§10.3.5组合(5)
大班数学教案5的组合
大班数学教案5的组合一、教案概述本教案旨在帮助大班学生学习数学中的组合概念，并通过实际例子和活动来巩固他们的理解。
通过这个教案，学生将能够理解组合的概念、运用组合进行问题求解，并在实际生活中应用所学知识。
二、教学目标1.理解组合的概念及其应用场景。
2.能够使用组合进行问题求解。
3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
4.培养学生的合作精神和团队合作能力。
三、教学内容1.组合的概念介绍–定义：组合是指从给定的元素集合中选出若干元素组成一个子集的方法。
–组合公式：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)•其中，n表示元素集合中的元素个数，k表示选取的元素个数，!表示阶乘运算。
2.组合的应用示例–示例1：小明家里有8本书，他要选出2本带到学校，请问他有多少种选择方式？–示例2：有5个小朋友排队上车，但车上只有3个座位，问有多少种不同的排队方式？3.活动设计：组合问题解决小游戏–将学生分成几个小组，每个小组有若干个成员。
–每组从给定的元素集合中选出一些元素组成子集，要求满足一定条件。
–学生需要运用组合的方法，计算出满足条件的组合数。
四、教学步骤1.导入活动：通过一个有趣的问题导入组合的概念。
–问题：小明有红、黄、蓝、绿四种颜色的块，他要使用这些块搭建一个3层的塔，请问他有多少种搭建方式？–引导学生思考并尝试解决问题。
2.介绍组合的概念及公式–讲解组合的定义和公式，帮助学生理解其意义和计算方法。
3.示范解决示例问题1–小明有8本书，选出2本的选择方式有多少种？–展示解题思路和计算过程，引导学生跟随计算。
4.学生合作解决示例问题2–学生分组合作，解决5个小朋友排队上车的问题。
–每个小组需要计算出不同排队方式的组合数。
5.活动展示和总结–让每个小组分享他们的解决思路和答案。
–教师总结本课时所学内容，并提出问题加深学生理解。
五、教学评估1.学生在活动中的表现和解题情况。
2.学生对组合概念的理解和应用能力。
北师大版选择性531532组合组合数及其性质课件(48张)
解:(2)依题意,有向线段的 2 个端点有起点与终点之分,任取 2 个点组成有
向线段问题是排列问题,从 5 个点中任取 2 个点共有 =5×4=20 种方法,所
以以其中 2 个点为端点的有向线段共有 20 条.
角度2
有限制条件的组合问题
[例5] (多选题)(2021·重庆高二期末)在含有3件次品的50件产品中,任取
2件,则下列说法正确的是(
)
A.恰好取到一件次品,有
种不同的取法
B.至少取到一件次品,有
(1)某铁路上有4个车站,则这条铁路线上共需准备多少种车票?
解:(1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关,如甲→乙和乙→甲的车票
是不同的,所以是排列问题.
(2)把5本不同的书分给5个学生,每人一本;
解:(2)由于书不同,每人拿到的书也不同,有顺序之分,所以是排列问题.
(3)从7本不同的书中取出5本给某个同学.
探究点一
组合的概念
[例1] 下列问题是排列问题,还是组合问题?
(1)从9名学生中选出4名学生参加一个联欢会,共有多少种不同的选法?
解:(1)根据题意,从9名学生中选出4名学生参加一个联欢会,选出的4名学
生没有区别,所以是组合问题.
[例1] 下列问题是排列问题,还是组合问题?
(2)从2,3,5,7,11这5个质数中,每次取2个数分别作为分子和分母构成一个
= ,故 C 错误;
- (-)!
D.
A 正确;
-
-
(2)(多选题)(2021·江苏启东高二期中)若 = +
,则正整数 x 的值是
(
§10.3.3组合(3) 高二数学10.3 组合 教案人教版 高二数学10.3 组合 教案人教版
组合（3）——组合、组合数的综合应用⑴一、课题：组合（3）——组合、组合数的综合应用⑴二、教学目标：1．进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；2．能够解决一些组合应用问题，提高合理选用知识的能力。
三、教学重、难点：组合应用问题。
四、教学过程：（一）复习、引入：1．复习排列和组合的有关内容：依然强调：排列——顺序性；组合——无序性．2．排列数、组合数的公式及有关性质：性质1：m n n m n C C -=；性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n C ．常用的等式：111010====+++k k k k k k C C C C ．（二）新课讲解：例1100件产品中，有98件合格品，2件次品。
从这100件产品中任意抽出3件．（1）一共有多少种不同的抽法；（2）抽出的3件都不是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（4）抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种？解：（1）3100161700C =；（2）398152096C =；（3）12298247539506C C =⨯=；（4）解法一：（直接法）12212982989506989604C C C C +=+=；解法二：（间接法）33100981617001520969604C C -=-=．例2从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？解：分为三类：1奇4偶有4516C C ；3奇2偶有2536C C ；5奇1偶有56C ，∴一共有4516C C +2536C C +23656=C ．例3现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其 中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有2324C C ；②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有1334C C ；③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有2334C C ，∴一共有2324C C +1334C C +2334C C ＝42种方法．例4甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？解法一：（排除法）422131424152426=+-C C C C C C ．解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有2414C C ；另一类为甲不值周一，但值周六，有2324C C ，∴一共有2414C C +2324C C ＝42种方法．例5 6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？解：第一步：从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有26C 种方法；第二步：将5个“不同元素（书）”分给5个人有55A 种方法．根据分步计数原理，一共有26C 55A ＝1800种方法． 变题1：6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书方法？变题2：5本不同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？变题3：5本相同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？答案：1．1562556=； 2．72056=A ； 3．656=C ．五、课堂练习：1．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有个。
高三数学教案：10.3组合 (二)
课 题： 10．3组合 (二)教学目的：2. 进一步理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式，并且能够运用公式解决一些简单的应用问题 教学重点：教学难点：授课类型：新授课课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方 12n N m m m =+++L 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的．．．．4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 5．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+L （,,m n N m n *∈≤）!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 0!1=．7．排列数的另一个计算公式：m n A =!()!n n m - 一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个说明：⑴9．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示．10．组合数公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+==L 或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且二、讲解新课： 组合数的性质1：m n n m n C C -=．一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n n m n C C -=．在这里，主要体现：证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又 )!(!!m n m n C m n -=，∴m n n m n C C -=说明：①规定：10=n C ；②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；③此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算m n n C -，能够使运算简化. 例如20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002；④y n x n C C =y x =⇒或n y x =+．2．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n C ．一般地，从121,,,+n a a a Λ这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是m n C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m n C 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有m n C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．证明：)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1+=∴m n C 1+＝m n C +1-m n C ．说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；②此性质的作用：恒等变形，简化运算三、讲解范例：例1．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球， （1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ （2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：（1）5638=C ,或=38C +27C 37C ，；（2）2127=C ；（3）3537=C ．例2．（1）计算：69584737C C C C +++；（2）求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C ．解：（1）原式4565664889991010210C C C C C C C =++=+===；证明：（2）右边1121112()()n n n n n n n m m m m m m m C C C C C C C ----+++=+++=+==例3．解方程：（1）3213113-+=x x C C ；（2）解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C ． 解：（1）由原方程得123x x +=-或12313x x ++-=，∴4x =或5x =， 又由111312313x x x N *⎧≤+≤⎪≤-≤⎨⎪∈⎩得28x ≤≤且x N *∈，∴原方程的解为4x =或5x =上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把4x =和5x =代入检验,这样运算量小得多.（2）原方程可化为2333110x x x C A -++=，即5333110x x C A ++=，∴(3)!(3)!5!(2)!10!x x x x ++=-⋅， ∴11120(2)!10(1)(2)!x x x x =-⋅-⋅-， ∴2120x x --=，解得4x =或3x =-，经检验：4x =是原方程的解四、课堂练习：1．方程382828x x C C -=的解集为（ ）A ．{}4B ．{}9C ．φD ．{}4,92．式子2171010m m C C +-+（m N *∈）的值的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．化简：9981m m m C C C +-+= ；4．若108n n C C =，则20n C 的值为 ；5．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ；6．要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同的方法种数是 ；7．5名工人分别要在3天中选择1天休息，不同方法的种数是 ；8．集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，从两个集合中各取出1个元素，不同方法的种数是 ．9．从1,2,3,,20L 这20个数中选出2个不同的数，使这两个数的和为偶数，有_ 种不同10．正12边形的对角线的条数是 ．11．已知221717x x C C +=，求8x C 的值；12．解方程：221564466x x C C C C -+=-．13．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？14．在所有的三位数中，各位数字从高到低顺次减小的数共有 个答案：1. D 2. A 3. 0 4. 190 5. 10 6. 60 7. 2438. mn 9. 90 10. 54 11. 28或者56 12. 2 或者1213.14. 33103/120A A =，可以保证0在最低位五、小结 ：组合数的两个性质；从特殊到一般的归纳思想；常用的等式：111010====+++k k k k k k C C C C六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记：。
第10章 组合变形
+=
t ,max
c,max
t ,max
=
Fl Wy
−
F A
c ,max
=
− Fl Wy
−
F A
5、拉（压）弯组合变形下的强度计算
t ,max
=
Fl Wy
−
F A
[ t ]
c ,max
=| − Fl Wy
−
F A
|
[ c ]
拉弯组合变形下的危险点处于 单向应力状态
=
2
−
1 2
2 + 4 2
讨论 下列三组公式的适用范围？
第一组
任何截面、任何变形、任何应力状态
第二组
σ x或σy等于零的任何截面、任何变形的平面应力状态
第三组
圆截面、弯扭组合变形
例题：直径为D的直角拐作用一集中力Fp，画 弯矩和扭矩图，提取危险点的应力状态，写 出第三、四强度理论的相当应力
（1）受力分析与计算简图 （2）内力分析与内力图、确定危险截面 （3）由应力分布规律确定危险点，提取应力状态，确定主应力 （4）根据材料及危险点的应力状态选用合适的设计准则
1、等截面杆件的直径为D，长度为L，承受均布 载荷q、拉力P、以及外力偶M的联合作用，写 出第三强度理论的相当应力的表达式。
q
工程实例 (Engineering examples) 摇臂钻
D
3F
2F F
FD 2
1、外力向轴线简化，判定基本变形 弯扭组合 且为单向弯；
2、作内力图，确定危险面
My 3FL
T
FD/2
3 危险面上的内力
4、危险面上应力的分布规律，确定危险点
安培环路定理和应用优质课件
1)
选在垂直于长直载流导线旳平面内，以导线与平面交
点o为圆心，半径为 r 旳圆周途径 L，其指向与电流
成右旋关系。
LB
dl
L
0
2
I r
dl
cos0
I 0
2 r
2 r
0
dl
I 0
I
L
o
r
B
8
2) 若电流反向（包围电流旳圆周途径 L ）：
I
o r
LB
LB
dl
2
0
r
0
2
I r
dlcos
I 0
L
dB'
L
o
dI•r dI•'
dB
P
对称性分析：
在 I 平面内，作以 o为中心、半径 r 旳圆环L ， L上各点等价：B 大小相等，方向沿切向 。 以 L为安培环路，逆时针绕向为正: +
18
LB dl
B 2r
0
I内
r R : I内 I
B外
I 0
2r
1 r
r R:
I内
I
R 2
r 2
j (x方向单位长度上旳电流)。 求： B 分布
解一. 用叠加原理
o dI' dI
dI jdx dB 0dI
2r
由对称性：Bz dBz 0
B
dB x
dB cos
jdx z
0
2r
r
0 zj
2
dx x2 z2
0 zj 1 arctg x
2 z
z
0 j
2
29
解二. 用安培环路定理
§10.3 磁场旳高斯定理和安培环路定理
人教版数学高二《10.3 组合》教案
教学设计（主备人：夏斌）教研组长审查签名:高中课程标准•数学必修第二册（下B）教案执行时间：10.3 组合一、内容及解析1．内容：这是一节关于组合问题的概念课。
排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.2．解析：排列、组合问题大都于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程。
师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高。
二、目标及解析1.目标（1）理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；（2）能正确认识组合与排列的联系与区别；（3）掌握组合数的两个性质，并能运用组合数的性质进行化简；（4）熟练掌握组合数的计算公式，并且能够运用公式解决一些简单的应用问题2.解析(1)会正确区分哪些问题是排列问题，哪些问题是组合问题；（2）知道排列与组合的基本关系，排列问题就是先组合后全排列，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题。
（3）能应用组合公式解决应用问题；（4）会应用组合数的两个性质进行简单的化简和证明。
三、数学问题诊断分析1．学生在判断排列与组合的联系与区别时可能会出现障碍，排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系。
要克服这一困难，关键在于提高学生对实际应用问题的理解，可采用简单的实际生活例子加以说明。
高中数学 新高考 复习试卷讲义 第10章 §10.3 二项式定理
§10.3 二项式定理 考试要求 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识梳理1．二项式定理二项式定理(a ＋b )n ＝ (n ∈N *) 二项展开式的通项T k ＋1＝ ，它表示展开式的第 项 二项式系数(k ＝0,1，…，n )2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 ．(2)增减性与最大值：当n 是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项 与 相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a ＋b )n 的展开式的各二项式系数的和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝ .常用结论1．C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 2．C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n . 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n a n －k b k 是(a ＋b )n 的展开式中的第k 项．( ) (2)(a ＋b )n 的展开式中每一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(3)通项公式T k ＋1＝C k n a n －k b k 中的a 和b 不能互换．( ) (4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的．( )教材改编题1.⎝⎛⎭⎫1x －x 10的展开式中x 2的系数等于( ) A ．45 B ．20 C ．－30 D ．－902．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝243，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n等于( ) A ．31 B ．32 C ．15 D ．163．若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．题型一 通项公式的应用命题点1 形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式的特定项例1 (1)二项式⎝⎛⎭⎫1x －x 210的展开式中的常数项是( ) A ．－45 B ．－10 C ．45 D ．65(2)已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝__________. 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点2 形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式问题例2 (1)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( )A ．56B ．84C ．112D ．168(2)在(2x ＋a )⎝⎛⎭⎫x ＋2x 6的展开式中，x 2的系数为－120，则该二项展开式中的常数项为( ) A ．3 204 B ．－160 C ．160 D ．－320听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________思维升华 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．跟踪训练1 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)⎝⎛⎭⎫1－y x (x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________(用数字作答)．(2)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________． 题型二 二项式系数与项的系数问题 命题点1 二项式系数和与系数和例3 (1)在⎝⎛⎭⎫3x －1x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则( ) A ．二项式系数和为32B ．各项系数和为128C ．常数项为－135D ．常数项为135(2)若(1＋x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 2＋a 6＋a 8＝________；a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋10a 10＝________.听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点2 系数与二项式系数的最值问题例4 (多选)(2023·唐山模拟)下列关于⎝⎛⎭⎫1x －2x 6的展开式的说法中正确的是( )A ．常数项为－160B ．第4项的系数最大C ．第4项的二项式系数最大D ．所有项的系数和为1听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 赋值法的应用一般地，对于多项式(a ＋bx )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，令g (x )＝(a ＋bx )n ，则(a ＋bx )n 的展开式中各项的系数和为g (1)，(a ＋bx )n 的展开式中奇数项的系数和为12[g (1)＋g (－1)]，(a ＋bx )n 的展开式中偶数项的系数和为12[g (1)－g (－1)]． 跟踪训练2 (1)(多选)对于⎝⎛⎭⎫x 2－3x 6的展开式，下列说法正确的是( ) A ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为64C ．常数项为1 215D ．系数最大的项为第3项(2)设()2＋x 10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2 －(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9)2的值为________．题型三 二项式定理的综合应用例5 (1)设a ∈Z ，且0≤a ≤13，若512 023＋a 能被13整除，则a 等于( )A ．0B ．1C ．11D ．12(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是( )A ．1.23B ．1.24C ．1.33D ．1.34听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.·11－1除以13的余数跟踪训练3(1)设n为奇数，那么11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n是()A．－3 B．2 C．10 D．11(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是()A．0.940 B．0.941C．0.942 D．0.943。
高考数学一轮复习 10.3 组合教案
10.3 组合●知识梳理1.组合的概念：从n 个不同元素中任取m 个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C m n 表示.2.组合数公式C m n =!)!(!m m n n -.3.组合数的两个性质：（1）C m n =C m n n -；（2）C m n 1+=C m n +C 1-m n .●点击双基1.从4台甲型电脑和5台乙型电脑中任取3台，其中两种电脑都要取，则不同的取法种数是A.140B.84C.70D.35解析：取3台分两类：①2台甲型1台乙型，有C 24·C 15种； ②1台甲型2台乙型，有C 14·C 25种. ∴C 24·C 15+C 14·C 25=30+40=70（种）.答案：C 特别提示先从甲型、乙型中各抽1台，有C 14·C 15种，再从余下的中选1台，有C 17种， 故有C 14·C 15·C 17=140（种）.解法不正确.2.（2004年北京，理17）从长度分别为1、2、3、4、5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则nm等于A.101B.51C.103D.52 解析：n =C 35=10，由余弦定理知可组成钝角三角形的有“2、3、4”和“2、4、5”，故m =2. ∴n m =102=51. 答案：B3.已知{1，2}⊆X ⊆{1，2，3，4，5}，满足这个关系式的集合X 共有_____________个. A.2 B.6 C.4 D.8解析：由题意知集合X 中的元素1，2必取，另外可从3，4，5中可以不取，取1个，取2个，取3个，故有C03+C13+C23+C33=8（个）.答案：D4.（2003年东北三校模拟题）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色.若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为_____________.解析：设四棱锥为P—ABCD.（1）P：C15，A：C14，B：C13，C与B同色：1，D：C13.（2）P：C15，A：C14，B：C13，C与B不同色C12，D：C12.共有C15·C14·C13·1·C13+C15·C14·C13·C12·C12=420.答案：4205.某校准备参加2004年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1人，不同的分配方案有_____________种.解析：把10个名额分成8份，每份至少一个名额即可，用隔板法：C79=C29=36.答案：36●典例剖析【例1】某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选取会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法?解：由题意可知，只会英语的有6人，只会日语的有2人，英语和日语都会的有1人.以只会英语的人数分类，C06·C11·C12+C16·C23=20.【例2】设集合A={1，2，3，…，10}，（1）设A的3个元素的子集的个数为n，求n的值；（2）设A的3个元素的子集中，3个元素的和分别为a1，a2，…，a n，求a1+a2+a3+…+a n 的值.解：（1）A的3元素子集的个数为n=C310=120.（2）在A的3元素子集中，含数k（1≤k≤10）的集合个数有C29个，因此a1+a2+…+a n=C29×（1+2+3+…+10）=1980.评述：在求从n个数中取出m（m≤n）个数的所有组合中各组合中数字的和时，一般先求出含每个数字的组合的个数，含每个数字的个数一般都相等，故每个数字之和与个数之积便是所求结果.【例3】从1，2，…，30这30个自然数中，每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法有多少种？解：令A={1，4，7，10，…，28}，B={2，5，8，11，…29}，C={3，6，9，…，30}组成三类数集，有以下四类符合题意：①A，B，C中各取一个数，有C110C110C110种；②仅在A中取3个数，有C310种；③仅在B中取3个数，有C310种；④仅在C中取3个数，有C310种.故由加法原理得共有C110·C110·C110+3C310=1360种.评述：按元素的性质分类是处理带限制条件的组合问题的常用方法，对于某几个数的和能被某数整除一类的问题，通常是将整数分类，凡余数相同者归同一类.思考讨论讨论下面的问题：用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字的能被25整除的四位数多少个？ 提示：能被25整除的数的后两位是25或50，后两位是50的数有A 24个，后两位是25的数有3×3=9个，所以能被25整除的四位数的个数为A 24+9=21.【例4】 如图，从一个3×4的方格中的一个顶点A 到对顶顶点B 的最短路线有几条？解：从A 到B 的最短路线，均需走7步，包括横向的4步和纵向的3步，于是我们只要确定第1，2，…，7步哪些是横向的，哪些是纵向的就可以了，实际只要确定哪几步是横向走.所以每一条从A 到B 的最短路线对应着从第1，2，…，7步取出4步（横向走）的一个组合，因此从A 到B 的最短路线共有C 47=C 37=35条.深化拓展1.某城市由n 条东西方向的街道和m 条南北方向的街道组成一个矩形街道网，如下图所示.要从A 处走到B 处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？解：将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从A 到B 需要走（n +m －2）段，而这些段中，必须有东西方向的（n －1）段，其余的为南北方向的（m －1）段，所以共有C 12--+m n m =C 12--+n n m 种走法.2.从一楼到二楼楼梯一共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，规定用8步走完楼梯的方法种数是_____________.解：设一步一级x 步，一步两级y 步，则⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+.2,61028y x y x y x 故走完楼梯的方法有C 28=28种.●闯关训练 夯实基础1.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有 A.240种 B.180种 C.120种 D.60种解析：先从6双手套中任选一双，有C 16种取法，再从其余手套中任选2只，有C 210种，其中选一双同色手套的选法为C 15种.故总的选法数为C 16（C 210－C 15）=240种.答案：A2.（2004年江苏，3）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有A.140种B.120种C.35种D.34种解析：7人中任选4人，共C 47种选法，扣除只有男生的选法C 44，就可得有既有男生，又有女生的选法C 47－C 44=34.答案：D3.（2004年湖北，理14）将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有_____________种.（以数字作答）解析：从10个盒中挑3个与球标号不一致，共C 310种挑法，每一种3个盒子与球标号全不一致的方法为2种，∴共有2C 310=240种.答案：2404.某年级有6个班，派3个数学老师任教，每位教师教两个班，不同的任课方法种数有_______种.解析：把6个班均匀分为3份，有33222426A C C C 种分法，再把这三份分给3位教师，所以不同的任课方法有33222426A C C C A 33=C 26C 24C 22种.答案：905.某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？解：由于每队至少抽1辆，故问题转化为从7个车队中抽3辆车，分类讨论.①3辆车都从1个队抽，有C 17种；②3辆车从2个队抽，有A 27种；③3辆车从3个队抽，有C 37种.综上所述，共有C 17+A 27+C 37=84种.6.袋中有10个球，其中4个红球，6个白球，若取到1个红球记2分，取到1个白球记1分，那么从这10个球中取出4个，使总分不低于5分的取法有多少种?解法一：取出4个球不低于5分只能是4红或3红1白或2红2白或1红3白.故有C 44+C 34C 16+C 24C 26+C 14C 36=195种.解法二：取出4个球总分低于5分只能是4个白球，故有C 410－C 46=195种.培养能力7.（理）有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两名英、日语都精通，从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问这样的分配名单共可开出几张?分析：既精通英语，又精通日语的“多面手”是特殊元素，所以可以从他们的参与情况入手进行分类讨论.解：按“多面手”的参与情况分成三类.第一类：多面手不参加，这时有C45C44种；第二类：多面手中有一人入选，这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，因此有C1 2C35C44+C45C12C34种；第三类：多面手中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，因此有C22C25C44+C45C22C24+C12C35C11C34种.综上分析，共可开出C45C44+C12C35C44+C45C12C34+C22C25C44+C45C22C24+ C12C35C11C34=185种.评述：首先注意分类方法，体会分类方法在解组合问题中的作用.本题也可以先安排翻译英文人员，后安排翻译日文人员进行分类求解，共有C45C46+C35C12C45+C25C22C44=185种.（文）某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种.（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种?（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种?（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种?（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种?（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种?解：（1）C234=561.（2）C334=5984.（3）C215·C120=2100.（4）C215·C120+C315=2555.（5）C320+C220C115+C120C215=6090.探究创新8.有点难度哟！从1到100这100个正整数中，每次取出2个数使它们的和大于100，共有多少种取法?解：（1）若取出的2个数都大于50，则有C250种.（2）若取出的2个数有一个小于或等于50，当取1时，另1个只能取100，有C11种取法；当取2时，另1个只能取100或99，有C12种取法；……当取50时，另1个数只能取100，99，98，…，51中的一个，有C150种取法，所以共有1+2+3+ (50)25150⨯.故取法种数为C250+25150⨯=24950⨯+25150⨯=2500.●思悟小结1.组合数公式有连乘和阶乘形式，阶乘形式一般用于证明和计算，组合数的性质常用于证明等式及合并组合数简化计算.2.解受条件限制的组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.3.解组合应用题时，应注意至少、至多、最多、恰好等词的含义.4.各种与元素的位置、顺序无关的组合问题，常见的有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题，解答组合问题的关键是用好组合的定义和两个基本原理，只选不排，合理分类、分步.●教师下载中心教学点睛1.要搞清组合与排列的区别与联系：组合与顺序无关，排列与顺序有关；排列可以分成先选取（组合）后排列两个步骤进行.2.熟练掌握组合数公式的两种形式.拓展题例【例题】某篮球队共7名老队员，5名新队员，根据下列情况分别求出有多少种不同的出场阵容.（1）某老队员必须上场，某2新队员不能出场；（2）有6名打前锋位，4名打后卫位，甲、乙两名既能打前锋又能打后卫位.解：（1）C49=126种.（2）以2名既擅长前锋位又能打后卫位的队员是否上场，且上场后是前锋还是后卫作分类标准：①甲、乙都不上场有C36C24=120种；②甲、乙有一名上场，作前锋位有C12（C26C24）种，作后卫位有C12（C36C14）种，共C12（C26C24）+C12（C36C14）=340种；③甲、乙都上场，有C16C24+C36C04+C12（C26C14）=176种.据分类计数原理，共有120+340+176=636种.。
组合应用题
2. 组合数性质
C =1
0 n
1 性质
C =C
m n
n−m n
(m ≤ n ∈ N )
*
性质2
C
m n+1
= C +C
m n
m−1 n
组合应用题的解题要领： 组合应用题的解题要领：
解有关组合的应用问题时， 解有关组合的应用问题时，首先要判断这个问题是不是组 合问题。 组合问题与排列问题的根本区别在于： 合问题。 组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题取出 的元素之间与顺序有关， 的元素之间与顺序有关，而组合问题取出的元素之间与顺序无 关。 解组合应用题的方法与排列题一样，主要有两种方法： 解组合应用题的方法与排列题一样，主要有两种方法： 直接法，它包含直接分类法与直接分步法， 1. 直接法，它包含直接分类法与直接分步法，其处理问题 的原则是要优先处理特殊元素，再处理其他元素， 的原则是要优先处理特殊元素，再处理其他元素，从而直接求 出所要求的组合数； 出所要求的组合数； 间接法，先算出无条件的组合数， 2. 间接法，先算出无条件的组合数，再排除不符合题意 的组合数，从而间接地得出有附加条件地组合数。 的组合数，从而间接地得出有附加条件地组合数。 在排列问题中使用的其他方法， 在排列问题中使用的其他方C = 666
5 12 0 3 5 9
说明：当至多(至少)中包括的情况很多时， 说明：当至多(至少)中包括的情况很多时，用间接法比 直接法简单的多。 直接法简单的多。
名工人中， 人只能当钳工， 人只能当车工 另外2 人只能当车工， 例4 在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外 名工人中 人只能当钳工 人既能当钳工，又能当车工，现从11人中选出 人当钳工， 人当 人中选出4人当钳工 人既能当钳工，又能当车工，现从 人中选出 人当钳工，4人当 车工，问有多少种不同的选法？ 车工，问有多少种不同的选法？
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组合（5）—排列、组合数的综合应用（3）
一、课题：组合（5）——排列、组合数的综合应用（3）
二、教学目标：1．对排列组合的知识有一个系统的了解，从而进一步掌握；
2．能运用排列组合概念及两个原理解决排列组合的综合题；
3．提高合理选用知识分析问题、解决问题的能力。
三、教学重、难点：排列、组合综合问题。
四、教学过程：
（一）复习、引入：
1．解决排列组合的综合性问题，一般方法是先选（组合）元素，再排列；
2．按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，始终是处理组合应用题的基本方法和原理。
（二）新课讲解：
例1 某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A 校定为第
一志愿；再从5所一般大学中选3所填在第二档次的三个志愿栏内，其中B 、C 两校必选，且B 在C 前。
问：此考生共有多少种不同的填表方法？
解：先填第一档次的三个志愿栏：因A 校定为第一档次的第一志愿，故第一档次的二、
三志愿有26A 种填法；再填第二档次的三个志愿栏：B 、C 两校有23C 种填法，剩
余的一个志愿栏有13A 种填法。
由分步计数原理知，此考生不同的填表方法共有
26A 23C 13270A =（种）。
例2 如图是由12个小正方形组成的43⨯矩形网格，一质点沿网格线从点A 到点B 的不同
路径之中，最短路径有 条。
解：总揽全局：把质点沿网格线从点A 到点B 的最短路径分
为七步，其中四步向右，三步向上，不同走法的区别在
于哪三步向上，因此，本题的结论是：3537=C ． 例3 圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是多少？
解：要使交点个数最多，则只需所有的交点都不重合。
显然，并不是每两条弦都在圆
内有交点，但如果两条弦相交，则交点就是以这两条弦的四个端点为顶点的四边形的对角线的交点，也就是说，弦在圆内的交点与以圆上四点为顶点的四边形是一一对应的。
因此只需求以圆上四点为顶点的四边形的个数，即412495C =个。
回顾：本题构造了四边形以求得满足条件的交点，类似的，前面讲过一个问题：
以一个正方体的8个顶点连成的异面直线共有 对。
解：以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有4812C -＝58个，每个四面体的四条棱可
以组成3对异面直线，因此以一个正方体的8个顶点连成的异面直线共有3×58＝
A B
A 174对。
另解：()312244443210174C C C C ⎡⎤+-=⎣⎦
对。
例4 有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到4只次
品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？ 解：本题的实质是，前五次测试中有1只正品，4只次品，且第五次测试的是次品。
思路一：设想有五个位置，先从6只正品中任选1只，放在前四个位置的任一个上，有
1164C C 种方法；再把4只次品在剩下的四个位置上任意排列，有44
A 种排法。
故不同的情形共有114644576C C A =种。
思路二：设想有五个位置，先从4只次品中任选1只，放在第五个位置上，有14C 种方法；
再从6只正品中任选1只，和剩下的3只次品一起在前四个位置上任意排列，有
1464C A 种方法。
故不同的情形共有114464576C C A =种。
例5 在一次象棋比赛中，进行单循环比赛。
其中有2人，他们各赛了3场后，因故退出
了比赛，这样，这次比赛共进行了83场，问：比赛开始时参赛者有多少人？
解：需要考虑两种情况：第一种，因故退出比赛的两人之间没有进行比赛，则
22683n C -+=，
此方程无正整数解；第二种，因故退出比赛的两人之间进行了比赛，则226183n C -+-=，解得
15n =，所以，比赛开始时参赛者有15人。
五、课堂小结
1．解决有关计数的应用题时，要仔细分析事件的发生、发展过程，弄清问题究竟是排列问 题还是组合问题，还是应直接利用分类计数原理或分步计数原理解决。
一个较复杂的问 题往往是分类与分步交织在一起，要准确分清，容易产生的错误是遗漏和重复计数；
2．解决计数问题的常用策略有：（1）特殊元素优先安排；（2）排列组合混合题要先选（组 合）后排；（3）相邻问题捆绑处理（先整体后局部）；（4）不相邻问题插空处理；（5）顺 序一定问题除法处理；（6）正难则反，合理转化。
六、作业： （一）选择题 1． 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有 网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A 向结点B 沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为 （ D ）
A ．26
B ．24
C ．20
D ．19 2．学校召开学生代表大会，高二年级的3个班共选6名代表，每班至少1名，代表的名额 分配方案种数是 （D ）
A ．64
B ．20
C ．18
D ．10 3．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士， 不同的分配方法共有 （D ）
A ．90
B ．180
C ．270
D ．540 （二）填空题：（列式并算出结果）
4．公共汽车上有4位乘客，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方式共有461296=种；如果其中任何两人都不在同一站下车，那么这4位乘客不同的下车方式共
有4464360C A =种。
5．4名男生和3名女生排成一行，按下列要求各有多少种排法：
（1）男生必须排在一起4444576A A =； （2）女生互不相邻 43451440A A =；
（3）男女生相间3434144A A =； （4）女生按指定顺序排列47840A =．
6．有排成一行的7个空位置，3位女生去坐，要求任何两个女生之间都要有空位，
共有3560A =种不同的坐法。
7．赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都能划，现要从中挑选6
人上艇，平均分配在两舷上划桨，共有3332231333763553545675C C C C C C C C C +++=种选法。
8．,,,,A B C D E 5位同学进行网页设计比赛，决出了第1至第5名的名次。
A 、B 两位同学去询问名次，主考官对A 说：“很遗憾，你和B 都未拿到冠军”；对B 说：“你当然不会
是最差的。
”从这个回答分析，5位同学的名次排列共可能有333354A ⨯⨯=种不同的情况。
9．学校餐厅供应客饭，每位学生可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位学生有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备7 种不同的素菜种。
提示：225min 2007x C C x >⇒=。
10．有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到测出1只
次品为止，求第一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有4416441440C C C =种。
11．圆周上有12个等分点，以其中3个点为顶点的直角三角形的个数为1161060C C =个．。