理论力学课件 空间力系

FD= -FD sin45ocos30oi +FD cos45oj +FD sin45osin30ok Fx = 0
Fsin30o -FC sin45ocos30o -FD sin45ocos30o = 0 (1)
Fy = 0 -FC cos45o +FD cos45o = 0
(2)
Fz = 0 - 10+Fcos30o+FC sin45osin30o +FD sin45osin30o = 0
33
z
作和y轴垂直的平面M2.
B
找出交点O.
3cm
确定力P在平面M2
内的分力Pxz=P=2kN.
o
d2
A
y
在平面M2内确定 x
力Pxz到矩心O的距
离即力臂d2=3.464cm
P
计算力Pxz对点A的矩亦即力P对y轴的矩
my(P) = mo(Pxz) = - Pxz d2 = -6.928 kN·cm
z
A
z -FAD sinαsinβ -FAC sinαsinβ
-FABsin γ -G
DFAD
α
c c
MFACβα
E
γG
B FAB
N
h y
C
a
b
x
12
x
FAD
-FAD cos α
FAC
FAC cos α
FAB
0
G
0
y -FAD sinαcos β -FACsinαcos β
-FABcos γ 0
z -FAD sinαsinβ -FAC sinαsinβ
作和x轴垂直的平面M1.
找出交点O.
z
确定力P在平面
5cm
B
D
M1内的分力
3cm

Pyz=1.732 kN.
o
在平面M1内确定
d1 y
A
力Pyz到矩心O的距 x
M1
离即力臂d1=8cm
Pyz P
计算力Pyz对点A的矩亦即力P对x轴的矩
mx(P) = mo(Pyz) = - Pyz d1 = -13.86 kN·cm
Mz(F) = Mo(Fxy) = ±Fxyd
（力对轴之矩是代数量。 其正、负号由右手螺旋 法则。）
Mz(F)Biblioteka Baidu±2oab面积
P
z
FB
A
o d a Fxy b
28
z
讨论:
(a) 当力的作用线与轴平行或相交， 即力与轴位于同一平面时
FB
A
力对该轴的矩等于零；
(b) 当力沿其作用线移动时,
它对轴的矩不变；
F
y

其大小：Fxy=Fcos
o
3.力在空间直角坐标轴上的投影： z
a Fxy
b x
（1）直接投影法：
Fz c
Fx=Fcos Fy=Fcos Fz=Fcos
F

D

b
O
Fx

Fy
y
a
x
3
（2）二次投影法：
z
Fz=Fcos =Fsin Fxy=Fsin =Fcos
Fz F
3
3
26
或:在力F的作用线上取点E
则有OE r a b k
z
E
Fx F
i
jk
mo F 0
0 ab
F F F
3 33
Fz
r
C
B
Fy
D A
O
y
a b F i a b F j x
3
3
27
（二）力对轴的矩
１.定义 力F对于z轴的矩等于此 力在垂直于z轴的平面上的投影对 于z轴与此平面交点的矩.
P
o d a Fxy b
(c) 在平面力系中,力对力系所在mz(F) = mo(Fxy) = ±Fxyd
平面内某点的矩,就是力对通过
此点且与力系所在平面垂直的轴的矩。
29
2. 力对直角坐标轴之矩的解析表达式
Mz(F)=mo(Fxy) = mo(Fy) +mo(Fx) = xFy – yFx

Mx(F) =yFz-zFy
O
300mm
x
F2
F1=100N,
F2=300N,
F3
y
F3=200N,
解: F1 100k
F2
600 i 13

900 13
j
166.4i 249.6 j
F3
400 i 5
200 5
k
178 .9i
89.4k
19
前课回顾
1.力在空间直角坐标轴上的投影（两种方法）。 2.空间汇交力系的合成（解析法) 。 3.空间汇交力系的平衡方程（3个）。
P
计算力Pxy对点O的矩亦即力P对z轴的矩
mz(P) = mo(Pxy) = - Pxy d3 = -8 kN·cm
35
(2)根据力矩关系定理计算
z
x=-4
y=8
3cm
z=0 px = p sin30o
20
二、力对点之矩和力对轴之矩
（一）力对点的矩以矢量表示－力矩矢
（空间力对点的矩是矢量）
z
B
mo(F) = r×F
mo(F)
O
F A
r
y
d
x
21
z
B
mo(F) = r×F
mo(F)
F
A
（力矩矢是定位矢量.）
r
O
y
d
力矩的大小: mo(F) =2OAB面积=Fd x
力矩的方向：右手螺旋法则。
力矩的三要素:力矩的大小;力矩平面的方位;力矩在力矩 平面内的转向.
22
＊：力对点的矩的解析表示
i jk mo(F) = r×F = x y z
Fx Fy Fz
=(yFz - zFy)i+(zFx - xFz)j+ (xFy - yFx)k

rAO
xi


yj


zk

- - - x,y,z表示A点的三个坐标
F Fxi Fyj Fzk - - - Fx, Fy, Fz表示F在坐标轴上的投影
Fx=Fcos cos Fy=Fcos sin

O

Fx

Fy
y
x
Fxy
例:Fx=8N,Fy=6N, =45 .求F的大小及Fz. 解: Fxy= F x 2+F y 2 = … =10N
Fxy=Fcos
F=Fxy/cos = … =14.14N Fz=Fsin = … =10N
解：选取铰A连同重物为研究对象，受力分析：
空间汇交力系
DFAD
α
c
β
c
FAC α
C
Fx = 0
z
A
Fy = 0 Fz = 0
E
h
γG
B
y
FAB
a
b
x
11
x
FAD
-FAD cos α
FAC
FAC cos α
FAB
0
G
0
y -FAD sinαcos β -FACsinαcos β
-FABcos γ 0

M
0
(F)
x
My(F) =zFx-xFz

M
0
(
F
)
y
Mz(F) =xFy-yFx M0 (F) z
z F
A（x,y,z)
O
x
z y
y
Fy x
Fx Fxy

M
0
(
F
)
x

yFz
zFy
M
0
(
F
)
y

zFx
xFz
M 0 (F ) z xFy yFx
FAC=868.5N
FAB=-1953N
13
例题. 图示为简易起重机.杆AB的A端是球形支座. CB与DB 为绳
索.已知CH = HD = BH. = 30o. CBD平面与水平面的夹角HBI
= 30o,且与杆AB垂直.C点与D点的连线平行于y 轴.物块G重
W=10kN.不计杆AB及绳索的自重.求杆AB及绳索CB和DB所受
30
(三)力对轴之矩与力对点之矩的关系 (力矩关系定理)
力对任一点的力矩矢在对过此点的任一
轴上的投影,等于此力对该轴的矩。 z


M
0
(
F
)
x

M
x
(
F)
M
0
(
F
)
y

M
y
(
F
)
M 0 (F ) z M z (F )
Mo(F)

o
d
P
Mo(F) =[ Mo(F) ]xi + [Mo(F) ]yj + [Mo(F)]z k = Mx(F) i + My(F) j + Mz(F) k
第三章 空间力系
1.空间汇交力系 2.力对点之矩和力对轴之矩 3.空间力偶 4.空间任意力系向一点简化 5.空间任意力系的平衡方程 6.重心
1
一. 空间汇交力系
(一) 力在坐标轴上的投影：
1.力在一个轴上的投影： Fx=Fcos =Fsin (Fx为代数量)
F


a Fx b
x
2
2.力在平面上的投影： Fxy 是矢量
的力.
C
H
D
I B
G

A W
14
解:取销钉B和物块G为研究对象.杆AB为二力杆.CB 和DB为柔绳约束.画受力图.立Axyz.
z
FC
FD
450
H 450
300
I
B
F
G W
x
A
y
15
写出力的解析表达式.
W = - 10k
F = Fsin30oi + Fcos30ok
FC= -FC sin45ocos30oi -FC cos45oj +FC sin45osin30ok
4
3.投影与分力关系 F=Fx+Fy+Fz
z Fz
F
Fx=Fxi Fy=Fyj
k
O
j
Fx i
Fy
y
Fz=Fzk F=Fxi+Fyj+Fzk
x
Fxy
*:若已知三个投影Fx,Fy,Fz,则可求出力F的大小和方向：
F= Fx 2 +Fy2 +Fz2
cos(F,i)=Fx/F ; cos(F,j)=Fy/F ; cos(F,k)=Fz/F
FC = FC j
F= Fk
Fx = 0 FD -10sin30ocos45o = 0
FD = 3.535 kN
Fy = 0
FC -10sin30ocos45o = 0
FC = 3.535 kN
Fz = 0
F -10cos30o = 0
F = 8.660 kN 18
100mm
（2）
z
F1
B F Ab Fxy
a
31
例:设曲杆OABD位于同一平面内,且OA垂直于AB,
AB垂直于BD ,如图所示.在曲杆D点上作用一力P,
其大小为 p=2kN.力P位于垂直于BD的平面内,且
于竖直线成夹角 = 30o .求力P分别对图示直角坐
标轴的矩.
z
5cm
B
D
3cm

o
y
A
x
P
32
解:(1)根据力对轴的矩的定义计算
亦可用合力矩定理计算:
my(P) = mo(Pz) = - Pz d = -6.928 kN·cm
5cm
D
P
34
作和z轴垂直的平面M3. z 找出交点O.
5cm
B
D
确定力P在平面M3
3cm M3

内的分力Pxy=1kN. o 在平面M3内确定
y Pxy
A d3
力P到矩心O的距 x
离即力臂d3=8cm
(3)
16
联立(1)---(3)式得： F = 8.660 kN
FC = FD = 3.535 kN
取杆AB为z 轴
y
x
C
H
D
z
FC FD
I
B
30o F
G W
A
17
写出力的解析表达式. W = -10sin30ocos45oi -10sin30ocos45oj -10cos30ok
FD = FD i
5
（二）空间汇交力系合成与平衡的解析法
1.合成:
连续应用力平行四边形法则
FR=Fi
z F2 F1
Fn
O
x
FR
y Fi
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和， 合力的作用线通过汇交点。
6
FRx= Fx FRy= Fy FRz= Fz
z F2 F1
Fn
O
x
FR
y Fi
合力投影定理：合力在某一 轴上的投影等于各分力在同
-FABsin γ -G
Fx = 0
-FAD cos α+ FAC cos α=0
Fy = 0 -FAD sinαcos β - FACsinαcos β -FABcos γ=0
Fz = 0
-FAD sinαsinβ -FAC sinαsinβ -FABsin γ - G=0
FAD=868.5N
最多能解三个未知量。
9
例 ： 三铰支架由三杆AB，AC和AD用球铰连接而成，分别用 球铰支座B、C和D固定在地面上，如图所示。在铰A上悬挂一 重物E，重量为G=500N。已知a=2m,b=3m,c=1.5m,h=2.5m, 各杆自重均不计，求各杆所受的力。
z
A
D α
c c
E
h
β
γG
αB
y
C
a
b
x
10
i, j, k前面系数为力矩矢在坐标轴上的投影.
23
力矩矢在坐标轴上的投影为：

M0 (F) x yFz zFy
M 0 (F) y zFx xFz M0 (F) z xFy yFx
24
例:如图所示,力 F作用 在边长为 a 的正立方体 的对角线上.设 oxy 平面 与立方体的底面 ABCD 平行,两者之间的距离 为b.计算力F对O点之矩.
z a
aF
a
C B
D
A
b
O
y
x
25
解:写出力F的解析表达式.
z
F = Fy+ Fz + Fx=Fxi+Fy j+Fzk
Fx =
F 3
= Fy
F
Fz = 3
rA = a i + a j + b k
Fx F
Fz C
B
Fy
D A
i
mo F a
jk ab
rA
O
y
F F F
3 33
x
a b F i a b F j
一个轴上投影的代数和。
7
由合力的投影，可求出合力的大小和方向： FR= FR2x+FRy2 +FRz2 cos(FR,i)=FRx/FR ; cos(FR,j)=FRy/FR ; cos(FR,k)=FRz/FR
8
2.平衡的解析条件(平衡方程)
平衡的必要和充分条件：合力FＲ 等于零．
Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0