空间平行力系
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第四章 空间力系的平衡
应用静力学
第4章
空间力系的平衡
静力学
第4章 空间力系的平衡
实 例 1
静力学
第4章 空间力系的平衡
实 例 2
静力学
第4章 空间力系的平衡
主要内容
本章内容： 1. 空间约束； 2. 空间分布力；
3. 空间汇交力系的平衡； 4. 空间平行力系的平衡；
5. 空间力偶系的平衡；
6. 空间一般力系的平衡。
静力学
第4章 空间力系的平衡
空间平行分布力
z q x O
L x
例1 沿AOB分布的平行分布力， 最大分布集度为q，OA=OB=L。 求合力大小及位置。 解：方法一
xC
F
B
y
A
xq dx
A
xq( L x) / Ldx qL
0
L 6
yC
yq
y
dy
L
yq( L y ) / Ldy qL
静力学
第4章 空间力系的平衡
主要内容
本章内容： 1. 空间约束； 2. 空间分布力；
3. 空间汇交力系的平衡； 4. 空间平行力系的平衡；
5. 空间力偶系的平衡；
6. 空间一般力系的平衡。
静力学
第4章 空间力系的平衡
空间约束
一. 约束回顾
1. 柔索
1
2. 光滑接触面 1
3. 平面光滑柱铰
F F F
x
0
y
0
0
z
M M M
x
0
y
0
0
z
空间平行力系
(parallel force system in space) 平衡方程:
第4章
空间力系的平衡
静力学
第4章 空间力系的平衡
实 例 1
静力学
第4章 空间力系的平衡
实 例 2
静力学
第4章 空间力系的平衡
主要内容
本章内容： 1. 空间约束； 2. 空间分布力；
3. 空间汇交力系的平衡； 4. 空间平行力系的平衡；
5. 空间力偶系的平衡；
6. 空间一般力系的平衡。
静力学
第4章 空间力系的平衡
空间平行分布力
z q x O
L x
例1 沿AOB分布的平行分布力， 最大分布集度为q，OA=OB=L。 求合力大小及位置。 解：方法一
xC
F
B
y
A
xq dx
A
xq( L x) / Ldx qL
0
L 6
yC
yq
y
dy
L
yq( L y ) / Ldy qL
静力学
第4章 空间力系的平衡
主要内容
本章内容： 1. 空间约束； 2. 空间分布力；
3. 空间汇交力系的平衡； 4. 空间平行力系的平衡；
5. 空间力偶系的平衡；
6. 空间一般力系的平衡。
静力学
第4章 空间力系的平衡
空间约束
一. 约束回顾
1. 柔索
1
2. 光滑接触面 1
3. 平面光滑柱铰
F F F
x
0
y
0
0
z
M M M
x
0
y
0
0
z
空间平行力系
(parallel force system in space) 平衡方程:
工程力学第4章 力系的平衡
2
即空间一般力系平衡的解析条件是力系中所有各力 在任一轴上投影的代数和为零，同时力系中各力对任一 轴力矩的代数和为零。式（4.2）称为空间一般力系的平 衡方程（equationsofequilibrium ofthreedimensionalforcesystem inspace）。 应当指出，由空间一般力系平衡的解析条件可知， 在实际应用平衡方程时，所选各投影轴不必一定正交， 且所选各力矩轴也不必一定与投影轴重合。此外，还可 用力矩方程取代投影方程，但独立平衡方程总数仍然是 6个。
30
4.3.1 有主次之分物体系统的平衡 有主次之分的物体系统，其荷载传递规律是：作用 在主要部分上的荷载，不传递给相应的次要部分，也不 传递给与它无关的其他主要部分；而作用在次要部分上 的荷载，一定要传递给与它相关的主要部分。
31
32
据此，先分析次要部分BD，其受力图如图4.11（b） 所示。建立图示参考系Oxy，列平衡方程并求解。由于 本题只要求出D处的约束反力，而不必要求出B处的约 束反力，故
12
13
建立参考系 Bxy，列平衡方程，求未知力。
14
15
例4.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 图4.5所示为一管道支架，其上搁有管道，设 每一支架所承受的管重G1=12kN，G2=7kN，且架重不计。 求支座A和C处的约束反力，尺寸如图所示。
16
17
解 取刚架AB为研究对象，其上所受力有：已知的 集中力F、集度为q的均布荷载，集中力偶；未知的3个 约束反力FAx，FAy，MA。刚架AB的受力图如图4.6（b） 所示。各力组成一平面一般力系。建立图示Oxy坐标系， 列平衡方程求解
9
2.平面一般力系平衡方程的其他形式 （1）二矩式平衡方程
2、空间力系平衡、重心
解：取铰D 脱离体， 为 脱离体， 画受力图如 所示， 图b所示， 各力形成空 间汇交力系。 间汇交力系。
由ΣFx ＝0, cos60 sin60 60ºsin60º+ cos60 sin60 60ºsin60º= －NADcos60 sin60 + NBDcos60 sin60 =0 NAD=NAD 得 由ΣFy ＝0, Tcos60 +NCDcos60 －NADcos60 cos60 －NBDcos60 cos60 =0 cos60º+ cos60º－ cos60ºcos60 cos60º－ cos60ºcos60 cos60º=0 FG＋NCD－0.5NAD－0.5NBD=0 得 由ΣFz ＝0, NADsin60 +NCDsin60 +NBDsin60 ―T sin60 ―FG=0 sin60 60º+ sin60 60º+ sin60 60º― sin60 60º― 866( 866+ 得 0.866(NAD+ NCD+ NBD)－(0.866+1)FG=0 联立求解得 NAD =NBD =31.55kN ， NCD=1.55kN。 。
球形铰链
2、向心轴承 、
4、 、 向 心 推 力 轴 承
6、空间固定端 、
例 3 － 3 ： 用三角架 ABCD 和绞车提升一重物如图 所示。 为一等边三角形， 所示。设ABC为一等边三角形，各杆及绳索均与水 平面成60 的角。 60º的角 30kN, kN,各杆均为二力 平面成60 的角。已知重物FG＝30kN,各杆均为二力 滑轮大小不计。 杆 ， 滑轮大小不计 。 试求重物匀速吊起时各杆所 受的力。 受的力。
[例] 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N。求： 例 平衡时(匀速转动)力Q=？和轴承A , B的约束反力？
理论力学第3章
Pz Psin45 Pxy Pcos45 Px Pcos45sin60 Py Pcos45cos60
理论力学
中南大学土木建筑学院
7
mz (P )mz (P x )mz (P y )mz (P z )6Px (5Py )0 6Pcos45sin605Pcos45cos6038.2(Nm)
mx (P )mx (P x )mx (P y )mx (P z )006Pz 6Psin4584.8(Nm)
由 mA (Fi ) 0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0
XA 0
Y 0
YB NB P0,
YA
P 3
理论力学
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22
二、平面平行力系平衡方程 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
mO (Fi )0
一矩式
实质上是各力在x 轴上的投影恒 等于零，即 X 0 恒成立， 所以只有两个独立方程，只能 求解两个独立的未知数。
一、空间任意力系的平衡充要条件是：
R '0F 0 M O mO (Fi )0
又 R' (X )2 (Y )2 (Z )2
MO (mx (F ))2 (my (F ))2 (mz (F ))2
所以空间任意力系的平衡方程为：
X 0,mx (F )0 Y 0,my (F )0 Z 0,mz (F )0
再研究轮
mO (F )0
SAcosRM 0 X 0
X O SAsin 0
Y 0
S Acos YO 0
M PR XO P tg YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
理论力学
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7
mz (P )mz (P x )mz (P y )mz (P z )6Px (5Py )0 6Pcos45sin605Pcos45cos6038.2(Nm)
mx (P )mx (P x )mx (P y )mx (P z )006Pz 6Psin4584.8(Nm)
由 mA (Fi ) 0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0
XA 0
Y 0
YB NB P0,
YA
P 3
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二、平面平行力系平衡方程 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
mO (Fi )0
一矩式
实质上是各力在x 轴上的投影恒 等于零，即 X 0 恒成立， 所以只有两个独立方程，只能 求解两个独立的未知数。
一、空间任意力系的平衡充要条件是：
R '0F 0 M O mO (Fi )0
又 R' (X )2 (Y )2 (Z )2
MO (mx (F ))2 (my (F ))2 (mz (F ))2
所以空间任意力系的平衡方程为：
X 0,mx (F )0 Y 0,my (F )0 Z 0,mz (F )0
再研究轮
mO (F )0
SAcosRM 0 X 0
X O SAsin 0
Y 0
S Acos YO 0
M PR XO P tg YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
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工程力学第三章-力系的平衡
将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
F F F
可以求解3个未知量。
x y
z
0 0 0
• 2.平面汇交力系
力系的平衡
• 力偶系的平衡方程 • 1.空间力偶系
平衡的充要条件（几何条件） M Mi 0 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
M M M
可以求解3个未知量。
ix iy iz
0 0 0
• 2.平面力偶系
力系的平衡
• 平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零.
m 0
i
• 任意力系的平衡方程 空间任意力系： • 平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点的主矩均为零。
FR 0
MO 0
G3 a
e
G 3(a b) FNAb G1e G 2L 0 G 3(a b) G1e G 2L FNA 2 b
由(1)、(2)式 得：
G1 G2 L
G1e G 2L G3 ab
3
A FN A b
B FN B
(2)空载时
不翻倒条件：FNB≥0 (4) 由 mA 0 得：
FAB = 45 kN
600
y B TBC 15 15 30 TBD
0 0 0
x
C
D
150
B
300
TBD=G E
A
E
FAB G
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。
空间力系
最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为
（2）合力偶
当 中心无关。 （3）力螺旋 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化 当 ∥ 时
力螺旋中心轴过简化中心
当
成角
且
既不平行也不垂直时
力螺旋中心轴距简化中心为
（4）平衡
当 平衡力系
时，空间力系为
§4–5 空间任意力系的平衡方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、 主矩分别为零。 1.空间任意力系的平衡方程
空间力系
空间力系：
空间汇交（共点）力系
空间力偶系
空间任意力系 (空间平行力系)。
§4–1空间汇交力系
平面汇交力系合成的力多边形法则对空间汇交力 系是否适用？
解析法 1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
间接（二次）投影法
Fx Fxy cos F sin . cos
Fy Fxy sin F sin . sin
其中，各
，各
一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系。
空间汇交力系的合力 称为力系的主矢
空间力偶系的合力偶矩
称为空间力偶系的主矩 由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
式中，各分别表示各 对 ， ， ,轴的矩。
力
2． 空间任意力系的简化结果分析（最后结果） 1） 合力 当 最后结果为一个合力。 合力作用点过简化中心。 当 时，
已知：
两圆盘半径均为200mm，
AB =800mm,
圆盘面O1垂直于z轴， 圆盘面O2垂直于x轴，
两盘面上作用有力偶，F1=3N，F2=5N， 构件自重不计。
求:轴承A,B处的约束力。 解：取整体，受 力图如图所示。 由力偶系平衡方程
理论力学 第六章 空间力系.ppt
r = x i + y j + z k 则：
z
i x MO(F) = r F =
jk yz
B
MO(F）
F
Od y
Fx Fy Fz
rA
x
=( y·Fz - z ·Fy ) i + (z·Fx - x ·Fz ) j + (x·Fy - y ·Fx ) k
其中 [MO (F)] x = y·Fz - z ·Fy [MO (F)] z = x·Fy - y ·Fx
使-R=R')
③由反向平行力合成得：
F1与R合成得F2，作用在d点 F1'与R'合成得F2'，作用在c点
且R-F1=F2 ，R'- F1'= F2'
④在I内的力偶（F1，F1'）等效变成II内的（ F2， F2' ）
14
由此可得出，空间力偶矩是自由矢量，它有三个要素：
①力偶矩的大小= m
②力偶矩的方向——与力偶作用面法线方向相同 ③转向——遵循右手螺旋规则。 三、空间力偶系的合成与平衡 由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意 一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合 矢量运算法则。
[MO (F)] y = z·Fx - x ·Fz 为力矩式在坐标轴上的投影。
19
二 力对轴的矩
z
力对物体绕轴转动效果的度量
1)定义:力对轴的矩等于此力在垂直
于矩轴的平面上的投影矢量对
于矩轴与这平面的交点的距 。
o
用FXY表示F在XY平面上的投影，
则力F对Z轴的矩为
x
mZ (F) Fxyd
各力偶矩矢在三个坐标轴的每一坐标轴上投影的代数和等于零.
工程力学-第五章
F F
sin γ cos φ
sin
γ
sin
φ
Fz F cos γ
应当指出：力在坐标轴上的投影是代数量，有正、负两种可能；而力在平面上的投影为矢量。
5.1.3 空间汇交力系的合成与平衡条件
1．空间汇交力系的合成
设有空间汇交力系 F1，F2，…，Fn，利用力的四边形法则，可将其逐步合成为合力矢 R，
某轴之矩等于各分力对同轴的矩的代数和，即
M x FR M x F1 M x F2 M y FR M y F1 M y F2 M z FR M z F1 M z F2
Mx My
Fn Fn
Mx My
FFii
M
z
Fn
M
z
Fi
5.2.3 空间力系的合力矩定理
如图所示，设力F的作用线沿AB，O点为矩心，则力对 这一点之矩可用矢量来表示，称为力矩矢，用MO（F）表 示。力矩矢MO（F）的始端为O点，它的模（即大小）等 于力F与力臂d的乘积，方位垂直于力F与矩心O所决定的平 面，指向可用右手法则来确定。于是可得：
MO (F ) Fd 2A OAB
5.2.1 力对点之矩
5.1.3 空间汇交力系的合成与平衡条件
例 5-1 如图所示，在正方体的顶角 A 和 B 处分别作用有力 F1 和 F2，试求此二力在 x，y，z 轴上的
投影。
F1x F1 sin cos F1
2 3
1 2
3
3
F1
解：首先，求 F1 在 x，y，z 轴上的投影，即 F1y F1 sin sin F1
5.2.4 力对点之矩与力对轴之矩的关系
以矩心 O 为原点，取直角坐标系 Oxyz，如图所示。设力 F 在各坐标轴上的投影为 Fx，Fy，Fz；力作 用点 A 的坐标为（x，y，z），则有 F Fxi Fy j Fzk
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空间平行力系
空间平行力系是指在空间内，由若干个平行的力构成的力系。
这些力在大小、方向和
作用点上都是平行的，因此不会互相干扰或叠加，其作用效果可以看成是多个力的简单叠
加而成的。
空间平行力系的重要性在于它广泛存在于自然界和工程实践中，如桥梁、建筑结构、
飞机机身等，这些结构所承受的荷载往往是由若干个平行的力组成的。
了解和应用空间平
行力系的知识和方法，可以帮助我们更好地设计和维护这些结构，从而提高其稳定性和安
全性。
在计算空间平行力系的作用效果时，我们需要考虑以下几个因素：
1. 空间平行力系的矢量表示：将每个力看成一个矢量，并将它们画在同一坐标系中，从而得到一个矢量图。
2. 矢量的合成：对于每个矢量，我们可以将其拆分成一个平行于某个坐标轴的分量
和一个垂直于其它坐标轴的分量。
然后，我们可以将所有的平行分量和垂直分量分别相加，从而得到空间平行力系的总平行力和总垂直力。
3. 其他因素：除了平行力和垂直力，还要考虑力矩、力的作用点和结构的几何形状
等因素。
这些因素可以通过另外一些理论和方法进行计算和分析。