复函复习提要

第一章 复数与复变函数【本章教学目的和要求】：（1）熟练掌握复数的各种表示方法及其运算，了解复数运算的几何意义；（2）理解区域，单连通区域，复连通区域和复球面等概念；（3）掌握一些曲线的复数表达式；（4）理解复变函数的概念，了解复变函数的极限和连续的概念。

【本章重点、难点】复数的运算，用复数方程表示曲线§1.1复数1、 复数域：1）概念：每个复数z 具有iy x +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。

2）复数相等：复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。

3）共轭复数：4）复数的四则运算定义为：2、 复平面：C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。

作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。

横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；3、模与幅角：1）向量的长度称为复数的模，定义为：22||y x z +=； 若00=⇔=z z2）幅角：向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：i xy z π2arctan Arg +=（Z k ∈）。

3）复数的三角形式与指数形式表示：三角表示定义为：)sin (cos ||Argz i Argz z z +=指数表示：θi re z =4）开方公式：n k i n n e z z πθ2+= （1,2,1,0-=n k ）4.三点共线问题：两点的参数方程§1.2复平面上的点集1 .概念：领域、内点，外点、边界点、开集与闭集2 .区域3、连续曲线、简单曲线、简单闭曲线以及连通区域§1.3复变函数1、单值函数与多值函数 2、极限与连续性： 3、 复变函数等价于两个实变量的实值函数：若iy x z +=，),(),()(Im )(Re y x iv y x u z f i z f w +=+=，则)(z f w =等价于两个二元实变函数),(y x u u =和),(y x v v =。

§1.4复球面与无穷远点1、 引入一个新的非正常复数无穷远点∞，称}{∞⋃C 为扩充复平面，记为∞C 。

2、 无穷远点∞的邻域：ε1>z 与去心邻域：+∞<<z ε1第二章 解析函数【本章教学目的和要求】(1) 了解复变函数的可导与微分的概念；（2）理解解析的概念；（3）熟悉复变函数解析的充分条件；(4 ) 了解初等解析函数主要性质。

【重点、难点】函数解析性的判断，解析函数的充要条件第一节、 解析函数概念与Cauchy-Riemann 条件1、 复变函数的导数与微分2、 解析函数及简单性质：1）定义：如果)(z f 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称)(z f 在0z 处解析注1、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注2、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。

2）解析函数的四则运算：3、Cauchy-Riemann 条件：定理2.1（点可微必要条件）、定理2.2（点可微充要条件）、定理2.3（点可微充分条件）定理2.4（区域解析的充要条件）定理2.5（区域解析的充分条件）注解2、解析函数的导数形式更简洁：注解3、利用此定理，可以判断一个复变函数是否在一点可微或在一个区域内解析：如ixy y x z z f 2)()(222+-==以及y ie y e z f x x sin cos )(+=在整个复平面内解析，而iy x z z f -==)(在任何点都不可微。

第二节：初等函数1、 指数函数：定义复指数函数，为)sin (cos ex p y i y e z e w x z +=== 从定义得z z e e =； ,2,1,0,2±±=+=k k y Arge z π指数函数是周期i π2为其基本周期函数；指数函数z e w =在整个复平面内有定义并且解析， ()z z e e ='2、 三角函数与双曲函数：当0=x 时，上述复指数函数)sin (cos y i y e iy +=，)sin (cos y i y e iy -=-， 从而得到：2cos ,2sin iyiyiy iy e e y i e e y --+=-=。

我们规定2cos ,2sin iziz iz iz e e z i e e z --+=-=并分别称为z 的正弦函数和余弦函数。

z sin 是奇函数，z cos 是偶函数；在z 平面上是解析的，且.sin )(cos ,cos )(sin z z z z -='='；z sin 及z cos 是π2为周期的周期函数。

z sin 的零点为),1,0(, ±==n n z π，z cos 的零点为.21ππ+=n z事实上，0sin =z 可以写成.12=iz e 如令,ib a z +=即写成i n i e e e παβ2221==-故),1,0(22,12 ±===-n n e παβ，即：.,0παβn ==所以),1,0(, ±==n n z π是z sin 的零点。

在复数域内不能再断言.1cos ,1sin ≤≤z z第三节 初等多值函数1 根式函数（1）定义：我们规定根式函数n z w =为幂函数n w z =的反函数。

),1,0(2arg ±===+k e z z w n k z i n n π⎪⎭⎫ ⎝⎛+<<⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n k n n k T k ππϕππ22: )1,,1,0(-=n k都变成z 平面上除去原点及负实轴的区域。

这是函数（1）的单叶性区域的分法。

（2）分出n z w =的单值解析分支（3）n z w =的支点和支割线一般是具有这样性质的点，使得当变点z 绕这点旋转一周时，多值函数从一支变为另一支，也就是说哦，当变点回到原位置的时候，函数值与原来的函数值相异，这样的性质的点，就称为支点。

n z w =是以∞==z z ,0为支点的。

用来割破z 平面，借以分出n z w =的单值解析分支的割线，称为n z w =的支割线2 对数函数（1）定义：我们规定对数函数是指数函数w e z =的反函数。

即若()∞≠=,0z e z w （3）则复数w 为复数z 的对数，记为.Lnz w =令,,iv u w re z i +==θ则（3）就是z re e e i iv u w ===+θ因而() ,1,02,ln ±=+==k k v r u πθ故方程（3）的全部根是() ,1,0),2(ln ±=++==k k i r Lnz w πθ或)2(arg ln ln πk z i z iArgz z Lnz ++=+=z ln 称为Lnz 的主值，于是z i z z arg ln ln +=。

（2）分出.Lnz w =的单值解析分支()()()() ,1,0),2(ln ±=++==k k i z r Lnz w k k πθ.Lnz w =仍以∞==z z ,0为支点3、一般幂函数与一般指数函数)arg ,01(ln 2ln πππ≤<-===z e e z w i k a z a a()παααk i z zLn z e e w 2ln +===第三章 复变函数的积分【本章教学目的和要求】(1) 理解复变函数积分的概念并了解它的基本性质；(2) 掌握复变函数积分的计算方法；(3) 掌握Cauchy 积分定理及其推论；(4) 熟练掌握用Cauchy 积分公式及高阶导数公式计算积分。

【重点、难点】柯西积分定理，柯西积分公式及高阶导数公式§1.复积分的概念及其简单性质1、复变函数的积分的定义：f (z )沿曲线C 的积分，记为.d )(⎰Cz z f 于是我们有：,d ),(d ),(d ),(d ),(d )(y y x u x y x v i y y x v x y x u zz f C C C ++-=⎰⎰⎰积分换元法：t t z t z f z z f TtC d )('))((d )(0⎰⎰=， 2.复变函数积分的基本性质：设f (z )及g (z )在简单曲线C 上连续，则有（1）是一个复常数；其中ααα,d )(d )(⎰⎰=CC z z f z z f （2）;d )(d )(d )]()([⎰⎰⎰+=+CC C z z g z z f z z g z f （3）⎰⎰⎰⎰+++=n C C C C z z f z z f z z f z z f d )(...d )(d )(d )(21，其中曲线C 是有光滑的曲线nC C C ,...,,21连接而成；（4）,d )(d )(⎰⎰-=-C C z z f z z f 。

（5）()()k nk k n k k k z f z f ∆≤∆∑∑==11ζζ定理3.2（积分估值）如果在C 上，|f (z )|<M ，而L 是曲线C 的长度，其中M 及L 都是有限的正数，那么有ML z z f C≤⎰|d )(|，例、设C 是圆ρα=-||z ，其中α是一个复数，ρ是一个正数，那么按反时针方向所取的积分()⎩⎨⎧≠==-⎰的整数）1(,0)1(,2d n n i z z C nπα §2.柯西积分定理1.柯西积分定理定理3.3 设f (z )是在单连通区域D 内的解析函数，C 是D 内的任一条周线，那么0d )(=⎰C z z f ,在这里沿C 的积分是按反时针方向取的定理3.4 设f (z )是在单连通区域D 内的解析函数，C 是D 内任一闭曲线（不必是简单的），那么0d )(=⎰C z z f . 推论3.5 设f (z )是在单连通区域D 内的解析函数，则f (z )在D 内与积分路线无关。

即对D 内任意两点10,z z ，积分 ()010=⎰dz z f z z 之值不依赖于D 内连接10,z z 的曲线。

2. 不定积分定理3.6 设f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则由上式定义的函数()z F 在D 内解析，且)()('00z f z F =。

定理3.7 （1）设f (z )在单连通区域D 内连续；（2）⎰Cd f ζζ)(区域D 内任意周线的积分值为零，则函数 ⎰=zz d f z F 0)()(ζζ（0z 为D 内定点） 在D 内解析，且)()('z f z F =.定理3.8 设f (z )是区域D 内的连续函数，并且在D 内有原函数F (z )。