实验4：多种风险资产与无风险资产的最优投资组合决策
最优投资组合的计算
最优投资组合的计算案例：设风险证券A 和B 分别有期望收益率%201=-r ，%302=-r ，标准差分别为%301=σ，%402=σ，它们之间的协方差%612=σ，又设无风险证券的收益率f r =6%，求切点处风险证券A 、B 的投资比例及最优风险资产投资组合的期望收益率和标准差；再求效用函数为()2005.0σA r E U -=，A=4时，计算包含无风险资产的三种资产最优组合的结构。
求解：第一步，求风险资产的最优组合及该组合的收益率与标准差。
随意指定一个期望收益率%14=-P r ，考虑达到-P r 的最小方差的投资比例（因为无风险证券的方差以及与其他风险证券的协方差也都等于零，所以包括无风险证券在内的投资组合的方差实际上就等于风险证券组合的方差）：min(1221222221212σσσx x x x ++),S.T.---=--++P f r r x x r x r x )1(212211.令L=(1221222221212σσσx x x x ++)+[λ--P r ])1(212211f r x x r x r x ------， 由一阶条件：=∂∂λL --P r 0)1(212211=------f r x x r x r x 0)(2211222111=--+=∂∂-f r r x x x L λσσ 0)(2221212222=--+=∂∂-f r r x x x L λσσ 代入上述数字解得26825.8,268521==x x 。
风险证券A 、B 的组合结构为62.0,38.0212211=+=+x x x x x x ，这就是风险证券内部的组合结构和比例。
如果投资者比较保守，不追求那么高的收益率，比如选择%8=-P r ，则解得风险证券内部的组合结构和比例，仍然不变（忽略计算）。
说明投资者的风险偏好无论怎样，只是改变资金在无风险证券和风险证券之间的分配比例，风险资产投资的内部结构不会改变。
投资学之最优风险资产组合理论
•3.3 两项风险资产的投资组合
3.3.3 最小方差组合
最小方差组合：相关系数不为-1时，如何求最小方差组合？ 2 P w2 D 2 D w2 E 2 E 2wD wE cov(rD , rE ) 投资组合收益率的方差： 代入： wE 1 wD 同样利用导数为零求解最小方差组合：
2 P w2 D 2 D w2 E 2 E 2wD wE D E corr (rD , rE )
corr (rD , rE ) 1
corr (rD , rE ) 0
corr (rD , rE ) 1
P (wD D wE E )2 wD D wE E
此时：
E (rC ) rf ( E (rP ) rf ) 0.07 0.41 (0.15 0.07) 0.1028
C P 0.41 0.22 0.0902
•3.3 两项风险资产的投资组合
3.3.1 风险的类型
不可分散风险：对所有资产都存在影响的风险，如商业周期、 通货膨胀、利率、汇率等，又称为市场风险或系统性风险。 可分散风险：只影响某个具体资产的风险，如管理层变动、合 同纠纷等，又称为公司特有风险或非系统风险。 当风险均来自于公司层面时，分散化可以降低该类风险，特别地 ，当所有风险来源都相互独立时，通过资产组合可将该类风险降 低到可忽视水平。
E (rP ) rf A P 2
•3.2 风险资产与无风险资产的投资组合
3.2.2 最优风险资产配置比例的精确解
对于组合C，风险厌恶系数为4的投资者的最优风险资产比例： E (rP ) rf A P 2
0.15 0.07 0.08 0.413 2 4 0.22 0.1936
最优风险资产组合
图 7.5 组合期望收益关于标准差的函数
docin/sundae_meng
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相关效应
资产相关性越小，分散化就更有效，组合风 险也就越低。
随着相关系数接近于-1，降低风险的可能性 也在增大。
如果 = +1.0，不会分散任何风险。. 如果 = 0， σP 可能低于任何一个资产的标准差。 如果 = -1.0， 可以出现完全对冲的情况。
马克维茨资产组合选择模型
每个人都投资于P，而不考虑他们的风险厌恶程度。
大多数风险厌恶者更多的投资于无风险资产。 少数的风险厌恶者在P上投资的更多。
docin/sundae_meng
资本配置和分离特性
分离特性阐明组合决策问题可以分为两个 独立的步骤。 决定最优风险组合，这是完全技术性的 工作。 整个投资组合在无风险短期国库券和风 险组合之间的配置，取决于个人偏好。
公司特有风险
可分散风险或非系统风险
图7.1 组合风险关于股票数量的函数
docin/sundae_meng
docin/sundae_meng
图 7.2 组合分散化
协方差和相关性
投资组合的风险取决于投资各组合中资产收益率的相关性。 协方差和相关系数提供了衡量两种资产收益变化的方式。
rE Equity Return 股票的收益率
E(rp ) wDE(rD ) wE E(rE )
两个资产构成的资产组合: 风险
docin/sundae_meng
p 2 w D 2D 2 w E 2E 2 2 w D w E C r D ,o r Ev
投资学-7投资组合最优决策模型应用
7一般地最优投资组合模型计算1多种风险资产的最优投资组合以上分析表明，在投资组合的期望收益率p R 与投资组合标准差p σ之间的关系曲线上，存在一个最低风险（标准差）的投资组合（即最优投资组合），该投资组合的各项资产投资比重矩阵的计算公式为：11**1112T12(0)(,,,)n I=111P P P P P T T T n CR A B AR W Q R Q I D D A R Q I C B R Q RC I Q ID BC A D R R R R σσ*-------==+=====->=T 而在此投资组合下的期望收益率和标准差分别为：其中A=R 表示种风险资产的期望收益率，（，，，）。
2无风险资产与多种风险资产的最优投资组合当无风险资产与多种风险资产的构成投资组合时，首先可以计算出多种风险资产的最优投资组合，即资本配置线与风险资产的有效边界相切的那一点。
切点所代表的最有投资组合的期望收益率p R 和标准差p σ的计算公式分别为：**1****A B C D ()W ,CAL ,.FP P FF F FP PF P P P B AR R A CR R Q R R I A CR D D R CR A CR Aσσσσ--==--=-=+--*P 式中为无风险资产的收益率。
参数、、、的计算同上。
在多种风险资产的最有投资组合中各种风险资产的投资比重为：无风险资产与多种风险资产构成的最优投资组合其风险和收益落在资本配置线()上,计算公式为: R 为该直线的斜率3不允许卖空的最优投资组合的电子表格计算在有些情形下，投资者把不进行卖空作为一种投资策略，因此，讨论在不允许卖空的约束下如何确定最小方差集合是必要的。
这时在约束条件中需要加入x i 大于0，i=1,…,n 。
相应的模型为)21min(VX X T ，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥==∑=0)(11X r E e X x X Tni i这一模型不能被简化为一种线性方程式的求解问题。
在风险资产和无风险资产间的资产配置.ppt
E(RP) = Wr E(Rr) + (1－Wr) Rf
(6. 1)
where E(Rr) : the expected rate of return of risky asset.
Suppose that E(Rr) = 10%, σr = 18%, Rf = 4%:
E(RP) = 0.10×Wr + 0.04×(1－Wr)
International Investments Chapter 6
在风险资产和无风险资 产间的资产配置
1
Guidelines
I. 在风险资产和无风险资产间 的资产配置
1. 风险资产和无风险资产
2. 在风险资产和无风险资产间 的资产配置
II. 一个风险资产和一个无风险 资产的组合的风险和收益
III. 最佳资产分配决策
3
Allocation between risky assets and risk-free assets
Capital allocation decision is concerning a choice across asset classes, not one class or securities of one firm.
E(RP) = Rf + Wr [ E(Rr)－Rf ]
= Rf + σP / σr [ E(Rr)－Rf ]
(6.4)
Equation 6.4 shows the expected return of the portfolio is
a liner function of its standard deviation, with an intercept
Other things equal, an investor would prefer a steepersloping CAL, because that means higher expected returns for any given level of risks.
投资组合优化决策模型及应用
投资组合优化决策模型及应用投资组合优化决策模型是指通过系统分析各种投资标的的风险、收益、组合效果等因素，以求达到最优化的投资组合，从而实现理财目标的一种决策模型。
在当前投资市场竞争激烈、信息不对称的情况下，使用投资组合优化模型能够较好地降低风险、提高收益，同时也能有效地避免由盲目跟风所带来的亏损。
在投资组合优化决策模型中，需要考虑的主要因素包括：投资标的的风险、收益、物流、政策环境、自身资金状况等。
其中，风险和收益是决定投资组合最终效果的关键因素。
在考虑风险时，需要对投资标的进行风险分析，如金融资产的信用风险、市场风险、政策风险等因素。
在考虑收益时，则需深入了解各种投资标的的收益趋势、回报率、市场前景、资产配置、分散度等因素。
为了实现投资组合优化，我们可以采用多种计算方法，如最优化理论、线性规划、非线性规划、动态规划、蒙特卡罗模拟等。
使用这些计算方法，可以通过对一系列的数学公式进行数学建模，使计算机可以帮助投资者进行组合优化的决策。
这些计算方法不但可以考虑投资标的的投资比例、风险收益关系等因素，还可以根据投资者自身投资偏好和风险承受度的差异，为投资者提供个性化的投资组合方案。
投资组合优化决策模型的应用范围广泛。
在股票、债券、基金、外汇等金融资产的投资中，都可以应用投资组合优化模型。
同时，在实体经济领域中，如房地产、互联网、文化创意、医疗、能源等方面的投资，都可通过投资组合优化模型进行决策，实现个性化、高效益的投资组合。
在投资决策实践中，投资者不仅需要在形成投资组合时考虑各种因素，而且还应注意投资的周期和形式等方面的选择。
投资周期短、投资形式较灵活的金融产品更适合中短期投资者；而长周期的实体经济投资则更适合长期持有的投资者。
对于具有强市场预测能力的投资者，可以在适当的时间点进行买卖股票或基金交易，以获得比普通情况下更高的收益。
虽然投资组合优化决策模型可以较好地降低风险、提高收益，但投资决策始终是一个复杂的过程，需要投资者兼顾多种风险、收益、成本等因素。
投资学之最优投资组合与有效边界
nn
n
n
L
wiwj ij ( wiri c) ( wi 1)
i1 j1
i 1
i 1
▪上式左右两边对wi求导 数，令其一阶条件为0， 得到方程组
L
w1
n
wj1 j
j 1
r1
0
L
w2
n
wj 2 j r2 0
j 1
L
wn
n
wj nj
j 1
rn
L
1
w T
1
0
0=[0,0,…,0]T
(4 6) (4 7) (4 8)
2 P
1/C
(E(rP ) A / C)2 D/C2
1
均值
B/C
wg
方差
1/ C
g点是全局最小方差组合点（global minimum variance portfolio point）
▪ 注意点wg以下的部分，由于它违背了均方准则， 被理性投资者排除，这样，全局最小方差点wg以 上的部分（子集），被称为均方效率边界(meanvariance efficient frontier)
E(rp2
)
另外任意的点P， 对应的收益率和组合比例为E(rP )和w P
则必存在一实数，
使得：E(rP ) E(rp1 ) (1 )E(rp2 )
( E(rP ) E(rp2 ) )
E(rp1 ) E(rp2 )
又由w
m
E(r)n
按 , (1 )的比例将w
得：w
p1
(1
)wp2
投资学之最优投资组合 与有效边界
2021/7/13
4.1 单一风险资产P与单一无风险资产 F的资产组合 C
第4章_最优资产组合选择
– 静态预期收益与方差——对收益和波动没有 预测（例如：金融分析、会计信息、宏观经 济变量在制定投资决策时不发挥任何作用）
一些需要思考的重要问题
• 证券分析能提高资产组合的业绩么？ • 分析师的观点怎么介入证券选择？
（二）风险厌恶与资产配置
分：位于最小方差点上方的部分（SE1和SE2）和位于最小方差点下 方的部分（E1B和E2B）。对于风险规避的投资者而言，只会选择最 小方差点上方的资产组合，我们称这部分资产组合为全部资产组合的 效率边界（Efficient Frontier）。
三、一个无风险资产与两个风险资产的组合
假设两个资产的投资权重分为w1和w2，无风险资产的投资权重为1-w1-
E2
rS
2 B
E
rB
E
rS
E rS E rB 2
S ,B S B
• 情形一， S,B 1 此时，两个资产的收益率是完全正相关的，我们
容易得到：
2 P
w S
(1
w) B 2
p w S (1 w) B , 如果0 w 1
水平，标准差或者风险水平的增大则会降低效用水平，因此有：
U 0, U 0
•
在期望值-标准差平面中，无差异曲线就是一条向右上倾斜的曲
线，并且左上方的无差异曲线代表的效用高水平要高于右下方无
差异曲线的效用水平。
•
给定投资者的效用函数 U U (, 程可以分为两个阶段：
•
首先，投资者要根据各风险资产的期望收益、方差以及协
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实验四：无风险资产与多种风险型资产最优投资组合的模型分析 一、实验目的通过上机实验，使学生充分理解Excel 软件系统管理和基本原理,掌握多资产投资组合优化的Excel 应用。
二、预备知识（一）相关的计算机知识： Windows 操作系统的常用操作；数据库的基础知识；Excel 软件的基本操作。
（二）实验理论预备知识现代资产组合理论发端于Markowitz(1952)提出的关于投资组合的理论。
该理论假设投资者只关心金融资产（组合）收益的均值（期望收益）和方差，在一定方差下追求尽可能高的期望收益，或者在一定的期望水平上尽可能降低投资收益的方差。
投资者的效用是关于投资组合的期望回报率和方差的函数，理性的投资者通过选择有效地投资组合以实现期望效用最大。
该理论第一次将统计学中期望与方差的概念引入投资组合的研究，提出用资产收益率的期望来衡量预期收益，用资产预期收益的标准差来度量风险的思想。
1、理论假设（Ⅰ）市场上存在n ≥2种风险资产，资产的收益率服从多元正态分布，允许卖空行为的存在。
{}12(,,,)T n ωωωωω=,代表投资到这n 种资产上的财富（投资资金）相对份额，它是n 维列向量，有11=∑=ni i ω，允许0<i ω，即卖空不受限制。
(Ⅱ) 用e 表示所有由n 种风险资产的期望收益率组成的列向量。
12(,,,)T n e R R R R == （1）p r 表示资产组合的收益率，)(p r E 和)(p r σ分别为资产组合p 的期望收益率和收益率标准差。
∑=⋅=⋅=ni ii Tp e r E 1)(μωω (2)(Ⅲ)假设n 种资产的收益是非共线性的(其经济意义为：没有任何一种资产的期望收益率可以通过其他资产的线性组合来得到，它们的期望收益是线性独立的。
)。
这样它们的方差-协方差矩阵可以表示为:⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=nn n n n n Q σσσσσσσσσ212222111211 （3）由于总是假定非负的总体方差,它还必须是一个正定矩阵,即对于任何非0的n 维列向量a ,都有0T a Qa >。
因此整个资产组合的总体方差为:ωωσωωσ⋅⋅=⋅⋅=∑∑==Q T n i nj ij j i p112 (4)2、 均值——方差模型经典的均值——方差模型可以表述为：ωωσQ T p =2min (5)1.1=∑=ni its ω(6)()T p p e E r R ω⋅== （7） 利用拉格朗日乘数法可以计算在既定期望收益(e )的前提下最小风险曲线方程为(8)式：222222(()/)1(())11//p p p p E r A C C A E r BC A C C C D C σσ-=⋅-+⇒-=- (8) 该式证明可见（Merton1974），其中11112,,,,T T T T C I Q I A I Q e e Q I B e Q e D BC A I ----=====-为单位阵。
均值－方差模型的解在)(p p r E -σ空间中是图1中的弧线，f r G 是投资组合的有效前沿，即投资者根据此线上的点进行投资决策。
当只考虑风险资产时，相应的最小方差组合g w 点的解（见图2）为：21,()g g A E r C C σ== 如果进一步考虑无风险资产，投资者可以在资本市场借贷，以调整风险和收益时，有效集位于直线f r GK 上（见图1），G 为切点，f r 为无风险利率。
同样利用拉格朗日乘数法可以计算出资本市场线的直线方程为：()p f E r r σ=+ （9）fr图1均值—方差模型几何示意图图2 最小方差抛物线和效率边界因此，投资者以无风险利率f r 借入资金，并连同已有资金一起全部投资于某一风险资产，所形成组合的预期收益和风险（标准差）正好使组合位于无风险资产的线段的延长线上。
均值方差图3 最小标准方差双曲线和效率边界3、多种风险资产的最优投资组合以上分析表明，在投资组合的期望收益率p R 与投资组合标准差p σ之间的关系曲线上，存在一个最低风险（标准差）的投资组合（即最优投资组合），该投资组合的各项资产投资比重矩阵的计算公式为：11**1112T12(0)(,,,)n I=111P P P P P T T T n CR A B AR W Q R Q I D D A R Q I C B R Q RC I Q ID BC A D R R R R σσ*-------==+=====->=T 而在此投资组合下的期望收益率和标准差分别为：其中A=R 表示种风险资产的期望收益率，（，，，）。
4、无风险资产与多种风险资产的最优投资组合当无风险资产与多种风险资产的构成投资组合时，首先可以计算出多种风险资产的最优投资组合，即资本配置线与风险资产的有效边界相切的那一点。
切点所代表的最有投资组合的期望收益率p R 和标准差p σ的计算公式分别为：**1****A B C D ()W ,CAL ,.FP P FF F FP PF P P P B AR R A CR R Q R R I A CR D D R CR A CR Aσσσσ--==--=-=+--*P 式中为无风险资产的收益率。
参数、、、的计算同上。
在多种风险资产的最有投资组合中各种风险资产的投资比重为：无风险资产与多种风险资产构成的最优投资组合其风险和收益落在资本配置线()上,计算公式为: R 为该直线的斜率三、实验内容根据现代资产组合理论，计算无风险资产和风险资产间的最优投资组合比重，建立无风险资产与多种风险资产投资组合的动态计算与分析电子模型。
四、实验步骤本实验通过具体的实例应用展开。
1、多种风险资产的最优投资组合。
已知5种风险资产U 、V 、W 、X 、Y 的期望收益率、标准差，以及它们两两之间的相关系数如下表所示，试计算最有投资组合，并绘制该投资组合的期望收益率与标准差之间的关系曲线。
具体步骤如下：（1）在单元格C19 中输入公式=C10*$D$3*D3,在单元格D19中输入公式=D19*$D$4*D3,在单元格E19 中输入公式=E10$D$5*D3,在单元格F19中输入公式=F10*$D$6*D3，在单元格G19中输入公式=G10*$D$7*D3。
然后选取单元格区域C19：G19，将其向下一直填充复制到单元格区域C23：G23，得到协方差矩阵。
（2）选取单元格C25 ，在名称框中将单元格的名称改为A ，依次将C26、D25、D26 定义名称为B 、C.、D 。
定义单元格名称：依次选取[插入]，[名称]，[定义名称]按钮。
（3）在单元格C25中输入公式=MMULT （MMULT （TRANSPOSE （C3：C7），MINVERSE （C19：G23）），{1；1；1；1；1}），计算参数A 。
（4）在单元格C26中输入公式=MMULT （MMULT （TRANSPOSE （C3：C7），MINVERSE （C19：G23）），C3：C7），计算参数B 。
（5）在单元格E25中输入公式=MMULT （MMULT （{1，1，1，1，1}，MINVERSE （C19：G23）），{1；1；1；1；1}），计算参数C。
这里{1，1，1，1，1}表示单位行向量；{1；1；1；1；1}表示单位列向量。
（6）在单元格E26中输入公式=B*C.-A^2,计算参数D。
（7）在单元格C28中输入公式=A/C.，计算最优投资组合的期望收益率；在单元格E28中输入公式=SQRT（1/C.）,计算最优投资组合的标准差。
（8）选取单元格区域C30：G30，输入数组公式=TRANSPOSE（（C.*C28-A）/D*MMULT(MINVERSE(C19:G23),C3:C7)+(B-A*C28)/D*MMULT(MINVERSE( C19:G23),{1;1;1;1;1})）,计算最优投资组合中各资产的投资比例。
计算结果如下表所示。
（9）设计绘制图表的数据格式。
在单元格I3：I17中输入给定的期望收益率数据.(10) 在单元格J3中输入公式=SQRT（C./D*(I3-A/C.)^2+1/C.）,并将此单元格向下一直填充复制到单元格J17，计算不同期望收益率下的标准差。
（11）选取单元格区域I3：J17，单击工具栏上的[图表向导]按钮，作期望收益率和标准差的平滑散点图，方法同前面的实验。
（12）在图表区域中单击鼠标右键，在弹出的快捷键中选择打开[源数据]，在其对话框中打开系列选项卡，单击[添加]按钮，然后在[X值]栏中输入=sheet1!$D$3:$D$7,在[Y值]栏中输入=sheet1!$C$3:$C$7,然后单击确定按钮。
关于图形的修饰方法同前。
2、多种风险资产投资组合的动态计算与分析模型建立一个多种风险资产投资组合的动态计算与分析模型具体过程如下。
（1）首先设计已知数据的微调按钮。
以资产P的期望收益率为例，设计微调按钮的方法如下：在[视图]菜单的[工具栏]子菜单中单击[窗体]命令，打开[窗体]工具栏，单击[微调项]按钮，然后在D3单元格的位置拖曳出一个矩形[微调项]控件，并调整其大小；将鼠标移到新建立的[微调项]控件上，单击右键，出现快捷菜单中的[设置控件格式]命令，打开[设置控件格式]对话框，打开[控制]选项卡，在[单元格链接]栏中填入$D$3，然后单击[确定]按钮，这样就建立了资产P的微调按钮。
用同样的方法可以建立其他资产的期望收益率、标准差以及相关系数的微调按钮。
（2）建立各种资产期望收益率和标准差数值与[微调项]控件的联系。
在单元格C3中输入=D3/1000，并将其向下填充复制到单元格C7 ，建立期望收益率微调按钮与期望收益率数值的关系。
在单元格E3中输入=F3/1000，并将其向下填充复制到单元格E7，建立标准差微调按钮与标准差数值的关系，使微调按钮每次调整对应的参数数值变动0.1% 。
（3）建立各种资产之间相关系数数值与相关系数微调按钮的关系。
计算各种资产之间的相关系数的单元格及相应的公式如下：单元格D10，=C11/100-1，为资产P与Q的相关系数；单元格E10，=C12/100-1，为资产P与R的相关系数；单元格F10，=C13/100-1，为资产P与S的相关系数；单元格G10，=C14/100-1，为资产P与T的相关系数；单元格E11，=D12/100-1，为资产Q与R的相关系数；单元格F11，=D13/100-1，为资产Q与S的相关系数；单元格G11 ，=D14/100-1，为资产Q与T的相关系数；单元格F12，=E13/100-1，为资产R与S的相关系数；单元格G12，=E14/100-1，为资产R与T的相关系数；单元格G13，=F14/100-1，为资产S与T的相关系数。