复变双曲函数
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点（一）复数的概念1.复数的概念：z = x • iy , x, y 是实数，x = Rez,y = lmz.r-_i.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小2.复数的表示1）模：z =y/x2+y2；2）幅角：在z = 0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg z （多值函数）；主值arg z是位于（-二，二］中的幅角。
3）arg z与arctan y之间的关系如下：xy当x 0, argz=arctan工；x[ yy - 0,arg z = arctan 二当x ： 0, xy y :: 0,arg z = arctan 「愿L x4）三角表示：z = z COST i sinv ，其中二-arg z ；注：中间一定是“ +"号5）指数表示：z = z e旧，其中日=arg z。
（二）复数的运算仁加减法：若z1= x1iy1, z2= x2 iy2，贝寸乙 _ z2 = % _ x2i 比 _ y22.乘除法:1 ）若z^x1 iy1 ,z2=x2iy2，则ZZ2 二XX2 —y』2 i X2% X』2 ；乙x iy1 % iy1 X2 —iy2 xg yy •- 丫2为-- = --------- = ----------------------- = -------------- T i --------------Z2 x? iy2 X2 iy2 x? - iy? x；y；x；y f2）若乙=乙e°,z2= z2e°, _则3.乘幂与方根ei "'2 ；土評匀）Z2Z21）若z =|z （cos日+isin 日）=|z e旧，则z"=上"（cosnT +i sin 用）=上"d吩。
2）若z =|z （cos日+isin 日）=|ze吩，贝U阪=z n.'cos日+2" +i si肆+2" ）（k =0,1,2[|I n—1）（有n个相异的值）l n n丿（三）复变函数1•复变函数：w = f z，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2•复初等函数1）指数函数：e z=e x cosy - isin y ,在z平面处处可导，处处解析；且e z= e z。
双曲函数
双曲函数的作用双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义Sinh_cosh_tanh双曲正弦sh z ＝(e^z-e^(-z))/2 （1）双曲余弦ch z ＝(e^z+e^(-z))/2 （2）双曲正切th z ＝ sh z /ch z ＝(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) （3）双曲余切cth z ＝ ch z/sh z＝(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) （4）双曲正割sech z ＝1/ch z （5）双曲余割csch z ＝1/sh z （6）其中，指数函数（exponentialCsch_sech_cothfunction）可由无穷级数定义e^z＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋...＋z^n/n！＋ (7)双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为ar sh z、ar ch z、ar th z等。
定义在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。
基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。
也类似于三角函数的推导。
反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。
因为双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。
在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。
射线出原点交双曲线 x2 − y2 = 1 于点 (cosh a,sinh a)，这里的a被称为双曲角，是这条射线、它关于x轴的镜像和双曲线之间的面积。
定义双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数：sinh / 双曲正弦： sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2cosh / 双曲余弦： cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2tanh / 双曲正切： tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]coth / 双曲余切： coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]sech / 双曲正割： sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)]csch / 双曲余割： csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)]其中，e是自然对数的底e≈2.71828 18284 59045...= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!...+ 1/n! +...e^x 表示 e的x次幂,展开成无穷幂级数是:e^x=x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5!...+ x^n/n! +...如同点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (cosh t, sinh t) 定义了右半直角双曲线 x^2 − y^2 = 1。
复变函数(2.2.5)--总复习第二章解析函数
解
( ) 1 + i = e (1-i)
= e ( 1-i) Ln( 1+i)
(
1-
i
)
� � �ln
2+
i � � �p4
+
2 kp
�� � �� �
= e� � �ln
2
+
p 4
+
2 kp
� � �+ i
� � �-
ln
2
+
p 4
+
2 kp
� � �
=
2e
p 4
+
2kp
���cos
�p ��4
-
具有无穷多值，在除去原点和负实轴的平面上处处解析
且
(
Lnz
)
ﾶ=
1 z
.
( 3) ab = ebLna 是多值的，在除去原点和负实轴的平面上
处处解析；
( ) 整幂次幂 zn 是单值解析的，且zn ﾶ= nzn-1.
( 4) sin z =
e iz
- e-iz 2i
;
cosቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz =
e
iz
+e 2
- iz
证 argf(z)=C 证证 tan(argf(z))=u/v=tanC=k 证证证证 v=ku. k=0 证证证证证证证证 . k ﾶ 0 证证 vx = kux = kv y , v y = kuy = -kvx .
( ) 1 + k 2 vx = 0 � vx = 0, ux = 0. � f ﾶ( z) = 0
( 3) f ( z) = sin xchy + i cos xshy.
复变函数
（6）sin z 的零点为 z n (n 0,1,2,)
1 cos z 的零点为 z (n ) (n 0,1,2,) iz 2 iz e e 0 sin z 0
2i 2iz e 1
e (cos 2 x i sin 2 x) 1 x n , y 0
例如
sin z lim 1 z 0 z
第 6 次 作 业
第67页 第二章习题 12. (1)(4) 13.(2)(6)
15.
18.
20.(1)(3)
21.(2)
第 三 节
初等解析函数
一 指数函数 1 定义： 函数f z e (cos y i sin y )
x
称为指数函数。 指数函数记作： exp( z ) z 或者 e 。即
exp( z ) e e (cos y i sin y)
z x
2 复指数函数的性质： 复指数函数exp(z)具有如下性质： 当z取实数x时(y=0),复指数函数与实 （1） 指数函数一致，故可看成实指数函数的 扩张。 当z取虚数时(x=0), 得到欧拉公式
e e 余弦函数 cos z z 2 z e e 双曲正弦函数 sh z z 2 z e e 双曲余弦函数 ch z 2
e e 正弦函数 sin z 2 i iz
iz
iz
iz
当z为实变数 时，左边的 定义与初等 微积分中的 三角函数的 定义一致
2 性质
㈠ 解析性 z iz 由于指数函数 e ,e 在整个复平面上 是解析的，所以前面定义的三角函数与双 曲函数在整个复平面上解析，而且
sin z sh z
cos z ch z
复变函数-总结
所 以 vx,y1y22xy-1x2c. 于是
2
2
27
fzx2-y2xy i 1 2y22 xy-1 2x2 c
由f00( x y 0 0) c0 从而
fz x 2- y 2 x y i 1 2 y 2 2 x y - 1 2 x 2 1 - 2 i z 2
即为所求解析函数。
等价定义：
设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 ,
那么
lim f (z)
zz0
运算性质：
limu(x, Axyxyl im xxyy0000 v(x,
y) y)
u0 v0
.
( 1 ) li (f m ( z ) g ( z ) ) lifm ( z ) lig ( m z )
例题1 一调和函数 ux,yx2-y2xy,
求一解析函数 fzuiv使 f00.
解：〔法一〕 ux2xy,uy-2yx
由 C-R 方程 v y u x 2 x y v 2 x y d y
由 v x - u y 2x2 yy 12c y2x c 2 xy - x v x c2xyc-12xx2,c,
9
对复平面内任一
x3
点z, 用直线将z
除了复数的平面表 示方法外, 还可以
与N相连, 与球面
N(0,0,2r) 用球面上的点来表
相交于P点, 那么
示复数.
球面上除N点外
x3
的所有点和复平
面上的所有点有
P(x1,x2,x3)
一一对应的关系,
而N点本身可代
表无穷远点, 记 作 .这样的球面
双曲函数
双曲函数双曲函数在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。
基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。
也类似于三角函数的推导。
反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以次类推目录定义介绍双曲函数实变双曲函数复变双曲函数1、定义2、性质反双曲函数三角函数恒等式加法公式减法公式二倍角公式半角公式三倍角公式导数不定积分级数表示实际应用1、阻尼落体2、导线电容3、粒子运动4、非线性方程悬链线数学证明参考文献展开定义介绍实变双曲函数复变双曲函数1、定义2、性质反双曲函数三角函数恒等式加法公式减法公式二倍角公式半角公式三倍角公式导数不定积分级数表示实际应用1、阻尼落体2、导线电容3、粒子运动4、非线性方程悬链线数学证明参考文献展开编辑本段定义双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义Sinh_cosh_tanh双曲正弦sh z =(e^z-e^(-z))/2 ⑴双曲余弦ch z =(e^z+e^(-z))/2 ⑵双曲正切th z = sh z /ch z =(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) ⑶cth z = ch z/sh z=(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) ⑷双曲正割sch z =1/ch z ⑸双曲余割xh(z) =1/sh z ⑹其中，指数函数（exponentialCsch_sech_cothfunction）可由无穷级数定义e^z=1+z/1！+z^2/2！+z^3/3！+z^4/4！+…+z^n/n！+… ⑺双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为arsh z、arch z、arth z 等。
编辑本段介绍在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。
基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。
一元三次方程的解法十三——双曲余弦函数法
一元三次方程的解法十三——双曲余弦函数法本方基于MMA,给出了一元三次方程标准式,精简式和一般式的双曲余弦函数法的求解过程,并通过韦达定理进行验证。
一.一元三次方程1.一般式：a x 3+b x 2+c x +d =0(a ≠0)2.标准式：x 3+p x +q =0其中,p =3a c -b 23a 2,q =2b 3-9a b c +27a 2d27a 3。
3.精简式：x 3+3r x +2s =0其中,r =3a c -b 29a 2,s =2b 3-9a b c +27a 2d54a 3。
二.复变函数法4.双曲余弦函数法4.1标准方程假设q ≠0,则x ≠0。
令x =ρ双曲余弦Cosh [θ],ρ,θ为复数,且ρ≠0。
代入标准方程可得ρ3Cosh 3[θ]+p ρ双曲余弦Cosh [θ]+q =0即Cosh 3[θ]+pρ2双曲余弦Cosh [θ]+q ρ3=0习知公式：双曲余弦Cosh [3θ]=-3双曲余弦Cosh [θ]+4Cosh 3[θ],即Cosh 3[θ]-34双曲余弦Cosh [θ]-14双曲余弦Cosh [3θ]=0两式比较,得p ρ2=-34,qρ3=-14双曲余弦Cosh [3θ]。
解得：ρ=±3双曲余弦Cosh [3θ]=∓2p 代入可得x =±3双曲余弦Cosh [θ]。
其中,θ满足双曲余弦Cosh [3θ]=∓2p 3/2解双曲余弦Cosh [3θ]==2p 得θ=132p +2n ⅈπ或θ=13-反双曲余弦ArcCosh2p +2n ⅈπ解双曲余弦Cosh [3θ]⩵-2p 3/2得θ=13-2p 3/2+2n ⅈπ或θ=13-反双曲余弦ArcCosh-2p +2n ⅈπ取ρ=3θ=反双曲余弦ArcCosh-2p ,则标准方程三根为：x 1=ρ双曲余弦Cosh θ3 ,x 2=ρ双曲余弦Cosh θ-2πI 3,x 3=ρ双曲余弦Cosh θ+2πI3 。
华南理工大学 复变函数2.2(3)初等函数
因此，对同一个 z 0, w z 的不同数值 a2 k i 的个数等于不同数值的因子 e (k Z ) 个数 。
幂函数的基本性质：
1、由于对数函数的多值性，幂函数一般是
整个复平面上的多值函 (不同数值的个数等于 数
e 不同因子的个数)。 2、当是正整数n时, n nLnz n[ ln| z| i (arg z 2 k )] n in arg z w z e e | z | e 0. 是一个单值函数； 3、当 1 (n是正整数)时, n
幂函数的定义:
w z e
a aLnz
( z 0)
a
当a为正实数，且z=0时，还规定 z
0.
幂函数的基本性质：
当是正整数n时, 是一个单值函数；
3、当 1 (n是正整数)时, 是一个n值函数； n
等于n次方根.
幂函数的基本性质：
当是0时, z 1;
0
当 是有理数时，即 ( p与q为互素
幂函数的基本性质:
而且，由
a
z e
a
aLnz
及复合函数求导法则得
a
dz 1 z aL n z a 1 e a a az dz z z
其中 z 应当理解为某个分支， Lnz理解为相应的分支。
a
双曲函数
e z e z e z e z e z e z ch z , sh z , th z z z 2 2 e e
6、当是无理数或非实数的复数时，幂函数是无穷 多值函数；
事实上，当是无理数时，有
z e
Lnz
当 a bi(b 0)时，有 Lnz [ln|z| i (arg z 2 k )] ( abi )[ln|z| i (arg z 2 k )] z e e e
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复变双曲函数
复变双曲函数是复变函数中的一种重要函数类型。
与三角函数类似，复变双曲函数也可以用指数函数表示。
但是，其性质与三角函数有很多不同之处。
下面是复变双曲函数的一些基本概念及性质。
一、定义
复变双曲函数分为正弦型双曲函数和余弦型双曲函数两种。
正弦型双曲函数：sinh(z) = (e^z - e^(-z))/2
余弦型双曲函数：cosh(z) = (e^z + e^(-z))/2
其中e表示自然对数的底数，z是一个复数。
二、基本性质
1. 反函数关系
正弦型双曲函数和余弦型双曲函数都是双曲函数族的成员，它们之间存在一种特殊的函数关系。
cosh^2(z) - sinh^2(z) = 1
又称为双曲余弦函数和双曲正弦函数的平方之差等于1。
由此，可以得到正弦型双曲函数和余弦型双曲函数之间的反函数关系。
sinh(z) = ±√(cosh^2(z) - 1)
cosh(z) = ±√(sinh^2(z) + 1)
正负号的选择取决于z所在的象限。
2. 奇偶性
正弦型双曲函数是奇函数，余弦型双曲函数是偶函数。
sinh(-z) = -sinh(z)
cosh(-z) = cosh(z)
3. 导数和积分
正弦型双曲函数和余弦型双曲函数的导数分别为：
sinh'(z) = cosh(z)
cosh'(z) = sinh(z)
它们的积分可以用定义式求得。
三、应用
复变双曲函数在物理学、工程学以及金融学等领域有广泛的应用。
以下是几个例子：
1. 时空坐标变换
在相对论中，物理学家使用洛伦兹变换来描述时空坐标变换。
其中，正弦型双曲函数和余弦型双曲函数常常被用来表示时间和空间的混合变换。
2. 电路分析
在电路分析中，双曲函数可以用来计算电容和电感的响应。
特别是在高频电路的分析中，它们的作用非常重要。
3. 期权定价
在金融学中，期权定价模型需要用到黑-斯科尔斯模型中的双曲函数。
综上所述，复变双曲函数是复变函数中的一个重要分支，具有丰富的性质和广泛的应用。