数列与不等式知识点及练习

数列与不等式

一、看数列是不是等差数列有以下三种方法：

①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法：

①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112

-+⋅=n n n

a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) (2)在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨

⎧

≤≥+0

01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. （2）当1a <0,d>0时,满足⎩⎨

⎧≥≤+0

1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝

对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法：

（1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：①；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①；②（4）造等差、等比数列求通项：；②；③；④.第一节通项公式常用方法题型1 利用公式法求通项 例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。

2.已知为数列{}n a 的前项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ ； ⑵.总结:任何一个数列，它的前项和n S 与通项n a 都存在关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()

1(11n S S n S a n n

n 若1a 适合n a ，则把它们

统一起来，否则就用分段函数表示.

题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项

例2：⑴已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式；

⑵已知为数列{}n a 的前项和，，，求数列{}n a 的通项公式.

总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“”； 迭乘法适用于求递推关系形如““；⑵迭加法、迭乘法公式：①

② .

题型3 构造等比数列求通项

例3已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“” 适用于待定系数法或特征根法： ①令；② 在中令，；③由得，. 例4已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式.

总结：递推关系形如“”通过适当变形可转化为：

“”或“求解. 数列求和的常用方法

一 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：

2、等比数列求和公式： 3. 4、 5.

二.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。 例2 求数列的前n 项和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）（2）)1

21121(211)12)(12()2(2

+--+=+-=n n n n n a n （3）])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=

n n n n n n n a n

三.错位相减法:可以求形如 的数列的和，其中 为等差数列， 为等比数列.

例1：求和：

. 例2:数列1，3x ，5x 2,…,(2n-1)x

n-1

前n 项的和．

小结：错位相减法类型题均为：

n

n

a b 等差数列等比数列连续相加。四.常用结论

1）1+2+3+...+n =

2

)

1(+n n 2） 1+3+5+...+(2n-1) =2n 3）2

3

3

3

)1(2121⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+=+++n n n 4） )12)(1(613212222++=++++n n n n

5） 111)1(1+-=+n n n n

)21

1(21)2(1+-=+n n n n

重要不等式

1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)． 【变形】：①（当a = b 时，） 【注意】： ，

2、均值不等式：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关

系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均”

*.若0x >，则1

2x x +

≥ (当且仅当1x =时取“=”

）; 若0x <，则1

2x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）

若0x ≠，则11122-2x x x x

x

x

+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）

*.若0>ab ，则2≥+a

b b

a (当且仅当

b a =时取“=”）

若0ab ≠，则

22-2a b a b a b

b a b a b a

+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”

） 3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）：

（，）；

*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时，

ab b a 222≥+同时除以ab 得

2≥+b a a b 或b

a a

b -≥-11。 *,,b a 均为正数，b a b

a -≥22

八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2

)2

(b a ab +≤； ③2)2(

222b a b a +≤+ ④)(22

2

b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则b

a b a +≥+4

11；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11(

2≥

+； ⑧ 若0≠ab ，则222)1

1(2111b a b

a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“

b a =”。

放缩不等式： ①，则. 【说明】：（，糖水的浓度问题）. 【拓展】：. ②，，则；

③，； ④，.

⑤,

函数()(0)b

f x ax a b x =+

>、图象及性质 (1)函数()0)(>+

=b a x b ax x f 、图象如图：

(2)函数()0)(>+

=b a x

b ax x f 、性质：

①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；

②单调递增区间：(,-∞

，)+∞

；单调递减区间：(0,

，[0)