高观点方法[J].数理天地（高中版）.2006,(1):150.[4]刘祖希.定积分证明不等式例谈[J].中学数学月刊，2004,(10):35—37.[5]明白知.数列求和[M].北京：北京师范大学出版社,1990,78-79.[6]孙加明,许绍海.证明数列不等式的若干方法[J].2007,(6):30-31.[7]李再湘.推数列不等式证明技法[J].河北理科教学研究,2002,(4):5-7.[8]胡如松.数列不等式放缩证明六法[J].数理化解题研究,2008,(7):15-17.[9]许雷波.构思“和”与“积”巧证数列不等式[J].数学教学,2007,(6):42-43.[10]赵忠彦.用数学归纳法证明一类不等式的技巧[J].数学通讯,2003,(1):14-15.[11]王以清,数列不等式的几种类型和放缩方法[J].数学通讯,2008,(1):24-25.[12]钱从新,放缩法证明数列不等式的基本策略[J].数学通讯,2008,(21):26-27.[13]李惟峰.数学高考压轴题的解法探究—证明数列不等式的方法[J].中学数学研究,2007,(3):26-29.[14]董培仁.用“分拆”法探索数列不等式放缩裂项的途径[J].中学数学杂志,2008,(3):11-13.[15]刘晓玲.利用凸函数证明不等式时辅助函数的构造[J].高等数学研究,2009,(5):27-28.[16]高俊宇.函数凸凹性在证不等式中的应用[J].沧州师范专科学校学报,2003,(9):36-38.[17]魏远金.函数凹凸性在高考中的应用[J].高考研究，2006,(11):25-28.[18]胡其明.用函数思想处理一些数列问题[J].黔西南民族师范高等专科学校学报，2007,(4):104-107.[19]房艮孙.普通高中课程标准实验教科书数学选修4-5[M].北京：人民教育出版社,2004:36-42.[20]杨文学.柯西不等式的一个变式及应用[J].中学数学杂志(高中),2007,(3):39-41.[21] 蒋明斌.巧用柯西不等式证不等式竞赛题[J]. 数学通讯，2006,(20):44-46.[22]叶立军.数学方法论[M].杭州：浙江大学出版社,2008,(5):107-108.。