复变函数
复变函数的性质与分类
复变函数的性质与分类复变函数是数学中的一个重要概念，它在实际问题的建模和解决中具有广泛的应用。
本文将介绍复变函数的性质与分类，帮助读者更好地理解和应用复变函数。
1. 复变函数的定义复变函数是指自变量和函数值都是复数的函数。
设二元实数域R 中的二元有序对z=(x,y)，其中x∈R，y∈R，因此z既可写成z＝x＋yi，也可写成z=(x,y)。
所以有R⊂C。
设f是以D为定义域的二元实数域R上的函数：若对于每一个属于D的z既唯一确定一个属于F的一个复数w＝f(z)。
则称f为在D上取值于复数集F的复变函数,即示例代码star：编程语言：f: D → Fz→w=f(z)示例代码end其中z为自变量、w为函数值，D为定义域，F为函数值集合。
2. 复变函数的性质复变函数具有一些特殊的性质，这些性质是理解和应用复变函数的基础。
2.1 解析性如果一个函数在某个区域内可以展开为幂级数，则称该函数在该区域内解析。
解析性是复变函数重要的性质之一，在很多实际问题中起到关键作用。
2.2 连续性与实变函数类似，复变函数也具有连续性。
如果一个复变函数在某点处连续，则说明在该点附近，该函数没有突变或间断点。
2.3 可微性与实变函数不同，复变函数存在可微性这一特殊性质。
如果一个复变函数在某点处可导，则说明在该点处存在切线可以很好地描述该点附近的行为。
3. 复数平面和复平面为了更好地研究复变函数，我们引入了复数平面和复平面这两个概念。
3.1 复数平面复数平面是由所有复数构成的平面。
每个复数可以通过直角坐标系表示为一个有序对(x, y)，其中x表示实部，y表示虚部。
通过把坐标原点(0,0)对应于零，将全部正实轴对应到实部正半轴，并且使得偏离原点的距离与两个坐标轴之间夹角相等来映射到剩下区域。
3.2 复平面复平面是由全部符合 z＝x＋iy 形式定义在D上取值于F 的全体点所组成的二维空间C所表示得到。
这样C族就可以嵌入Px（X 轴）和Nv （Y 轴）点平间难互独运动并且两轴都阳等L 技获取得到一个表示方便易操作全体符号z 点解析情况的几何工具空间。
第一章复变函数
为闭区域
（三）复变函数例 1. 多项式
a 0 a1 z a 2 z a n z
2
n
( n 为整数 )
2. 有理分式
a 0 a1 z a 2 z b 0 b1 z b 2 z
2
anz bm z
n m
2
( m 和 n 为整数 )
(e
z
iz
e
z
),
cos z ch z 1 2
1 2
(e
z
iz
e
z
iz
)
(e e
),
(e e
)
ln z ln(| z | e z
s
i Arg z
) ln | z | i Arg z
e
s ln z
( s 为复数 )
sh同sinh，双曲正弦 (hyperbolic sine) ch同cosh, 双曲余弦 (hyperbolic cosine)
全体复数与平面上的点一一对应
y
cos =|z|
•
z=x+iy (x,y) (,)
/2-
复数平面
sin cos(/2-) x
o
z1=x1+i y1 ，z2=x2+i y2，如z1=z2，则x1=x2， y1 = y2
2) 极坐标表示 利用坐标变换:
y arctan 2 2 x 0 2
例5. 指数函数
2 i sin e
i
sin
e 2i
- i
5
3. 辐角主值: 辐角 = Arg
大学数学复变函数
大学数学复变函数数学是一门广泛应用于各个领域的学科，不论是物理学、工程学还是经济学，都离不开数学的支持和应用。
而复变函数作为数学中的一个重要分支，具有多样化的性质和广泛的应用。
本文将对大学数学中的复变函数进行详细的介绍和探讨。
一、复变函数的定义与性质复变函数是数学中的一种特殊函数形式，它的自变量和因变量都是复数。
复变函数可以写成以下形式：f(z) = u(x, y) + i * v(x, y)其中，z = x + i * y，u(x, y)和v(x, y)分别为实部和虚部。
复变函数的定义可以看作是将复平面上的点z映射到另一个复平面上的点w，从而建立起了一个函数关系。
复变函数有一些重要的性质：1. 解析性：如果在某个区域内，函数f(z)在该区域上处处可导，则称该函数在该区域内解析。
2. 共轭函数：对于一个复变函数，可以定义其共轭函数。
共轭函数是将函数中所有虚部的符号取反而得到的的函数。
3. 调和函数：对于一个复变函数，如果其实部和虚部都是调和函数，则称该函数为调和函数。
4. 周期性：复变函数可以具有周期性，即存在某个常数T，使得f(z + T) = f(z)对于所有的z成立。
5. 极限性质：与实变函数类似，复变函数也具有极限性质，包括一致收敛、点态收敛等。
二、复变函数的应用复变函数在物理学、工程学、经济学等领域中有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用领域：1. 电路理论：复数电路理论是电工学中的一个重要部分，复变函数可以用来分析交流电路的性质和行为。
2. 信号处理：在信号处理领域，复变函数有着广泛的应用。
例如，复数域中的傅里叶变换在信号处理中起着重要的作用。
3. 流体力学：复变函数在流体力学中的应用也非常广泛。
例如，通过复变函数可以分析流体的速度场、流线场等。
4. 统计学：复变函数在统计学中也有重要的应用，特别是在复数域中的概率论和数理统计学中。
5. 工程优化：复变函数在工程优化中也发挥着重要的作用。
复变函数
复变函数一、复数与复变函数1、w n =ZW=r 1/n [cos(θ+2ki πn )+isin(a +2ki πn )]其中k 取1、2、3、、、、、n-12、区域是开集，闭区域是闭集，除了全平面既是区域又是闭区域这一个特例外，区域与闭区域是两种不同的点集，闭区域并非区域。
3、单连通域：区域中没有洞和缝多连通域：区域中有洞或者缝二、解析函数1、解析函数：在z 0处可导，且在z 0的领域中可导。
2、解析函数的一个充分必要条件：函数f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y),u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)处可微，而且满足柯西——黎曼方程。
（C-R 方程）∂u ∂x =∂v ∂y ∂u ∂y =−∂v ∂xf(z) =∂u ∂x +i ∂v ∂x =∂v ∂y +i ∂v ∂x =∂u ∂x −i ∂u ∂y =∂v ∂y −i ∂u ∂yC-R 方程为函数f （z ）可导的必要条件4、调和函数和共轭调和函数调和函数：二元实函数φ（x,y ）在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯方程∂φ2∂x +∂φ2∂y =0 共轭调和函数：φ（x,y ）及ρ(x,y)均在区域D 内的调和函数，且满足C-R 方程函数f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D 内解析的充分必要条件：在D 内u x,y 是v x,y 的共轭调和函数 5、初等函数指数函数：e iy =cosy+isinye z 是以2ki π为周期的周期函数对数函数：lnz=ln z +iargzLnz= ln z +iArgz= ln z +i(argz+2k π)Ln z 2≠2LnzLn z n ≠1n Lnz幂函数：z α=e αlnz α为正整数，函数为单值函数α=1n n 为正整数 有限值α=z 复数 无限个值三角函数：cosy=e iy +e −iy 2 siny=e iy −e −iy 2i 三、复变函数的积分1、常用的公式dz (z −z 0)n = 2πi n =1 0 n ≠1成立条件：a 、封闭区间的积分b 、z 0在封闭曲线C 的内部C 、被积函数分子为常数2、复合闭路定理3、闭路变形定理4、柯西——古萨定理设函数f （z ）在单连通域D 内解析，则f （z ）在D 内沿任意一条简单闭曲线C 的积分f z dz =05、柯西积分公式f(z)在简单闭曲线c 所围成的区域D 内解析，z 0为D 内任一点f(z 0)=12πi f(z)z −z 0dz 6、高阶导数公式f(z)在c 围成的D 内解析，f(z)的各阶导数均在D 内解析，z 0为D 内任一点f z 0（n ）=n ！2πi f(z)(z −z 0)dz7、计算积分的步骤a.分析奇点b.奇点在曲线的内部还是外部c.应用定理四、级数1、常见函数的级数e x =1+x +x 2+x 3+⋯,−∞<x <∞sinz= (−1)n ∞n=0z 2n +1 2n+1 ! e z = z n n!∞n=0cosz= (−1)n ∞n=0z 2n 2n !ln(1+z)= (−1)n ∞n=0z n +1n+111+z= (−1)n ∞n=0z n 11−z = z n ∞n=0 2、幂级数 只有 z −z 0 的正幂次项在其收敛域内可以为解析函数 收敛域：所要求的点到函数所有的孤立奇点最短的距离收敛半径：比值法、根值法函数在一点解析的充分必要条件:它在这点的领域可以展开为幂级数3、泰勒级数设函数f （z ）在区域D 内解析，z 0为D 内的一点，R 为z 0到D 的边界上各点的最短距离，则当 （z −z 0） <R 时，f(z)可展开为幂级数。
复变函数第一章
z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或
复变函数
1 x , lim 2 2 2 x 0 x (1 k ) 1 k
随 k 值的变化而变化 ,
所以 lim u ( x, y ) 不存在,
x →0 y →0
lim v( x, y ) = 0,
x →0 y →0
根据定理一可知, lim f ( z ) 不存在.
z0
证 (二)
令 z r (cos i sin ),
r cos 则 f (z) cos , r
25
当 z 沿不同的射线 arg z 趋于零时, f ( z )趋于不同的值. 例如 z 沿正实轴arg z 0 趋于零时, f ( z ) 1,
π 沿 arg z 趋于零时, f ( z ) 0, 2
故 lim f ( z ) 不存在.
12
4. 反函数的定义:
设w = f ( z )的定义集合为Z 平面上的集合M , 函数值集合为W 平面上的集合M *, 那末M * 中的 每一个点w必将对应着M中的一个(或几个)点.
于是在M *上就确定了一个单值 (或多值)函数 z = ( w ),它称为函数w = f ( z )的反函数, 也称 为映射w = f ( z ) 的逆映射.
13
根据反函数的定义,
w M *, w f [ ( w )],
当反函数为单值函数时, z [ f ( z )], z G .
如果函数 (映射) = f ( z )与它的反函数 w (逆映射) z = ( w )都是单值的, 那末称函数 (映 射) = f ( z )是一一对应的. 也可称集合M 与集 w 合M *是一一对应的.
2
2.单(多)值函数的定义:
如果 z 的一个值对应着一个w 的值, 那末 我们称函数 f ( z ) 是单值的. 如果 z 的一个值对应着两个或 两个以上 w 的值, 那末我们称函数 f ( z ) 是多值的.
复变函数的概念
复变函数的概念复变函数的概念复变函数是指定义在复平面上的函数，它可以将一个复数映射到另一个复数。
与实变函数不同，复变函数具有更加丰富的性质和应用。
一、复数及其运算要理解复变函数的概念，首先需要了解复数及其运算。
一个复数可以表示为z=x+yi，其中x和y分别表示实部和虚部。
虚数单位i满足i²=-1。
在复数中，我们可以进行加、减、乘、除等基本运算。
其中加法和减法与实数类似，乘法和除法则需要注意公式的推导。
二、复平面及其坐标表示为了更方便地描述和分析复变函数，在平面直角坐标系中引入了一个新的坐标轴——虚轴，并将实轴称为实部轴，虚轴称为虚部轴。
这样就构成了一个二维平面——复平面。
在复平面中，每个点都可以表示为z=x+yi的形式。
这样我们就可以通过坐标来描述每个点，并将其映射到另一个点。
三、复变函数的定义与实变函数类似，对于给定的自变量z∈C（即z是一个复数），如果存在唯一确定的因变量w∈C（即w也是一个复数），则称w是z的函数值，记作f(z)。
四、复变函数的性质与实变函数不同，复变函数具有更加丰富的性质。
以下是一些常见的复变函数性质：1. 解析性：如果一个函数在某个区域内处处可导，则称该函数在该区域内解析。
2. 共形性：如果一个函数在某个区域内保持角度不变，则称该函数在该区域内共形。
3. 周期性：如果存在一个非零复数c，使得对于所有z∈C，有f(z+c)=f(z)，则称f(z)为周期函数。
4. 解析延拓：如果一个解析函数可以通过某种方式扩展到整个复平面上，则称该解析函数具有解析延拓性质。
五、复变函数的应用由于复变函数具有丰富的性质和应用，因此在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 电路分析：利用复变函数可以方便地描述电路中电流和电压等物理量之间的关系。
2. 流体力学：利用共形映射可以将流体力学问题转化为更简单的几何问题。
3. 计算机图形学：利用复变函数可以方便地描述图形的旋转、缩放等变换。
1-3复变函数
和函数 w = u + iv ( w = ρ e iϕ )
第二步：根据映射， 第二步：根据映射，找 出 u, v与 x , y的关系
第三步： 的关系， 的关系式， 第三步：根据 x , y的关系，定 u , v的关系式， 即可得到像的图形。 即可得到像的图形。
15
三、函数的极限
1.函数极限的定义 函数极限的定义: 函数极限的定义
w = z →
2
v o
4
−2
o
2
u
平行于 v 轴的直线.
10
例1 在映射 w = z 2 下求下列平面点集在 w 平面
上的象 :
π ( 3) 扇形域 0 < θ < , 0 < r < 2. 4 解 设 z = re iθ , w = ρe iϕ , 则 ρ = r 2 , ϕ = 2θ ,
(2) lim[ f ( z ) g ( z )] = AB; f (z) A (3) lim ( B ≠ 0). = z → z0 g ( z ) B
与实变函数的极限运算法则类似. 与实变函数的极限运算法则类似
18
Re( z ) 当 z → 0 时的极限 例3 证明函数 f ( z ) = z 不存在.
u v + = 1. 关系式： 即得 u, v 关系式： 2 2 5 3 2 2 表示 w 平面上的椭圆 .
14
2 2
总结， 总结，求 z 平面上的图形在某映射 平面上的像集： 在 w 平面上的像集：
第一步： 第一步：先设出自变量
下,
z = x + iy ( z = re iθ ),
设函数 w = f ( z ) 定义在 z0 的去心邻域 0 < z − z0 < ρ 内, 如果有一确定的数 A 存在, 对于任意给定的 ε > 0, 相应地必有一正数 δ (ε ) 使得当 0 < z − z0 < δ (0 < δ ≤ ρ )时, 有 f ( z ) − A < ε 那末称 A 为 f ( z ) 当 z 趋向于 z0 时的极限 .
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《复变函数》试题（十）一、 判断题（4x10=40分）：1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。
（ ）2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在。
（ ） 3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。
( )4、cos z 与sin z 在复平面内有界。
（ ）5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。
（ ）6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。
（ ）7、若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。
（ ） 8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰Cdz z f 。
（ ）9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。
（ ）二、填空题（4x5=20分）1、函数e z 的周期为__________。
2、幂级数∑+∞=0n n nz 的和函数为__________。
3、设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________。
4、∑+∞=0n n nz 的收敛半径为_________。
5、=)0,(Res n zze _____________。
三、计算题（8x5=40分）：1、.))(9(2||2⎰=+-z dz i z z z 2、求).,1(Res 2i z e iz-+3、nn i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121。
4 设22(,)ln()u x y x y =+。
求),(y x v ，使得),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数，且满足(1)ln 2f i +=。
其中D z ∈（D 为复平面内的区域）。
5、求0154=+-z z ，在|z|<1内根的个数《复变函数》试题（十一）一、判断题。
（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，2⨯5=10分）1．当复数0=z 时，其模为零，辐角也为零。
（ ）2．若0z 是多项式011)(a z a z a z P n n n n +⋅⋅⋅++=--（0≠n a ）的根，则0z 也是)(z P的根。
（ ）3．如果函数)(z f 为整函数，且存在实数M ，使得M z f <)(Re ，则)(z f 为一常数。
（ ）4．设函数)(1z f 与)(2z f 在区域D 内解析，且在D 内的一小段弧上相等，则对任意的D z ∈，有)(1z f ≡)(2z f 。
（ ）5．若∞=z 是函数)(z f 的可去奇点，则0)(Re =∞=z f s z 。
（ ）二、填空题（每题2分）1． ____65432=⋅⋅⋅⋅i i i i i 。
2．设0≠+=iy x z ，且ππ≤<-z ar g ，2arctan 2ππ<<-x y ，当0,0><y x 时，_______arctan arg +=xy z 。
3．函数zw 1=将z 平面上的曲线1)1(22=+-y x 变成w 平面上的曲线__________。
4．方程)0(044>=+a a z 的不同的根为________________________。
5．__________________________________)1(i i +。
6．级数n n n z ∑∞=-+0])1(2[的收敛半径为________________________。
7．nz cos 在n z <||（n 为正整数）内零点的个数为________________________。
8．函数)6(sin 6)(633-+=z z z z f 的零点0=z 的阶数为______。
9．设a 为函数)()()(z z z f ψϕ=的一阶极点，且0)(,0)(,0)(≠'=≠a a a ψψϕ，则___________________)(Re ==z f s az 。
10．设a 为函数)(z f 的m 阶极点，则___________________)()(Re ='=z f z f s a z 。
三、计算题。
（50分）1．设)ln(21),(22y x y x u +=。
求),(y x v ，使得),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数，且满足2ln 21)1(=+i f 。
其中D z ∈（D 为复平面内的区域）。
（15分）2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）。
（10分）（1） z 2tan ； （5分） （2）111--z z e e 。
（5分）3．计算下列积分。
（15分）（1） dz z z z z ⎰=++4||344219)2()1(（8分）， （2）⎰+πθθ02cos 1d （7分）。
4．叙述儒歇定理并讨论方程025247=-+-z z z 在1||<z 内根的个数。
（10分）四．证明题。
（20分）1．设),(),()(y x iv y x u z f +=是上半复平面内的解析函数，证明)(z f 是下半复平面内的解析函数。
（10分）2．设函数)(z f 在R z <||内解析，令)0(|,)(|max )(||R r z f r M rz <≤==。
证明：)(r M 在区间),0[R 上是一个上升函数，且若存在1r 及2r （R r r <<≤210），使)()(21r M r M =，则≡)(z f 常数。
（10分）《复变函数》试卷(十三)一、填空题。
(每题2分)1、设)sin (cos θθi r z +=，则_________________1=z。
2、设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，00iv u A +=，000iy x z +=，则 A z f z z =→)(lim 0的充要条件是___________________________。
3、设函数)(z f 在单连通区域D 内解析，则)(z f 在D 内沿任意一条简单闭曲线C 的积分_______)(=⎰dz z f C。
4、设a z =为)(z f 的极点，则______)(lim =→z f az 。
5、设z z z f sin )(=，则0=z 是)(z f 的______阶零点。
6、设211)(z z f +=，则)(z f 在0=z 的邻域内的泰勒展式为_______________________。
7、设b a z a z =++-||||，其中b a ,为正常数，则点z 的轨迹曲线是______。
8、设6cos 6sinππi z --=，则z 的三角表示式为__________________。
9、___________________cos 40=⎰dz z z π。
10、 设2)(ze zf z-=，则)(z f 在0=z 处的留数为_________。
二、计算题。
1、计算下列各题。
(9分)(1) i cos ; (2) )32ln(i +-; (3) i -332、求解方程083=+z 。
(7分)3、设xy y x u +-=22，验证u 是调和函数，并求解析函数iv u z f +=)(，使之i i f +-=1)(。
(8分)4、计算积分。
(10分)(1)⎰+C dz iy x )(2，其中C 是沿2x y =由原点到点i z +=1的曲线。
(2) ⎰++-idz ix y x 102])[(。
积分路径为自原点沿虚轴到i ，再由i 沿水平方向向右到i +1。
5、试将函数)2)(1(1)(--=z z z f 分别在圆环域1||0<<z 和2||1<<z 内展开为洛朗级数。
(8分)6、计算下列积分。
(8分) (1) dz z z z z ⎰=--2||2)1(25; (2) dz z z z z ⎰=-4||22)1(sin . 7、计算积分dx x x ⎰∞+∞-+421。
(8分) 8、求下列幂级数的收敛半径。
(6分)（1） 11-∞=∑n n z n （2）n n n z n ∑∞=-1!)1( 9、讨论2||)(z z f =的可导性和解析性。
(6分)三、 证明题。
1、设函数)(z f 在区域D 内解析，|)(|z f 为常数，证明)(z f 必为常数。
(5分)2、试证明0=++b z a z a 的轨迹是一直线，其中a 为复常数，b 为实常数。
(5分)《复变函数》考试试卷(十四)一、填空题。
(每题2分)1、设)sin (cos θθi r z +=，则_________________=n z 。
2、设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，00iv u A +=，000iy x z +=，则 A z f z z =→)(lim 0的充要条件是___________________________。
3、设函数)(z f 在单连通区域D 内解析，则)(z f 在D 内沿任意一条简单闭曲线C 的积分_______)(=⎰dz z f C。
4、设a z =为)(z f 的可去奇点，则)(lim z f az →为。
5、设)1()(22-=z e z z f ，则0=z 是)(z f 的______阶零点。
6、设211)(z z f -=，则)(z f 在0=z 的邻域内的泰勒展式为_______________________。
7、设b a z a z =++-||||，其中b a ,为正常数，则点z 的轨迹曲线是______。
8、设ααcos sin i z +=，则z 的三角表示式为__________________。
9、___________________11=⎰+dz ze iz 。
10、设zz z f 1sin )(2=，则)(z f 在0=z 处的留数为_________。
二、计算题。
1、计算下列各题。
(9分)(1) )43(i Ln +-; (2) 61ie π+-; (3) i i +-1)1(2 求解方程023=+z 。
(7分)3设y x u )1(2-=，验证u 是调和函数，并求解析函数iv u z f +=)(，使之i f -=)2(。
(8分)4、计算积分⎰++-idz ix y x 102])[(。
积分路径为(1)自原点到i +1的直线段；(2) 自原点沿虚轴到i ，再由i 沿水平方向向右到i +1。
(10分)5、试求21)(-=z z f 在1-=z 的邻域内的泰勒展开式。