基本不等式综合测试题
基本不等式练习题(含答案)
基本不等式1．函数y＝x＋1x(x＞0)的值域为()．A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋bab≤2；③x2＋1x2＋1≥1，其中正确的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．33．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()．A.12B．1 C．2 D．44．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋1x－2(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝()．A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．45．已知t＞0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为________；(2)当x＞0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．【训练1】(1)已知x＞1，则f(x)＝x＋1x－1的最小值为________．(2)已知0＜x＜25，则y＝2x－5x2的最大值为________．(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：bca＋cab＋abc≥a＋b＋c.【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考向三 利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？(2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4双基自测1.答案 C2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.答案 B3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.答案 A4．解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.答案 C5．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．答案 －2【例1】解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号．(2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋22 (2)1【训练1】．解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝⎛⎭⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ， 即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2×4y x ·x y ＝18， 当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.答案 (1)3 (2)15 (3)18【例2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ；bc a ＋ab c ≥2 bc a ·abc＝2b ；ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .【训练2】 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋cb ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝xx 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞【训练3】解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.答案 10【例3．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800(0＜x ≤5)，则y ＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x ＋5 800＝13 000(元)，当且仅当x ＝16x ，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低． 【示例】．正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ·2a b ＝3＋2 2. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b a ＝2a b，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.【试一试】尝试解答] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2 a (a －b )·1a (a －b )＋2 ab ·1ab a (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b 时，等号成立．答案 D。
基本不等式专题训练试卷
基本不等式专题训练试卷一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a,b∈ R，且ab > 0，则下列不等式中，恒成立的是（）A. a + b≥slant2√(ab)B. (1)/(a)+(1)/(b)>(2)/(√(ab))C. (b)/(a)+(a)/(b)≥slant2D. a^2+b^2>2ab解析：- 选项A：当a <0，b <0时，a + b≥slant2√(ab)不成立，因为a + b<0，2√(ab)>0。
- 选项B：当a <0，b <0时，(1)/(a)+(1)/(b)<0，(2)/(√(ab))>0，所以(1)/(a)+(1)/(b)>(2)/(√(ab))不成立。
- 选项C：因为ab>0，则(b)/(a)>0，(a)/(b)>0，根据基本不等式(b)/(a)+(a)/(b)≥slant2√(frac{b){a}×(a)/(b)} = 2，当且仅当a = b时取等号，该式恒成立。
- 选项D：当a=b时，a^2+b^2=2ab，所以a^2+b^2>2ab不恒成立。
所以答案是C。
2. 已知x>0，y>0，且x + y=1，则(1)/(x)+(1)/(y)的最小值为（）A. 2B. 2√(2)C. 4D. 2 + 2√(2)解析：因为x + y = 1，x>0，y>0，则(1)/(x)+(1)/(y)=(x + y)/(x)+(x +y)/(y)=2+(y)/(x)+(x)/(y)。
根据基本不等式(y)/(x)+(x)/(y)≥slant2√(frac{y){x}×(x)/(y)}=2，当且仅当x=y=(1)/(2)时取等号。
所以(1)/(x)+(1)/(y)=2+(y)/(x)+(x)/(y)≥slant2 + 2=4，答案是C。
3. 设a>0，b>0，若√(3)是3^a与3^b的等比中项，则(1)/(a)+(1)/(b)的最小值为（）A. 8B. 4C. 1D. (1)/(4)解析：因为√(3)是3^a与3^b的等比中项，则(√(3))^2=3^a×3^b=3^a + b，所以a + b = 1。
综合基本不等式题
不等式综合题一．选择题（共10小题）1．（2015•洛阳一模）若∀x∈（0，），均有9x＜log a x（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范[2，222．（2014秋•德州期末）当0＜x≤时，（）x＜log a x，则a的取值范围是（），），3．（2013秋•余江县校级期中）若x∈[﹣1，1]时，2＜a恒成立，则实数a的取值范围，，，4．（2014秋•和平区校级月考）已知θ∈（0，），则的最小值为（）+25．（2013•日照二模）已知二次不等式的ax2+2x+b＞0解集为{x|x}且a＞b，则6．（2013•绵阳模拟）若正数a，b满足，的最小值为（）C．9D．17．（2011秋•九原区校级期中）a，b是正实数，则+的最小值是（）8．（2011•太和县校级模拟）已知正实数a、b满足a+b=1，则的最大值为（）B，则的最小值为（）x+2≤λ二．填空题（共12小题）11．（2012•公安县校级模拟）若关于x的不等式＜x+a的解是x＞m，试求m的最小值为．12．（2012秋•奉节县校级期中）设x＞0，y＞0，不等式恒成立，则实数m的最小值为．13．（2009•天心区校级模拟）关于x的不等式lg（20﹣5x2）＞lg（a﹣x）+1的整数解只有1，则实数a的取值范围是．14．不等式log a x≥（x﹣1）2恰有2个整数解，则a的取值范围是．15．（2013春•武汉校级期中）已知a＞b，且ab=3，则的最小值为．16．（2013秋•海陵区校级期末）在等腰△ABC中，AB=AC，若AC边上的中线BD的长为6，则△ABC的面积的最大值是．17．（2014•安徽模拟）设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值是．18．（2015•潍坊一模）已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则+的最小值是．19．（2011春•福田区校级期中）给出下列命题：（1）函数y=x+的最小值是2；（2）函数y=x+2﹣3的最小值是﹣2；（3）函数的最小值是；（4）函数y=在（﹣∞，0）∪（0，+∞）内递减；（5）幂函数y=x3为奇函数且在（﹣∞，0）内单调递增；其中真命题的序号有：（把你认为正确的命题的序号都填上）20．（2010•普陀区校级模拟）△ABC满足，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点，S△MBC=，S△MCA=x，S△MAB=y，则的最小值为．21．（2009秋•如皋市期中）已知，且t是大于0的常数，的最小值为9，则t=．22．若正数a，b满足+=1，则+的最小值为．2015年05月15日daydayup525的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2015•洛阳一模）若∀x∈（0，），均有9x＜log a x（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范[2，22＜＜＜＜的图象交于（a=应满足2．（2014秋•德州期末）当0＜x≤时，（）x＜log a x，则a的取值范围是（），），时，）（时，函数）））的图象交于（）点时，，应满足＜3．（2013秋•余江县校级期中）若x∈[﹣1，1]时，22x﹣1＜a x+1恒成立，则实数a的取值范围，，，xlg﹣=xlglg﹣=lg =lg＜＞4．（2014秋•和平区校级月考）已知θ∈（0，），则的最小值为（）+2，==（）∴（，5．（2013•日照二模）已知二次不等式的ax2+2x+b＞0解集为{x|x}且a＞b，则{x|x{x|x}∴当且仅当6．（2013•绵阳模拟）若正数a，b满足，的最小值为（）；由1=；化+9满足=11=，∴+9当且仅当±时取a=∴时，要注意条件7．（2011秋•九原区校级期中）a，b是正实数，则+的最小值是（）+））+2当且仅当时取到等号．8．（2011•太和县校级模拟）已知正实数a、b满足a+b=1，则的最大值为（）B结合已知条件可得，的最大值解：∵=（当且仅当，=9．（2007秋•沙坪坝区校级期中）已知A、B、C三点共线，O为直线外任意一点，且，则的最小值为（）为直线外任意一点，且∴≤λ=，=t=t=二．填空题（共12小题）11．（2012•公安县校级模拟）若关于x的不等式＜x+a的解是x＞m，试求m的最小值为．y=y=y=最小值为故答案为12．（2012秋•奉节县校级期中）设x＞0，y＞0，不等式恒成立，则实数m 的最小值为﹣4．，不等式13．（2009•天心区校级模拟）关于x的不等式lg（20﹣5x2）＞lg（a﹣x）+1的整数解只有1，则实数a的取值范围是[2，）．＜1）﹣，则，）14．不等式log a x≥（x﹣1）2恰有2个整数解，则a的取值范围是（，2]．，15．（2013春•武汉校级期中）已知a＞b，且ab=3，则的最小值为．∴，则由基本不等式可得≥，即（b=16．（2013秋•海陵区校级期末）在等腰△ABC中，AB=AC，若AC边上的中线BD的长为6，则△ABC的面积的最大值是24．，===S==时，三角形面积有最大值17．（2014•安徽模拟）设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值是4．把+：∵是=∴+=≥18．（2015•潍坊一模）已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则+的最小值是8．+的乘以+（+∴+（）=2+2+4+2当且仅当=，时等号成立，∴+19．（2011春•福田区校级期中）给出下列命题：（1）函数y=x+的最小值是2；（2）函数y=x+2﹣3的最小值是﹣2；（3）函数的最小值是；（4）函数y=在（﹣∞，0）∪（0，+∞）内递减；（5）幂函数y=x3为奇函数且在（﹣∞，0）内单调递增；其中真命题的序号有：（2）（3）（5）（把你认为正确的命题的序号都填上）1+2，配方可求；，的最小值是1+23=y=x+2﹣，的最小值是20．（2010•普陀区校级模拟）△ABC满足，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点，S△MBC=，S△MCA=x，S△MAB=y，则的最小值为18．解：∵，∠=x+y=，即∴=10++10+221．（2009秋•如皋市期中）已知，且t是大于0的常数，的最小值为9，则t=4．，由，由M=（1+t+2=9=9sinx=，故所求22．若正数a，b满足+=1，则+的最小值为16．=，且=满足+=1=，=，﹣=，即有=+=当且仅当+=1，。
基本不等式试题
基本不等式试题一、试卷内容1. （10分）若\(a,b\in R^{+}\)，且\(a + b = 1\)，求\(ab\)的最大值。
2. （10分）已知\(x>0\)，求\(y = x+\frac{1}{x}\)的最小值。
3. （10分）若\(a,b\in R^{+}\)，\(ab = 1\)，求\(a + b\)的最小值。
4. （15分）设\(x,y\in R^{+}\)，且\(2x + y = 1\)，求\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值。
5. （15分）已知\(a>0,b>0\)，\(a + b = 4\)，求证：\(\sqrt{ab}\leqslant2\)。
6. （20分）若\(x\in(0,+\infty)\)，求函数\(y = \frac{x^{2}+3x + 3}{x + 1}\)的最小值。
7. （10分）设\(a,b\in R^{+}\)，\(a^{2}+\frac{b^{2}}{2}=1\)，求\(a\sqrt{1 + b^{2}}\)的最大值。
二、答案与解析1. 因为\(a,b\in R^{+}\)，根据基本不等式\(ab\leqslant(\frac{a + b}{2})^{2}\)，当且仅当\(a = b\)时等号成立。
已知\(a + b = 1\)，则\(ab\leqslant(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}\)，所以\(ab\)的最大值为\(\frac{1}{4}\)。
2. 因为\(x>0\)，根据基本不等式\(y=x+\frac{1}{x}\geqslant2\sqrt{x\times\frac{1}{x}} = 2\)，当且仅当\(x=\frac{1}{x}\)即\(x = 1\)时等号成立，所以\(y\)的最小值为\(2\)。
3. 因为\(a,b\in R^{+}\)，根据基本不等式\(a + b\geqslant2\sqrt{ab}\)，已知\(ab = 1\)，则\(a + b\geqslant2\)，当且仅当\(a = b = 1\)时等号成立，所以\(a + b\)的最小值为\(2\)。
不等式综合练习(含答案)
一、选择题（每小题6分，共42分） 1.不等式ax 2+5x+c>0的解集为（21,31），那么a,c 为（ ） A.a=6,c=1 B.a=-6,c=-1 C.a=1,c=6 D.a=-1,c=-6 答案：B解析：由题意得21,31为方程ax 2+5x+c=0的两根是a<0. 故2131+=-ac a =⨯2131,5, ∴a=-6,c=-1.2.不等式|x-1|+|x-2|≤3的最小整数解是（ ）A.0B.-1C.1D.2 答案：A解析：将x=-1代入不等式知不成立，将x=0代入不等式成立，故选A. 3.不等式|x+1|(2x-1)≥0的解集为（ ）A.［21，+∞） B.（-∞,-1]∪［21,+∞) C.{-1}∪［21，+∞） D.［-1，21］答案：C解析：当|x+1|=0即x=-1时不等式成立， 当|x+1|≠0时不等式等价于2x-1≥0，即x ≥21. 4.设a>0,不等式|ax+b|<c 的解集是{x|-2<x<1},则a ∶b ∶c 等于（ ） A.1∶2∶3 B.2∶1∶3 C.3∶1∶2 D.3∶2∶1 答案：B解析：|ax+b|<c a c b --⇔<x<a b c -，故a c b --=-2,abc -=1即a ∶b ∶c=2∶1∶3.5.设U=R ，A={x|mx 2+8mx+21>0},A=∅,则m 的取值范围是（ ）A.0≤m<1621 B.m>1621或m=0 C.m ≤0 D.m ≤0或m>1621答案：A 解析：∵A=∅,∴A=R,即mx 2+8mx+21>0恒成立. 当m=0时，不等式恒成立. 当m ≠0时， 则⇒⎩⎨⎧<⨯-=∆>0214)8(,02m m m 0<m<1621.∴m 的取值范围为［0，1621）. 6.已知a>0,集合A={x||x+2|<a},B={x|a x>1},若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是（ ） A.（2，+∞） B.（0，1）C.（0，1）∪（2，+∞）D.(0,1)∪（1，+∞） 答案：C解析：A={x|-a-2<x<a-2}当0<a<1时，B={x|x<0}又a-2<0故此时A ⊆B ，则A ∩B ≠∅. 当a>1时，B={x|x>0},∵A ∩B ≠∅,∴a-2>0,即a>2.∴a 的取值范围为（0，1）∪（2，+∞）. 7.(2010辽宁沈阳模拟，1)若不等式xxa ++12-3≥0的解集是{x|-7≤x<-1},则实数a 等于（ ） A.0 B.-4 C.-6 D.-8 答案：B 解析：∵不等式xxa ++12≥0， 即为1)3(+--x a x ≤0的解集为{x|-7≤x<-1},∴a-3=-7. ∴a=-4.选B.二、填空题（每小题5分，共15分） 8.不等式2||||3+-x x ≥21的解集是__________________.答案：［-34,34］ 解析：∵|x|+2>0故原不等式为6-2|x|≥|x|+2即|x|≤34,-34≤x ≤34. 9.若关于x 的不等式a 2-4+4x-x 2>0成立时，不等式|x 2-4|<1成立，则正数a 的取值范围是_______. 答案：（0，5-2]解析：a 2-4+4x-x 2>0⇒2-a<x<2+a.|x 2-4|<1⇒-5<x<5,由已知得⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-.52,52a a 即0<a ≤5-2.10.(2010江苏南通一模，14)若不等式|x-4|+|3-x|<a 的解集是空集，则实数a 的取值范围是_____________________. 答案：（-∞,1］解析：由|x-4|+|3-x|≥|x-4+3-x|=1,故原不等式解集为空集，a 的取值范围是（-∞,1］. 三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.(2010福建厦门一中模拟，17)解不等式：|x 2-3x-4|<x+1.解析：不等式等价于⎩⎨⎧>--<--⇔⎪⎩⎪⎨⎧--<+-+<--)2(.032)1(,054,43)1(,1432222x x x x x x x x x x 解①得-1<x<5,解②得x<-1或x>3，故原不等式的解集为{x|3<x<5}. 12.已知|x-1|≤2且|x-a|≤2,求： （1）当a<0时，求x 的范围；（2）若x 的范围构成的集合是空集，求a 的取值范围. 解析：|x-1|≤2⇒-1≤x ≤3. |x-a|≤2⇒-2+a ≤x ≤a+2. (1)当a<0时，a+2<3,-2+a<-1.①当a+2≥-1,即a ≥-3时，x 的取值范围为［a+2,3］; ②当a+2<-1,即a<-3时，x . (2)由题意得 a+2<-1或-2+a>3. 故所求a 的取值范围为a<-3或a>5.13.已知全集U=R ，A={x|x 2-2x-8<0},B={x||x+3|>2},C={x|x 2-4ax+3a 2<0}. (1)C ⊆(A ∩B),求a 的取值范围； （2）C ⊆（A ）∩（B ），求a 的取值范围.解析：A={x|-2<x<4},B={x|x>-1或x<-5}. ∴A ∩B={x|-1<x<4}.当a>0时，C={x|a<x<3a}; 当a=0时，C=∅;当a<0时，C={x|3a<x<a}. (1)若C ⊆A ∩B,则a=0或⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥>⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥<.43,1,04,13,0a a a a a a 或∴a ∈［-34,31］. （2）（A ）∩（B ）={x|-5≤x ≤-2}.若C ⊇(A)∩(B),则⎪⎩⎪⎨⎧->-<<.2,53,0a a a∴-2<a<-35,即a ∈(-2,-35). 14.已知a>1,设P ：a(x-2)+1>0,Q:(x-1)2>a(x-2)+1,试寻求使得P 、Q 都成立的x 集合.解析：由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧>--->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>++-->⇒⎩⎨⎧+->->+-.0)2)((,12,02)2(,12,1)2()1(,01)2(22x a x a x a x a x a x x a x x a 若1<a<2,则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->.2,12a x x ax 或而a-(2-a 1)=a+a 1-2>0,所以a>2-a1, 故x ∈{x|x>2或2-a 1<x<a};若a=2,则有x ∈{x|x>23,且x ≠2};若a>2,则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->.2,12x a x ax 或 若x ∈{x|x>a 或2-a1<x<2}. 高三数学单元练习题：不等式（Ⅳ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
基本不等式专题训练
基本不等式专题训练一、选择题1.已知a,b∈R，且a+b=1，则ab的最大值为（）A. 41B. −41C. 1D. 不存在2.对于任意正实数x,y，下列不等式恒成立的是（）A. x2+y2≥2xyB. x2+y2≤2xyC. x+y≥2xyD. x+y≤2xy3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，则a+b+c的最大值为（）A. 1B. 3C. 3D. 33二、填空题4.已知x>0，则函数y=4x+x1的最小值为____。
5.已知a,b>0，且a+b=5，则a1+b4的最小值为____。
三、解答题6.已知x,y∈R，且x+y=4，求3x+9y的最小值。
7.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，证明：a+b+c≤2。
8.已知x>0，y>0，且xy=4，求x+yx2+y2的最小值。
参考答案一、选择题1.A解析由a+b=1，根据基本不等式(a−b)2≥0，展开得a2−2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab。
又因为(a+b)2=a2+2ab+b2=1，所以2ab≤1−(a2+b2)+2ab=1，即ab≤41。
当且仅当a=b=21时，等号成立。
2.A解析对于任意正实数x,y，根据平方和公式，有x2+y2≥2xy（当且仅当x=y时取等号）。
而选项C和D分别对应的是算术平均数与几何平均数的关系，但仅当x,y均为正数时，算术平均数才大于等于几何平均数，且等号成立的条件是x=y。
选项B显然不成立。
3.B解析由柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）得(a+b+c)2≤(12+12+12)(a+b+c)=3，即a+b+c≤3。
当且仅当a=b=c=31时，等号成立。
二、填空题4.41解析由算术平均数与几何平均数的关系得y=4x+x1≥24x⋅x1=4（当且仅当4x=x1，即x=21时取等号）。
5.59解析由“乘1法”与基本不等式得a1+b4=51(a+b)(a1+b4)=51(5+ab+b4a )≥51(5+2ab⋅b4a)=59（当且仅当ab=b4a，即a=35,b=310时取等号）。
基本不等式训练习题
基本不等式训练习题一、选择题1. 若a > b，则下列不等式中正确的是（）A. a b > 0B. a + b > 0C. a² > b²D. 1/a < 1/b2. 已知x > y，则下列不等式中一定成立的是（）A. x y > 0B. x² > y²C. 1/x < 1/yD. x + 1 > y + 13. 若a < b < 0，则下列不等式中正确的是（）A. a² < b²B. a b > 0C. ab > 0D. 1/a > 1/b二、填空题1. 若a > b，则a b __________ 0。
2. 已知x < y，且x, y均为正数，则1/x __________ 1/y。
3. 若a < b < 0，则a² __________ b²。
三、解答题1. 已知x > y，证明：x + 1 > y + 1。
2. 已知a > b，且a, b均为正数，证明：a² > b²。
3. 若a < b < 0，证明：ab > 0。
4. 已知x, y为实数，且x + y > 0，证明：x² + y² > 0。
5. 已知a, b为正数，且a > b，证明：1/a < 1/b。
四、综合题1. 已知x, y为实数，且x > y，求证：x² y² > 0。
2. 若a, b, c为实数，且a > b > c，证明：a c > b c。
3. 已知a, b为正数，且a > b，求证：a² + b² > 2ab。
4. 若x, y为实数，且x + y > 0，证明：x² + 2xy + y² > 0。
(完整word版)基本不等式练习题(含答案)
基本不等式1．函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )．A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )．A ．0B ．1C ．2D ．33．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )．A.12 B ．1 C ．2 D ．44．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．45．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________． 利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2＋1的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考向三 利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？(2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4双基自测1.答案 C2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.答案 A4．解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.答案 C5．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．答案 －2【例1】解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2x y 时，取等号．(2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋22 (2)1【训练1】．解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ， 即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2× 4y x ·x y ＝18， 当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.答案 (1)3 (2)15 (3)18【例2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ；bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c ＝2b ；ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .【训练2】 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝x x 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 【训练3】解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.答案 10【例3．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800(0＜x ≤5)，则y ＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x ＋5 800＝13 000(元)， 当且仅当x ＝16x ，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．【示例】．正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2a b ≥3＋2 b a ·2a b ＝3＋2 2. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，b a ＝2a b，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2. 【试一试】尝试解答] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2 a (a －b )·1a (a －b )＋2 ab ·1ab ＝2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b 时，等号成立．答案 D。
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（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
16．4
【分析】
【详解】
A.由基本不等式可知 ，故A不正确；
B. ，即 恒成立，故B正确；
C.当 时，不等式不成立，故C不正确；
D.当 时，不等式不成立，故D不正确.
故选：B.
8．C
【分析】
将所求式子整理为 ，利用 ，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得最小值.
【详解】
， ，
（当且仅当 ，即 时取等号），
【详解】
分别令 排除A，D．选项C等号不成立，排除C.（即 不合题意.）
对于B选项， ，所以B选项正确.
故选：B．
【点睛】
本小题主要考查利用基本不等式判断不等式是否成立，属于基础题.
3．C
【分析】
由题意可得 ,可得 ,利用基本不等式求最小值,并验证等号成立即可.
【详解】
解:已知 ,则
,
当且仅当 ,即 时等号成立.
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
A． 或 B． 或
C． D．
11．已知正实数a，b，c，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
12．下列结论正确的是（）
A．当 且 时，
B． 时， 的最大值是2
C． 的最小值是2
D．当 时， 的最小值为4
二、填空题
13．若 且 ，则 取值范围是_______________.
14．已知 ，则 的最小值为___________
所以 的最小值为:
故选:C
【点睛】
本题考查基本不等式求和的最小值,整体变形为可用基本不等式的形式,注意”一正二定三相等”.
4．D
【分析】
先对 通分得到 ,根据 ,得出 ,最后利用基本不等式即可得出最小值,需要注意等号成立的条件.
【详解】
解:已知
则
当且仅当 时,等号成立.
故选:D
【点睛】
本题考查基本不等式,需要注意”一正二定三相等”.
基本不等式综合测试题
一、单选题
1．设正实数 ， 满足 ，则当 取得最小值时， ( )
A．1B．2C．3D．4
2．下列不等式一定成立的是（）
A． B．
C． D．
3．已知 ,则 的最小值为( )
A．4B．6C．7D．10
4．已知 ,则 的最小值是（）
A．1B． C．4D．2
5．已知 ,下列各不等式恒成立的是( )
（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
13．
【分析】
利用基本不用等式可求得结果.
【详解】
（1）“一正”：就是各项必须为正数；
（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
17．（1） ；（2） .
19．（1） 或 （2）-1，2
【分析】
（1）因为 ，所以 等价于 ，在 的范围内解出 即可.
（2）应用基本不等式求出最小值，并求出取最小值时 的值.
【详解】
解： ，则 等价于 且
即 ，所以 或 ，又 ，
所以若 ，则 或 .
（2）
当且仅当 ，即 时“=”成立，
所以 的最小值为-1，此时 .
【点睛】
本题考查应用基本不等式求最小值，属于基础题.
【分析】
（1）将函数解析式变形，利用基本不等式，即可求出最值；
（2）根据（1）的结果，将不等式化为 ，解对应的一元二次不等式，即可得出结果.
【详解】
（1）因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立；
即函数 的最小值为 ；
（2）为使不等式 恒成立，只需 ，
由（1）知 ，解得 ，
即实数 的范围为 .
【点睛】
当且仅当 时，即 时等号成立，所以 的最大值是2，所以是正确的；
对于C中，由 ，
当且仅当 时，即 （无解），所以不正确；
对于D中，当 时，由 ，
当且仅当 时，即 （不成立），所以不正确.
故选：B.
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：
（1）“一正”：就是各项必须为正数；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
10．C
【分析】
由基本不等式可得 ，所以 ，从而得解.
【详解】
因为
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
又因为 恒成立，
所以 ，
解得 ．
故选：C.
11．C
【分析】
令 ，则 ，代入 整理化简后利用基本不等式即可求解.
，故B选项不恒成立；
，当且仅当 即 时取等号，故C选项中的不等式恒成立，
因为 ， ， ，当且仅当 ， ，即 时取等号，故D选项中的不等式恒成立，
故选：B．
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
易错点睛：基本不等式的应用注意：“一正二定三相等”，注意检验等号成立的条件.
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
12．B
【分析】
根据基本不等式“一正、二定、三相等”，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，当 时， ，此时 ，
当且仅当 时，等号成立，所以不正确；
对于B中，当 时，由 ，
5．D
【分析】
当 时， ，选项 不成立；当 时， ，选项 不成立； ，由基本不等式可得选项 成立.
【详解】
取 时， ，可判断选项A,B不正确；
取 时， ，可判断选项C不正确；
因为 同号， ，
当且仅当 时，等号成立，选项D正确.
故选:D.
【点睛】
本题考查基本不等式求最值满足的条件，“一正”“二定”“三等”缺一不可，解题时要注意特值的运用，减少计算量，提高效率，属于基础题.
6．A
【分析】
根据正数 ， 满足 ，可得 ，然后由 ，利用基本不等式求出 的最小值．
【详解】
正数 ， 满足 ， ．
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
的最小值为18．
故选: ．
【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．
7．B
【分析】
根据基本不等式即可判断选项A是否正确，对选项B化简可得 ，由此即可判断B是否正确；对选项C、D通过举例即可判断是否正确.
15．5
【分析】
本题首先可根据 得出 ，然后将 转化为 ，再然后令 ，将上述式子转化为 ，最后通过基本不等式即可求出最值.
【详解】
因为 ，所以 ， ， ，
则 ，
设 ，则 ，上述式子可转化为 ，
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ， 的最大值为 ，
故答案为： .
【点睛】
关键点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：
22．已知函数
（1）若 ，求方程 的解；
（2）若对于 恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案
最值，整理计算即可.
【详解】
，当且仅当 时，等号成立，
.
故选：B.
【点睛】
本题考查基本不等式求最小值，注意等号的成立条件，是基础题.
2．B
【分析】
利用特殊值排除AD选项，根据基本不等式等号成立的条件排除C选项，利用基本不等式，证得B选项成立.
【详解】
令 且 ，解得 ，
所以
，当且仅当 时等号成立，
故选：C
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.