【通用版】2019年中考数学总复习专题检测16 解直角三角形试题

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(完整版)2019年全国中考数学真题180套分类汇编：解直角三角形【含解析】,推荐文档

解直角三角形一、选择题1. （2018•湖南衡阳,第10题3分）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）　A．26米B．28米C．30米D．46米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．.分析：先根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．解答：解：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，∴AE=1.5BE=18米，∵BC=10米，∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，故选D．点评：此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．2. （2018•丽水，第5题3分）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是（）　A．9m B．6m C．m D．m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．.分析：在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．解答：解：在Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=3米，∴AB==6米．故选B．点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．3．（2018•四川绵阳,第8题3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P 的距离为（）　A．40海里B．40海里C．80海里D．40海里考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：根据题意画出图形，进而得出PA，PC的长，即可得出答案．解答：解：过点P作PC⊥AB于点C，由题意可得出：∠A=30°，∠B=45°，AP=80海里，故CP=AP=40（海里），则PB==40（海里）．故选：A．点评：此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，得出各角度数是解题关键．　4．二、填空题1. （2018•黑龙江龙东,第8题3分）△ABC中，AB=4，BC=3，∠BAC=30°，则△ABC的面积为　2+或2﹣（答对1个给2分，多答或含有错误答案不得分）　．考点：解直角三角形．.专题：分类讨论．分析：分两种情况：过点B或C作AC或AB上的高，由勾股定理可得出三角形的底和高，再求面积即可．解答：解：当∠B为钝角时，如图1，过点B作BD⊥AC，∵∠BAC=30°，∴BD=AB，∵AB=4，∴BD=2，∴AD=2，∵BC=3，∴CD=，∴S△ABC=AC•BD=×（2+）×2=2+；当∠C为钝角时，如图2，过点B 作BD⊥AC，交AC 延长线于点D ，∵∠BAC=30°，∴BD=AB，∵AB=4，∴BD=2，∵BC=3，∴CD=，∴AD=2，∴AC=2﹣，∴S △ABC =AC•BD=×（2﹣）×2=2﹣．点评：本题考查了解直角三角形，还涉及到的知识点有勾股定理、直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．2. （2018•浙江绍兴,第14题5分）用直尺和圆规作△ABC，使BC=a ，AC=b ，∠B=35°，若这样的三角形只能作一个，则a ，b 间满足的关系式是　sin35°=或b≥a　．考点：作图—复杂作图；切线的性质；解直角三角形分析：首先画BC=a ，再以B 为顶点，作∠ABC=35°，然后再以点C 为圆心b 为半径交AB 于点A ，然后连接AC 即可，①当AC⊥BC 时，②当b≥a 时三角形只能作一个．解答：解：如图所示：若这样的三角形只能作一个，则a ，b 间满足的关系式是：①当AC⊥BC 时，即sin35°=②当b≥a 时．故答案为：sin35°=或b≥a．点评：此题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一角等于已知角的方法．3．（2018•江西，第13题3分）如图，是将菱形ABCD 以点O 为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形。

2019全国中考数学真题分类汇编之16：直角三角形、勾股定理

一、选择题1．(2019·广元)如图,△ABC 中,∠ABC ＝90°,BA ＝BC ＝2,将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°得到 △DEC,连接BD,则BD 2的值是________【答案】8+【解析】连接AD,过点D 作DM ⊥BC 于点M,DN ⊥AC 于点N,易得△ACD 是等边三角形,四边形BNDM 是正方形,设CM ＝,则DM ＝MB ＝+2,∵BC ＝2,∴CD ＝AC ＝∴在Rt △MCD 中,由勾股定理可求得,1,DM ＝MB 1,∴在Rt △BDM 中,BD 2＝MD 2+MB 2＝8+2．（2019·绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为 ( )A.524 B.532C.173412D.173420【答案】A【解析】如图所示：设DM ＝，则CM ＝8﹣，根据题意得：（8﹣+8）×3×3＝3×3×5，解得：＝4，∴DM ＝6，∴∴D ＝90°，由勾股定理得：BM =＝5，过点B 作BH∴AH ，∴∴HBA+∴ABM ＝∴ABM+∴ABM ＝90°， ∴∴HBA+＝∴ABM ，所以Rt∴ABH∴∴MBD ， ∴BH BD AB BM =，即385BH =，解得BH ＝524，即水面高度为524． 3．（2019·益阳）已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM=MN=2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC 、BC ，则△ABC 一定是（） A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】B【解析】如图所示， ∵AM=MN=2，NB ＝1，∴AB=AM=MN+NB ＝2+2+1=5，AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=BN+MN1+2=3， ∴25522==AB ，16422==AC ，9322==BC ,∴222AB BC AC =+， ∴△ABC 是直角三角形.4．(2019·广元)如图,在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E.使得∠CDE ＝15°,连接BE 并延长BE 到F,使CF ＝CB,BF 与CD 相交于点H,若AB ＝1,有下列结论①BE ＝DE;②CE+DE ＝EF;③S △DEC ＝14-,④1DHHC=.则其中正确的结论有( ) A.①②③B.①②③ ④C.①②④D.①③④【答案】A【解析】①利用正方形的性质,易得△BEC ≌△DEC,∴BE ＝DE,①正确;②在EF 上取一点G,使CG ＝CE,∵∠CEG ＝∠CBE+∠BCE ＝60°,∴△CEG 为等边三角形,易得△DEC ≌△FGC,CE+DE ＝EG+GF ＝EF,②正确;③过点D 作DM ⊥AC 于点M,S △DEC ＝S △DMC －S △DME ＝1412-,③正确;④tan ∠HBC ＝2∴HC ＝2,DH ＝1－HC ＝－1,∴DHHC,④错误.故选A.5. (2019·宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和【答案】C【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大依次为a,b,c,则S 阴影＝c 2－a 2－b 2+b(a+b －c),由勾股定理可知,c 2＝a 2－b 2,∴S 阴影＝c 2－a 2－b 2+S 重叠＝S 重叠,即S 阴影＝S 重叠,故选C.6.（2019·重庆B 卷）如图，在△ABC 中，∠ABC =45°，AB =3，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 与点E ，AE =1.连接DE ，将△AED 沿直线AE 翻折至△ABC 所在的平面，得△AEF ，连接DF .过点D 作DG ⊥DE 交BE 于点G.则四边形DFEG 的周长为( )A.8B.C.D.【答案】D【解析】∵∠ABC =45°，AD ⊥BC ， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴AD=BD.∵BE ⊥AC ，AD ⊥BD ， ∴∠DAC =∠DBH ， ∴△D BH ≌△DAC （ASA ）.4212题图F∵DG ⊥DE ， ∴∠BDG =∠ADE ， ∴△DBG ≌△DAE （ASA ）， ∴BG=AE ，DG=DE ， ∴△DGE 是等腰直角三角形， ∴∠DEC =45°.在Rt △ABE 中，BE， ∴GE=，∴DE =.∵D ，F关于AE 对称， ∴∠FEC =∠DEC =45°，∴EF=DE=DG =，DF=GE =，∴四边形DFEG 的周长为2（+2-）=.故选D ．二、填空题7．（2019·苏州） “七巧板”是我们祖先的一项卓越创造．可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”图①是由边长为10cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为cm （结果保留根号）.=122-22-112（图①）（图②）（第15题）【解析】本题考查了正方形性质、等腰直角三角形性质的综合，由题意可知，等腰三角形①与等腰三角形②全等，且它们的斜边长都为12×10=5cm ，设正方形阴影部分的边长为cm ，则5x =sin45°=2，解得，故答.第15题答图8．（2019·威海）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，连接AC ，BD .若∠ACB ＝90°，AC ＝BC ,AB ＝BD ,则∠ADC ＝ °【答案】105°【解析】过点D 作DE ⊥ AB 于点E ，过点C 作 CF ⊥AB 垂足为F ，由∠ACB ＝90°，AC ＝BC ,得△ABC 是等腰直角三角形，由三线合一得CF 为中线，从而推出2CF ＝ AB ，由AB ∥CD 得DE ＝CF ，由AB ＝BD 得BD ＝2DE ，在Rt △DEB 中利用三角函数可得∠ABD ＝30°，再由AB ＝BD 得∠BAD ＝∠ADB ＝75°，最后由AB ∥CD 得∠BAD ＋∠ADC ＝180°求出∠ADC ＝105°.9．（2019·苏州）如图，一块舍有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8 cm ，三角板的外框线和与其，则图中阴影部分的面积为 cm ：（结果保留根号）．（第18题）【答案】第18题答图解析：如图，，所以△ABC 与△DEF 有公共内心O ，连接AD 、BE 、FC 并延长相交于点O ，过O 作OG ⊥AB 于G ，交DE 于H .则GH S △ABC =12OG ×（AB +AC +BC ）=12AB ×AC ，∴OG =8AB AC AB AC BC ⨯==-+-OH =8-∴∵DE ∥AB ，∴△ODE ∽△OAB ，∴OH DEOG AB =8DE =，解得DE =6-S 阴影= S △ABC -S △DEF =(2211861022⨯--=+10．（2019·江西）在平面直角坐标系中，A ，B ，C 三点的坐标分别为(4，0)、(4，4)，(0，4)，点P 在轴上，点D 在直线AB 上，若DA ＝1，CP ⊥DP 于点P ，则点P 的坐标为 .【答案】（42322216+++，0）或（42322216+-+，0）【解析】设点P 的坐标为（，0），（1）当点D 在线段AB 上时，如图所示：∵DA=1，∴点D 的坐标为（224-，22）. ∴222)224()]224(4[-+--=CD 22)22(2416)22(+-+=2417-=， 222)22()]224([+--=x PD 222)22()224()224(2+-+--=x x 2417)28(2-+--=x x ， 2224)4(+-=x PC 3282+-=x x .∵CP ⊥DP 于点P ，∴222CD PD PC =+，∴2417)28(2-+--x x 3282+-+x x 2417-=，即032)216(22=+--x x ，∵△=3224)]216([2⨯⨯---=2322-＜0，∴原方程无解，即符合要求的点P 不存在. （2）当点D 在线段BA 的延长线上，如图所示：∵DA=1，∴点D 的坐标为（224+，22-）. ∴222)]22(4[)]224(4[--++-=CD 22)224()22(++-=2417+=， 222)22()]224([-++-=x PD 222)22()224()224(2++++-=x x 2417)28(2+++-=x x ， 2224)4(+-=x PC 3282+-=x x .∵CP ⊥DP 于点P ，∴222CD PD PC =+，∴2417)28(2+++-x x 3282+-+x x 2417+=，即032)216(22=++-x x ，∵△=3224)]216([2⨯⨯-+-=2322+＞0，∴222322216⨯+±+=x 42322216+±+=， ∴点P 的坐标为（42322216+++，0）或（42322216+-+，0）.11.(2019·枣庄)把两个同样大小含45°的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D 在同一直线上,若AB ＝2,则CD ＝________.【解析】在等腰直角△ABC 中,∵AB ＝2,∴BC ＝过点A 作AM ⊥BD 于点M,则AM ＝MC ＝12BC ,在Rt△AMD 中,AD ＝BC ＝∴MD ∴CD ＝MD －MC12. (2019·巴中)如图,等边三角形ABC 内有一点P,分别连接AP,BP,CP,若AP ＝6,BP ＝8,CP ＝10,则S △ABP +S △BPC ＝________.【答案】【解析】将△ABP 绕点B 顺时针旋转60°到△CBP',连接PP',所以BP ＝BP',∠PBP'＝60°,所以△BPP'是等边三角形,其边长BP 为8,所以S △BPP'＝因为PP'＝8,P'C ＝PA ＝6,PC ＝10,所以PP'2+P'C 2＝PC 2,所以△PP'C 是直角三角形,S △PP'C ＝24,所以S △ABP +S △BPC ＝S △BPP'+S △PP'C ＝ .三、解答题13.(2019·巴中)如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m与点D.（1）求证EC＝BD;（2）若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠ACB＝90°,AC＝BC, ∴∠ACE+∠BCD＝90°,∵AE⊥EC, ∴∠EAC+∠ACE＝90°,∴∠BCD＝∠CAE,∵BD⊥CD, ∴∠AEC＝∠CDB＝90°,∴△AEC≌△CDB(AAS), ∴EC＝BD.（2）∵△AEC≌△CDB,△AEC三边分别为a，b，c,，∴BD＝EC＝a,CD＝AE＝b,BC＝AC＝c,∴S梯形＝12(AE+BD)ED＝12(a+b)(a+b),S梯形＝12ab+12c2+12ab，∴12(a+b)(a+b)＝12ab+12c2+12ab,整理可得a2+b2＝c2,故勾股定理得证.。

初三数学中考复习解直角三角形专项复习课堂练习题含答案

2019 初三数学中考复习解直角三角形专项复习讲堂练习题1.如图，为丈量一棵与地面垂直的树 OA 的高度，在距离树的底端 30 米的 B 处，测得树顶 A 的仰角∠ ABO 为α，则树 OA 的高度为 ()A. 30米B．30sin α米C．30tan α米D．30cos α米tan α2.如图，某飞机在空中 A 处探测到它的正下方地平面上目标 C，此时遨游高度AC＝1200m，从飞机上看地平面指挥台 B 的俯角α＝ 30°，则飞机 A 与指挥台 B 的距离为 ()A ．1200m B．1200 2m C．1200 3m D．2400m3. 如图，数学实践活动小组要丈量学校周边楼房CD 的高度，在水平川面 A 处部署测倾器测得楼房CD 顶部点 D 的仰角为 45°，向前走 20 米抵达 A′处，测得点 D 的仰角为 67.5，°已知测倾器 AB 的高度为 1.6 米，则楼房 CD 的高度约为 (结果精准到 0.1 米， 2≈ 1.414)()A ．34.14 米B ．34.1 米C．35.7 米D．35.74 米4. 如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15 米，从 A点经过旗杆极点恰巧看到矮建筑物的墙角 C 点，且俯角α为 60°，又从 A 点测得 D 点的俯角β为30°，若旗杆底点 G 为 BC 的中点，则矮建筑物的高CD 为()A．20 米B．10 3米 C.15 3米D．5 6米5.如图，学校环保社成员想丈量斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度，他们先在点 C处测得树顶 B 的仰角为 60°，此后在坡顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30°，已知斜坡CD 的长度为 20m，DE 的长为 10m，则树 AB 的高度是 ()A ．20 3m B．30m C.30 3m D．40m6. 如图，电线杆 CD 的高度为 h，两根拉线 AC 与 BC 互相垂直，∠CAB ＝α，则拉线 BC 的长度为 (A 、D、B 在同一条直线上 )()h h hA.sin αB．tan α C.cos αD．h· cos α127. 如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13 米，已知 cos α＝13，则小车上涨的高度是 ()A．5 米B．6 米 C.6.5 米D．12 米8.如图，某水库堤坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1∶ 3，堤坝高 BC＝50m，则迎水坡面 AB 的长度是 ()A ．100 3m B．120m C．150m D．50 3m9.如图，创新小组要丈量公园内一棵树的高度 AB ，此中一名小构成员站在距离树 10 米的点 E 处，测得树顶 A 的仰角为 54°.已知测角仪的架高 CE＝1.5 米，则这颗树的高度为 ______米(结果保存一位小数．参照数据：sin54 ＝°0.8090，cos54 °＝0.5878，tan54 ＝°1.3764)．10.小明站在地面上，看楼上露台的小红，其仰角为 45°，那么小红看小明的俯角是 _______.度。

初三中考复习解直角三角形专题复习训练题含答案

2019 初三中考复习解直角三角形专题复习训练题1.如图，在以 BC 为底边的等腰△ ABC 中，∠ A＝30°，AC＝8，则 AC 边上的高BD的长是()A ．4B．8C．2 3D．4 32.如图，在△ ABC 中，∠ ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，点 E 是 AB 的中点，CD＝DE＝a，则 AB 的长为 ()43A ．2a B．22a C.3a D．3a3. 如图，△ ABC 的极点是正方形网格的格点，则sinA 的值为 ()151025A. 2B．5 C. 10D．54．直线 y＝ 3x－3 与 x 轴所成的锐角为 x，则 tanx＝______.5．计算： cos230°－2sin60 －°tan30 °＋tan245°＝_______.．如图，在△ABC 中，D是AB的中点，DC⊥，且∠＝1，求 sinA、6AC tan BCD3cosA、tanA 的值．27. 如图，在△ ABC 中，∠ C＝90°，sinA＝3，AB ＝6，求 BC 的长．8. 如图，为了丈量某条河的宽度，此刻河畔的一岸边随意取一点 A ，又在河的另一岸边取两点B、C 测得∠α＝30°，∠ β＝45°，量得 BC 长为 100 米．求河的宽度． (结果保存根号 )9. 如图，在△ ABC 中， AD ⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD 与 BE 相交于点 F.(1)求证：△ ACD ∽△ BFD;(2)当 tan∠ABD ＝1，AC＝3 时，求 BF 的长．第1页/共5页210. 如图在△ ABC 中， AB ＝1，AC＝2，sinB＝4，求 BC 的长．11. 位于张家界中心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD 和底座 CD 两部分构成．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC ＝70.5 °，在 Rt△DBC 中，∠ DBC＝45°，且 CD ＝2.3 米，求像体 AD 的高度 (最后结果精准到 0.1 米，参照数据： sin70.5 °≈ 0.，943cos70.5 °≈0.334，tan70.5 °≈ 2．.824)12.“C919大”型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获取的一张数据不圆满的航模飞机机翼图纸，图中AB ∥CD，AM ∥BN ∥ED，AE⊥DE，请依据图中数据，求出线段 BE 和 CD 的长 (sin37°≈ 0.，60 cos37 °≈ 0，.80tan37 °≈ 0，.75结果保存小数点后一位 )．13.如图是将一正方体货物沿坡面 AB 装进汽车货厢的平面表示图．已知长方体货厢的高度 BC 为 5 米，tanA＝1现把图中的货物连续往前平移，当货物极点 D 3.．．与 C 重合时，仍可把货物放平装进货厢，求BD 的长 (结果保存根号 )．14.为了测出旗杆的高度，设计了以以下图的三种方案，并测得图 (a)中 BO＝6m，OD＝3.4m，CD＝ 1.7m；图 (b)中 CD＝1m，FD＝0.6m，EB＝1.8m；图 (c)中 BD ＝9m，EF＝0.2；这人的臂长为 0.6m.(1)说明此中运用的主要知识；(2)分别计算出旗杆的高度．15.如图，在四边形 ABCD 中，∠ A＝∠ C＝45°，∠ ADB ＝∠ ABC ＝105°.(1)若 AD ＝2，求 AB；(2)若 AB ＋CD＝2 3＋2，求 AB.参照答案：1. B2. B3. B4.335.41 DE6. 解：过点 D 作 DE ⊥CD 交 BC 于点 E ，在 Rt △CDE 中，∵tan ∠BCD ＝3＝CD ，1设 DE ＝x ，则 CD ＝3x.又∵ DE ⊥AC ，∴ DE ∥AC ，∵ AD ＝BD ＝2AB ，∴ DE ＝12AC ，∴ AC ＝2DE ＝2x.在 Rt △ACD 中， AC ＝2x ，CD ＝3x ，∴ AD ＝13x ，∴3 132133sinA ＝13 ，cosA ＝13 ，tanA ＝ .27.解：在Rt △ ABC 中，∠ ＝ ° ＝BC ＝2，∵ AB ＝6，∴ BC ＝4.C 90 sinA AB 38. 解：过点 A 作 AD ⊥BC 于点 D ，∵∠ β＝45°，∠ ADC ＝90°，∴ AD ＝ DC ，x 3设 AD ＝DC ＝ xm ，则 tan30 ＝°x ＋100＝ 3 ，解得： x ＝50( 3＋1)，答：河的宽度为 50( 3＋1)m.9. (1)证明：∵ AD ⊥BC ， BE ⊥AC, ∴∠ BDF ＝∠ ADC ＝∠ BEC ＝90°， ∴∠ C ＋∠ DBF ＝90°，∠ C ＋∠ DAC ＝90°， ∴∠ DBF ＝∠ DAC, ∴△ ACD ∽△BFD ；AD(2)∵tan ∠ABD ＝1，∠ADB ＝90°∴ BD ＝1,∴AD ＝BD, ∵△ ACD ∽△ BFD,AC AD∴BF ＝BD ＝1, ∴BF ＝AC ＝3.AD22 10. 解：过点 A 作 AD ⊥BC 于点 D ，Rt △ABD 中，sinB ＝ AB ＝ 4 ，∴AD ＝ 4 ，1141 BD ＝AB 2－AD 2＝1－8＝4 .在 Rt△ACD 中，CD＝AC2－AD 2＝2－8 30＝4 .∴BC＝BD＋CD＝13＋ 304.11.解：∵在Rt△DBC中，∠ DBC＝45°，且CD＝2.3米，∴ BC＝2.3m，∵在AC AD ＋2.3Rt△ ABC 中，∠ABC ＝70.5 °，∴tan70.5 ＝°BC＝ 2.3≈ 2.824，解得：AD≈4.2，答：像体 AD 的高度约为 4.2m.12.解：∵ BN∥ED，∴∠ NBD ＝∠ BDE＝37°，∵ AE ⊥DE，∴∠ E＝ 90°，∴BE＝DE·tan∠BDE≈18.75(cm)，如图，过 C 作 AE 的垂线，垂足为 F，∵∠ FCA＝∠ CAM ＝45°，∴ AF ＝FC＝25cm，∵ CD∥ AE，∴四边形 CDEF 为矩形，∴ CD＝ EF，∵ AE ＝AB ＋ EB＝35.75(cm)，∴ CD＝EF＝AE－AF≈10.8(cm)，答：线段 BE 的长约等于 18.8cm，线段 CD 的长约等于 10.8cm.13.解：依据题意，得△ ABE 和△BDC 是直角三角形，∴∠ 3＝∠ 4＝90°，∵1∠A＋∠ 2＝90°，∠ 1＋∠ 2＝90°.∴tan∠1＝tanA＝3.在 Rt△BCD 中， tan∠1＝CD23 BD，设 CD＝x，则 BD＝3x，∴x2＋(3x)2＝(5)2，∴x＝2，BD＝3x＝22.答：3BD 的长为22米．AB OB AB614.解：(a)由入射角等于反射角，得△ AOB ∽△ COD，∴CD＝OD，即1.7＝3.4，(b)由同一时辰物高与影长成正比，得AB 1 ，∴AB ＝3(m)；(c)由光的直线流传，得△ CEF∽△ CAB ，△CFG∽△ CBD，∴AB第4页/共5页CF FG0.20.6＝CB＝BD，∴AB＝9，∴ AB ＝3(m)．15.解：(1)如图，过点D 作DE⊥AB ，过点B 作BF⊥CD，∵∠A＝∠C＝45°，∠ADB ＝∠ ABC ＝105 °，∴△ ADE 与△ BCF 为等腰直角三角形，∴∠ CBF＝45°，在四边形ABCD 中，∠ ADC ＝360 °－∠ A －∠ C－∠ ABC ＝360 °－ 45°－ 45°－105°＝165°，∴∠ BDF＝∠ ADC －∠ ADB ＝165°－105°＝60°，∴∠ DBF＝30°，∵AD ＝2，∴由勾股定理得 AE＝DE＝ 2.∵∠ ABC ＝105 °，∴∠ ABD ＝105 °－45°－30°＝30°，∴在 Rt△BDE 中， BD＝2DE＝2 2.由勾股定理得B E＝ 6.∴AB＝2＋6；1(2)设 DE＝x，则 AE＝x，BD＝2x，∴ DF＝2BD ＝x，由勾股定理得BE＝3x，BF＝BD 2－ DF2＝2x2－x2＝3x，∴CF＝3x，∵AB＝AE＋BE＝x＋3 x，CD＝DF＋CF＝x＋ 3x，AB ＋CD＝(2＋2 3)x＝ 2 3＋2，∴ x＝1，∴ AB ＝( 3＋1)x＝3＋1.。

解直角三角形及其应用(解析版)2019数学全国中考真题

2019全国中考数学真题知识点37解直角三角形及其应用（解析版）一、选择题 8．（2019·苏州）如同，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度．将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为m 的地面上，若测角仪的高度是1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30°，则教学楼的高度是（） A ． 55.5 mB ．54 mC ．19. 5 mD ．18 m（第8题）【答案】C【解析】过D 作DE ⊥AB ，∵在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为30°，∴∠ADE ＝30°，∵BC ＝DE ＝m ，∴AE ＝DE •tan30°＝18m ，∴AB ＝AE +BE ＝AE +CD ＝18+1.5＝19.5m ，故选C ．8．（2019·温州）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB 的长为（） A ．95sin α米 B ．95cos α米 C ．59sin α米 D ．59cos α米【答案】B【解析】如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D ，则BD=1.5+0.3=1.8(米).在Rt △ABD 中，∠ADB=90°，cosB=BDAB，所以AB =cos BD α= 1.8cos α=95cos α．故选B.10．（2019·长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile 的小岛A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B 与小岛A 的距离是【】A ．．60 n mile C ．120 n mile D ．(30+ n mile【答案】D【解析】过C 作CD ⊥AB 于D 点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．在Rt △ACD 中，cos ∠ACD=CDAC，∴CD=AC •cos ∠ACD=60在Rt △DCB 中，∵∠BCD=∠B=45°，∴∴答：此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是（）nmile ．故本题选：D ．8．（2019·益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图1，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB ＝a ，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为（） A. asin α+asin β B. acos α +a cos β C. atan α+atan β D.βαtan tan aa +第8题图【答案】CD B A【解析】在Rt △ABD 中，∵tan β=ABBD，∴BD=atan β. 在Rt △ABD 中，∵tan α=ABBC，∴BC=atan α. ∴CD=BD+BC=atan α+atan β.1.(2019·泰安)如图,一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行至B 港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C 港在A 港北偏东20°方向,则A,C 两港之间的距离为________km.【答案】B 【解析】如图,由题中方位角可知∠A ＝45°,∠ABC ＝75°,∠C ＝60°,过点B 作BD ⊥AC 于点D,在Rt △ABD 中,∠A ＝45°,AB ＝∴AD ＝ABcosA ＝30,BD ＝ABsinA ＝30,在Rt △BCD 中,∠C ＝60°,∴CD ＝tan BDC＝,∴AC ＝AD+CD ＝故选B.2.（2019·重庆B 卷）如图，AB 是垂直于水平面的建筑物，为测量AB 的高度，小红从建筑物底端B 出发，沿水平方向行走了52米到达点C ，然后沿斜坡CD 前进，到达坡顶D 点处，DC=BC.在点D 处放置测角仪，测角仪支架DE 高度为0.8米，在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角∠AEF 为27°（点A ,B ,C ,D 在同一平面内）.斜坡CD 的坡度（或坡比）i=1：2.4,那么建筑物AB 的高度约为（）【答案】B【解析】作EN ⊥AB 于N,EM ⊥BC 交BC 的延长线于M . ∵斜坡CD 的坡度（或坡比）i=1：2.4,DC=BC =52米，设DM =x 米，则CM =2.4x 米，在Rt △ECM 中，∵2DM + 2CM =2DC ，∴2x +()22.4x =252解得x =20 ∴CM =48米，EM =20+0.8=20.8米，BM =ED +DM =52+48=100米∵EN ⊥AB,EM ⊥BC ，AB ⊥BC ∴四边形ENBM 是矩形. ∴EN=BM=100米，BN=EM =20.8米. 在Rt △AEN 中，∵∠AEF =27°∴AN=EN ﹒tan 27°≈100×0.51=51米 ∴AB=AN +BN =51+20.8=71.8米.故选B ．3.（2019·重庆A 卷）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i ＝1:2.4的山坡AB 上发现有一棵古树CD ．测得古树底端C 到山脚点A 的距离AC ＝26米，在距山脚点A 水平距离6米的点E 处，测得古树顶端D 的仰角∠AED ＝48°（古树CD 与山坡AB 的剖面、点E 在同一平面上，古树CD 与直线AE 垂直），则古树CD 的高度约为（）（参考数据：sin 48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）A ．17.0米B ．21.9米C ．23.3米D ．33.3米【答案】C ．【解析】如答图，延长DC 交EA 于点F ，则CF ⊥EA ．∵山坡AC 上坡度i ＝1:2.4，AC ＝26米，∴令CF ＝k ，则AF ＝2.4k ，由勾股定理，得k 2＋(2.4k )2＝262，解得k ＝10，从而AF ＝24，CF ＝10，EF ＝30．在Rt △DEF 中，tan E ＝DFEF，故DF ＝EF •tan E ＝30×tan48°＝30×1.11＝33.3，于是，CD ＝DF －CF ＝23.3，故选C ．二、填空题20.（2019·遂宁）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固，如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i=1:1，加固后坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i=1:5,问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石时忽略阶梯，结果保留根号）解：如图，分别过点A,E作AN⊥FC于N,EM⊥F于M，则AN=EM,∵从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，∴AN=9米=EM，∵斜坡AB的坡度i=1:1，∴BN=AN=9米，∵斜坡EF的坡度i=1:5，∴FM=95，∴FB=FM+MN-BN=95+2-9=95-7,S梯=EMBFAE⨯+)21（=24552819)759221-=⨯-+（,∴体积为200S梯=81005-4500（m3)答:共需土石81005-4500立方米.21．(2019·广元)如图,某海监船以60海里时的速度从A处出发沿正西方向巡逻,一可疑船只在A的西北方向的C 处,海监船航行1.5小时到达B处时接到报警,需巡查此可疑船只,此时可疑船只仍在B的北偏西30°方向的C处,然后,可疑船只以一定速度向正西方向逃离,海监船立刻加速以90海里/时的速度追击,在D处海监船追到可疑船只,D在B的北偏西60°方向.(以下结果保留根号)(1)求B,C两处之间的距离;(2)求海监船追到可疑船只所用的时间.第21题图解：(1)过点C 作CE ⊥AB 于点E,在Rt △BEC 中,设BC ＝x,∵∠BCE ＝30°,∴BE ＝12BC ＝12x,CE ＝32x,在Rt△ACE 中,AE ＝CE ＝32x,∴AB ＝AE －BE ＝32x －12x,已知AB ＝60×1.5＝90,∴32x －12x ＝90,解之得,x ＝903+90.答:B,C 两处之间的距离(903+90)海里;(2)过点B 作BF ⊥DC 于点F,在Rt △BDF 中,∠DBF ＝60°,由(1)得,BF ＝CE ＝CE ＝32x ＝135+453,∴BD ＝2BF ＝270+903,∴时间为(270+903)÷90＝3+3.答:海监船追到可疑船只所用的时间为(3+3)小时.16．（2019·温州）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC=OD=10分米，展开角∠COD=60°，晾衣臂OA=OB=10分米，晾衣臂支架HG=FE=6分米，且HO=FO=4分米．当∠AOC=90°时，点A 离地面的距离AM 为分米；当OB 从水平状态旋转到OB′（在CO 延长线上）时，点E 绕点F 随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′-BE 为分米．【答案】5+53 4【解析】（1）过点O 分别作OL ⊥MD 、ON ⊥AM ，垂足分别为点L 、N ，则∠LON=90°，四边形NMLO 是矩形，∴MN=LO. ∵OC =OD=10分米，∠COD=60°，∴∠COL=30°，CL=12CD=5，OL=22-OC CL =2210-5=53，∵∠AOC=90°，∴∠AON=30°，∴AN=12AO=5，∴AM=5+53；（2）过点F 分别作FQ ⊥OB 、FP ⊥OC ，垂足分别为点Q 、N. 在Rt △OPQ 中，∠OQP=90°，∠BOD=60°，∴OQ=2，FQ=23，在Rt △EFQ 中，∠EQF=90°，FQ=23，EF=6，∴QE=26，BE=10-2-26=8-26；同理可得PE ′=26，∴B ′E ′=2+10-26=12-26，∴B′E′-BE=(12-26)-(8-26)=4. 故填：5+53 4.FE15．（2019·盐城）如图，在△ABC 中，BC＝，∠C ＝45°，AB ＝AC ，则AC 的长为________.【答案】2【解析】如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，又∠C ＝45°，故sin 2AD C AC==,tan 1AD C CD==，设AD x =，则AC ==，CD=x ，2AB x ==，在Rt △ACD 中，∠ADB=90°，由勾股定理可得：AD 2+BD 2=AB 2，得BD =，所以BC BD CD x =+==1）x =,故AC =2.1.(2019·枣庄)如图,小明为了测量校园里旗杆AB 的高度,将测角仪CD 竖直放在距旗杆底部B 点6m 的位置,在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53°,若测角仪的高度是1.5m,则旗杆AB 的高度约为________m(精确到0.1m).(参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)ABCDABC【答案】9.5【解析】由题可知BC＝6m,CD＝1.5m,过D作DE∥BC交AB于点E,易知四边形BCDE是矩形,∴DE＝BC＝6m,在Rt△ADE中,AE＝DE·tan53°＝7.98m,EB＝CD＝1.5m,∴AB＝AE+EB＝9.48m≈9.5m.第15题答图2.有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度. 图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α. 若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm. 问: 当α＝74°，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为________cm.（参考数据: sin37≈0.6，cos3≈0.8，sin53≈0.8，cos53≈0.6.）图1 图2【答案】120．【解析】如图，过点A作AE⊥BD于点E，则∠AEB＝90°．∵AO ＝85cm ，BO ＝DO ＝65cm α＝74°， ∴∠ODB ＝∠B ＝53°，AB ＝150cm ．在Rt △ABE 中，sin B ＝h AB，故h ＝AB •sin B ＝150×sin53°≈150×0.8＝120．3.（2019·金华）如图，在量角器的圆心O 处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪，量角器的0刻度线AB 对准楼顶时，铅垂线对应的度数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是___________．【答案】40°．【解析】量角器的0刻度线AB 对准楼顶时，铅垂线对应的度数是50°，则过AB 中点的水平线对应的是140°，所以此时观察楼顶的仰角度数是40°． 4.（2019·金华）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME 、EF 、FN 是门轴的滑动轨道，∠E =∠F =90°，两门AB 、CD 的门轴A 、B 、C 、D 都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A 、D 分别在E 、F 处，门缝忽略不计（即B 、C 重合）；两门同时开启，A 、D 分别沿E→M ，F →N 的方向匀速滑动，带动B 、C 滑动；B 到达E 时，C 恰好到达F ，此时两门完全开启，已知AB =50cm ，CD =40cm. （1）如图3，当∠ABE =30°时，BC =_______cm.（2）在（1）的基础上，当A 向M 方向继续滑动15cm 时，四边形ABCD 的面积为_______cm 2.【答案】（1）（90－；（2）2256．图3图2图1B (C )E (A )EF (D )BA【解析】（1）利用直角三角形的性质先求得EB ，CF ，然后进行线段加减即可；（2）根据题意，得S 四边形ABCD ＝S 梯形AEFD －S △ABE －S △CDF ，计算可得. 解：(1)∵ AB =50，CD =40，∴AB ＋CD = EB ＋CF ＝EF =90.在Rt △ABE 中，∵∠E =90°，∠ABE =30°，∴EB ＝同理可得CF ＝∴BC =90－cm ）.（2）根据题意，得AE ＝40, DF =32, EB 30，CF 24, ∴S 四边形ABCD ＝S 梯形AEFD －S △ABE －S △CDF＝12(AE ＋DF )·EF －12AE ·EB －12CF ·DF ＝12(40＋32)×90－12×40×30－12×24×32 ＝2256.5. (2019·宁波)如图,某海防哨所O 发现在它的西北方向,距离哨所400米的A 处有一艘船向正东方向航行,航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B 处,则此时这艘船与哨所的距离OB 约为________米.【答案】566【解析】在Rt △AOH 中,OH ＝AOcos45°＝在Rt △BOH 中,BO ＝566cos60OH=≈.6.（2019·衢州）如图，人字梯AB ，AC 的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的高度AD 是米_________（结果精确到0.1m 参考数据；sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）.【答案】1.5【解析】由三角函数的定义得:sin α= sin50°=AD AC =2AD≈0.77，所以AD ≈2×0.77=1.54≈1.5米. 三、解答题20．（2019年浙江省绍兴市，第20题，8分如图1为放置在水平桌面l 上的台灯，底座的高AB 为5cm ，长度均为20cm 的连杆BC ，CD 与AB 始终在同一平面上．（1）转动连杆BC ，CD ，使∠BCD 成平角，∠ABC ＝150°，如图2，求连杆端点D 离桌面l 的高度DE ．（2）将（1）中的连杆CD 再绕点C 逆时针旋转，使∠BCD ＝165°，如图3，问此时连杆端点D 离桌面l 的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm ，参考数据：73.13,41.12≈≈）解：（1）如图2中，作BO ⊥DE 于O ．∵∠OEA ＝∠BOE ＝∠BAE ＝90°，∴四边形ABOE 是矩形，∴∠OBA ＝90°， ∴∠DBO ＝150°﹣90°＝60°，∴OD ＝BD •sin60°＝20（cm ），∴DF ＝OD +OE ＝OD +AB ＝20+5≈39.6（cm ）．（2）作DF ⊥l 于F ，CP ⊥DF 于P ，BG ⊥DF 于G ，CH ⊥BG 于H ．则四边形PCHG 是矩形， ∵∠CBH ＝60°，∠CHB ＝90°，∴∠BCH ＝30°， ∵∠BCD ＝165°，∠DCP ＝45°，∴CH ＝BC sin60°＝10（cm ），DP ＝CD sin45°＝10（cm ），∴DF ＝DP +PG +GF ＝DP +CH +AB ＝（10+10+5）（cm ）， ∴下降高度：DE ﹣DF ＝20+5﹣10﹣10﹣5＝10﹣10＝3.2（cm ）．22．（2019·嘉兴）某挖掘机的底座高AB＝0.8米，动臂BC＝1.2米，CD＝1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD＝140°．初始位置如图1，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE＝70°（示意图2）．工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点（示意图4）．（1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数．（2）问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米（精确到0.1米）？（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34， 1.73）【解题过程】（1）如图2-1，过点C作CG⊥AM于点G，∵AB⊥AM，DE⊥AM，∴AB//DE//CG∴∠DCG=180°-∠CDE=110°.∴∠BCG=∠BCD -∠DCG=30°.∴∠ABC=180°-∠BCG=150°.∴动臂BC与AB的夹角为150°.（2）如图2-2，过点C作CP⊥DE于点P，过点BQ⊥DE于点Q交CG于点N.在Rt△CPD中，DP=CD×cos70°=0.51（米）在Rt△BCN中，CN=BC×sin60°≈1.04（米）∴DE=DP+PQ+QE=DP+CN+AB≈2.35（米）如图3，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K.在Rt△CKD中，DK=CD×sin5°≈1.16（米）∴DH=DK+KH≈3.16（米）∴DH-DE≈0.8（米）.所以斗杆顶点D的最高点比初始位置高了约0.8米.23.（2019浙江省杭州市，23，12分）(本题满分12分)如图，已知锐角三角形ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D.连接0A.(1)若∠BAC=60°，①求证：OD=12 OA.②当OA=1时，求△ABC面积的最大值.(1)点E在线段0A上.OE=OD.连接DE，设∠ABC=m∠OED.∠ACB=n∠OED(m，n是正数).若∠ABC＜∠ACB.求证:m-n+2=0【解题过程】（1）①连接OB、OC，则∠BOD=BOC=∠BAC=60°，∴∠OBC=30°，∴OD=12OB=12OA；②∵BC长度为定值，∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，当AD过点O时，AD最大，即：AD=AO+OD=32，△ABC面积的最大值=12×BC×AD=12×2OBsin60°×32（2）如图2，连接OC，设∠OED=x，则∠ABC=mx，∠ACB=nx，则∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-mx-nx=12∠BOC=∠DOC，∵∠AOC=2∠ABC=2mx，∴∠AOD=∠COD+∠AOC=180°-mx-nx+2mx=180°+mx-nx，∵OE=OD，∴∠AOD=180°-2x，即：180°+mx-nx=180°-2x，化简得：m-n+2=0．23．（2019山东烟台，23，10分）如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边OA，OB可绕点O开合，在OB边上有一固定点P，支柱PQ可绕点P转动，边OA上有六个卡孔，其中离点O最近的卡孔为M，离点O最远的卡孔为N．当支柱端点Q 放入不同卡孔内，支架的傾斜角发生変化．将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康．现测得OP 的长为12 cm ，OM 为10cm ，支柱PQ 为8cm ．(1)当支柱的端点Q 放在卡孔M 处时，求AOB ∠的度数．(2)当支柱的端点Q 放在卡孔N 处时，20.5AOB ∠=︒，若相邻两孔的距离相等，求此间距．（结果精确到十分位）．【解题过程】（1）解：当支柱的端点Q 放在卡孔M 处时，作出该支架的截面图如图（1），过点P 作PE OA ⊥，垂足为E ，此时，12OP =，10OM OQ ==，8PQ =，因为PE OA ⊥，所以90OEP PEQ ∠=∠=︒，OA设OE x =，所以10EQ OQ OE x =-=-，在Rt △OPE 中，由勾股定理得，222PE OP PE =-2212x =-，在Rt △PEQ 中，由勾股定理得，222PE PQ EQ =-228(10)x =--，所以2222128(10)x x -=--，解得9x =，所以9OE =,在Rt △OPE 中，9cos 0.4512OE AOB OP ∠===, 由参考数据表，可得，41AOB ∠=︒．（2）解：当支柱的端点Q 放在卡孔N 处时，作出该支架的截面图如图（2），过点P 作PE OA ⊥，垂足为F ，此时，12OP =，ON OQ =，8PQ =，20.5AOB ∠=︒，因为PE OA ⊥，所以90OEP PEQ ∠=∠=︒，在Rt △OPE 中，sin PEAOB OP∠=，所以sin sin 20.5120.45 4.2PE OP AOB OP =⨯∠=⨯︒=⨯=，在Rt △PEQ 中，由勾股定理得，6.8FQ ====，在Rt △OPE 中，由勾股定理得，11.24OF ====2212x =-，所以11.24 6.818.04ON OF FQ =+=+=，所以18.04101.655ON OM d --==≈, 所以相邻两孔的距离为1.6cm ．22（2019山东威海，22，9分）如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已OA知汽车货厢高度BG ＝2米，货厢底面距地面的高度BH ＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH ＝α，木箱的长（FC ）为2米，高（EF ）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα＝，木箱底部顶点C 与坡面底部点A 重合时，木箱上部顶点E 会不会触碰到汽车货厢顶部．【解题过程】∵BH ＝0.6，sinα＝， ∴AB ＝＝1， ∴AH ＝0.8，∵AF ＝FC ＝2，∴BF ＝1，作FQ ⊥BG 于点Q ，作EP ⊥FQ 于点P ，∵EF ＝FB ＝AB ＝1，∠EPF ＝∠FQB ＝∠AHB ＝90°，∠EFP ＝∠FBQ ＝∠ABH ， ∴△EFP ≌△FBQ ≌△ABH ， ∴EP ＝FQ ＝AH ，BQ ＝BH ，∴BQ ＋EP ＝0.6＋0.8＝1.4（米）＜2米，∴木箱上部顶点E 不会触碰到汽车货厢顶部．20．（2019江西省，20，8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B —A —O 表示固定支架，AO 垂直水平桌面OE 于点O ，点B 为旋转点，BC 可转动，当BC 绕点B 顺时针旋转时，投影探头CD 始终垂直于水平桌面OE ，经测量：AO ＝6.8cm ，CD ＝8cm ，AB ＝30cm ，BC ＝35cm.(结果精确到01) (1)如图2，∠ABC ＝70°，BC ∥OE. ①填空：∠BAO ＝ °； ②求投影探头的端点D 到桌面OE 的距离.(2)如图3，将(1)中的BC 向下旋转，当投影探头的端点D 到桌面OE 的距离为6cm 时，求∠ABC 的大小. (参考数：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60)35350.63sin 5BH α=【解题过程】解：（1）①如图所示，延长OA 交BC 于点F ，∵BC ∥OE ，OA ⊥OE ， ∴∠BFA=∠AOE=90°，∴∠BAO=∠BFA+∠ABC=90°+70°=160°. 答案：160②∵∠BFA=90°，∠ABC=70°，AB ＝30cm ，sin70°≈0.94， ∴AF=AB ·sin70°≈30×0.94=28.2（cm ）. ∵OA=6.8cm ，∴OF=AF+OA=28.2+6.8=35（cm ）.又∵CD 始终垂直于水平桌面OE ，且CD ＝8cm ， ∴点D 到桌面OE 的距离为：OF-CD=35-8=27（cm ）. （2）如图所示，作BH ⊥CD 于点H ，∵D 到桌面OE 的距离为6cm ，H 到桌面OE 的距离为35cm ，CD ＝8cm ， ∴CH=35-8-6=21（cm ），又∵BC ＝35cm ，∠H=90°， ∴sin ∠CBH=6.0533521===BC CH ， ∵sin36.8°≈0.60， ∴∠CBH=36.8°. 又∵∠ABH=70°,∴∠ABC=∠ABH-∠CBH=70°-36.8°=33.2°. 20．（2019·山西）某"综合与实践"小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制定了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上,选取两个不同测点,分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果,测量数据如下表(不完整).课题测量旗杆的高度任务二:根据以上测量结果,请你帮助该"综合与实践"小组求出学校旗杆GH的高度.(参考数据:sin25.7°≈0.43,cos25.7°≈0.90,tan25.7°≈0.48,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)任务三:该"综合与实践"小组在制定方案时,讨论过"利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度"的方案,但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可)【解题过程】任务一:平均值＝(5.4+5.6)÷2＝5.5m任务二:由题意可得,四边形ACDB,ACEH都是矩形,∴EH＝AC＝1.5,CD＝AB＝5.5,设EG＝xm,在Rt△DEG中,∠DEG＝90°,∠GDE＝31°,∵tan31°＝EGDE,∴DE＝tan31x,在Rt△CEG中,∠CEG＝90°,∠GCE＝25.7°,∵tan25.7°＝EGCE,∴CE＝tan25.7x,∵CD＝CE－DE,∴tan25.7x－tan31x＝5.5,∴x＝13.2,∴GH＝GE+EH＝13.2+1.5＝14.7.答:旗杆GH的高度为14.7m.任务三:答案不唯一:没有太阳光,旗杆底部不可到达,测量旗杆影子的长度遇到困难等.22．（2019·娄底）如图（11），某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i＝1:1．为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α，β．已知tan2α=，tan4β=，求山顶A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．解：如图（11－1），设DA与CB的交点为O．∵96tan tan2DCOOC OCα∠====，∴48OC=同理，∵96tan tan4DCDBCBC BCβ∠====∴24BC=．∴482424OB OC BC=-=-=．设AE x=米,则则由i＝1:1得BE x=,12OE x=；∴1242x x+=，∴16x=∴山顶A的高度AE为16米．22．（2019·衡阳）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°，已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1，(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房AB高度.（结果精确到0.1≈1041）解：设楼房AB的高为x米，则EBx，∵坡度i＝1: CD的铅直高度为5米，坡面的水平宽度为米，∴105)x x=-，解得x＝15＋≈237（米）.所以楼房AB的高度约为237米.21．(2019·泰州,21题,10分)某体育看台侧面的示意图如图所示,观众区AC的坡度i为1∶2,顶端C离水平地面AB的高度为10m,从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′,竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m,E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m,求:⑴观众区的水平宽度AB;⑵顶棚的E处离地面的高度EF.(sin18°30′≈0.32,tan18°30′≈0.33,结果精确到0.1m)第21题图【解题过程】(1)因为AC的坡度i为1∶2,所以12CBAB=,因为BC＝10m,所以AB＝20m;(2)在Rt△DEG中,∠EDG＝18°30′,tan∠EDG＝EGGD,GD＝FB＝FA+AB＝23m,所以EG＝7.59m,所以EF＝EG+GF ＝EG+DB＝EG+DC+CB＝21.59≈21.6m,顶棚的E处离地面的高度EF为21.6m.E第21题答图22．（2019·黄冈）如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°.求这两座建筑物AB，CD的高度.≈1.414）【解题过程】22．（2019·陇南）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，∴四边形CEHF是矩形，∴CE＝FH，在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，∴CE＝AC•sin60°＝34.6（cm），∴FH＝CE＝34.6（cm）∵DH＝49.6cm，∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15（cm），在Rt△CDF中，sin∠DCF＝＝＝，∴∠DCF＝30°，∴此时台灯光线为最佳．21．（2019·株洲）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α，且tanα＝13，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．（1）求BC的长度；（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边），MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点F1为点F的对应点）．求障碍物的高度．【解题过程】(1)如图，∵l1∥l2∴∠ABC=α∴tan∠ABC=ACBC=tanα＝13，∴BC=3AC==⨯3 1.6 4.8(米）∴BC的长度为4.8米。

2019年中考数学解直角三角形试题

中考数学解直角三角形试题复习题1.如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为.2.如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为3．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC= ．4.在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，则BC=5. 4月26日，2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为，B处的俯角为．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是米．7. 15．如图，小明在一块平地上测山高，先在B 处测得山顶A 的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C 处，再测得山顶A 的仰角为45°，那么山高AD 为米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.7328．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC =BD =15cm ,∠CBD =40°,则点B 到CD 的距离为cm (参考数据：sin 20°≈ 0.342, com 20°≈0.940, sin 40°≈ 0.643, com 40°≈ 0.766.精确到0.1cm ,可用科学计算器).9．如图，在△ABC 中，AB =BC =4，AO=BO ,P 是射线CO 上的一个动点，∠AOC =60°,则当△P AB 为直角三角形时，AP 的长为 .10. （2015•浙江金华，第16题4分）图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时，点A ，B ，C 在同一直线上，且∠ACD =90°.图2是小床支撑脚CD 折叠的示意图，在折叠过程中，ΔACD 变形为四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD".（1）小床这样设计应用的数学原理是 ▲ （2）若AB ：BC =1：4，则tan ∠CAD 的值是 ▲（（第13题）图2图1A （第14题）AB11.如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是▲ m（结果保留根号）12.如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距38m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°.则旗杆的高度约为m.（结果精确到0.1m,参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）13. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为65°，热气球与高楼的水平距离AD为120m.求这栋高楼的高度. （结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）14.小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，小强家与这栋楼的水平距离为42m，这栋楼有多高？15. （2015辽宁大连，15，3分）如图，从一个建筑物的A处测得对面楼BC的顶部B的仰角为32°，底部C的俯角为45°，观测点与楼的水平距离AD为31cm，则楼BC的高度约为_______m(结果取整数）。

2019届初三数学中考复习锐角三角函数和解直角三角形专项训练含答案

2019届初三数学中考复习锐角三角函数和解直角三角形专项训练1. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( )A ．csinA ＝aB ．bcosB ＝cC ．atanA ＝bD ．ctanB ＝b2. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sin ∠E 的值为( )A.12B.22C.32D.333. 如图，在距离铁轨200米的B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A 处时，恰好位于B 处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C 处，恰好位于B 处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( )．A ．20(3＋1)米/秒B ．20(3－1)米/秒C ．200米/秒D ．300米/秒 4. 如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB ＝α，则拉线BC 的长度为(A ，D ，B 在同一条直线上)( )A.h sin αB.h cos αC.h tan αD ．h ·cos α 5. 某楼梯的侧面如图所示，已测得BC 的长约为3.5米，∠BCA 约为29°，则该楼梯的高度AB 可表示为( )A ．3.5sin29°米B ．3.5cos29°米C ．3.5tan29°米 D. 3.5cos29°米6. 如图，一艘轮船在A 处测得灯塔P 位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B 处后，此时测得灯塔P 位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P 的距离是( )A ．153海里B ．30海里C ．45海里D ．303海里7. 如图，学校环保社成员想测量斜坡CD 旁一棵树AB 的高度，他们先在点C 处测得树顶B 的仰角为60°，然后在坡顶D 测得树顶B 的仰角为30°，已知斜坡CD 的长度为20 m ，DE 的长为10 m ，则树AB 的高度是( )A．20 3 m B．30 m C．30 3 m D．40 m8. 如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( )A．29.1米 B．31.9米 C．45.9米 D．95.9米9. 计算（tan60°）2－4tan60°＋4＋22cos45°tan60°－tan45°＝____.10. 计算sin60°cos30°－tan45°的值是____．11. 计算2cos30°－22sin60°·cos45°＝____．12. 计算4cos30°sin60°＋(－2)－1－( 2 017－2 016)0＝____．13. 计算sin260°＋cos60°－tan45°＝____．14. (π－2 017)0＋(sin60°)－1－|tan30°－3|＋38的计算结果为____． 15. 2(2cos45°－sin60°)＋244的计算结果为____． 16. |－2|＋2sin30°－(－3)2＋(tan45°)－1的计算结果为____． 17. (13)－1－2 0170＋|－43|－tan60°的计算结果为__________.18. 如图，在四边形ABCD 中，∠BCD 是钝角，AB ＝AD ，BD 平分∠ABC ，若CD ＝3，BD ＝26，sin ∠DBC ＝33，求对角线AC 的长．19. 在△ABC 中，∠C ＝150°，AC ＝4，tanB ＝18. (1)求BC 的长；(2)利用此图形求tan15°的值．(精确到0.1，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2)．20. 如图，某校教学楼AB 的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE ；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有13米的距离(B ，F ，C 在一条直线上)．(1) 求教学楼AB 的高度；(2) 学校要在A ，E 之间挂一些彩旗，请你求出A ，E 之间的距离．(结果保留整数，参考数据：sin 22°≈38，cos 22°≈1516，tan 22°≈25)参考答案：1---8 AAABA BBA 9. 3 10. 0 11. 0 12. 32 13. 14 14. 3 15. 2 16. 1 17. 2＋3318. 解：如图，过点D 作DE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ，则∠E ＝90°.∵sin ∠DBC ＝33，BD ＝26，∴DE ＝2 2.∵CD ＝3，∴CE ＝1，BE ＝4，∴BC ＝3，∴BC ＝CD ，∴∠CBD ＝∠CDB.∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∴AB ∥CD ，同理AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是菱形，连结AC 交BD 于O 点，则AC ⊥BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ＝6，∴OC ＝BC 2－BO 2＝3，∴AC ＝2 3.19. 解：(1) 如图，过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D.在Rt △ADC 中，AC ＝4，∵∠ACB ＝150°，∴∠ACD ＝30°，∴AD ＝12AC ＝2，CD ＝AC·cos 30°＝4×32＝2 3.在Rt △ABD 中，tan B ＝AD BD ＝2BD ＝18，∴BD ＝16，∴BC ＝BD －CD ＝16－2 3.(2) 如图，在BC 边上取一点M ，使得CM ＝AC ，连结AM.∵∠ACB ＝150°，∴∠AMC ＝∠MAC ＝15°，∴tan 15°＝tan ∠AMD ＝AD MD ＝24＋23＝12＋3≈0.3.20. 解：(1) 如图，过点E 作EM ⊥AB ，垂足为点M.设AB 为x.在Rt △ABF 中，∠AFB ＝45°，∴BF ＝AB ＝x ，∴BC ＝BF ＋FC ＝x ＋13.在Rt △AEM 中，∠AEM ＝22°，AM ＝AB －BM ＝AB －CE ＝x －2，∴tan 22°＝AM ME ＝x －2x ＋13＝25，∴x ＝12.即教学楼的高度为12米．(2) 由(1)可得，ME ＝BC ＝x ＋13＝12＋13＝25.在Rt △AME 中，cos 22°＝MEAE ，∴AE ＝MEcos 22°≈27，即A ，E 之间的距离约为27米．。

初三数学中考复习锐角三角函数和解直角三角形专题综合训练题含答案

2019 初三数学中考复习锐角三角函数和解直角三角形专题综合训练题1. 在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，AB ＝5，BC＝3，则 tanA 的值是 ( A )3434A. 4B.3C.5D.52.在正方形网格中，△ABC 的地点以以下图，则 cosB 的值为 ( B )A.1B.2C.3D.3 22233.如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是 ( D )2551A．2B.5 C. 5 D.24．以以下图，一个斜坡长 130 m，坡顶离水平川面的距离为50 m，那么这个斜坡与水平川面夹角的正切值等于( C )1312513A. 15B.13C.12D.1245．在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°， sinA＝5，AC＝6 cm，则 BC 的长度为 ( C )A ．6 cm B． 7 cm C．8 cm D．9 cm6．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东 45°方向，距离灯塔 60 n mile 的 A 处，它沿正北方向航行一段时间后，抵达位于灯塔P 的北偏东 30°方向上的 B 处，这时， B 处与灯塔 P 的距离为 ( B )A ．60 3 n mile B．60 2 n mileC．30 3 n mile D．30 2 n mile7．如图，小明为了丈量一凉亭的高度AB( 顶端 A 到水平川面 BD 的距离 )，在凉亭的旁边搁置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶 DE(DE＝BC＝ 0.5 米， A，B，C 三点共线 )，把一面镜子水平搁置在平台上的点G 处，测得 CG＝15 米，此后沿直线 CG 退后到点 E 处，这时恰幸亏镜子里看到凉亭的顶端A，测得 EG＝3 米，小明身高 1.6 米，求凉亭的高度AB 约为 ( A )A ．8.5 米B．9 米C．9.5 米D．10 米8．如图，小王在长江边某眺望台 D 处，测得江面上的渔船 A 的俯角为 40°，若 DE＝3 米， CE＝2 米， CE 平行于江面 AB ，迎水坡 BC 的坡度 i＝1∶0.75，坡长 BC＝10 米，则此时 AB 的长约为 ( A)(参照数据：sin40°≈ 0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈ 0.84)A ．5.1 米B．6.3 米C．7.1 米D．9.2 米159. 如图， Rt△ABC 中，∠ C＝90°， BC＝15，tanA＝8，则 AB ＝__17__．1（tanβ－1）2＝0，则α＋β＝__75°10．已知α，β均为锐角，且知足 |sinα－|＋2__．11．如图，在半径为 3 的⊙O 中，直径 AB 与弦 CD 订交于点 E，连接 AC，BD ，若 AC＝2，则 tanD＝ __2 2__．12．以以下图，运载火箭从地面 L 处垂直向上发射，当火箭抵达 A 点时，从位于地面 R 处的雷达测得 AR 的距离是 40 km，仰角是 30°，n 秒后，火箭抵达 B 点，此时仰角是 45°，则火箭在这 n 秒中上涨的高度是 __(20 3－20)__km.13．如图，轮船从 B 处以每小时 60 海里的速度向沿南偏东 20°方向匀速航行，在B 处观察灯塔 A 位于南偏东 50°方向上，轮船航行 40 分钟抵达C 处，在 C40 3处观察灯塔 A 位于北偏东 10°方向上，则 C 处与灯塔 A 的距离是 __3__海里．14．如图是耸立在高速公路边水平川面上的交通警告牌，经丈量获得以下数据：AM ＝4 米， AB ＝8 米，∠ MAD ＝45°，∠ MBC ＝30°，则警告牌的高CD 为__2.9__米． (结果精准到 0.1 米，参照数据：2≈1.41， 3≈1.73)15．如图，海中有一小岛A，它四周 8 海里内有暗礁，渔船追踪鱼群由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60°方向上，航行12 海里抵达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30°方向上．假如渔船不改变航线连续向东航行，有没有触礁的危险？解：如图，过 A 作 AC⊥BD 于点 C，则 AC 的长是 A 到 BD 的最短距离，∵∠CAD ＝30°，∠ CAB ＝60°，∴∠ BAD ＝60°－ 30°＝ 30°，∠ ABD ＝90°－60°＝30°，∴∠ ABD ＝∠BAD ，∴ BD ＝AD ＝12 海里．∵∠ CAD ＝30°，∠ACD ＝90°，∴CD＝21AD ＝6 海里，由勾股定理得 AC＝122－62＝ 6 3≈ 10.923＞8，即渔船连续向正东方向行驶，没有触礁的危险．16．我国踊跃组织抢险队赴地震灾区参加抢险工作，如图，某探测队在地面 A ，B 两处均探测出建筑物下方 C 处有生命迹象．已知探测线与地面的夹角分别是25°和 60°，且 AB ＝4 米，求该生命迹象所在的地点 C 的深度 (结果精准到1米，参照数据： sin25°≈ 0.4，cos25°≈ 0.9，tan25°≈ 0.5，3≈ 1.7)．解：过点 C 作 CD⊥AB ，交 AB 延伸线于 D.设 CD 长为 x 米，在 Rt△ACD 中，AD ＝CD＝ 2x 米．tan25°CD3在 Rt△BCD 中， BD＝tan60°＝3 x 米．3度为 3米．17．如图，某校讲课楼AB 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为 12 米，坡角α为 60°，依据相关部门的规定，∠α≤ 39°时，才能防范滑坡危险，学校为了除去安全隐患，决定对斜坡 CD 进行改造，在保持坡脚 C 不动的状况下，学校最少要把坡顶D 向后水平挪动多少米才能保证讲课楼的安全？ (结果取整数 )(参照数据：sin39°≈0.63，cos39°≈ 0.78，tan39°≈ 0.81， 2≈ 1.41， 3≈ 1.73， 5≈2.24)解：假定点 D 移到 D′的地点时，恰巧∠α＝39°，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，过点D′作 D′ E⊥′AC 于点 E′∵.CD＝12 米，∠ DCE＝60°，∴ DE＝CD·sin60°＝12×3＝613(米)，CE＝CD·cos60°＝ 12×＝ 6(米)．∵DE⊥AC ， D′E′⊥22AC ，DD ′∥ CE′，∴四边形 DEE′ D是′矩形，∴ DE＝D′ E＝′6 3米．∵∠ D′CE′＝39°，∴CE′＝D′E′ 6 3tan39°≈0.81≈ 12.8(米)，∴ EE′＝ CE′－ CE＝ 12.8－6＝6.8 ≈米7( )．答：学校最少要把坡顶 D 向后水平挪动 7 米才能保证讲课楼的安全．。

2019年中考数学总复习几何与图形模块之《解直角三角形》解题能力提升训练试题(含答案)

2019年中考数学总复习几何与图形模块之《解直角三角形》解题能力提升训练试题一、选择题1．(2017·日照)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sin A 的值为( )A.513B.1213C.512D.1252．(2017·宜昌)△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD ⊥BC 于D ，下列选项中，错误的是( )A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2 C ．sin β＝cos βD ．tan α＝1第2题图第3题图3．(2017·益阳)如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB ＝α，则拉线BC 的长度为(A ，D ，B 在同一条直线上)( )A.h sin αB.h cos αC.h tan α D ．h ·cos α4．(2017·聊城)在Rt △ABC 中，cos A ＝12，那么sin A 的值是( ) A.22 B.32 C.33 D.125．(2017·滨州)如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为( )A ．2＋ 3B ．2 3C ．3＋ 3D ．3 3第5题图第6题图6．(2017·深圳)如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20 m，DE的长为10 m，则树AB的高度是()m()A．20 3 B．30 C．30 3 D．40二、填空题7．(2017·广州)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tan A＝158，则AB＝.8．(2017·烟台)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝3，则sin A2＝.9．(2017·德阳)如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝62米，背水坡CD的坡度i＝1∶3(i为DF与FC的比值)，则背水坡CD的坡长为米．10．(2017·大连)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86 n mile 的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时，B处与灯塔P的距离约为n mile.(结果取整数，参考数据：3≈1.7，2≈1.4)11．(2017·大庆)如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80 m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为m.三、解答题12．(2017·海南)为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米(即CD＝2米)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图所示，已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC.(参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.2)13．(2017·濮阳一模)小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°.已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100 m，请求出热气球离地面的高度．(结果保留整数，参考数据：sin 35°≈712，cos 35°≈56，tan 35°≈710)14．(2017·洛阳一模)如图所示，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，展开小桌板使桌面保持水平时如图1，小桌板的边沿O点与收起时桌面顶端A点的距离OA＝75厘米，此时CB⊥AO，∠AOB＝∠ACB＝37°，且桌面宽OB与支架长BC的长度之和等于OA的长度．(1)求∠CBO的度数；(2)求小桌板桌面的宽度OB.(参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75)1．(2017·青岛)如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520 km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．(结果保留整数，参考数据：sin 67°≈1213，cos 67°≈513，tan 67°≈125，3≈1.73)2．(2017·凉山)如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱高AB应该设计为多少米？(结果保留根号)3．(2017·荆州)如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方23米处的点C出发，沿斜面坡度i＝1∶3的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE.求旗杆AB的高度．(计算结果保留根号，参考数据：sin 37°≈35，cos 37°≈45，tan 37°≈34)4．(2017·广安)如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A，D.从D点测到B点的仰角α为60°，从C点测得B 点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB＝30米．(1)求甲、乙两建筑物之间的距离AD；(2)求乙建筑物的高CD.5．(2017·郴州)如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A，C两城市间修建一条高速公路(即线段AC)，经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120 km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100 km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？(参考数据：3≈1.73)6．(2017·周口模拟)如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°，信号塔底端Q的仰角为31°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是68°，求信号塔PQ的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.48，tan 31°≈0.60，sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86)解直角三角形答案一、选择题1．(2017·日照)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sin A的值为(B)A.513 B.1213 C.512 D.1252．(2017·宜昌)△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC 于D，下列选项中，错误的是(C)A．sin α＝cos αB．tan C＝2C．sin β＝cos βD．tan α＝1第2题图第3题图3．(2017·益阳)如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB ＝α，则拉线BC 的长度为(A ，D ，B 在同一条直线上)( B )A.h sin αB.h cos αC.h tan α D ．h ·cos α4．(2017·聊城)在Rt △ABC 中，cos A ＝12，那么sin A 的值是( B ) A.22 B.32 C.33 D.125．(2017·滨州)如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为( A )A ．2＋ 3B ．2 3C ．3＋ 3D ．3 3第5题图第6题图6．(2017·深圳)如图，学校环保社成员想测量斜坡CD 旁一棵树AB 的高度，他们先在点C 处测得树顶B 的仰角为60°，然后在坡顶D 处测得树顶B 的仰角为30°，已知斜坡CD 的长度为20 m ，DE 的长为10 m ，则树AB 的高度是( )m( B )A ．20 3B ．30C ．30 3D ．40二、填空题7．(2017·广州)如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tan A ＝158，则AB ＝ 17 .8．(2017·烟台)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝3，则sin A2＝12.9．(2017·德阳)如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝62米，背水坡CD的坡度i＝1∶3(i为DF与FC的比值)，则背水坡CD的坡长为12米．10．(2017·大连)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86 n mile 的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时，B处与灯塔P的距离约为102n mile.(结果取整数，参考数据：3≈1.7，2≈1.4)11．(2017·大庆)如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80 m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离三、解答题12．(2017·海南)为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米(即CD＝2米)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图所示，已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC.(参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.2)解：设水坝原来的高度BC 为x 米．在Rt △ABC 中，∠CAB ＝180°－∠EAC ＝50°，∴AB ＝BC tan 50°≈BC 1.2＝56x .在Rt △EBD 中，∵i ＝DB ∶EB ＝1∶1，∴BD ＝BE ，∴CD ＋BC ＝AE ＋AB ，即2＋x ＝4＋56x ，解得x ＝12.答：水坝原来的高度BC 约为12米．13．(2017·濮阳一模)小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B ，C 两点的俯角分别为45°，35°.已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100 m ，请求出热气球离地面的高度．(结果保留整数，参考数据：sin 35°≈712，cos 35°≈56，tan 35°≈710)解：过点A 作AD ⊥BC 交CB 的延长线于点D ，如解图所示．设AD ＝x .由题意得，∠ABD ＝45°，∠ACD ＝35°.在Rt △ADB 中，∵∠ABD ＝45°，AD ＝x ，∴DB ＝x ，∴CD ＝BC ＋BD ＝100＋x .在Rt △ADC 中，∵∠ACD ＝35°，tan ∠ACD ＝AD CD ，∴xx＋100≈710，解得x≈233.答：热气球离地面的高度约为233 m.14．(2017·洛阳一模)如图所示，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，展开小桌板使桌面保持水平时如图1，小桌板的边沿O点与收起时桌面顶端A点的距离OA＝75厘米，此时CB⊥AO，∠AOB＝∠ACB＝37°，且桌面宽OB与支架长BC的长度之和等于OA的长度．(1)求∠CBO的度数；(2)求小桌板桌面的宽度OB.(参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75)解：(1)如解图所示，延长CB交OA于点E.∵CB⊥OA，∴∠BEO＝90°.∵∠AOB＝37°，∴∠CBO＝∠AOB＋∠BEO＝37°＋90°＝127°；(2)如解图所示，延长OB交AC于点F.设BC＝x.由题意知OB＝OA－BC＝75－x.∵∠AOB＝∠ACB，∠OBE＝∠CBF，∠AOB＋∠OBE＝90°，∴∠ACB＋∠CBF＝90°，∴△BFC是直角三角形．在Rt△BFC中，∵∠ACB＝37°，∴BF ＝BC ·sin 37°≈0.6x ， ∴OF ＝OB ＋BF ＝75－0.4x . 在Rt △OAF 中，∵∠AOB ＝37°， ∴cos 37°＝OF AO ＝75－0.4x 75≈0.8，解得x ＝37.5.∴OB ＝OA －BC ＝75－37.5＝37.5(厘米)．答：小桌板桌面的宽度OB 约为37.5厘米．1．(2017·青岛)如图，C 地在A 地的正东方向，因有大山阻隔，由A 地到C 地需要绕行B 地，已知B 地位于A 地北偏东67°方向，距离A 地520 km ，C 地位于B 地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A 地到C 地之间高铁线路的长．(结果保留整数，参考数据：sin 67°≈1213，cos 67°≈513，tan 67°≈125，3≈1.73)解：过点B 作BD ⊥AC 于点D ，如解图所示．在Rt △ABD 中，∵∠ABD ＝67°，AB ＝520， ∴AD ＝AB ·sin 67°≈1213×520＝480， BD ＝AB ·cos 67°≈513×520＝200.在Rt △BCD 中，∵∠CBD ＝30°，BD ＝200， ∴CD ＝BD ·tan 30°≈33×200＝20033.∴AC ＝CD ＋DA ＝20033＋480≈595.3≈595(km)．答：A 地到C 地之间高铁线路的长约为595 km.2．(2017·凉山)如图，若要在宽AD 为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC 长2米，且与灯柱AB 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO 与灯臂BC 垂直，当灯罩的轴线CO 通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱高AB 应该设计为多少米？(结果保留根号)解：分别延长OC ，AB 交于点P ，如解图所示．∵∠ABC ＝120°，∴∠PBC ＝180°－120°＝60°. ∵∠OCB ＝90°，∴∠P ＝180°－90°－60°＝30°. ∵AD ＝20， ∴OA ＝12AD ＝10.在Rt △CPB 中，∵∠P ＝30°，BC ＝2， ∴PB ＝BC sin 30°＝4.在Rt △AOP 中，∵AO ＝10，∠P ＝30°， ∴AP ＝OA tan 30°＝1033＝10 3.∴AB ＝P A －PB ＝(103－4)(米)．答：路灯的灯柱高AB 应该设计为(103－4)米．3．(2017·荆州)如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB 的高度，沿旗杆正前方23米处的点C 出发，沿斜面坡度i ＝1∶3的斜坡CD 前进4米到达点D ，在点D 处安置测角仪，测得旗杆顶部A 的仰角为37°，量得仪器的高DE 为1.5米．已知A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内，AB ⊥BC ，AB ∥DE .求旗杆AB 的高度．(计算结果保留根号，参考数据：sin 37°≈35，cos 37°≈45，tan 37°≈34)解：延长ED 交BC 的延长线于点F ，过点E 作EG ⊥AB 于点G ，如解图所示．则∠CFD ＝90°. ∵i ＝tan ∠DCF ＝13＝33， ∴∠DCF ＝30°. 在Rt △CDF 中， ∵CD ＝4，∴DF ＝CD ·sin 30°＝12×4＝2，CF ＝CD ·cos 30°＝4×32＝23， ∴BF ＝BC ＋CF ＝23＋23＝4 3. ∵EG ⊥AB ，AB ⊥BC ，EF ⊥BF ， ∴四边形GBFE 是矩形， ∴GE ＝BF ＝43，GB ＝EF ＝ED ＋DF ＝1.5＋2＝3.5. 在Rt △AGE 中， ∵∠AEG ＝37°，∴AG ＝GE ·tan ∠AEG ＝43·tan 37°≈33， ∴AB ＝AG ＋BG ≈(33＋3.5)(米)．答：旗杆AB 的高度约为(33＋3.5)米．4．(2017·广安)如图，线段AB ，CD 分别表示甲、乙两建筑物的高，BA ⊥AD ，CD ⊥DA ，垂足分别为A ，D .从D 点测到B 点的仰角α为60°，从C 点测得B 点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB ＝30米． (1)求甲、乙两建筑物之间的距离AD ； (2)求乙建筑物的高CD .解：(1)在Rt △ABD 中，α＝60°，AB ＝30， ∴AD ＝AB tan 60°＝103(米)．答：甲、乙两建筑物之间的距离AD 为103米； (2)过点C 作CE ⊥AB 于点E ，如解图所示．∵AB ⊥AD ，CD ⊥DA ，CE ⊥AB ， ∴四边形CDAE 为矩形， ∴CD ＝AE ，CE ＝AD ＝10 3.在Rt △BCE 中，β＝30°，CE ＝103， ∴BE ＝CE ·tan 30°＝10，∴CD ＝AE ＝AB －BE ＝30－10＝20(米)．答：乙建筑物的高度CD 为20米．5．(2017·郴州)如图所示，C 城市在A 城市正东方向，现计划在A ，C 两城市间修建一条高速公路(即线段AC )，经测量，森林保护区的中心P 在A 城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120 km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100 km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？(参考数据：3≈1.73)解：计划修建的这条高速公路不会穿越保护区．理由如下：过点P作PH⊥AC于点H，如解图所示．由题意可知∠EAP＝60°，∠FBP＝30°，∴∠P AB＝30°，∠PBH＝60°.∵∠PBH＝∠P AB＋∠APB，∴∠BAP＝∠BP A＝30°，∴BA＝BP＝120.在Rt△PBH中，sin∠PBH＝PH PB，∴PH＝PB·sin 60°＝120×32≈103.8.∵103.8＞100，∴这条高速公路不会穿越保护区．6．(2017·周口模拟)如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°，信号塔底端Q的仰角为31°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是68°，求信号塔PQ的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.48，tan 31°≈0.60，sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86)解：延长PQ交直线AB于点M，如解图所示，则∠PMA＝90°.设PM的长为x米．在Rt△P AM中，∠P AM＝45°，∴AM＝PM＝x，∴BM＝x－100.在Rt△PBM中，∵tan∠PBM＝PM BM，∴tan 68°＝xx－100≈2.48，解得x≈167.57.∴PM＝167.57.在Rt△QAM中，∵tan∠QAM＝QM AM，∴QM＝AM·tan∠QAM＝167.57·tan 31°≈167.57×0.60≈100.54，∴PQ＝PM－QM＝167.57－100.54≈67.0(米)．答：信号塔PQ的高度约为67.0米．。