北京师范大学附属中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

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2017-2018学年北京师范大学附属中学下学期高二年级期中考试数学(理科)试题-解析版

绝密★启用前北京师范大学附属中学2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学（理科）试题第I卷（选择题）一、单选题1．已知i为虚数单位，复数在复平面上对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：根据除法运算将复数化为代数形式，得到复数对应的点后可得结论．详解：，所以复数对应的点为，位于第一象限．故选A．点睛：由复数的几何意义可得，复数、复平面内的点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可根据向量的知识来理解复数运算的几何意义．2．若直线（t为参数）的倾斜角为α，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由直线的参数方程中参数的系数的意义可得，进而可得的值．详解：∵直线的参数方程为（t为参数）∴，∴．故选C ．点睛：本题考查直线的参数方程中参数系数的意义，主要考查学生的理解能力，属于容易题．3．已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的虚轴长为2，焦距为近线方程为（）A. y =B. 2y x =±C. 2y x =± D. 12y x =±【答案】C【解析】由题意知∴2=c 2-b 2∴渐近线方程为y=±ba 2x.故选C.视频 4．计算定积分()12xex dx +=⎰ ( )A. 1B. e-1C. eD. e+1【答案】C【解析】试题分析： ()()121002|11xx ex dx e x e e +=+=+-=⎰，故选：C ．考点：定积分． 5．下面为函数的递增区间的是 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：求出导函数，根据导函数的符号判断即可．详解：∵， ∴，∴当时，单调递增，∴函数的递增区间的是．故选B ．点睛：解题时注意单调性与导函数符号间的关系，即当时，函数在相应区间上单调递增（减），但反之不成立．同时解题时还要注意三角函数值的符号，可借助三角函数的图象来判定．6．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=则直线l 被圆C 截得的弦长为（）A ．142 C ．2 D ．22 【答案】D【解析】试题分析：直线的普通方程为40x y --=，圆的直角坐标方程为()2224x y -+=，圆心到直线的距离d ==2222l d r l ⎛⎫+=∴= ⎪⎝⎭考点：1．参数方程化普通方程；2．极坐标与直角坐标的转化；3．直线与圆相交的弦长问题7．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA 1=2，点G 与E 分别是A 1B 1和CC 1的中点，点D 与F 分别是AC 和AB 上的动点．若GD ⊥EF ，则线段DF 长度的最小值为 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：建立空间直角坐标系，设出点F,D 的坐标，求出向量,，利用GD ⊥EF求得关系式，然后可得到DF 长度的表达式，最后利用二次函数求最值．详解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0),E (0,2,1),G (1,0,2),F (x ,0,0),D (0,y ,0)，则,，由于GD⊥EF，所以，所以，故，所以当时，线段DF长度取得最小值，且最小值为．故选A．点睛：建立空间直角坐标系后，可将立体几何问题转化为数的运算的问题来处理，解题时要注意建立的坐标系要合理，尽量多地把已知点放在坐标轴上，同时求点的坐标时要准确．8．已知函数的图象关于点(-1，0)对称，且当x∈(-∞，0)时，成立，(其中f′(x)是f(x)的导数）；若, ，，则a，b，c的大小关系是（）A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. c>b>a【答案】B【解析】分析：令，则，可得在(∞，0)上单调递增．由函数的图象关于点(1，0)对称，可得函数的图象关于点(，0)对称，故函数为奇函数，所以函数为偶函数，且在(∞，0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．由于，可得．详解：令，则，∴当x∈(∞，0)时，函数单调递增．∵函数的图象关于点(1，0)对称，∴函数的图象关于点(，0)对称，∴函数为奇函数，∴函数为偶函数，且在(∞，0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．又，，∴．故选B．点睛：（1）本题考查函数性质的综合运用，解题时要认真分析题意，从中得到函数的相关性质．（2）解题时注意偶函数性质的运用，即若函数为偶函数，则，运用这一性质可将问题转化到同一单调区间上研究．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．若复数z满足，其中i为虚数单位，则|z|=____________．【答案】【解析】分析：先求得复数z，再求|z|．详解：∵，∴，∴．点睛：本题考查复数的乘法运算和复数的模，解题的关键是正确得到复数，然后再根据模的定义求解．10．在极坐标系中，极点到直线的距离是________．【答案】【解析】分析：将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据点到直线的距离公式求解．详解：由题意得，整理得，把代入上式可得，故直线的直角坐标方程为，所以所求距离为．故极点到直线的距离是．点睛：解题的关键是把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，其中要注意转化公式的合理利用．11．如图，圆222:O x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是______________．【答案】π34【解析】3003y sinx x M S 2sinxdx 2cosx |4O A A M P 4/B ππππ==⎰=-==解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为正弦曲线与轴围成的区域记为，根据图形的对称性得：面积为，由几何概率的计算公式可得，随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率故选．12．设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为_____．【答案】【解析】试题分析：对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝(x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为(1，1)．考点：导数的几何意义．视频 13．已知函数在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线在点(1，0)处相切，则函数f(x)的表达式为________________。

北京市北京师范大学附属中学2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题(含解析)

状元考前提醒拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。

答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。

先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。

2. 先小后大。

先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。

3. 先局部后整体。

把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。

立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。

中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。

确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。

不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。

试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。

要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。

考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。

检查后的涂改方式要讲究发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。

如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。

有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。

考试期间遇到这些事，莫慌乱！北京市北京师范大学附属中学2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题。

1.已知条件p:x >2,条件q:x >0,则p 是q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况确定正确选项.【详解】由于p q ⇒，q p ¿所以p 是q 的充分不必要条件，故选A. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.2.“a b =是“直线y x =+与圆22()()1x a y b -+-=相切的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据直线和圆相切的等价条件求出a ，b 的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若直线y x =与圆22()()1x a y b -+-=，则圆心(),a b到直线0x y -+=得距离1d ==，即a b -+=a b -+=a b -+=即0a b -=或a b -=-即a b =是“直线y x =与圆22()()1x a y b -+-=相切的充分不必要条件，故选：A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．3.设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可．【详解】∵a ，b ∈（1，+∞）， ∴a ＞b ⇒log a b ＜1， log a b ＜1⇒a ＞b ，∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件，故选：C ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．4.设m R ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A. 0m > B. 1m >C. 2m >D. 2m ≥【答案】C 【解析】【分析】根据基本不等式的性质，结合充分不必要条件的定义进行判断即可．【详解】当m ＜0时，不等式m+4m＞4不成立，当m ＞0时，m+4m ，当且仅当m=4m ，即m=2时，取等号， A ．当m=2时，满足m ＞0，但不等式m+4m＞4不成立，不是充分条件，B ．当m=2时，满足m ＞1，但不等式m+4m＞4不成立，不是充分条件， C ．当m ＞2时，不等式m+4m＞4成立，反之不一定成立，是充分不必要条件，满足条件． D ．当m=2时，满足m ≥2，但不等式m+4m＞4不成立，不是充分条件，故选：C ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据基本不等式的性质是解决本题的关键．5.若集合{}{}20,,1,2A m B ==则“1m =”是“{0,1,2}A B =U ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由题得{0,1,2A B ⋃=}所以1m =±，所以“1m =”是“{}0,1,2A B ⋃=”的充分不必要条件，选A.6.设m α⊂，α，β是两个不同的平面，则“αβ∥”是“m βP ”的（）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】若m α⊂，αβ∥，则m βP ；反之，若m α⊂，m βP ，则αβ∥或α与β相交．所以“αβ∥”是“m βP ”的充分不必要条件．选A ．7.已知(1,1)a x =-，(1,3)b x =+，则2x =是//a b 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】已知()1,1a x =-，()1,3b x =+。

北京市首师大附中2017-2018学年高二下学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年北京市首师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=（a2﹣1）+（a+1）i，若z是纯虚数，则实数a等于（）A．2 B．1 C．±1 D．﹣12．已知圆的极坐标方程是ρ=2cosθ，那么该圆的直角坐标方程是（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．x2+（y﹣1）2=1 C．（x+1）2+y2=1 D．x2+y2=23．双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．4x±9y=0 B．9x±4y=0 C．3x±2y=0 D．2x±3y=04．已知sin（）=，那么sin2x的值为（）A．B．C．D．5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为．其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）A．B．C．8cm2 D．4cm26．（sinx+acosx）dx=2，则实数a等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．7．如果存在正整数ω和实数φ使得函数f（x）=cos2（ωx+φ）（ω，φ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1，0）），那么ω的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥③存在点D，使CD与AB垂直并且相等④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．③D．③④二、填空题（共6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．复数=______．10．各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为______，S4的值为______．11．已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB=3，则切线AD的长为______．12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数）和直线l：3x+4y﹣10=0，则直线l与圆C相交所得的弦长等于______．13．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在x轴上方），=______．14．已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n=1，2，3，…，有a n=，+1为奇数的正整数，当a1=11时，a2016=______；若存在m∈N*，当n＞m且a n 其中k为使a n+1为奇数时，a n恒为常数p，则p的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos=．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若a=3，b=2，求c的值．16．等差数列{a n}中，a1=3，前n项和为S n，等比数列{b n}各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，{b n}的公比．（1）求a n与b n．（2）证明：小于．17．在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求证：BD⊥EG；（Ⅲ）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．18．已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（即三角形三条高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．19．已知函数f（x）=lnx+（a＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）P（x0，y0）是曲线y=f（x）上的任意一点，若以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；（3）若关于x的方程=f（x）+在区间（0，e）上有两个不相等的实根，求实数b的取值范围．20．现有一组互不相同且从小到大排列的数据：a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0，为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记T=a0+a1+…+a5，x n=，y n=（a0+a1+…+a n），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点P n（x n，y n）（n=0，1，2，…，5）的折线．（I）求f（0）和f（1）的值；P n的斜率为k n（n=1，2，3，4，5），判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；（II）设P n﹣1（III）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．2017-2018学年北京市首师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=（a2﹣1）+（a+1）i，若z是纯虚数，则实数a等于（）A．2 B．1 C．±1 D．﹣1【考点】复数的基本概念．【分析】由纯虚数的概念知实部为零，虚数不为零求解．【解答】解：∵z=（a2﹣1）+（a+1）i，又∵z是纯虚数∴得a=1故选B2．已知圆的极坐标方程是ρ=2cosθ，那么该圆的直角坐标方程是（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．x2+（y﹣1）2=1 C．（x+1）2+y2=1 D．x2+y2=2【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】利用x=ρcosθ，ρ2=x2+y2，将曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，两边同乘ρ，化成直角坐标方程．【解答】解：曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，所以ρ2=2ρcosθ，它的直角坐标方程是：x2+y2=2x，即：（x﹣1）2+y2=1．故选A．3．双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．4x±9y=0 B．9x±4y=0 C．3x±2y=0 D．2x±3y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】把曲线的方程化为标准方程，求出a和b的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．【解答】解：∵双曲线﹣=1，∴a=2，b=3，焦点在x轴上，故渐近线方程为y=±x=±x，即3x±2y=0．故选：C．4．已知sin（）=，那么sin2x的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【分析】利用诱导公式把要求的式子化为cos（2x﹣），再利用二倍角公式求得它的值．【解答】解：∵已知sin（）=，∴sin2x=cos（2x﹣）=1﹣2 =1﹣2×=，故选B．5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为．其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）A．B．C．8cm2 D．4cm2【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由已知可求出正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，故左视图是长方形，长为，宽为2，由此能求出左视图的面积．【解答】解：设正六棱柱的底面边长和侧棱长均为a，则体积V=Sh=6×=，解得a=2，故左视图是长方形，长为，宽为2，面积为×2=故选A6．（sinx+acosx）dx=2，则实数a等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．【考点】定积分．【分析】根据定积分的定义，找出三角函数的原函数进行代入计算，根据等式=2，列出关于a的方程，从而求解．【解答】解：∵=2，∴==（﹣cosx）+（asinx）=0﹣（﹣1）+a=2，∴a=1，故选B．7．如果存在正整数ω和实数φ使得函数f（x）=cos2（ωx+φ）（ω，φ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1，0）），那么ω的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】化简函数的表达式为一个角的三角函数的形式，通过周期的范围，确定ω的范围，利用图象经过点（1，0），以及，缩小ω的范围，根据ω为整数，求出ω的值．【解答】解：由f（x）=cos2（ωx+φ）=及图象知：函数的半周期在（，1）之间，即得，正整数ω=2或3；由图象经过点（1，0），所以知2ω+2ϕ=（2k+1）π（k∈Z），2ω=﹣2ϕ+（2k+1）π由图象知，即，得cos2ω＜0，又ω为正整数，所以ω=2，故选B8．如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥③存在点D，使CD与AB垂直并且相等④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．③D．③④【考点】棱锥的结构特征．【分析】对于①可构造四棱锥CABD与四面体OABC一样进行判定；对于②，使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；对于③取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，对于④先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r，可判定④的真假．【解答】解：∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，∴AC=BC=，AB=当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥，故②不正确；取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故③正确；先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故④正确故选D二、填空题（共6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．复数=﹣1+i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】结合=i，i2=﹣1，结合复数代数形式的混合运算的运算法则，易化简复数式，得到管好．【解答】解：==i•（1+i）=﹣1+i故答案为：﹣1+i10．各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为，S4的值为．【考点】等比数列的前n项和．【分析】经分析等比数列为非常数列，设出等比数列的公比，有给出的条件列方程组求出a1和q的值，则S4的值可求．【解答】解：若等比数列的公比等于1，由a3=2，则S4=4a3=4×2=8，5S2=5×2S3=5×2×2=20，与题意不符．设等比数列的公比为q（q≠1），由a3=2，S4=5S2，得：，整理得，解得，q=±2．因为数列{a n}的各项均为正数，所以q=2．则．故答案为；．11．已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB=3，则切线AD的长为．【考点】圆的切线的性质定理的证明．【分析】由已知中圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为2，由半径长、弦心距、半弦长构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出BC的长，进而求出AC长，由切割线定理，得到切线AD的长．【解答】解：∵圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为2∴BC=2=2又∵AB=3，∴AC=5又∵AD为圆O的切线ABC为圆O的割线由切割线定理得：AD2=AB•AC=3×5=15∴AD=12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数）和直线l：3x+4y﹣10=0，则直线l与圆C相交所得的弦长等于4．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】由题意将圆C化为一般方程坐标，然后再计算直线l与圆C相交所得的弦长．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），∴（x+1）2+（y﹣2）2=25，∴圆心为（﹣1，2），半径为5，∵直线l的方程为：3x+4y﹣10=0，∴圆心到直线l的距离d==1，∴直线l与圆C相交所得的弦长L=2×=4．故答案为：4．13．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在x轴上方），=3．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设出A、B坐标，利用抛物线焦半径公式求出|AB|，结合抛物线的性质，求出A、B的坐标，然后求比值即可．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，又，可得，则，故答案为：3．=，14．已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n=1，2，3，…，有a n+1其中k为使a n为奇数的正整数，当a1=11时，a2016=98；若存在m∈N*，当n＞m且a n +1为奇数时，a n恒为常数p，则p的值为1或5．【考点】数列的应用．【分析】由题设分别求出a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，仔细观察能够发现{a n }从第3项开始是周期为6的周期数列，故a 2016=a 6=98，当n ＞m 且a n 为奇数时，a n 恒为常数p ，知a n =p ，a n +1=3p +5，a n +2=，再由数列{a n }的各项均为正整数，能求出p ．【解答】解：由题设知，a 1=11， a 2=3×11+5=38， a 3==19，a 4=3×19+5=62， a 5==31，a 6=3×31+5=98， a 7=49，a 8=3×49+5=152， a 9==19，∴{a n }从第3项开始是周期为6的周期数列， a 2016=a 6=98，若存在m ∈N *，当n ＞m 且a n 为奇数时，a n 恒为常数p ，则a n =p ，a n +1=3p +5，a n +2=，∴（3﹣2k ）p=﹣5，∵数列{a n }的各项均为正整数， ∴当k=2时，p=5，当k=3时，p=1．故答案为：98，1或5．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos =．（Ⅰ）求cosB 的值；（Ⅱ）若a=3，b=2，求c 的值．【考点】余弦定理；二倍角的余弦．【分析】（I ）根据，结合cosB=1﹣2sin 2，可求cosB 的值；（II 由余弦定理可得c 的值．【解答】解：（I ）∵，∴，∴sin =∴cosB=1﹣2sin 2=；（II ）∵a=3，b=2，cosB=∴由余弦定理可得8=9+c 2﹣2c∴c2﹣2c+1=0∴c=1．16．等差数列{a n}中，a1=3，前n项和为S n，等比数列{b n}各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，{b n}的公比．（1）求a n与b n．（2）证明：小于．【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【分析】本题考查的是数列与不等式的综合问题．在解答时：（1）利用b2+S2=12和数列{b n}的公比．即可列出方程组求的q、a2的值，进而获得问题的解答；（2）首先利用等差数列的前n项和公式计算出数列的前n项和，然后利用放缩法即可获得问题的解答．【解答】解：（I）由已知可得．解得，q=3或q=﹣4（舍去），a2=6∴a n=3+（n﹣1）3=3n∴b n=3n﹣1（2）证明：∵∴∴==∵n≥1∴0＜∴故．17．在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求证：BD⊥EG；（Ⅲ）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）先证明四边形ADGB是平行四边形，可得AB∥DG，从而证明AB∥平面DEG．（Ⅱ）过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE，DH⊥EG，再证BH⊥EG，从而可证EG⊥平面BHD，故BD⊥EG．（Ⅲ）分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，由已知得是平面EFDA的法向量．求出平面DCF的法向量为n=（x，y，z），则由求得二面角C﹣DF﹣E的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC．又∵BC=2AD，G是BC的中点，∴，∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG．∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，∴AB∥平面DEG．（Ⅱ）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF⊂平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．∵EG⊂平面BCFE，∴DH⊥EG．∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，∴EH=AD=2，∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG．又BH∩DH=H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，∴EG⊥平面BHD．∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG．（Ⅲ）分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，由已知得是平面EFDA的法向量．设平面DCF的法向量为n=（x，y，z），∵，∴，即，令z=1，得n=（﹣1，2，1）．设二面角C﹣DF﹣E的大小为θ，则，∴二面角C﹣DF﹣E的余弦值为．18．已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（即三角形三条高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得c=b=1，，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），于是设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，运用韦达定理，结合垂心的定义和向量垂直的条件，化简整理计算即可得到所求直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得c=b=1，，故椭圆方程为．（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为M（0，1），F（1，0），故k PQ=1．于是设直线l的方程为y=x+m，由得3x2+4mx+2m2﹣2=0．由△＞0，得m2＜3，且，．由题意应有，又，故x1（x2﹣1）+y2（y1﹣1）=0，得x1（x2﹣1）+（x2+m）（x1+m﹣1）=0．即．整理得．解得或m=1．经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去m=1．当时，所求直线l存在，且直线l的方程为．19．已知函数f（x）=lnx+（a＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）P（x0，y0）是曲线y=f（x）上的任意一点，若以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；（3）若关于x的方程=f（x）+在区间（0，e）上有两个不相等的实根，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出原函数的定义域，求出函数的导函数，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数的符号得原函数的单调区间；（2）把原函数求导后直接得到斜率的表达式，代入k≤后把参数a分离出来，然后利用二次函数求最值得到实数a的最小值；（3）把f（x）=lnx+代入方程=f（x）+，整理后得b=lnx﹣x2+，讨论原方程的根的情况，引入辅助函数h（x）=lnx﹣x2﹣b+，求导得到函数在（0，+∞）上的最大值，由最大值大于0，等于0，小于0分析b的取值情况．【解答】解：（1）函数f（x）=lnx+（a＞0）的定义域为（0，+∞），则f′（x）=﹣=，因为a＞0，由f′（x）＞0得x∈（a，+∞），由f′（x）＜0得x∈（0，a），所以f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．（2）由题意，以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k满足k=f′（x0）=≤（x0＞0），所以a≥﹣x02+x0对x0＞0恒成立．又当x0＞0时，﹣x02+x0=﹣（x0﹣1）2+≤，所以a的最小值为．（3）由=f（x）+，化简得b=lnx﹣x2+，（x∈（0，+∞））．令h（x）=lnx﹣x2+，则h′（x）=﹣x=，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，所以h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．所以h（x）在x=1处取得极大值即最大值，最大值为h（1）=ln1﹣×12﹣b+=﹣b．故当﹣b＞0，即b＜0时，y=h（x）的图象与x轴恰有两个交点，方程=f（x）+有两个实根，当b=0时，y=h（x）的图象与x轴恰有一个交点，方程=f（x）+有一个实根，当b＞0时，y=h（x）的图象与x轴无交点，方程=f（x）+无实根．20．现有一组互不相同且从小到大排列的数据：a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0，为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记T=a0+a1+…+a5，x n=，y n=（a0+a1+…+a n），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点P n（x n，y n）（n=0，1，2，…，5）的折线．（I）求f（0）和f（1）的值；P n的斜率为k n（n=1，2，3，4，5），判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；（II）设P n﹣1（III）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．【考点】数列与解析几何的综合．【分析】（I）直接根据定义即可得到f（0）和f（1）的值；（II）先根据两点式写出直线的斜率，再根据a0，a1，a2，a3，a4，a5，是按从小到大的顺序排列即可得到结论；（III）由于f（x）的图象是连接各点P n（x n，y n）（n=0，1，…，5）的折线，把问题转化为证明f（x n）＜x n（n=1，2，3，4）；再对f（x）的表达式进行放缩即可得到结论．【解答】解：（I）解：f（0）==0，f（1）==1．（II）解：k n=，n=1，2， (5)因为a1＜a2＜a3＜a4＜a5，所以k1＜k2＜k3＜k4＜k5．（III）证明：由于f（x）的图象是连接各点P n（x n，y n）（n=0，1，…，5）的折线，要证明f（x）＜x（0＜x＜1），只需证明f（x n）＜x n（n=1，2，3，4）．事实上，当x∈（x n﹣1，x n）时，f（x）=（x﹣x n﹣1）+f（x n﹣1）=f（x n﹣1）+f（x n）＜+=x．下面证明f（x n）＜x n．对任何n（n=1，2，3，4），5（a1+…+a n）=[n+（5﹣n）]（a1+…+a n）=n（a1+…+a n）+（5﹣n）（a1+…+a n）≤n（a1+…+a n）+（5﹣n）na n=n[a1+…+a n+（5﹣n）a n]＜n（a1+…+a n+a n+1+…+a5）=nT．所以f（x n）=＜=x n．2016年9月29日。

北京市北京师范大学附属中学2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题(含解析)

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1.已知条件p:x >2,条件q:x >0,则p 是q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况确定正确选项.【详解】由于p q ⇒，q p ¿所以p 是q 的充分不必要条件，故选A. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.2.“a b =是“直线y x =+与圆22()()1x a y b -+-=相切的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据直线和圆相切的等价条件求出a ，b 的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若直线y x =与圆22()()1x a y b -+-=，则圆心(),a b到直线0x y -+=得距离1d ==，即a b -+=a b -+=a b -+=即0a b -=或a b -=-即a b =是“直线y x =与圆22()()1x a y b -+-=相切的充分不必要条件，故选：A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．3.设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可．【详解】∵a ，b ∈（1，+∞）， ∴a ＞b ⇒log a b ＜1， log a b ＜1⇒a ＞b ，∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件，故选：C ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．4.设m R ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A. 0m > B. 1m >C. 2m >D. 2m ≥【答案】C 【解析】【分析】根据基本不等式的性质，结合充分不必要条件的定义进行判断即可．【详解】当m ＜0时，不等式m+4m＞4不成立，当m ＞0时，m+4m ，当且仅当m=4m ，即m=2时，取等号，A ．当m=2时，满足m ＞0，但不等式m+4m ＞4不成立，不是充分条件， B ．当m=2时，满足m ＞1，但不等式m+4m＞4不成立，不是充分条件，C ．当m ＞2时，不等式m+4m＞4成立，反之不一定成立，是充分不必要条件，满足条件．D ．当m=2时，满足m ≥2，但不等式m+4m＞4不成立，不是充分条件，故选：C ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据基本不等式的性质是解决本题的关键．5.若集合{}{}20,,1,2A m B ==则“1m =”是“{0,1,2}A B =U ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由题得{0,1,2A B ⋃=}所以1m =±，所以“1m =”是“{}0,1,2A B ⋃=”的充分不必要条件，选A.6.设m α⊂，α，β是两个不同的平面，则“αβ∥”是“m βP ”的（）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】若m α⊂，αβ∥，则m βP ；反之，若m α⊂，m βP ，则αβ∥或α与β相交．所以“αβ∥”是“m βP ”的充分不必要条件．选A ．7.已知(1,1)a x =-，(1,3)b x =+，则2x =是//a b 的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】已知()1,1a x =-，()1,3b x =+。

20172018年北京市首都师大附中高二期末理(解析版)

试题解析：〔Ⅰ〕过点作，交于 ,连接 ,
因为，所以．
又，，所以．
所以为平行四边形,所以．
又平面，平面 ,〔一个都没写的，那么这1分不给〕
所以平面．
〔Ⅱ〕因为梯形中，， ,所以．
因为平面，所以 ,
如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系,
所以．
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为 ,
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I卷〔选择题〕
一、单项选择题
1．对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调查,画出如下频率分布直方图.根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过80km/h的概率
A.75，0.25B.80，0.35C.77.5，0.25D.77.5，0.35
作出三棱锥P−ABC的直观图如下图，过A作AD⊥BC，垂足为D，连结PD.
由三视图可知PA⊥平面ABC，
BD=AD=1,CD=PA=2,∴ .
∴ ，
.
∴三棱锥P−ABC的四个面中，侧面PBC的面积最大 .
应选C.
点睛：思考三视图复原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等〞的根本原那么，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
故答案为③④.
14．①③
【解析】直线与轴的交点分别为，，点到直线的距离 .
对于①，，，故①正确；
对于②，当时，，，那么，即，故②错误；
对于③，，那么，当且仅当时取等号，那么，故③正或 .
【解析】试题分析：〔Ⅰ〕由折线图求出样本中体育成绩大于或等于70分的学生人数，由此能求出该校高一年级学生中，“体育良好〞的学生人数；〔Ⅱ〕设“至少有1人体育成绩在[60，70〕〞为事件，由对立事件概率计算公式能求出至少有1人体育成绩在[60，70〕的概率；〔Ⅲ〕由题意，能写出数据的方差最小时，的值．

2017-2018学年北京市首都师大附中高二(下)期末数学试卷(理科)

2017-2018学年北京市首都师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．（5分）复数=（）A．B．C．D．2．（5分）在极坐标系下，已知圆C的方程为ρ=2cosθ，则下列各点在圆C上的是（）A．B．C．D．3．（5分）直线y=2x+3与抛物线y=x2所围成的弓形面积是（）A．20 B．C．D．4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．15．（5分）用数学归纳法证明：1+++…+＜n（n∈N*，n≥2）时，第二步证明由“k到k+1”时，左端增加的项数是（）A．2k﹣1B．2k C．2k﹣1 D．2k+16．（5分）如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f（x）相切于两点，则F（x）=f（x）﹣kx有（）A．1个极大值点，2个极小值点B．2个极大值点，1个极小值点C．3个极大值点，无极小值点D．3个极小值点，无极大值点7．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．98．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）向量对应的复数为1+4i，向量对应的复数为﹣3+6i，则向量对应的复数为．10．（5分）如图的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．从成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名，恰有2名学生在乙组的概率为．11．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与直线y=x无交点，则离心率e的取值范围是．12．（5分）如图给出一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为a ij（i ≥j，i，j∈N*），则a53等于，a mn=（m≥3）．13．（5分）表达式1+中“…”即代表无限次重复，它可以通过方程1+=x，求得x=．类似上述过程，则=．14．（5分）设函数y=f（x）图象上在不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线斜率分别是k A，k B，规定φ（A，B）=（|AB|为A与B之间的距离）叫作曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”．若函数y=x2图象上两点A与B的横坐标分别为0，1，则φ（A，B）=；设A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=e x上两点，且x1﹣x2=1，若m•φ（A，B）＜1恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题.本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45，a2+a6=14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：+1（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．16．（12分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．17．（14分）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）求BC与平面EAC所成角的正弦值；（Ⅲ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．18．（14分）已知函数f（x）=x2﹣alnx（a＞0）．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．19．（14分）已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且抛物线的焦点是椭圆M的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点．求点O到直线l的距离的最小值．20．（13分）设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n=0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=1．（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）若某2k+1（k∈N*）阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（Ⅲ）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k=1，2，3，…，n），试证：（1）；（2）．2017-2018学年北京市首都师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．（5分）复数=（）A．B．C．D．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：===﹣．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2．（5分）在极坐标系下，已知圆C的方程为ρ=2cosθ，则下列各点在圆C上的是（）A．B．C．D．【分析】把各个点的坐标（ρ，θ）代入圆的方程进行检验，若点的坐标满足方程，则此点在圆上，否则，此点不在圆上．【解答】解：把各个点的坐标（ρ，θ）代入圆的方程进行检验，∵1=2cos（﹣），∴选项A中的点的坐标满足圆C的方程．∵1≠2cos（），∴选项B 中的点的坐标不满足圆C的方程．∵≠2cos，∴选项C中的点的坐标不满足圆C的方程．∵≠2cos，∴选项D中的点的坐标不满足圆C的方程．综上，只有选项A中的点的坐标满足圆C的方程为ρ=2cosθ，故选：A．【点评】本题考查圆的极坐标方程的特征，以及判断一个点是否在圆上的方法，就是把此点的坐标代入圆的方程，若点的坐标满足方程，则此点在圆上，否则，此点不在圆上．3．（5分）直线y=2x+3与抛物线y=x2所围成的弓形面积是（）A．20 B．C．D．【分析】先求出直线y=2x+3与抛物线y=x2的交点坐标，从而得到积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后根据定积分的定义求出即可．【解答】解：解得直线y=2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为：（﹣1，1）（3，9）∴直线y=2x+3与抛物线y=x2所围成的弓形面积S=∫（2x+3﹣x2）dx=（x2+3x ﹣）|=（9+9﹣9）﹣（1﹣3+）=故选：C．【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及会利用定积分求图形面积的能力．属于基础题．4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．1【分析】由几何体的三视图得到该几何体的直观图，由此能求出结果．【解答】解：由几何体的三视图得到该几何体是如图所求的三棱锥S﹣ABC，∴此几何体的体积为：V==．故选：A．【点评】本题考查三棱锥的三视图的识别，三棱锥的体积，平常在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的，以及它们的三视图的画法．5．（5分）用数学归纳法证明：1+++…+＜n（n∈N*，n≥2）时，第二步证明由“k到k+1”时，左端增加的项数是（）A．2k﹣1B．2k C．2k﹣1 D．2k+1【分析】分别计算n=k和n=k+1时不等式的左边项数，从而得出答案．【解答】解：当n=k时，不等式左边为1++…+，共有2k﹣1项，当n=k+1时，不等式左边1++…+，共有2k+1﹣1项，∴增加的项数为2k+1﹣2k=2k，故选：B．【点评】本题考查了数学归纳法的证明步骤，属于基础题．6．（5分）如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f（x）相切于两点，则F（x）=f（x）﹣kx有（）A．1个极大值点，2个极小值点B．2个极大值点，1个极小值点C．3个极大值点，无极小值点D．3个极小值点，无极大值点【分析】对函数F（x）=f（x）﹣kx，求导数，根据条件判断f′（x）与k的关系进行判断即可．【解答】解：∵直线y=kx+m与曲线y=f（x）相切于两点，∴kx+m=f（x）有两个根，且f（x）≥kx+m，由图象知m＞0，则f（x）＞kx，即F（x）=f（x）﹣kx＞0，则函数F（x）=f（x）﹣kx，没有零点，函数f（x）有1个极大值点，2个极小值点，则F′（x）=f′（x）﹣k，，结合图象，函数F（x）=f（x）﹣kx有1个极大值点，函数F（x）=f（x）﹣kx有2个极小值点，故选：A．【点评】本题主要考查函数零点的判断以及极值的判断，利用图象求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．7．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．8．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是（）A．B．C．D．【分析】由题意可得△P1P2B∽△AD1B，设出P1B=x，则P1P2=x，P2到平面AA1B1B 的距离为x，求出四面体的体积，通过二次函数的最值，求出四面体的体积的最大值．【解答】解：由题意在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，△P1P2B∽△AD1B，设P1B=x，x∈（0，1），则P1P2=x，P2到平面AA1B1B的距离为x，所以四面体P1P2AB1的体积为V==，当x=时，体积取得最大值：．故选：A．【点评】本题考查正方形中，几何体的体积的求法，找出所求四面体的底面面积和高是解题的关键，考查计算能力．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）向量对应的复数为1+4i，向量对应的复数为﹣3+6i，则向量对应的复数为﹣4+2i．【分析】根据所给的两个向量的代数形式，先求两个向量的差，求出，得到向量的代数形式的表示式即可．【解答】解：∵向量对应的复数为1+4i，向量对应的复数为﹣3+6i，∴=﹣3+6i﹣1﹣4i=﹣4+2i．故答案为：﹣4+2i．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了向量的减法运算，是基础题．10．（5分）如图的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．从成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名，恰有2名学生在乙组的概率为．【分析】由书籍可得成绩不低于10分且不超过20分的学生，甲组有2个，乙组有3个，进而可得答案．【解答】解：成绩不低于10分且不超过20分的学生甲组有2个，乙组有3个，从中任意抽取3名，共有=10种不同取法，其中恰有2名学生在乙组有=6种不同取法，故从成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名，恰有2名学生在乙组的概率P==，故答案为：【点评】本题考查的知识点是茎叶图和古典概型，难度不大，属于基础题．11．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与直线y=x无交点，则离心率e的取值范围是（1，2] ．【分析】双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与直线y=x无交点，取双曲线的渐近线，则必有，再利用离心率计算公式即可得到双曲线离心率e的取值范围．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与直线y=x无交点，取双曲线的渐近线．∴，∴=2．∴双曲线离心率e的取值范围是（1，2]．故答案为（1，2]．【点评】熟练掌握过原点的直线与双曲线的渐近线及双曲线的关系、离心率的计算公式是解题的关键．12．（5分）如图给出一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为a ij（i≥j，i，j∈N*），则a53等于，a mn=（m≥3）．【分析】①利用已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，即可求出a53；②由①可得：利用等差数列的通项公式求出每一行的第一个数，从第三行起每一行的公比，再利用等比数列的通项公式即可求出a mn．【解答】解：①第k行的所含的数的个数为k，∴前n行所含的数的总数=1+2+…+n=．a53表示的是第5行的第三个数，由每一列数成等差数列，且第一列是首项为，公差d==的等差数列，∴第一列的第5 个数==；又从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，由第三行可知公比q==，∴第5行是以为首项，为公比的等比数列，∴a53=×=．②a mn表示的是第m行的第n个数，由①可知：第一列的第m 个数==，∴a mn==．故答案分别为，．【点评】数列掌握等差数列和等比数列的通项公式是解题的关键．13．（5分）表达式1+中“…”即代表无限次重复，它可以通过方程1+=x，求得x=．类似上述过程，则=3．【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．【解答】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令=m（m＞0），则两边平方得，则3+2=m2，即3+2m=m2，解得，m=3，m=﹣1舍去．故答案为：3【点评】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道中档题．14．（5分）设函数y=f（x）图象上在不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线斜率分别是k A，k B，规定φ（A，B）=（|AB|为A与B之间的距离）叫作曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”．若函数y=x2图象上两点A与B的横坐标分别为0，1，则φ（A，B）=；设A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=e x上两点，且x1﹣x2=1，若m•φ（A，B）＜1恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，1] ．【分析】（1）由求导公式求出y′、点A、B的坐标，由导数的几何意义求出切线的斜率k A，k B的值，由两点间的距离公式求出|AB|，求出代入φ（A，B）=求值即可；（2）求出y′=e x，由定义求出两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“弯曲度”，代入t•φ（A，B）＜1化简，根据恒成立求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，y=x2，则y′（x）=2x，且A（0，0），B（1，1），∴k A=2×0=0，k B=2×1=2，且|k A﹣k B|=2，又|AB|==，∴φ（A，B）===；（2）由y=e x得y′（x）=e x，∵A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=e x上两点，且x1﹣x2=1，∴φ（A，B）===，∵m•φ（A，B）＜1恒成立，∴m||＜，则m＜=，∵＞1，∴m≤1，则实数m的取值范围是（﹣∞，1]，故答案为：；（﹣∞，1]．【点评】本题考查新定义的函数的性质与应用问题，导数的几何意义，两点间的距离公式，以及恒成立问题，解题时应根据函数的新定义的内容进行分析、判断，属于中档题．三、解答题.本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45，a2+a6=14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：+1（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则依题设d＞0．运用已知条件列方程组可求a1，d，从而可得a n；（Ⅱ）设c n=，则c1+c2+…+c n=a n+1，易求c n，进而可得b n，由等比数列的求和公式可求得结果；【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则依题设d＞0．由a2+a6=14，可得a4=7．由a3a5=45，得（7﹣d）（7+d）=45，可得d=2．∴a1=7﹣3d=1．可得a n=2n﹣1．（Ⅱ）设c n=，则c1+c2+…+c n=a n+1，即c1+c2+…+c n=2n，可得c1=2，且c1+c2+…+c n+c n+1=2（n+1）．∴c n=2，可知c n=2（n∈N*）．+1∴b n=2n+1，∴数列{b n}是首项为4，公比为2的等比数列．∴前n项和S n==2n+2﹣4．【点评】本题考查等差数列的通项公式及数列求和，考查学生的运算求解能力．16．（12分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）随机变量X的取值为：1，2，3，分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．【解答】解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P（A）=．（2）有可能的取值是1，2，3又则P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==，所以X的分布列为：EX=1×+2×+3×=．【点评】本小题主要考查分步计数原理、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．17．（14分）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）求BC与平面EAC所成角的正弦值；（Ⅲ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，又AC⊥FB，利用线面垂直的判定定理即可证明；（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系，利用与平面ACE的法向量所成的角即可得出；（Ⅲ）分别求出两个平面的法向量，，若此两个平面垂直，则必有有解，否则两个平面不垂直．【解答】（Ⅰ）证明：不妨设BC=1，∵AB=2BC，∠ABC=60°，在△ABC中，由余弦定理可得AC2=22+12﹣2×2×1×cos60°=3，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．又∵AC⊥FB，CB∩BF=B，∴AC⊥平面FBC．（Ⅱ）解：∵AC⊥平面FBC，∴AC⊥FC．∵CD⊥FC，∴FC⊥平面ABCD．∴CA，CF，CB两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系C﹣xyz．在等腰梯形ABCD中，可得CB=CD．设BC=1，所以．∴，，．设平面EAC的法向量为n=（x，y，z），则有∴取z=1，得n=（0，2，1）．设BC与平面EAC所成的角为θ，则==．所以BC与平面EAC所成角的正弦值为．（Ⅲ）解：线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．证明如下：假设线段ED上存在点Q，设（0≤t≤1），所以．设平面QBC的法向量为=（a，b，c），则有，所以取c=1，得=．要使平面EAC⊥平面QBC，只需=0，即，此方程无解．所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系并利用平面的法向量表示线面角和二面角公式、余弦定理和勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理是解题的关键．18．（14分）已知函数f（x）=x2﹣alnx（a＞0）．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．【分析】（I）化简f（x）=x2﹣2lnx，求出f′（x）=x﹣，求出斜率以及切点坐标，然后求解切线方程．（Ⅱ）由f′（x）=x﹣=，求出定义域，极值点，通过①0＜a≤1，②1＜a ＜e2，③a≥e2，判断函数的单调性求解函数的最值即可．（III）由（II）可知当0＜a≤1或a≥e2时，f（x）在（1，e）上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．当1＜a＜e2时，要使f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，推出求解即可．【解答】解：（I）a=2，f（x）=x2﹣2lnx，f′（x）=x﹣，f′（1）=﹣1，f（1）=，f（x）在（1，f（1））处的切线方程为2x+2y﹣3=0…..（3分）（Ⅱ）由f′（x）=x﹣=，由a＞0及定义域为（0，+∞），令f′（x）=0，得x=，①若≤1即0＜a≤1在（1，e）上，f′（x）＞0，f（x）在[1，e]上单调递增，因此，f（x）在区间[1，e]的最小值为f（1）=．②若1，即1＜a＜e2，在（1，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；在（，e）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，因此f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（）=．③若，即a≥e2，在（1，e）上，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上单调递减，因此，f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（e）=﹣a．综上，当0＜a≤1时，f min（x）=；当1＜a＜e2时，f min（x）=a（1﹣lna）；当a≥e2时，f min（x）=e2﹣a．…．（9分）（III）由（II）可知当0＜a≤1或a≥e2时，f（x）在（1，e）上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．当1＜a＜e2时，要使f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，则∴即，此时，e．所以，a的取值范围为（e，）…..（14分）【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，函数的单调性的判断，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力．19．（14分）已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且抛物线的焦点是椭圆M的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点．求点O到直线l的距离的最小值．【分析】（Ⅰ）设椭圆方程为，易求椭圆的焦点，从而可得c值，由离心率可得a，由b2=a2﹣c2可求得b值；（Ⅱ）分情况进行讨论：当直线l存在斜率时设直线方程为y=kx+m，与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程，有△＞0①，设A、B、P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），由四边形OAPB为平行四边形及韦达定理可把x0，y0表示为k，m的式子，代入椭圆方程关于k，m的方程，从而利用点到直线的距离公式点O到直线l的距离为k的函数，根据函数结构特点即可求得其最小值；当直线l不存在斜率时点O 到直线l的距离易求，综上即可得到答案．【解答】解：（I）设椭圆方程为，由已知抛物线的焦点为（，0），则c=，由e=，得a=2，∴b2=2，所以椭圆M的方程为；（II）当直线l斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，则由消去y得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣4）=8（2+4k2﹣m2）＞0，①设A、B、P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），则：x0=x1+x2=﹣，y0=y1+y2=k（x1+x2）+2m=，由于点P在椭圆M上，所以．从而，化简得2m2=1+2k2，经检验满足①式．又点O到直线l的距离为：d===≥=，当且仅当k=0时等号成立，当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，从而点P的坐标为（﹣2，0）或（2，0），直线l的方程为x=±1，所以点O到直线l的距离为1．所以点O到直线l的距离最小值为．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查分类讨论思想、函数思想，韦达定理、判别式解决该类题目的基础，要熟练掌握．20．（13分）设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n=0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=1．（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）若某2k+1（k∈N*）阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（Ⅲ）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k=1，2，3，…，n），试证：（1）；（2）．【分析】（Ⅰ）利用新定义直接利用等差数列，写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）利用某2k+1（k∈N*）阶“期待数列”是等差数列，通过公差为0，大于0．小于0，分别求解该数列的通项公式；（Ⅲ）（1）判断k=n时，，然后证明k＜n时，利用数列求和以及绝对值三角不等式证明即可；（2）通过数列求和，以及绝对值三角不等式和放缩法，利用裂项法求和，证明．【解答】（本题14分）解：（Ⅰ）数列为三阶期待数列…（1分）数列为四阶期待数列，…..…..（3分）（其它答案酌情给分）（Ⅱ）设等差数列a1，a2，a3，…，a2k（k≥1）的公差为d，+1=0，∵a1+a2+a3+…+a2k+1∴，所以a1+kd=0，=0，∴a k+2=d，…（4分）即a k+1当d=0时，与期待数列的条件①②矛盾，…（5分）当d＞0时，据期待数列的条件①②得：，∴，即=0得，即，由a k+1∴．…（7分）当d＜0时，同理可得，即，由a k+1=0得，即∴．…（8分）（Ⅲ）（1）当k=n时，显然成立；…（9分）当k＜n时，据条件①得S k=a1+a2+…+a k=﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|=|a1+a2+…+a k|=|a k+1+a k+2+…+a n|，∴2|S k|=|a1+a2+…+a k|+|a k+1+a k+2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a k|+|a k+1|+|a k+2|+…+|a n|=1，∴．…（11分）====．…（14分）【点评】本题考查新数列新定义的应用，数列求和的方法，放缩法以及绝对值三角不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力，难度较大，考查计算能力．。

2017-2018学年(新课标)最新北京市高二下学期期末考试数学(理)试题及解析-精品试题

北京市东城区2017-2018学年下学期高二年级期末考试数学试卷（理科）（考试时间120分钟满分100分）一、选择题（每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

） 1. 在复平面内，复数112i-对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知32()21f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a = A.23B.14C.83D.123. 二项式61(2)x x-展开式中的常数项为 A. －160B. －180C. 160D. 1804. 用反证法证明命题：“1234,,,a a a a 至少有一个数大于25”时，假设正确的是 A. 假设1234,,,a a a a 都大于25 B. 假设1234,,,a a a a 都小于或等于25 C. 假设1234,,,a a a a 至多有一个数大于25 D. 假设1234,,,a a a a 至少有两个数大于255. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本，不同的分法种数为 A. 6B. 12C. 60D. 906. 如图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，E 是MN 的三等分点，且13NE NM =，用向量,,OA OB OC 表示OE 为A. 16OE OA OB OC =++ B. 111333OE OA OB OC =++ C. 111663OE OA OB OC =++ D. 111633OE OA OB OC =++ 7. 利用数学归纳法证明“*(1)(2)()213(21),n n n n n n n N +++=⨯⨯⨯⨯-∈”时，从“n k =”变到“1n k =+”时，左边应增乘的因式是A. 21k +B. 2(21)k +C. 1k +D. 2(1)k +8. 若函数3()63f x x bx b =-+在（0，1）内有极小值，则实数b 的取值范围是 A. (0,1)B. (,1)-∞C. (0,)+∞D. 1(0,)2二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分。

精品解析：北京西城北师大附中2016-2017高二下期末【理】数学真题卷(解析版)

北京师大附中2016-2017学年度第二学期期末考试高二数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填写在答题纸上．1. 设是虚数单位，则复数（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】．故选．2. 在的展开式中，含的项的系数是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】二项式的通项公式为，令，所以含的项的系数是，故选D3. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，，一条切线的斜率，∴，解得．故选．4. 将一枚均匀的硬币投掷次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】满足题意的事件有①正面次②正面次，反面次，所以概率．故选．5. 已知随机变量服从正态分布，且，（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，由随机变量服从正态分布知，正态曲线关于对称，∴，．学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...故选．6. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】，，圆心到直线的距离，∴两曲线相交，有个交点．故选．7. 某大学的名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐名同学（乘同一辆车的名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的名同学中恰有名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有（）．A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】B【解析】试题分析：由题意，第一类，一年级的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的年级，从三个年级中选两个为，然后分别从选择的年级中再选择一个学生为，故有3×4=12种．第二类，一年级的孪生姐妹不在甲车上，则从剩下的3个年级中选择一个年级的两名同学在甲车上，为，然后再从剩下的两个年级中分别选择一人为，这时共有3×4=12种根据分类计数原理得，共有12+12=24种不同的乘车方式考点：计数原理的应用8. 定义在上的偶函数满足，且当时，，若函数有个零点，则实数的取值范围为（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】,当时，,作出图形，由图可知直线过点时有六个交点，过点时有八个交点，过点时有六个交点，过点时有八个交点，因此要使函数有7个零点，需，选A.点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题：本大题共6道小题，每小题5分，共30分，请将答案填写在答题纸上．9. 以原点为极点，以轴正半轴为极轴且与直角坐标系取相同的长度单位建立极坐标系．若圆的极坐标方程为，则其直角坐标方程为__________．【答案】【解析】极坐标方程，两边同乘以，∴，∴，∴．故答案为：.10. 在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为__________．（结果用数值表示）．【答案】120【解析】①男女，种；②男女，种；③男女，种；∴一共有种．故答案为：120.点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．11. 由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为__________．【答案】【解析】两曲线相交：，解出交点横坐标为，所求面积，．故答案为：.12. 如图，是以为圆心，半径为的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在正方形内”，表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（）__________；（）__________．【答案】(1). (2).【解析】圆面积，正方形面积，∴，∵表示事件“已知豆子落在正方形中，则豆子落在扇形”的概率，∴．故答案为：(1). ；(2) .点睛：本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．13. 已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】∵，∴，∴，∵存在，使得，∴，∴，设，∴，，令，解得，令，则，函数单调递增，令，则，函数单调递减，∴当时，取最大值，，∴．故答案为：.点睛：本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。

北京市北京师范大学附属中学2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题(含解析)

北京市北京师范大学附属中学2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题。

北京师范大学附属第二中学2017-2018学年度第二学期期中测试高二数学理科试卷(PDF版)

12. 用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，那么当所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 cm． 13. 每年的三月十二号是植树节，某学校组织高中 65 个学生及其父母以家庭为单位参加“种一棵小树，绿一方净士” 的义务植树活动．活动将 65 个家庭分成 A，B 两组，A 组负责种植 150 棵银杏树苗，B 组负责种植 160 棵紫薇 2 3 树苗．根据往年的统计，每个家庭种植一棵银杏树苗用时 h，种植一棵紫薇树苗用时 h，假定 A，B 两组同 5 5 ，此时活动持续的时间为 h．时开始种植，若使植树活动持续的时间最短，则 A 组的家庭数为
北京师大二附中 2017—2018 学年度高二下期中数学（理）试卷一、选择题 1. 若复数 2 − bi (b ∈ R) 的实部与虚部之和为零，则 b 的值为 ( ) 2 2 A. 2 B. C. − D. −2 3 3 1 1 1 2. 用数学归纳法证明 1 + + + · · · + n < n (n ∈ N∗ , n > 1) 时，第一步应验证不等式 ( ) 2 3 2 −1 1 1 1 1 1 1 1 1 A. 1 + <2 B. 1 + + <2 C. 1 + + <3 D. 1 + + + <3 2 2 3 2 3 2 3 4 z 3. 已知 = 2 − i，则在复平面内，复数 z 对应的点位于 ( ) 1−i A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2 4 6 8 4. 按数列的排列规律猜想数列，− ，，− ，· · · 的第 10 项是 ( ) 3 5 7 9 16 18 20 22 A. − B. − C. − D. − 17 19 21 23 √ 8 5. 由曲线 f (x) = x 与 y 轴及直线 y = m (m > 0) 围成的图形的面积为，则 m 的值为 ( ) 3 A. 2 B. 3 C. 1 D. 8 |Ax0 + By0 + C | √ 6. 我们知道，在平面内，点 (x0 , y0 ) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离公式为 d = ，通过类比的方 A2 + B 2 法，可求得，在空间中，点 (2, 4, 1) 到平面 x + 2y + 2z + ) √ 3 = 0 的距离为 ( √ 5 21 A. 3 B. 5 C. D. 3 5 7 7. 函数 f (x) = x3 − 3x − 1，若对于区间 [−3, 2] 上的任意 x1 ，x2 都有 |f (x1 ) − f (x2 ) | ⩽ t，则实数 t 的最小值是 ( ) A. 20 B. 18 C. 3 D. 0 8. 5 个黑球和 4 个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是 ( ) A. 总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 B. 总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多 C. 总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 D. 总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题 9. 若函数 f (x) = ex − ax (x > 0) 有极值，则实数 a 的取值范围是．

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北京师大附中2017-2018学年度第二学期期末考试高二数学（理科）试卷第I 卷（模块卷）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.数字0,1,2,3,4可以组成（）个无重复数字的五位数 A ．96 B.120 C.625 D.10242.二项式*+1()n x n N ∈（）的展开式中的2x 系数为15，则n=（）A ．5 B.6 C.7 D.83.抛掷一枚均匀的硬币4次，则恰有2次正面向上的概率（） A.12 B.116 C.38 D.584.抛掷一枚均匀的骰子2次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不相互独立的是（） A.“第二次得到6点” B.“第二次的点数不超过3点” C.“第二次的点数是奇数” D.“两次得到的点数和是12”5.在兴趣小组的4名男生和3名女生中选取3人参加某竞赛，要求男生女生都至少有1人，则不同的选取方法有（）种。

A.20B.30C.35D.606.一个口袋中装有4个红球，2个白球。

每次从袋中随机摸出一个球，不放回地摸两次，在摸出的第一个是红球的条件下，磨出的第二个球是白球的概率是（） A.13 B.25 C.35 D.237.设某一随机变量~(0,1)X N ，记1(21)P P X =-≤≤-，2(01)P P X =≤≤则1,2P P 的关系是（）A. 12P P <B. 12P P >C. 12P P =D.无法确定 8.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线11C :42x t y t =-⎧⎫⎨⎬=-⎩⎭（t 为参数）与曲线22cos C :1sin x r y r θθ=+⎧⎫⎨⎬=+⎩⎭（θ为参数，r >0）有一个公共点在y 轴上，则r =（）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.二项式61)的展开式中各项系数的和是________。

10.某次联欢会的抽奖规则如下：观众从一个装有8个红球和2个白球的箱子中一次摸出两个球，若都是白球，则为一等奖，若恰有一个白球，则为二等奖。

那么，这名观众中奖的概率是__________.11.在极坐标系下，限定51230,02(0,0,0,,0),,,(,)(,)(,)217)604545(,,,,),nnonWV S U V S d U W d V W d U VU a a a aρθθππ≥≤≤∈=∈+≥==∈个（，），则点（1,0）关于直线2sin=1ρθ对称的极坐标是___________。

12.已知圆的极坐标方程=2cosρθ，直接的极坐标方程为cos-2sin+7=0ρθρθ，则圆心到该直线的距离为__________。

13.如图，AB是圆O的直径，且AB=6，CD是弦，BA、CD的延长线交于点P，PA=4，PD=5,则∠COD=_____________。

14.已知集合A={1,2,3,4}，函数()f x的定义域、值域都是A，且对于任意,()i A f i i∈≠，设1234,,,a a a a是1,2,3,4的任意的一个排列，定义数表34123412()()()()a aa af a f af a f a⎛⎫⎪⎝⎭，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为_________。

三、解答题:本大题共3小题，共30分。

15.某篮球运动员在上赛季的三分球命中率为25%，场均三分球出手10次，教练建议他在新赛季减少三分球出手次数，若在新赛季的第一场比赛中该球员计划出手3次，每次出手均相互独立，设其命中X次。

（1）若将频率视为概率，求X的分布列；（2）请给该队员一些建议，如何才能提高他在一场比赛中的三分球得分的期望？16.在某校开展的“阳光体育”系列活动中，甲、乙两班之间进行了一次200米跑的团体比赛。

每个班各派出5名同学比赛，讲每名同学的200米成绩记录以后（单位：秒，且已知每个成绩都是整数），总用时少的班级获胜，成绩记录如下表所示：x∈表格中的[30,40)x=，从甲班的5名同学中任取3名，记这3人中用时少于乙队平均用时的人数为（1）若36随机变量η，求η的分布列；（2）若最终乙班获胜，那么当乙班同学的成绩方差最大时，x的取值是多少（直接写出结果，不用证明）？17.北京市人社局今日发布了“关于公布2015年度北京市职工平均工资的通知”，透露2015年度全市职工平均工资为85038元，月平均工资7086元，某网站整理了2011-2015年北京市职工年平均工资，如下表，网友纷纷吐槽：“对不起，我又拖后腿了”“还没赶上去年的平均值，你们又涨了。

”“我周围很多人这5年工资都没变过，这数据肯定有问题”（1）根据上表所给信息估计：到2020年，北京市职工税前平均年薪能否比2011年翻翻？，并简要说明。

（2）使用你所学的概率统计知识，解释大多数人认为自己工资为达到平均值的理由：（3）你能否向人社局提出一些建议来改进统计方案，是大部分人认为公布的结果与自己的实际工资水平相差不大。

第II 卷（综合卷）四、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分。

18.从集合U={a,b,c}的子集中任意选出两个不同集合A ，B ，要求A B ⊆，那么，有________种不同的选法。

19.已知函数2()cos ,f x x x =-则(0.5),(0),(0.6)f f f -这三个函数值从小到大分别为___________。

20.某地采用摇号买车的方式，共有20万人参加摇号，每个月有2万个名额，如果每个月摇上的退出摇号，没有摇上的继续进行下月摇号，则每个人摇上号平均需要__________个月的时间。

五、解答题：本大题共3小题，共38分。

21．设函数2()(0,b 0)axf x a x b=>>+ （1）若函数()f x 在1x =-处取得极值-2，求,b a 的值（2）若函数()f x 在区间（-1,1）内单调递增，求b 的取值范围22.已知函数()xh x ae =的一条切线为y ex =（1）求a 的值（2）设0x >，求证：21()12h x x x >++23.已知1231{A |A (,,,,),011,2,,}(2)n n S a a a a a i n n ====≥ 或，对于,,(,)n U V S d U V ∈表示U 和V 中相对应的不同元素的个数。

（I ）令(0,0,0,0,0)U =，存在m 个5V S ∈，使得(,)2d U V =，写出m 的值（II ）令0(0,0,0,,0)n W =个，若,n U V S ∈，求证：(,)(,)(,)d U W d V W d U V +≥（III ）令123(,,,,),n n U a a a a S =∈ 若n V S ∈，求所有(,)d U V 之和北京师大附中2015——2016学年度第二学期期末考试高二数学（理科）试卷答案一、选择题二、填空题9. 64 10.1745 11. )4 13. 60o14.216三、解答题15.（1）解：设X 可以取0,1,2,3.33327P X=0=C =464（）（）11231327P X=1=C =4464（）（）（）2213139P X=2=C =4464（）（）（） 3303131P X=3=C =4464（）（）（）所以X 的分布列为（2）该队员应减少三分出手次数，以提高3分得分期望。

通过球员3分命中率以及得分期望来看，球员命中率为0.25，当出手次数1个增加时，其命中零次的概率需要乘以0.75，而与得分乘以零，导致总得分期望会持续降低。

16.解：（1）乙队平均用时为：2731303631=315++++则随机变量η可取0,1,23335C 1P =0==C 10η（）213235C C 63P =1===C 105η（）123235C C 3P =2==C 10η（）则η的分布列为（2）3517.（1）可以。

每年平均工资增长约85038-56061=72694，2011至2020年，共9年所以到2020年工资相对增长65421元，肯定可以翻倍。

（2）因为平均值是整体除以个数来计算的，当某些人工资特别高，也计算在内的时候会平均值把平均值拉高很多。

而工资少的人占大部分群体，则会觉得离年平均工资差的很远。

（3）我建议将所有收入分层计算工资月收入一万以下计算平均数，月收入1至3万计算平均数，五万以上计算平均数。

然后按照约为比例6：3：1比例相乘再相加，再除以10即可。

四、填空题 18．1919. (0)(0.5)(0.6)f f f <-< 20. 5.5五、解答题21.（1）因为函数2()(0,b 0)axf x a x b=>>+ 函数()f x 咋x=-1处取得值为-2，222)()=(a b x f x x b -+（’）依题意：(-1)=0=4{{(-1)=-21f a f b ⇒=’（2）222)()=(a b x f x x b -+（’）0a >∴当0()0b f x ≤≤时’，函数()-f x 在（1,1）内不可能增，舍去；当0b >时，222)()=(a b x f x x b -+（’）若(x ∈时，()0f x >’， ()f x 递增，(1,1)(∴-⊄1{11b ≤-∴⇒≥>故所求范围为[1,)+∞。

22.(1)根据题意可设切点为00(,)x y则000000()'()x x h x ae y ex h x ae e⎧=⎪=⎨⎪==⎩解得011x a =⎧⎨=⎩ 故a=1(2)当0x >，时2211()1122x h x x x ae x x >++⇔>++ 则2112(0)x x x a x e++>> 令2112()x x x g x e++=，并求其最大值则221(1)(1)2'()()x x x x e x x e g x e +-++=212x x e-=所以在0x >，()g x 恒减，所以()(0)1MAX g x g ==a故1 23.。