苏教版高一数学必修5等比数列测试题及答案
高一数学等比数列试题答案及解析
高一数学等比数列试题答案及解析1.在等比数列中，为前n项的积，若，，则的值为（）A．16B．12C．8D．4【答案】A【解析】设公比为q，显然，由，，所以===16.【考点】等比数列的通项公式.2.已知{an }是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则q＝ ( ).A．1或－B．1C．－D．－2[【答案】A.【解析】根据题意，有，因为，所以，解得1或－.【考点】等比数列的通项公式，等差中项的定义.3.已知数列的首项.（1）求证：是等比数列，并求出的通项公式；（2）证明：对任意的；（3）证明：.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）将两边去倒数并常量分量，然后所得式子变形数列{}的第n+1项是第n项若干倍形式，根据等比数列定义即可判定{}是等比数列，利用等比数列通项公式，先求出{}的通项公式，再解出的通项公式；（2）将不等式右侧式子配凑的通项公式形式，再将其化为关于的二次函数最值问题，通过放缩即可证明该不等式；（3）先将的通项公式常量分量，代入，通过放缩即可证明不等式的左半部分，对利用（2）的结论缩小，出现首项为，公比为的等比数列的前n项和，数列取为该数列前n项和的算术平局值，即可证明该不等式右半部分.试题解析：（1），又所以是以为首项，以为公比的等比数列．5分（2）由（1）知9分（3）先证左边不等式，由知；当时等号成立； 11分再证右边不等式，由（2）知，对任意，有，取，则 14分考点:等比数列定义、通项公式、前n项和公式；二次函数最值；放缩法；转化与化归思想；运算求解能力4.已知等比数列中，，，，分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且.（1）求数列的公比；（2）设集合，且，求数列的通项公式.【答案】（1）或；（2）或.【解析】（1）根据题意可知，，为等比数列的前三项，因此，结合条件及余弦定理将消去，并且可以得到，即的值：，或，从而或；（2）条件中的不等式含绝对值号，因此可以考虑两边平方将其去掉：∵，∴，即，解得且，从而可得，即有，结合（1）及条件等比数列可知通项公式为或.试题解析：（1）∵等比数列，，，，∴， 1分又∵， 3分而，∴或， 5分又∵在△ABC中，，∴或； 6分（2）∵，∴，即，∴且， 8分又∵，∴，∴， 10分∴或. . 12分【考点】1.等比数列的通项公式；2.余弦定理及其变式；3.解不等式.5.在等比数列中，若，则与的等比中项为（）A．B．C．D．前3个选项都不对【答案】C.【解析】由等比数列可知，，∴与的等比中项为.【考点】等比数列的性质.6.已知等比数列满足，，数列的前项和，则＝．【答案】【解析】由知等比数列的公比从而．【考点】等比数列．7.在等比数列中，，则= ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知及等比数列的性质及得，解之得（舍去）或，又由，得，所以。
高中数学必修五数列测试题及答案
高中数学必修5数列测试题含答案一、选择题1、三个正数a 、b 、c 成等比数列，则lga 、 lgb 、 lgc 是 （ ）A 、等比数列B 、既是等差又是等比数列C 、等差数列D 、既不是等差又不是等比数列2、前100个自然数中，除以7余数为2的所有数的和是（ ）A 、765B 、653C 、658D 、6603、如果a,x 1,x 2,b 成等差数列，a,y 1,y 2,b 成等比数列，那么(x 1+x 2)/y 1y 2等于 （ ）A 、(a+b)/(a-b)B 、(b-a)/abC 、ab/(a+b)D 、(a+b)/ab4、在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3=2S 2+1,a 4=2S 3+1,则公比q= （ ）A 、1B 、-1C 、-3D 、35、在等比数列{a n }中,a 1+a n =66,a 2a n -1=128,S n =126，则n 的值为（ ）A 、5B 、6C 、7D 、86、若{ a n }为等比数列，S n 为前n 项的和，S 3=3a 3,则公比q 为（ ）A 、1或-1/2B 、-1 或1/2C 、-1/2D 、1/2或-1/27、一个项数为偶数的等差数列，其奇数项和为24，偶数项和为30，最后一项比第一项大21/2，则最后一项为 （ ）A 、12B 、10C 、8D 、以上都不对8、在等比数列{a n }中，a n >0,a 2a 4+a 3a 5+a 4a 6=25,那么a 3+a 5的值是（ ）A 、20B 、15C 、10D 、59、等比数列前n 项和为S n 有人算得S 1=8,S 2=20,S 3=36,S 4=65,后来发现有一个数算错了，错误的是 （ ）A 、S 1B 、S 2C 、S 3D 、S 410、数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 7,a 10,a 15是一等比数列{b n }的连续三项，若该等比数列的首项b 1=3则b n 等于（ ）A 、3·(5/3)n-1B 、3·(3/5)n-1C 、3·(5/8)n-1D 、3·(2/3)n-1二、填空题11、公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一等比数列，该等比数列的公比q =12、各项都是正数的等比数列{a n }，公比q ≠1,a 5,a 7,a 8成等差数列，则公比q=13、已知a,b,a+b 成等差数列,a,b,ab 成等比数列，且0<log m ab<1，则实数m 的取值范是14、已知a n =a n －2+a n －1(n ≥3), a 1=1,a 2=2, b n =1+n n a a ,则数列{b n }的前四项依次是 ______________. 15、已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），……，则第60个数对为三、解答题16、有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数为等差数列，其和为12，求此四个数。
苏教版高中数学必修五等比数列测试题.doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作等比数列测试题A 组一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．在等比数列{}n a 中，3620,160a a ==，则n a = ．1．20×2n-3.提示：q 3=16020=8,q=2.a n =20×2n-3. 2.等比数列中，首项为98，末项为13，公比为23，则项数n 等于 .2.4. 提示：13=98×（23）n-1,n=4.3.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于 .3.152+.提示：由题设知a n q 2=a n +a n q,得q=152+. 4.在等比数列{a n }中，已知S n =3n +b ，则b 的值为_______．4.b=-1.提示：a 1=S 1=3+b ，n ≥2时，a n =S n －S n －1=2×3n －1．a n 为等比数列，∴a 1适合通项，2×31－1=3+b ，∴b =－1． 5.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，则56a a +=5.4.提示：∵在等比数列{}n a 中, 12a a +,34a a +,56a a +也成等比数列,∵12324a a +=，3436a a +=∴5636364324a a ⨯+==. 6.数列{a n }中，a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1…是首项为1、公比为31的等比数列，则a n 等于 。
6．23（1－n 31）.提示：a n =a 1+（a 2－a 1）+（a 3－a 2）+…+（a n －a n －1）=23（1－n 31）。
7.等比数列 ,8,4,2,132a a a 的前n 项和S n = .7. 1,,21(2)1a 122n nn a S a a ⎧=⎪⎪=⎨-⎪≠⎪-⎩，。
高中数学必修5等比数列精选题目(附答案)
高中数学必修5等比数列精选题目（附答案）1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.①已知a 1，q ，n ，a n ，S n 中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想.②在等比数列求和时，要注意q ＝1和q ≠1的讨论.3．等比数列与指数型函数的关系当q >0且q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n可以看成函数y ＝cq x ，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上；对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，若设a ＝a 11－q，则S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)．由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝－aq x ＋a 图象上一系列孤立的点．对于常数列的等比数列，即q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1.由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝a 1x 图象上一系列孤立的点．设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ；若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中m ，n ，p ，q ，s ，r ∈N *.(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(4)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n 也是等比数列．(5)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q . 一、等比数列的基本运算1.(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 注：等比数列基本运算中的2种常用数学思想2．已知等比数列{a n }单调递减，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 23．(2019·长春质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．4B ．10C ．16D ．324．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.二、等比数列的判定与证明5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列． 注：1．掌握等比数列的4种常用判定方法通项公式法若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列前n 项和公式法若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列2．等比数列判定与证明的2点注意(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．(2)证明一个数列{a n }不是等比数列，只需要说明前三项满足a 22≠a 1·a 3，或者是存在一个正整数m ，使得a 2m ＋1≠a m ·a m ＋2即可． 6．数列{a n }的前n 项和为S n ＝2a n －2n ，证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列．7．(2019·西宁月考)已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上．在数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．三、等比数列的性质(一) 等比数列项的性质8.(2019·洛阳联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－ 2 或 29.(2018·河南四校联考)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋…＋a 8＝4，a 1a 2…a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16(二) 等比数列前n 项和的性质11.各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( ) A ．80 B ．30 C ．26 D ．16注：应用等比数列性质解题时的2个关注点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．12．(2019·郑州第二次质量预测)已知等比数列{a n }中，a 2a 5a 8＝－8，S 3＝a 2＋3a 1，则a 1＝( )A.12 B ．－12C ．－29D ．－1913．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.巩固练习:1．(2019·合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 5＝16，a 2＝2，则公比q ＝( )A ．4 B.52C ．2D.122．(2019·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( ) A ．1 B ．±1 C ．2D ．±24．(2018·贵阳适应性考试)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S 2 019＝( )A ．22 018－12B ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 018C ．22 019－12D ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 0195．在等比数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝21，a 2＋a 4＋a 6＝42，则S 9＝( ) A ．255 B ．256 C ．511D ．5126．已知递增的等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和S n <0，则( ) A ．a 1<0,0<q <1B ．a 1<0，q >1C ．a 1>0,0<q <1D ．a 1>0，q >17．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为________．8．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 9．(2018·江西师范大学附属中学期中)若等比数列{a n }满足a 2a 4＝a 5，a 4＝8，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.10．已知等比数列{a n }为递减数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.11．(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．12．(2019·甘肃诊断)设数列{a n ＋1}是一个各项均为正数的等比数列，已知a 3＝7，a 7＝127.(1)求a 5的值；(2)求数列{a n }的前n 项和．参考答案：1.[解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n－1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63，得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.由S m ＝63，得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.2.解析：选B 由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 23＝a 2a 4＝1，又a 2＋a 4＝52，且{a n }单调递减，所以a 2＝2，a 4＝12，则q 2＝14，q ＝12，所以a 1＝a 2q＝4. 3.解析：选C 设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4，因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，则a 5＝2×23＝16.4.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝74，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14， 则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.5.[证明] 因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ， 所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a na n ＋1－2a n ＝2.因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列． 6.证明：因为a 1＝S 1,2a 1＝S 1＋2， 所以a 1＝2，由a 1＋a 2＝2a 2－4得a 2＝6.由于S n ＝2a n －2n ，故S n ＋1＝2a n ＋1－2n ＋1，后式减去前式得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －2n ，即a n＋1＝2a n ＋2n ，所以a n ＋2－2a n ＋1＝2a n ＋1＋2n ＋1－2(2a n ＋2n )＝2(a n ＋1－2a n )， 又a 2－2a 1＝6－2×2＝2，所以数列{a n ＋1－2a n }是首项为2、公比为2的等比数列． 7.解：(1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1. ∴数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)．②①②两式相减，得 b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)．∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1. 由①，令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23.∴数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．8.[解析]设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.9.解：由分数的性质得到1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝a 8＋a 1a 8a 1＋a 7＋a 2a 7a 2＋…＋a 4＋a 5a 4a 5.因为a 8a 1＝a 7a 2＝a 3a 6＝a 4a 5，所以原式＝a 1＋a 2＋…＋a 8a 4a 5＝4a 4a 5，又a 1a 2…a 8＝16＝(a 4a 5)4，a n >0，∴a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝2.故选A. 11.[解析] 由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列． 由(x －2)2＝2×(14－x )， 解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23＝30.12.解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋3a 1，所以a 3a 1＝q 2＝2.因为a 2a 5a 8＝a 35＝－8，所以a 5＝－2，即a 1q 4＝－2，所以4a 1＝－2，所以a 1＝－12，故选B. 13.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.练习：1.解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·a 1q 4＝16，a 1q ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，q ＝－2(舍去)，故选C.2.解析：选C 由题意得a 4a 14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a 4a 14＝a 7a 11＝8，∴log 2a 7＋log 2a 11＝log 2(a 7a 11)＝log 28＝3，故选C.3.解析：选A 因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2q 4＝8，所以q 2＝2，则a 1＝a 3q2＝1，故选A.4.解析：选A 由等比数列的性质及a 2a 6＝8(a 4－2)，得a 24＝8a 4－16，解得a 4＝4. 又a 4＝12q 3，故q ＝2，所以S 2 019＝12(1－22 019)1－2＝22 018－12，故选A.5.解析：选C 设等比数列的公比为q ，由等比数列的定义可得a 2＋a 4＋a 6＝a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＝q (a 1＋a 3＋a 5)＝q ×21＝42，解得q ＝2.又a 1＋a 3＋a 5＝a 1(1＋q 2＋q 4)＝a 1×21＝21，解得a 1＝1.所以S 9＝a 1(1－q 9)1－q ＝1×(1－29)1－2＝511.故选C.6.解析：选A ∵S n <0，∴a 1<0，又数列{a n }为递增等比数列，∴a n ＋1>a n ，且|a n |>|a n ＋1|， 则－a n >－a n ＋1>0，则q ＝－a n ＋1－a n ∈(0,1)，∴a 1<0,0<q <1.故选A.7.解析：设等比数列{a n }的公比为q (q >0)， 由a 5＝a 1q 4＝16，a 1＝1，得16＝q 4，解得q ＝2， 所以S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1×(1－27)1－2＝127.8.解析：设该数列的公比为q ，由题意知， 192＝3×q 3，q 3＝64，所以q ＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48. 答案：12,489.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2a 4＝a 5，a 4＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ·a 1q 3＝a 1q 4，a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.10.解析：设公比为q ，由a 25＝a 10， 得(a 1q 4)2＝a 1·q 9，即a 1＝q . 又由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1， 得2q 2－5q ＋2＝0， 解得q ＝12()q ＝2舍去，所以a n ＝a 1·q n －1＝12n .11.解：(1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1， 而a 1＝1，所以a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2)数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n ＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.12.解：(1)由题可知a 3＋1＝8，a 7＋1＝128， 则有(a 5＋1)2＝(a 3＋1)(a 7＋1)＝8×128＝1 024， 可得a 5＋1＝32，即a 5＝31. (2)设数列{a n ＋1}的公比为q ，由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋1＝(a 1＋1)q 2，a 5＋1＝(a 1＋1)q 4，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋1＝2，q ＝2，所以数列{a n ＋1}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1，利用分组求和可得，数列{a n }的前n 项和S n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n .。
苏教版高中数学必修五§2.3等比数列练习.doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§2.3等比数列练习一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.1.下列各组数能组成等比数列的是（ ） A. 111,,369 B. lg3,lg9,lg 27 C. 6,8,10 D. 3,33,9-2.等比数列{}n a 中，32a =，864a =，那么它的公比q =（ ）A. 4B. 2C. 52D. 123.已知{}n a 是等比数列，n a >0，又知243546225a a a a a a ++=，那么35a a +=（ ）A. 5B. 10C. 15D. 204.等比数列{}n a 中，11a =，1q q ≠公比为且，若12345m a a a a a a =，则m 为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 125. “2b ac =”是“a 、b 、c 成等比数列”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要6.若{}n a 是等差数列，公差0d ≠，236,,a a a 成等比数列，则公比为（ ）A.1B. 2C. 3D. 4二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.等比数列中，首项为98，末项为13，公比为23，则项数n 等于 . 8.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于 .9.在等比数列{}n a 中，n a >0，()n N +∈且3698a a a =，则22242628210log log log log log a a a a a ++++= .10.若{}n a 是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为是 .① {}2n a ② {}2n a ③ 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ ④ {}lg n a【整合提高】三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，11.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，求56a a +.12.已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数.参考答案： 1.D 2.B 3.A 4.C 5.B 6.C 7.4 8.152+ 9.5 10.①②③ 11.∵在等比数列{}n a 中, 12a a +,34a a +,56a a +也成等比数列,∵12324a a +=，3436a a +=∴5636364324a a ⨯+==. 12.依题意可设这四个数分别为:2(4)4d -,4d -,4, 4d +,则由前三个数和为19可列方程得,2(4)44194d d -+-+=,整理得,212280d d -+=,解得2d =-或14d =. ∴这四个数分别为:25,-10,4,18或9,6,4,2.。
苏教版必修5《2.3.1等比数列的概念》同步作业含答案解析
[学业水平训练]一、填空题1．下列说法中正确的有________(填序号)．①一个数列每一项与它的前一项的比都等于常数，这个数列就叫等比数列；②一个数列每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫等比数列；③一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于常数，这个数列就叫等比数列；④一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫等比数列．解析：由等比数列的定义知④正确．答案：④2．4＋3与4－3的等比中项是________．解析：设它们的等比中项为A，则A2＝(4＋3)·(4－3)＝13，∴A＝±13.答案：±133．若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列是________．答案：非零的常数数列4．(2014·南京调研)下列数列中，一定是等比数列的个数是________．①－1，－2，－4，－8；②1，－3，3，－33；③3，3，3，3；④b，b，b，b.解析：①②③为等比数列，④只有b≠0时，方为等比数列，故一定是等比数列的个数有3个．答案：35．已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，则a，b，c__________等差数列，________等比数列．(填“成”或“不成”)解析：a＝log23，b＝log26，c＝log212，∵2log26＝log236＝log23＋log212，∴2b＝a＋c，∴a，b，c成等差数列．但(log26)2≠log23·log212，∴a，b，c不成等比数列．答案：成不成6．如果a，b，c成等比数列，那么函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的个数是________．解析：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，∴b2－4ac＝－3ac<0，∴f(x)的图象与x轴没有交点．答案：07．若－1，a，b，c，－9成等比数列，则b＝________，ac＝________．解析：由等比中项得b2＝9，且b与奇数项的符号相同，故b＝－3.又－1，a，b成等比数列，∴a2＝－1×b＝3，同理c2＝27，∴a2c2＝3×27＝81，又a，c符号相同，∴ac＝9.答案：－39二、解答题8．判断下列数列是否为等比数列．(1)1，3，32，33，…，3n－1，…；(2)－1，1，2，4，8，…；(3)a，a2，a3，…，a n，….解：(1)记数列为{a n}，∵a1＝1，a2＝3，…，a n＝3n－1，∴a n a n －1＝3n －13n －2＝3(n ≥2，n ∈N *)， ∴数列为公比q ＝3的等比数列．(2)记数列为{a n }，且a 1＝－1，a 2＝1，a 3＝2，….∵a 2a 1＝－1≠a 3a 2＝2，∴数列不是等比数列． (3)当a ＝0时，数列为0，0，0，…，是常数列，不是等比数列；当a ≠0时，数列为a ，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…，显然此数列为等比数列且公比为a .9．已知三个数成等比数列，其和为26，其平方和为1 092，求这三个数．解：设这三个数为a q，a ，aq ，由已知可得 ⎩⎨⎧a q ＋a ＋aq ＝26，（a q）2＋a 2＋（aq ）2＝1 092， 所以⎩⎨⎧a （1q ＋1＋q ）＝26，a 2（1q 2＋1＋q 2）＝1 092. 由(q ＋1q )2＝q 2＋1q 2＋2，得(26a －1)2＝1 092a 2＋1， 解得a ＝－8，q ＝－4或－14. 所以这三个数为2，－8，32或32，－8，2.[高考水平训练]一、填空题1．(2014·宿州调研)数列{a n }是等差数列，公差d ≠0，且a 2 046＋a 1 978－a 22 012＝0，{b n }是等比数列，且b 2 012＝a 2 012，则b 2 010·b 2 014＝________．解析：∵a 2 046＋a 1 978＝a 22 012，∴2a 2 012－a 22 012＝0，∴a 2 012＝0或2，∵{b n }是等比数列，b 2 012＝a 2 012，∴b 2 012＝2，∴b 2 010·b 2 014＝b 22 012＝4.答案：42．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列{a n }的前10项之和是________．解析：∵a 22＝a 1·a 5，∴(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )．∴d 2＝2a 1d ，而d ≠0，∴d ＝2a 1＝2.∴S 10＝10×1＋10×92×2＝100. 答案：100二、解答题3．三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成等比数列，且这三个数的和为6，求这三个数．解：由已知，设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，由a －d ＋a ＋a ＋d ＝6得a ＝2，故这三个数为2－d ，2，2＋d .若2－d 为等比中项，则有(2－d )2＝2(2＋d )，解得d ＝6或d ＝0(舍去)，此时三个数为－4，2，8；若2＋d 为等比中项，则有(2＋d )2＝2(2－d )，解得d ＝－6或d ＝0(舍去)，此时三个数为8，2，－4；若2为等比中项，则22＝(2＋d )(2－d )，∴d ＝0(舍去)．综上可知，这三个数为－4，2，8.4．某厂生产微机，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列，而第3个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产微机多少台？解：根据已知，可设该厂第一季度原计划3个月生产微机台数分别为x －d ，x ，x ＋d (d >0)，则实际上3个月生产微机台数分别为x －d ，x ＋10，x ＋d ＋25.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋10）2＝（x －d ）（x ＋d ＋25）x ＋d ＋25＝3x 2－10， 解得x ＝90，d ＝10.故有(x －d )＋(x ＋10)＋(x ＋d ＋25)＝3x ＋35＝3×90＋35＝305(台)，即该厂第一季度实际生产微机305台．。
苏教版高中数学必修五§2.3等比数列的前n项和练习(1).doc
§2.3等比数列的前n 项和练习（1）一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.1.等比数列{}n a 的各项都是正数，若181a =,516a =,则它的前5项和是( )A.179B.211C.243D.2752.等比数列{}n a 中,12a =, 前3项和326S =,则公比q 为( )A.3B.−4C.3或−4D.−3或43.等比数列{}n a 的前n 项和3n n S a =+,则a 等于( )A.3B.1C.0D.−14.已知等比数列{}n a 的前n 项和54n S =,前2n 项和260n S =,则前3n 项和3n S =( ) A.64 B.66 C.2603 D.26635.等比数列{}n a 中,0n a >,569a a =,则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=( )A.12B.10C.8D.32log 5+6.若{}n a 是等比数列,前n 项和21n n S =-,则2222123n a a a a ++++=( )A.2(21)n -B.21(21)3n -C.41n -D.1(41)3n - 二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.等比数列4，−2，1，∙∙∙的前10项和是 . 8.1111135[(21)]2482n n +++⋅⋅⋅+-+= . 9.在等比数列{}n a 中,465S =,23q =,则1a = . 10.若三角形三边成等比数列，则公比q 的范围是 .【整合提高】三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，11.在等比数列{}n a 中,166n a a +=,21128n a a -=,且前n 项和126n S =，求n 以及公比q.12.等比数列{}n a 中前n 项和为n S ,42S =,86S =,求17181920a a a a +++的值.参考答案：1.B2.C3.D4.C5.B6.D7.3411288.21()12n n -+ 9.27 10.150,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭11. 由211128n n a a a a -==,又166n a a +=得, 1,n a a 是方程2661280x x -+=的两根,解这个方程得,1264n a a =⎧⎨=⎩或1642n a a =⎧⎨=⎩,由11n n a a q S q -=-得26q n =⎧⎨=⎩或126q n ⎧=⎪⎨⎪=⎩.12.∵等比数列中k S ,2k k S S -,32k k S S -,……仍成等比数列,∴4S ,84S S -,128S S -,……也成等比数列,而17181920a a a a +++则是这个等比数列中的第5项,由42S =,86S =得844S S -=∴这个等比数列即是:2,4,8,16,32,……,∴1718192032a a a a +++=.。
《等比数列》同步练习2(苏教版必修5)
生活中的等比数列1．存贷问题例1 一件家用电器，现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，购买后一个月付款一次，共付12次，一年后还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少元（精确到0.01元）？解：设每期应付款x 元，则第1期付款后欠款2000（1+0.008）x -，第2期付款后欠款（2000×1.008x -）×1.008x -=2000×1.0082-1.008x x -，…， 第12期付款后欠款2000×1.00812-（1.00811+1.00810+…+1）x ， 因第12期付款后欠款为0，所以2000×1.00812-（1.00811+1.00810+…+1）x =0，故12122000 1.008175.461.00811.0081x ⨯=≈--（元），即每期应付款175.46元．点评：分期付款问题，实质上是等比或等差数列求和问题，解题的视角是建立等量关系式．记住下列常用公式：（1）复利公式：按复利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和(1)x y a r =+；（2）单利公式：按单利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和(1)y a xr =+．2．溶液配制问题例2 容器A 中盛有浓度为%a 的农药m 升，容器B 中盛有浓度为%b 的同种农药也是m 升，两种农药的浓度差为20%()a b >．现将A 中农药的倒入B 中，均匀混合后再由B 倒入A ，恰好使A 中保持m 升，并混合均匀．要使两种农药的浓度差小于1%，至少要操作多少次？（lg50.669≈，lg 60.778≈）解：设A 中溶质的质量为1a ，B 中溶质的质量为1b ，操作k 次后，A B ，中溶质的质量分别为k a 、k b ．则1%a ma =，1%b mb =， 又%%20%a b -=， ∴1120%a b m -=． 由题意，得111113111(4)4545k k k k k k a a b a a b -----⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，1111411(4)545k k k k k b b a b a ----⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，∴113()5k k k k a b a b ---=-． 故{}k k a b -是首项为1120%a b m -=，公比为35的等比数列． ∴1320%5k k k a b m -⎛⎫-- ⎪⎝⎭．∴浓度差为12031005k k k a b m m -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，依题意，得120311005100k -⎛⎫<⎪⎝⎭． 由指数函数的性质，得1(1)lg 0.6lg 20k -<． ∴lg 52lg 520.69921 5.86lg 0.6lg 610.7781k ---->=≈≈--，即 6.86k >，∴7k =．故要使浓度差小于1%，至少要操作7次．点评：解此类问题关键在于找出相邻两次的浓度变化，即1n a +与n a 的关系．3．绿化问题例3 为了治理“沙尘暴”，西部地区经过多年的努力，到1998年底，将当地沙漠绿化了40%．从1999年开始，每年出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，同时原有绿化面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿化面积超过50%？（lg2≈0.30）解：设该地区总面积为1，1998年底绿化面积为125a =，经过n 年后绿化面积为1n a +，1998年底沙漠面积为1b ，经过n 年后沙漠面积为1n b +，则111a b +=，1n n a b +=．依题意，有192%12%n n n a a b +=+， ∴14392%12%(1)525n n n n a a a a +=+-=+． ∴1343555n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴35n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以15-为首项，45为公比的等比数列．∴1314555nn a +⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．令150%n a +>，即314150%5552n⎛⎫-⨯>= ⎪⎝⎭，∴4152n⎛⎫< ⎪⎝⎭， ∴451lg 2log 3213lg 2n >=≈-． ∴至少要经过4年才能使绿化面积超过50%．点评：本题从题目中所讲的条件入手，在待解决的问题中寻求递推关系，构造等比数列模型，求出通项，再利用题设中的不等关系列出关系式，求得结果．4．投资问题例4 某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长．（1）设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写出n a ，n b 的表达式；（2）至少经过几年旅游业总收入才能超过总投入? 解：（1）第1年投入为800万元， 第2年投入为180015⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭万元，…，第n 年投入为1180015n -⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭万元．故第n 年内的总投入为11148008001800140001555n n n a -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯-++⨯-=⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．第1年旅游业的收入为400万元， 第2年旅游业的收入为140014⎛⎫⨯+⎪⎝⎭万元，…， 第n 年旅游业的收入为1140014n -⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭万元．所以n 年内旅游业的总收入为11154004001400116001444n n n b -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+++⨯+=⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（2）设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，则0n n b a ->，即541600140001045n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴45527054n n⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设45nx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，代入上式得25720x x -+>，解得25x <或1x >（舍去），即4255n⎛⎫< ⎪⎝⎭，解得4n >，即至少经过5年旅游业总收入才能超过总投入．点评：解这类题的关键是分清每种增长率，由此写出数量关系，使问题得以解决．记住产值模型公式：原产值的基数为N ，平均增长率为p ，经过时间x 后的产值(1)xy N p =+．一道数列题的多种解法题目 （2006年重庆卷·理）在数列{}n a 中，若11a =，123(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a =____．解法一（公式法）：由123n n a a +=+，得2123n n a a ++=-，两式相减，得2112()n n n n a a a a +++-=-．∴{}1n n a a +-是公比为2的等比数列，其首项为2111234a a a a -=+-=，∴111422n n n n a a -++-=⨯=．又123n n a a +=+，∴1232n n n a a ++-=，即123n n a +=-．解法二（累加法）：由上可知{}1n n a a +-是公比为2的等比数列，于是有214a a -=，3242a a -=⨯， 24342a a -=⨯，……2142n n n a a ---=⨯．把上述1n -个等式相加，得2214(1222)n n a a --=⨯++++124(2)n n +=-≥，整理得123(2)n n a n +=-≥．又1n =时，1n a =也成立．∴123n n a +=-．解法三（待定系数法）：设12()n n a t a t ++=+，展开，与123n n a a +=+对应系数相等，解得3t =，∴132(3)n n a a ++=+，∴{}3n a +是公比为2的等比数列，其首项为134a +=，∴1113(3)22n n n a a -++=+⨯=，故123n n a +=-．解法四（构成对偶式）：由已知条件可得123n n a a +-=，① ∴211212n n n na a a a +++-=-．故数列{}12n n a a +-是公比为1的等比数列， ∴2122n n n a a a ++--，整理，得2112()n n n n a a a a +++-=-，从而数列{}1n n a a +-是公比为2的等比数列，其首项为2111234a a a a -=+-=，∴111422n n n n a a -++-=⨯=．②②－①，得123n n a +=-．解法五（不完全归纳法）：21123a ==-，32123523a a =+==-， 432231323a a =+==-，543232923a a =+==-， 654236123a a =+==-，……，归纳猜想得123n n a +=-．赏析数列创新题1．某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高，设住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层的升高，环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意度为8n，则此人应选（ ）．（A ）1楼 （B ）2楼 （C ）3楼 （D ）4楼 2．2003年12月，全世界爆发“禽流感”，科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌M 在杀死“禽流感”病毒N 的同时能够自身分裂繁殖．已知1个细菌M 可以杀死1个病毒N ，并且分裂成2个细菌M ，那么1个细菌M 和2048个“禽流感”病毒N 最多可分裂成细菌M 的数值是（ ）． （A ）1024 （B ）2048 （C ）2049 （D ）无法确定 3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=，称n T 为数列1a ，2a ，…，na 的“理想数”．已知数列1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为2004，那么数列2，1a ，…，500a 的“理想数”为（ ）．（A ）2002 （B ）2004 （C ）2006 （D ）20084．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列{}n a 的四组量中，一定能成为该数列的“基本量”的是第____组（写出所有符合要求的组号）．①1S 与2S ；②2a 与3S S ；③1a 与m a ；④q 与m a ．5．某纺织厂的一个车间有n 台织布机，编号分别为1，2，3，…，n ，该车间有技术工人n 名，编号分别为1，2，3，…，n ．定义记号ij a ，如果第i 名工人操作了第j 号织布机，此时规定1ij a =，否则0ij a =．若第7号织布机有且仅有一人操作，则1727377n a a a a ++++=____，若31323332n a a a a ++++=，说明__________．6．如图，一粒子在区域{}()00x y x y ，≥，≥内运动,在第一秒内它从原点运动到点1(01)B ，，接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．（1）设粒子从原点到达点n A 、n B 、n C 时，所经过的时间分别为n a 、n b 、n c ，试写出{}n a 、{}n b 、{}n c 的通项公式；（2）求粒子从原点运动到点(1644)P ，时所需的时间． 答案：1．C 2．C 3．A 4．①④5．1；第3名工人操作了2台织布机．6．解：（1）由图形可设1(10)A ，，2(20)A ，，…，(0)n A n ，，当粒子从原点到达n A 时，明显有13a =，211a a =+， 3111234a a a =+=+⨯， 431a a =+， 5332054a a a =+=+⨯，651a a =+，……2123(21)4n n a a n --=+-⨯，2211n n a a -=+，∴22134[35(21)]41n a n n -=+⨯+++-=-，222114n n a a n -=+=．∴22414n n n a n n ⎧-⎪=⎨⎪⎩，为奇数，， 为偶数.∴2221212(21)441n n b a n n n --=--=-+，2222244n n b a n n n =+⨯=+；∴2244144.n n n n b n n n ⎧-+⎪=⎨+⎪⎩，为奇数，， 为偶数∴222121(21)42(21)(21)n n c b n n n n n --=+-=-=-+-，2222242(2)(2)n n c a n n n n n =+=+=+，∴2n c n n =+；（2）由图形知，粒子从原点运动到点(1644)P ，时所需的时间是到达点44C 所经过的时间再加(4416)28-=秒，所以24444282008t =++=秒．。
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等比数列测试题A 组一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．在等比数列{}n a 中，3620,160a a ==，则n a = ．1．20×2n-3.提示：q 3=16020=8,q=2.a n =20×2n-3. 2.等比数列中，首项为98，末项为13，公比为23，则项数n 等于 .2.4. 提示：13=98×（23）n-1,n=4.3.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于 ..提示：由题设知a n q 2=a n +a n q,得. 4.在等比数列{a n }中，已知S n =3n +b ，则b 的值为_______．4.b=-1.提示：a 1=S 1=3+b ，n ≥2时，a n =S n －S n －1=2×3n －1．a n 为等比数列，∴a 1适合通项，2×31－1=3+b ，∴b =－1． 5.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，则56a a +=5.4.提示：∵在等比数列{}n a 中, 12a a +,34a a +,56a a +也成等比数列,∵12324a a +=，3436a a +=∴5636364324a a ⨯+==. 6.数列{a n }中，a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1…是首项为1、公比为31的等比数列，则a n 等于 。
6．23（1－n 31）.提示：a n =a 1+（a 2－a 1）+（a 3－a 2）+…+（a n －a n －1）=23（1－n 31）。
7.等比数列 ,8,4,2,132a a a 的前n 项和S n = .7. 1,,21(2)1a 122n nn a S a a⎧=⎪⎪=⎨-⎪≠⎪-⎩，。
提示：公比为a q 2=， 当1=q ，即21=a 时，;,12n S a n == 当1≠q ，即21≠a 时，12≠a ，则a a S n n 21)2(1--=.8. 已知等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前n 项和，某同学经计算得224S =，338S =，465S =，后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是__________，该数列的公比是________.8.2S ；32。
提示：设等比数列的公比为q ，若2S 计算正确，则有2q =，但此时3438,65S S ≠≠，与题设不符,故算错的就是2S ,此时, 由338S =可得32q =,且465S =也正确.二．解答题(本大题共4小题，共54分)9.一个等比数列{}n a 中，701333241=+=+a a a a ，，求这个数列的通项公式。
9．解：由题设知311211133a 70a a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩两式相除得q =2552或， 代入a a 14133+=，可求得a 1125=或8，∴=⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪--a a n n n n 1252585211或10.设等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,S 4=1,S 8=17,求通项公式a n .解 设{}n a 的公比为q ，由S 4=1,S 8=17知q ≠1,∴4181a (1)1,1a (1)17,1q q q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩解得11152a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或1152a q ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩。
∴a n =1215n -或a n =1(1)25n n --⨯。
11.已知数列{}2log n x 是公差为1 的等差数列，数列{}n x 的前100项的和等于100，求数列{}n x 的前200项的和。
11.解：由已知，得212log log 1n n x x +-=，12n nx x +∴=， 所以数列{}n x 是以2为公比的等比数列，设{}n x 的前n 项和为S n 。
则S 100=1001x (12)12--=1001x (21)-，S 200=2001x (12)12--=2001x (21)-= S 100()10012+=()10010012⨯+故数列{}n x 的前200项的和等于()10010012⨯+。
12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中0n a ≠，1a 为常数，且1a -、n S 、1n a +成等差数列．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1n n b S =-，问：是否存在1a ，使数列{}n b 为等比数列？若存在，求出1a 的值； 若不存在，请说明理由．12.解：（Ⅰ）依题意，得112n n S a a +=-．于是，当2n ≥时，有111122n n n n S a a S a a +-=-⎧⎨=-⎩．两式相减，得13n n a a +=（2n ≥）． 又因为211123a S a a =+=，0n a ≠，所以数列{}n a 是首项为1a 、公比为3的等比数列．因此，113n n a a -=⋅（n *∈N ）；（Ⅱ）因为111(13)1131322n n n a S a a -==⋅--，所以111111322n n n b S a a =-=+-⋅．要使{}n b 为等比数列，当且仅当11102a +=，即12a =-．备选题：1.已知在等比数列{}n a 中，各项均为正数，且,7,13211=++=a a a a 则数列{}n a 的通项公式是_________=n a 。
1.12-n 。
提示：由,7,13211=++=a a a a 得21602,2n n q q q a -+-=∴=∴=。
2．在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则10a =___________.2. 3375±。
提示：610925,q q a a q ===⋅=± 3.设数列{a n }的前项的和S n =31（a n -1） (n ∈N +),（1）求a 1;a 2; (2)求证数列{a n }为等比数列。
3.解: (Ⅰ)由)1(3111-=a S ,得)1(3111-=a a ∴=1a 21- 又)1(3122-=a S ,即)1(31221-=+a a a ,得412=a .(Ⅱ)当n >1时,),1(31)1(3111---=-=--n n n n n a a S S a 得,211-=-n n a a 所以{}n a 是首项21-,公比为21-的等比数列.B 组一．填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1.正项等比数列{a n }中，S 2=7，S 6=91，则S 4= 。
1．28提示：∵{a n }为等比数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列，即7，S 4－7，91－S 4成等比数列，即（S 4－7）2=7（91－S 4），解得S 4=28或－21（舍去）． 2.三个不同的实数c b a ,,成等差数列，且b c a ,,成等比数列，则::a b c = _ 。
2. )2(:1:4-。
提示：22222,2,(2),540a c b c b a ab c b a a ab b +==-==--+= ,4,2a b a b c b ≠==-。
3.在等比数列{a n }中，已知n ∈N *，且a 1+a 2+…+a n =2n －1，那么a 12+a 22+…+a n 2等于 。
3.31（4n －1）。
提示：由S n =2n －1，易求得a n =2n －1，a 1=1，q =2，∴{a n 2}是首项为1，公比为4的等比数列， a 12+a 22+…+a n 2= 31（4n －1）。
4. 设数列{}237n n n a n S a n =+-中前项的和，则n a =________.解析 11111,2374n a S a a ===+-∴=当时1111111112,(237)[23(1)7]2232332(3){3}-34-3=1,23122{}23n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a S S a n a n a a a a a a a a a a a --------≥=-=+--+--=-+∴=-∴-=--=∴-=⨯=∴=+当时即成等比数列,其首项是公比是数列的通项公式是5.已知函数()cos ,(,3)2f x x x ππ=∈，若方程()f x a =有三个不同的根，且从小到大依次成等比数列，则a = 。
5.12-。
提示：设最小的根为α，结合余弦函数的图像可知则另两根依次为 2,2παπα-+，所以()()222πααπα-=∙+， 解得23πα=，21cos 32πα==-。
6.电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表：制中最大的数是 6.63.提示：111:2121217,2121206,2120215,2120204,21213,21202,21121021021021010100写成二进制为进而知⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯=于是知二进制为6位数能表示十进制中最大的数是631212212121212121:111111654321=--=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯化成十进制为。
二．解答题(本大题共2小题，共36分) 7． 数列}{n a 满足：*).(2123,23,11221N n a a a a a n n n ∈-===++ （1）记n n n a a d -=+1，求证：{d n }是等比数列； （2）求数列}{n a 的通项公式；（3）令23-=n b n ，求数列}{n n b a ⋅的前n 项和S n 。
（1）21123,23,11221=-=-∴==a a a a 又n n n n a a a a 2121112-=-+++。
n n n n n n d d a a a a 21,211112==--∴++++即故数列2121}{为首项，公比为是以n d 的等比数列. （2）由（1）得n n n n a a d )21(1=-=+1121112211)21(21)21(...)21()21()(...)()(-------=++++=+-++-+-=∴n n n n n n n n a a a a a a a a（3）11)21()23()46(])21(2[)23(23--⋅---=-⋅-=⋅=-=n n n n n n n n n b a c n b 令021********[147...(32)][147...(32)]2222111(31)[147...(32)]222n n n S n n n n n --∴=⨯++++--⨯+⨯+⨯++-⋅=--+⨯+⨯++-⨯令1221)23(...2172141-⨯-++⨯+⨯+=n n n T ① n n n n n T 21)23(21)53(...21721421121132⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=-② ① －②得12113224383243821)23()21...212121(3121---++--=∴+-=∴--+++++=∴n n n n nn n n n n S n T n T8. 已知关于x 的二次方程)(0112*+∈=+-N n x a x a n n 的两根βα,满足3626=+-βαβα，且11=a（1）试用n a 表示1+n a （2）求证：}32{-n a 是等比数列 （3）求数列的通项公式n a （4）求数列}{n a 的前n 项和n S 8. 解(1) 是方程βα, )(0112*+∈=+-N n x a x a n n 的两根312102361111+=⇒=--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+∴+++n n n n n n n a a a a a a a αββα(2)为等比数列常数}32{2132323121323121111-∴==--⇒-=-⇒+=+++n n n n n n n a a a a a a a(3)令3132,21}{,3211=-=-=a b b a b n n n 首项是等比数列，公比为则 32)21(3132)21(3111+=+=⇒=∴--n n n n b a b(4)n nn n n S )21(32322]211)21(1[3132-+=--+= 备选题：1.数列}{n a 是正项等差数列，若nna a a a b nn ++++++++=32132321，则数列}{n b 也为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列}{n c ，若n d = ，则数列}{n d 也为等比数列。