二次函数与一元二次方程和一元二次不等式

二次函数是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值．
方程与函数不仅是初中数学中的重要内容，也是高中数学学习的重要内容，方程与函数之间存在着密切的联系，二次函数的图象与x轴交点的横坐标即为相应的二次方程的解，课程标准要求我们能利用二次函数的图象求二次方程的近似解。

本节我们将进一步研究一元二次方程与函数问题，研究当自变量在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．
【例1】已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为．
分析：因为二次方程的根为二次函数的图象与x轴交点横坐标。

根据已知条件，可知抛物线的对称轴为直线；根据图象可知抛物线与x轴的一个交点的横坐标为，所以利用抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点横坐标为―1，因此，方程的解为3和－1。

本题利用抛物线的轴对称性求抛物线与轴的交点坐标，从而求出相应的一元二次方程的根。

【例2】二次函数是常数中，自变量与函数的对应值如下表：
（1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标．
（2）一元二次方程是常数的两个根的取值范围是下列选项中的哪一个．
①②
③④
分析：本题以表格的形式给出二次函数的部分对应值，解题时可以选定三对值，求出二次函数解析式，再判断开口方向，求出顶点坐标。

但这样去做计算量较大，观察表格的特征发现，与等距离的x对应的函数值相等，所以直线是抛物线的对称轴，因此抛物线的顶点坐标为（1，2）；观察表格发现：当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大，所以抛物线的开口向下。

（2）一元二次方程是常数的根即为抛物线与x轴交点的横坐标，观察表格发现：与0之间一定有一个x的值，使＝0；2与之间一定有一个x的值，使＝0，所以的两
根的取值范围是，故答案为③
【例3】已知函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是（）
A．无实数根B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根
分析：本题以图象的形式给出信息,要判断关于的方程的根的情况，因为可化为，即，所以，
方程的根即为抛物线与直线y＝－2的交点横坐标，作直线y＝－2，观察图象可知直线与抛
物线的交点在第四象限，因此交点横坐标都为正，故答案为D。

本题把方程的根转化为抛物
线与直线的交点横坐标。

【例4】二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（2）写出不等式的解集．
（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围．
（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
分析：本题以图象的形式给出信息,
间的关系。

（1）方程的根即抛物线与x轴交点的横坐标，观察图象得方程的两根为，；
（2）不等式的解集即抛物线位于x轴上方的那一段的x的范围，观察图象得不等式的解集
为；
（3）抛物线的增减性是以对称轴为界，抛物线的对称轴为，结合图象得对称轴右边随的增
大而减小，所以；
（4）方程的解为抛物线与直线的交点，所以当时，抛物线与直线有两个交点，即方程有两
个不相等的实数根的的取值范围是。

【例5】当时，求函数的最大值和最小值．
分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得
到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量的值．
解：作出函数的图象．当时，，当时，．
【例6】当时，求函数的最大值和最小值．
解：作出函数的图象．当时，，当时，．
由上述两例可以看到，二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：
【例7】当时，求函数的取值范围．
解：作出函数在内的图象．
可以看出：当时，，无最大值．
所以，当时，函数的取值范围是．
【例8】当时，求函数的最小值(其中为常数)．
分析：由于所给的范围随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数的对称轴为．画出其草图．
(1) 当对称轴在所给范围左侧．即时：当时，；
(2) 当对称轴在所给范围之间．即时：
当时，；
(3) 当对称轴在所给范围右侧．即时：
当时，．
综上所述：
在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：
【例9】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量(件)与每件的销售价(元)满足一次函数．
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件销售价之间的函数关系式；
(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为元，
那么件的销售利润为，又．
(2) 由(1)知对称轴为，位于的范围内，另抛物线开口向下
当时，
当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．
课后自我检测
A组
1．抛物线，当＝ _____ 时，图象的顶点在轴上；当＝ _____ 时，图象的顶点在轴上；当＝ _____ 时，图象过原点．
2．用一长度为米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．3．求下列二次函数的最值：
(1) ；(2) ．
4．求二次函数在上的最大值和最小值，并求对应的的值．
5．对于函数，当时，求的取值范围．
6．求函数的最大值和最小值．
7．已知关于的函数，当取何值时，的最小值为0？
8．若不等式的解为－1x2，则＝_____，＝______
9．当直线在两点P(1,1),Q(2,1)之间通过时，求实数满足的关系式_______
10．二次方程,有一个根比大,另一个根比小,则的取值范围是
11．已知函数的图象经过点和两点,若,则的取值范围是
12.若方程只有正根，则的取值范围是
B组
1．已知关于的函数在上．
(1) 当时，求函数的最大值和最小值；
(2) 当为实数时，求函数的最大值．
2．函数在上的最大值为3，最小值为2，求的取值范围．
3．设，当时，函数的最小值是，最大值是0，求的值．
4．已知函数在上的最大值为4，求的值．
5．求关于的二次函数在上的最大值(为常数)．
6．已知关于的不等式对恒成立，则的取值范围是______
7.不等式对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是
8．一元二次不等式的解是，则的值是
课后自我检测参考答案
A组
1．4 14或2，
2．
3．(1) 有最小值3，无最大值；(2) 有最大值，无最小值．4．当时，；当时，．
5．
6．当时，；当或1时，．
7．当时，．
略
B 组
1．(1) 当时，；当时，．
(2) 当时，；当时，．
2．．
3．．
4．或．
5．当时，，此时；当时，，此时．
略。