湖北省孝感市2013—2014学年度高中三年级第二次统一考试数学(理科)

湖北省孝感市２０１３—２０１４学年度高中三年级第二次统一考试
数学（理科）
本试卷满分１５０分，考试时间１２０分钟．
注意事项：
１ 答题前，请考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试题卷和答题卡上．
２ 考生答题时，选择题请用２Ｂ铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请按
照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．
３ 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本大题共１０小题，每小题５分，共５０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
１ 复数的共轭复数是
Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.
２ 已知正方形ＡＢＣＤ边长为１，，，，则｜ａ＋ｂ＋ｃ｜＝
Ａ.０Ｂ.３Ｃ.Ｄ.
３ 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了５次试验，收集数据如下：
经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数ｘ与加工时间ｙ这两
个变量，下列判断正确的是
Ａ 成正相关，其回归直线经过点（３０，７５）
Ｂ 成正相关，其回归直线经过点（３０，７６）
Ｃ 成负相关，其回归直线经过点（３０，７６）
Ｄ 成负相关，其回归直线经过点（３０，７５）
４ 已知随机变量ξ服从正态分布，若，则
Ｐ（ξ＜０）＝
Ａ ０．３Ｂ ０．４Ｃ ０．６Ｄ ０．７
５ 一算法的程序框图如右图所示，若输出的，则输入的ｘ可能为
Ａ.－１Ｂ.０Ｃ.１Ｄ.５
６ 已知ｘ，ｙ，ｚ均为正数，且ｘ＋ｙ＋ｚ＝２，则的最大值是
Ａ.２Ｂ.Ｃ. Ｄ ３
７ 函数的最大值是
Ａ.２Ｂ.１Ｃ.Ｄ.３
８ 对于每个非零自然数ｎ，抛物线与ｘ轴交于Ａｎ、Ｂｎ两点，以
ＡｎＢｎ表示这两点间的距离，则Ａ１Ｂ１＋Ａ２Ｂ２＋…＋Ａ２０１４Ｂ２０１４的值是
Ａ. Ｂ. Ｃ.Ｄ.
９ 已知集合Ｍ＝{１，２，３}，Ｎ＝{１，２，３，４}．定义映射ｆ：Ｍ→Ｎ，则从中任取一个映射满足由点Ａ（１，ｆ（１）），Ｂ（２，ｆ（２）），Ｃ（３，ｆ（３））构成
△ＡＢＣ且ＡＢ＝ＢＣ的概率为
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
１０ 设双曲线(ａ＞０，ｂ＞０)的右焦点为Ｆ，过点Ｆ作与ｘ轴垂直的直线ｌ交两渐近线于Ａ、Ｂ
两点，且与双曲线在第一象限的交点为Ｐ，设Ｏ为坐标原点，若(λ，μ∈Ｒ)，λμ＝，则该双曲线的离心率为
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ
二、填空题：本大题共６小题，考生共需作答５小题，每小题５分，共２５分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
（一）必考题（１１－１４题）
１１ 一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比．如果２０Ｎ的力能使弹簧伸长３ｃｍ，
则把弹簧从平衡位置拉长６ｃｍ（在弹性限度内）时所做的功为．（单位：焦耳）
１２ 设实数ｘ，ｙ满足约束条件．若目标函数ｚ＝ａｂｘ＋ｙ（ａ＞０，ｂ＞０）的最大值为８，则ａ＋ｂ的最小值为．
１３ 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为．
１４ 在正整数数列中，由１开始依次按如下规则取它的项：第一次取１，第二次取２个连续偶数２、４；第三次取３个连续奇数５、７、９；第四次取４个连续偶数１０、１２、
１４、１６；第五次取５个连续奇数１７、１９、２１、２３、２５．按此规则一直取下去，得到一个子数列１，２，４，５，７，９，１０，１２，１４，１６，１７，…．则在这个子数列中，由１开始的第２９个数是，第２０１４个数是．
（二）选考题（请考生在第１５、１６两题中任选一题作答，如果全选，则按第１５题作答结果计分）
１５ 如图，△ＡＢＣ的角平分线ＡＤ的延长线交它的外接圆于点Ｅ．若△ＡＢＣ的面积，则∠ＢＡＣ＝．
１６ 以直角坐标系的原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线ｌ的极
坐标方程为，圆Ｃ的参数方程为（θ为参数），则直线ｌ被圆Ｃ截得的弦长为．
三、解答题：本大题共６小题，满分７５分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
１７．（本小题满分１２分）
已知函数，ｘ∈Ｒ．
（１）求函数ｆ（ｘ）的最小正周期及单调增区间；
（２）在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ所对的边分别是ａ、ｂ、ｃ，又，ｂ＝２，△ＡＢＣ的面积等于３，求边长ａ的值．
１８ （本小题满分１２分）
已知{ａｎ}为等差数列，Ｓｎ为其前ｎ项和，且．
（１）求ａｎ，Ｓｎ；
（２）若ａｋ，ａ２ｋ－２，ａ２ｋ＋１（ｋ∈Ｎ ）是等比数列{ｂｎ}的前三项，设Ｔｎ＝ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋ａ３ｂ３＋…＋ａｎｂｎ，求Ｔｎ．
１９ （本小题满分１２分）
交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指
数取值范围为０～１０，分为五个级别，０～２畅通；２～４基本畅通；４～６轻度拥堵；６～８中度拥堵；８～１０严重拥堵．早高峰时段，从某市交通指挥中心随机选取了四环以内的５０个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图．
（１）这５０个路段为中度拥堵的有多少个？
（２）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？
（３）某人上班路上所用时间若畅通时为２０分钟，基本畅通为３０分钟，轻度拥堵为３６分钟，中度拥堵为４２分钟，严重拥堵为６０分钟，求此人所用时间的数学期望．
２０ （本小题满分１２分）
如图①，在平面内，ＡＢＣＤ是∠ＢＡＤ＝６０°且ＡＢ＝ａ的菱形，ＡＤＭＡ１和
ＣＤＮＣ１都是正方形．将两个正方形分别沿ＡＤ，ＣＤ折起，使Ｍ与Ｎ重合于点Ｄ１．设直线ｌ过点Ｂ且垂直于菱形ＡＢＣＤ所在的平面，点Ｅ是直线ｌ上的一个动点，且与点Ｄ１位于平面ＡＢＣＤ同侧（图②）．
（１）求证：不管点Ｅ如何运动都有ＣＥ∥面ＡＤＤ１；
（２）当线段ＢＥ＝时，求二面角Ｅ—ＡＣ—Ｄ１的大小．
２１ （本小题满分１３分）
已知曲线Ｃ１：和曲线Ｃ２：（０＜λ＜１）．曲线Ｃ２的左顶点恰为曲线
Ｃ１的左焦点．
（１）求λ的值；
（２）设Ｐ（ｘ０，ｙ０）为曲线Ｃ２上一点，过点Ｐ作直线交曲线Ｃ１于Ａ，Ｃ两点，直线ＯＰ交曲线Ｃ１于Ｂ，Ｄ两点，若Ｐ为ＡＣ中点．
①求证：直线ＡＣ的方程为ｘ０ｘ＋２ｙ０ｙ＝２；
②四边形ＡＢＣＤ的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
２２ （本小题满分１４分）
已知函数ｆ（ｘ）＝ａｌｎｘ－ａｘ－３（ａ∈Ｒ）．
（１）讨论函数ｆ（ｘ）的单调性；
（２）若函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象在点（２，ｆ（２））处的切线的倾斜角为４５°，对于任意的ｔ∈［１，２］，函数在区间（ｔ，３）上总不是单调函数，求实数ｍ的取值范围；
（３）求证：。