第13章 简单线性回归与相关
相关与回归PPT课件PPT课件
（2）求Spearman等级相关系数。
rs
l X ’Y ’
l l X ’X ‘Y ’Y ‘
59.5 0.7539 82.5 75.5
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2. Spearman等级相关系数的假设检验：
H0:ρS=0
H1: ρS ≠0
=0.05
本例n=10， rs=-0.7539，查rs界值表得：
Y
Y
2
lYY
l XY
2 / l XX lYY bl XY
sy为x 各观察值y 距回归线（ ）ˆy 的标准差，反映x
的影响被扣除后y 的变异，故称为剩余标准差。
第32页/共40页
Y
Y
2
36.7324 (74.308)2
/ 228.2 12.541
12.541
SY .X
1.1199 12 2
1.1199
sb
0.0741 228.25
0.3256
tb
4.392
0.0741
3．确定P值，判断结果： 按 12 2 10 ，
查t 值表，t0.01(10)=3.169，tb> t0.01(13) ，P<0.01， 按α=0.05水准，拒绝H0 ，接受H1，认为糖尿病患 者血糖和胰岛素之间存在负的直线回归关系。
rs(10,0.02)=0.745，rs> rs(10,0.02) ，则P<0.02，按
α=0.05水准，拒绝H0，接受H1，认为rs有统计
学意义，说明患者血小板数与出血程度呈负
的等级相关关系。
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第三节 直线回归
随着所探索问题的深入，研究者通常更感兴趣于 其中的一个变量如何定量地影响另一变量的取值， 如医学研究中常需要从某项指标估算另一项指标， 如果这指标分别是测量变量X 和Y，我们希望由X 推算Y的值。
线性回归与相关分析
线性回归与相关分析一、引言线性回归和相关分析是统计学中常用的两种数据分析方法。
线性回归用于建立两个或多个变量之间的线性关系，而相关分析则用于衡量变量之间的相关性。
本文将介绍线性回归和相关分析的基本原理、应用场景和计算方法。
二、线性回归线性回归是一种建立自变量和因变量之间线性关系的统计模型。
它的基本思想是通过找到最佳拟合直线来描述自变量与因变量之间的关系。
线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1分别表示截距和斜率，ε表示误差项。
线性回归的目标是最小化观测值与模型预测值之间的差异，常用的优化方法是最小二乘法。
线性回归的应用场景非常广泛。
例如，我们可以利用线性回归来分析广告费用和销售额之间的关系，或者分析学生学习时间和考试成绩之间的关系。
线性回归还可以用于预测未来趋势。
通过建立一个合适的线性回归模型，我们可以根据历史数据来预测未来的销售额或者股票价格。
在计算线性回归模型时，我们首先需要收集相关的数据。
然后，可以使用统计软件或者编程语言如Python、R等来计算最佳拟合直线的参数。
通过计算截距和斜率，我们可以得到一个最佳拟合线，用于描述自变量和因变量之间的关系。
此外，我们还可以借助评价指标如R 平方来衡量模型的拟合程度。
三、相关分析相关分析是一种用于衡量两个变量之间相关性的统计方法。
它可以帮助我们判断变量之间的线性关系的强度和方向。
相关系数是表示相关性的一个指标，常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数适用于测量两个连续变量之间的线性关系，其取值范围在-1到1之间。
当相关系数接近1时，表示两个变量呈正相关，即随着一个变量增加，另一个变量也增加。
当相关系数接近-1时，表示两个变量呈负相关，即随着一个变量增加，另一个变量减小。
当相关系数接近0时，表示两个变量之间没有线性关系。
斯皮尔曼相关系数适用于测量两个有序变量之间的单调关系，其取值范围也在-1到1之间。
高中数学备课教案数理统计中的线性回归与相关系数
高中数学备课教案数理统计中的线性回归与相关系数高中数学备课教案：数理统计中的线性回归与相关系数引言：在数理统计中，线性回归与相关系数是非常重要的概念和工具。
线性回归可以用来建立变量之间的线性关系模型，帮助我们预测或解释变量之间的关系；相关系数则能够衡量变量之间的相关性强弱。
本教案将针对高中数学的教学要求，详细介绍线性回归与相关系数的概念、计算方法以及实际应用。
一、线性回归的概念和原理1.1 线性回归的基本概念线性回归是一种建立自变量与因变量之间线性关系的模型。
在数理统计中，我们常常使用最小二乘法来拟合线性回归模型，即找到一条直线使得实际观测数据点到该直线的距离最小。
1.2 线性回归的原理线性回归的原理基于统计学中的回归分析。
我们利用已知数据点进行拟合，并通过方程预测或解释变量之间的关系。
通过最小二乘法，我们可以求得斜率和截距，进而建立线性回归模型。
二、线性回归的计算方法2.1 线性回归的计算步骤1）收集数据：收集自变量和因变量的观测数据。
2）计算相关系数：通过相关系数判断自变量和因变量之间的相关性。
3）计算斜率和截距：利用最小二乘法计算斜率和截距。
4）建立回归模型：根据计算结果，建立线性回归方程。
2.2 线性回归的实际应用线性回归可以应用于各种实际问题，例如预测房价、分析销售趋势等。
通过建立适当的自变量和因变量之间的模型，我们可以进行有效的预测和决策。
三、相关系数的计算方法3.1 相关系数的基本概念相关系数是衡量两个变量之间线性相关性强弱的统计量。
相关系数的取值范围在-1到+1之间，接近-1表示负相关，接近+1表示正相关，接近0表示无相关。
3.2 相关系数的计算步骤1）计算协方差：计算两个变量的协方差，衡量两个变量的总体变化趋势是否一致。
2）计算标准差：分别计算两个变量的标准差。
3）计算相关系数：通过协方差和标准差计算相关系数。
四、线性回归与相关系数的联系和区别线性回归和相关系数都能够衡量变量之间的关系，但二者有一些区别。
简单线性回归模型PPT课件
940 1030 1160 1300 1440 1520 1650
980 1080 1180 1350 1450 1570 1750
-
1130 1250 1400 -
1600 1890
-
1150 -
-
-
1620 -
2600 1500 1520 1750 1780 1800 1850 1910
y (消费）
出-
表2
1000 650 700 740 800 850 880 -
每月家庭收入支出表（元）
1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
790 800 1020 1100 1200 1350 1370
840 930 1070 1150 1360 1370 1450
900 950 1100 1200 1400 1400 1550
ui N (0, 2 ) (i 1,2,..., n)
或 Yi N (1 1X i , 2 ) (i 1,2,..., n)
以上假定也称高斯假定或古典假定。
二、普通最小二乘法
在不知道总体回归直线的情况下，利用样本信 息建立的样本回归函数应尽可能接近总体回归 函数，有多种方法。
普通最小二乘法(Ordinary Least Squares) 由德国数学家高斯(C.F.Gauss)提出。
Y
e1
Yˆi ˆ1 ˆ2 Xi e3
e4
e2
X1
X2
X
X3
X4
ei Yi Yˆi
Yi (ˆ1 ˆ2 Xi )
对于给定的 Y 和 X的观测值，我们希望这 样决定SRF，使得SRF上的值尽可能接近 实际的 Y。
就是使得残差平方和
简单线性回归
注意： 这里将样本回归线看成总体回归线的近似替代
则
样本回归函数的随机形式/样本回归模型：
同样地，样本回归函数也有如下的随机形式： Yi Yˆi ˆi ˆ0 ˆ1 X i ei
式中，ei 称为（样本）残差（或剩余）项（residual），代表
回归函数在坐标系中用图形表示出来就 是回归线。它表示了应变量和解释变量 之间的平均关系。
回归线图示
概率密度函数 f(Yi)
Y
x1 xi Xk
PRF
X
注意：
一般地，在重复抽样中解释变量被假定 为固定的。所以回归分析中，解释变量 一般当作非随机变量处理。
1.4 总体回归函数
由于变量间关系的随机性，回归分析关心的是 根据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总 体均值，即当解释变量取某个确定值时，与之统计相 关的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。
1.3.1 回归分析 是对一个应变量对若干解释变量依存 关系的研究； 其目的是：由固定的解释变量去估计 和预测应变量的平均值等。
1.3.2 回归函数、回归线
应变量Y的条件期望E(Y/X i )随着解释变量 X的变化而有规律地变化。把这种变化关 系用函数表示出来，就是回归函数：
E(Y/X i ) f(X i )
列入模型的那些次要因素的综合影响。
由中心极限定理μ服从的均值
不妨假设
m
rj 1
j 1
则有
m
rj zj Z j 1
因此，由中心极限定理，无论Zj原来的分布形式如何，只要它们 相互独立，m足够大，就会有μ趋于正态分布。
而且正态分布简单易用，且数理统计学中研究的成果很多，可以 借鉴。
相关系数与线性回归分析
相关系数与线性回归分析相关系数和线性回归分析是统计学中常用的方法，用于研究变量之间的关系和进行预测分析。
本文将介绍相关系数和线性回归分析的概念、计算方法和应用场景。
一、相关系数相关系数是用来衡量两个变量之间的相关性强弱的统计指标。
它的取值范围是-1到1之间，值越接近于1或-1，表示两个变量之间的相关性越强；值越接近于0，则表示两个变量之间的相关性越弱。
计算相关系数的方法有多种，常见的是皮尔逊相关系数。
它可以通过协方差和两个变量的标准差来计算。
具体公式如下：r = Cov(X,Y) / (σX *σY)其中，r表示相关系数，Cov(X,Y)表示变量X和Y的协方差，σX和σY分别表示变量X和Y的标准差。
相关系数的应用非常广泛。
例如，在金融领域，相关系数可以用来研究股票之间的关联程度，有助于投资者进行风险分析和资产配置；在医学领域，相关系数可以用来研究疾病因素之间的关系，帮助医生进行诊断和治疗决策。
二、线性回归分析线性回归分析是一种用来研究自变量与因变量之间关系的统计方法。
它通过建立一个线性方程，来描述自变量对因变量的影响程度和方向。
线性回归模型可以通过最小二乘法来估计模型参数。
最小二乘法的基本思想是通过使模型预测值与实际观测值的残差平方和最小化来确定模型参数。
具体公式如下：Y = β0 + β1*X + ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1表示模型的参数，ε表示误差项。
线性回归分析常用于预测和解释变量之间的关系。
例如，在市场营销中，可以通过线性回归分析来预测产品销售量与价格、广告投入等因素的关系；在经济学中，可以利用线性回归模型来研究GDP与就业率、通货膨胀率等经济指标之间的关系。
三、相关系数与线性回归分析的关系相关系数和线性回归分析常常一起使用，因为它们有着密切的关联。
相关系数可以用来衡量两个变量之间的相关性强弱，而线性回归分析则可以进一步分析两个变量之间的因果关系。
在线性回归分析中，相关系数经常作为检验模型是否适用的依据之一。
统计学中的线性回归与相关系数
统计学中的线性回归与相关系数统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，而线性回归和相关系数则是统计学中两个重要的概念与方法。
线性回归和相关系数可以帮助我们理解和解释数据之间的关系，从而作出准确的预测和结论。
本文将详细介绍统计学中的线性回归和相关系数，并讨论它们的应用和限制。
一、线性回归分析线性回归是一种用来建立两个变量之间关系的统计模型。
其中一个变量被称为“自变量”，另一个变量被称为“因变量”。
线性回归假设自变量和因变量之间存在着线性关系，通过拟合一条直线来描述这种关系。
线性回归模型可以用公式表示为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1表示回归系数，ε表示误差。
利用线性回归模型，我们可以估计回归系数的值，并通过回归系数来解释自变量对因变量的影响程度。
回归系数β1表示自变量对因变量的平均改变量，β0表示当自变量为0时，因变量的平均值。
线性回归模型的拟合程度可以通过R方值来衡量，R方值越接近1，表明模型拟合程度越好。
线性回归的应用广泛，例如经济学中的GDP与人口增长率之间的关系，医学研究中的药物剂量与治疗效果之间的关系等等。
通过线性回归，我们可以从大量的数据中提取有用的信息，并利用这些信息做出合理的预测和决策。
二、相关系数分析相关系数是衡量两个变量之间相关关系强度的指标。
相关系数的取值范围为-1到1，-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无相关关系。
相关系数可以用来描述变量之间的线性关系，并判断这种关系的强度和方向。
常见的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数适用于连续变量且呈线性分布的情况，而斯皮尔曼相关系数适用于顺序变量或非线性关系的情况。
相关系数的计算方法涉及到协方差和标准差的概念，具体计算方法可以参考统计学教材或统计学软件。
相关系数的应用广泛，可以用来进行变量筛选、研究变量之间的关系、评估模型拟合程度等。
在金融领域，相关系数可以用来衡量股票之间的关联性，帮助投资者进行风险控制和资产配置。
简单线性相关(一元线性回归分析)
第十三讲简单线性相关（一元线性回归分析）对于两个或更多变量之间的关系，相关分析考虑的只是变量之间是否相关、相关的程度，而回归分析关心的问题是：变量之间的因果关系如何。
回归分析是处理一个或多个自变量与因变量间线性因果关系的统计方法。
如婚姻状况与子女生育数量，相关分析可以求出两者的相关强度以及是否具有统计学意义，但不对谁决定谁作出预设，即可以相互解释，回归分析则必须预先假定谁是因谁是果，谁明确谁为因与谁为果的前提下展开进一步的分析。
一、一元线性回归模型及其对变量的要求（一）一元线性回归模型1、一元线性回归模型示例两个变量之间的真实关系一般可以用以下方程来表示：Y=A+BX+方程中的 A 、B 是待定的常数，称为模型系数，是残差，是以X预测Y 产生的误差。
两个变量之间拟合的直线是：y a bxy 是y的拟合值或预测值，它是在X 条件下 Y 条件均值的估计a 、b 是回归直线的系数，是总体真实直线距，当自变量的值为0 时，因变量的值。
A、B 的估计值， a 即 constant 是截b 称为回归系数，指在其他所有的因素不变时，每一单位自变量的变化引起的因变量的变化。
可以对回归方程进行标准化，得到标准回归方程：y x为标准回归系数，表示其他变量不变时，自变量变化一个标准差单位（ Z XjXj），因变量 Y 的标准差的平均变化。
S j由于标准化消除了原来自变量不同的测量单位，标准回归系数之间是可以比较的，绝对值的大小代表了对因变量作用的大小，反映自变量对Y 的重要性。
（二）对变量的要求：回归分析的假定条件回归分析对变量的要求是：自变量可以是随机变量，也可以是非随机变量。
自变量 X 值的测量可以认为是没有误差的，或者说误差可以忽略不计。
回归分析对于因变量有较多的要求，这些要求与其它的因素一起，构成了回归分析的基本条件：独立、线性、正态、等方差。
（三）数据要求模型中要求一个因变量，一个或多个自变量（一元时为 1 个自变量）。
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b ( X X )(Y Y ) lXY
(X X)2
l XX
a Y bX
§ （1）方差分析
§ 其原理与前面的单因素方差分析相同，统计量F
的计算公式为，
F
SS回归 / 回归 SS 残差 / 残差
MS回归 MS 残差
§ （2）t检验 § 检验统计量t的计算公式为，
t b0 Sb
§ 其中Sb为回归系数的标准误，
Sb
SYX l XX
§ 3.回归分析的统计预测 § 所谓预测就是将预报因子（自变量）代入回归
方程对预报量进行估计。
§ （1）总体均数的置信区间
§ 2.线性相关系数（ Pearson积矩相关系数） 线性相关，又称简单相关，用来定量描述两个变 量间线性关系密切程度和相关方向的统计指标 ，适用于二元正态分布资料。
相关系数的计算公式为：
r (X X )(Y Y ) ( X X )2 (Y Y )2
§ 相关系数的统计检验是计算t统计量，计算公式 为：
§ （6）分层资料盲目合并时易出现假象。
分析实例
§ 对某省9个地区水质的碘含量及其甲状腺肿的患 病率作调查后得到一组数据，如图所示，试分 析不同地区的甲状腺肿的患病率高低与本地区 水质的碘含量有无关联？数据文件见例13-1.sav 。
§利用散点图观察两变量之间有无相关趋势。
1.操作步骤与界面说明
§ 距离分析可以计算距离测量指标或者相似性测 量指标 。
§ 1.距离测量指标
§ （1）区间变量（连续变量）：默认为Euclidean 距离（欧氏距离） ；有Euclidean距离 、平方 Euclidean距离 、块等。
§ （2）计数变量：默认为卡方统计量测量度量。
§ （3）二分类变量：默认为Euclidean距离 ；有 Euclidean距离 、平方Euclidean距离 、尺度差 分、模式差别、方差等。
§ （6）完全相关：相关系数的绝对值为1，分为完全正相 关和完全负相关。
13.1.2 相关系数的计算
§ 1.相关系数基本思想 相关分析往往考察的是两个连续变量的相关关 系，对任何类型的变量，都可以使用相应的指 标进行相关关系的考察。
统计学中，一般用样本相关系数r来推断总体相 关系数ρ。 对于反映有序变量或连续变量间关联程度的参 数，取值范围r为－1～1，r＞0为正相关，r＜0 为负相关，r＝0为零相关。
r
( X X )(Y Y ) lXY
( X X )2 (Y Y )2 lXX lYY
§ 相关系数的特点：
§ （1）相关系数r是一个无单位的量值，其取值范 围为－1≤ r ≤1。
§ （2）r值为正表示正相关；r值为负表示负相关 ；r值等于0为零相关。
§ （3）相关系数的绝对值越接近于1，表示两变 量间的相关关系的密切程度越高；越接近于0， 则表示相关程度越不密切。
如下为对模型进行方差分析的结果，F=115.136 ，P=0.000，提示模型具有统计学意义。
a=17.484，b=4.459，回归方程为：
患病ˆ 率 17.484 4.459 碘含量
13.5.3 相关与回归分析的区别与联系
§ 1．区别
§ （1）资料要求：相关分析要求两个变量为均服 从双变量正态分布的随机变量。回归分析要求 应变量服从正态分布，而自变量可以是正态分 布的随机变量，也可以是能精确测量和严格控 制的变量。
§ 2.相似性测量指标 § 分为计量资料和二分类资料
分析实例
§ 有10名学生参加测试，检测了7个指标，分别用 变量X1---X7表示，对其进行距离测量，看看哪 几个距离比较接近，如图所示。数据见“133.sav”。
1.操作步骤与界面说明
单击度量按钮，弹出下图所示的对话框，单击转换栏 的下拉列表，选则Z得分，单击继续后返回。
§ 依次单击菜单“分析”|“相关”|“双变量…”命令 。
§ 2.结果解释
§ （1）描述性输出。“描述性统计量”表格给出 了两个变量的基本统计信息，包括均值和标准 差。
§ （2）相关性输出。“相关性”表格给出了 Pearson 相关系数及其检验结果。可以推断出 碘含量与甲状腺肿之间存在着明显的正相关。
§ （2）要求ห้องสมุดไป่ตู้
§ ①因变量Y与自变量X呈线性（linear）关系。
§ ②每个个体观察值之间相互独立(independent) 。
§ ③应变量Y属于正态随机变量（normal distribution）。
§ ④在一定范围内，不同的X值所对应的随机变量 Y的方差相等（equal variance）。
§ 2.计算和检验
t r0 Sr
r 1 r2 n2
§ t统计量服从自由度为n－2的t分布。
§ 3.Spearman等级相关系数 § Spearman等级相关系数相当于Pearson相关系
数的非参数形式，它是根据各数据的排序名次 进行计算，取值范围也在―1～1之间。
§ 适用于那些不满足正态分布的资料、总体分布 未知的资料和等级资料。
§THE END
§ 可对总体均数进行置信区间的估计，该范围在 散点图上表现为一个二维空间的弧形区带，也 称回归直线的置信带。
§ 相应的总体均数的（ 1 ）置信区间为：
YˆP t / 2,n2 SYˆP
§ （2）个体Y值的预测区间
§ 个体Y值的预测区间为： YˆP t / 2,n2 SY X P 。
§ 该区间是比总体回归置信带更远离的两条弧形 曲线，以95%的区间为例，表示的是期望有 95%的数据点所落入的范围。
§
§ r12(3) 就是在控制了第三个因素的影响下所计算的第一
个、 第二个因素之间的偏相关系数。
分析实例
§ 研究者测量得到20名男童身高X（cm）、体重 Y(kg)、肺活量Z(L)的数据如图所示，试对控制 身高后的体重与肺活量之间的关系进行研究。 数据文件见例13-2.sav。
1.操作步骤与界面说明
§ （4）|r|＝1，为完全相关。此种情况很少见。
§ 2.相关系数的检验方法
§ 常用的检验方法：
§ （1）直接查相关系数临界值表，比较︱r︱与临界值， 统计量绝对值越大，概率P越小；统计量绝对值越小， 概率P越大。
§ （2）t检验
§ H0为=0，H1为≠0，统计量t值为：
t r0 Sr
r 1 r2 n2
§ rs的计算公式为：
6 d 2
rs 1 n(n2 1)
§ 4.Kendall等级相关系数
§ Kendall等级相关系数是对两个有序变量或两个 秩变量之间相关程度的度量统计量，属于非参 数统计范畴，它在计算时考虑了结点（秩相同 的点）的影响。
§ Kendall Tau-b，它利用变量值的秩数据，计算
§ 3.积矩相关系数应注意的问题
§ （1）散点图可以直观地判断两变量间是否具有线性关 系。
§ （2）积矩相关系数要求两变量符合双变量正态分布。 § （3）作相关分析时，应该剔除离群值。 § （4）相关分析要有实际意义，两变量相关并不代表两
变量间一定存在内在联系。
§ （5）样本的相关系数为0时，并不意味着两变量一定无 相关性。
分析实例
1.操作步骤与界面说明
§ 2.结果解释
§ 下图所示是对模型中各个自变量纳入模型情况 进行的汇总，由表可见，只有一个自变量，变 量选择的方法为强行进入法，也就是将所有的 自变量都放入模型中。
如下是对回归方程拟合情况的描述，可知相关系数
的取值（R），相关系数的平方即决定系数，校正后 的决定系数和回归系数的标准误。
§ （3）非线性相关：X、Y之间没有明显的线性关系，却 存在着某种非线性关系，说明X仍是影响Y的因素。
§ （4）秩相关：也称等级相关，对原变量的分布不作要 求，属于非参数统计方法。
§ （5）正相关与负相关：两变量X、Y同增或同减，变化 趋势同向，称为正相关，两变量一增一减，变化趋势反 向，称为负相关。
§ （3）“距离相关”过程：此过程可对同一变量 内部各观察单位间的数值或各个不同变量进行 相似性或不相似性距离分析 。
13.2 双变量相关
§ 原理
§ 1.系数计算 § Pearson相关系数（积矩相关系数）就是人们定
量地描述线性相关程度好坏的一个统计指标。 样本的相关系数用r表示，总体相关系数用ρ表示 。相关系数的计算公式为：
2.结果解释
§ （1）案例处理摘要。给出了数据使用的基本情 况，主要是对于有无缺失值的统计信息，本例 无缺失，全部用于分析。
§ （2）近似矩阵，给出各变量之间的相似矩阵。
13.5 简单回归分析
§ 原理
§ 1.概念与要求 § （1）概念
§ 线性回归（linear regression）是分析两个定量 变量间数量依存关系的统计分析方法。如果某 一个变量随着另一个变量的变化而变化，并且 它们的变化关系呈直线趋势，就可以用直线回 归方程来定量地描述它们之间的数量依存关系 ，这就是线性回归分析。
IBM-SPSS
第13章 简单线性回归与相关
13.1 相关分析简介
§ 13.1.1 基本概念 § 13.1.2 相关系数的计算 § 13.1.3 SPSS中的相应功能
13.1.1 基本概念
§ （1）线性相关：最简单的一种关联。
§ （2）曲线相关：两变量之间存在相关趋势，但并非呈 线性，而是一曲线。
§ Spearman等级相关系数
§ 结果显示，Spearman相关系数为0.979， P<0.01，在α=0.05的水平上是拒绝原假设的， 结论同前。
§ Kendall 等级相关系数