等比数列求和的公开课教案
等比数列前项求和教学设计
等比数列前项求和教学设计一、设计背景与目标在初中数学中，等比数列是一个重要的概念，而求解等比数列的前项和是其中的一个基础知识点。
为了帮助学生更好地理解和掌握等比数列前项求和的方法，本文设计了一堂以等比数列前项求和为主题的教学活动。
通过这个教学设计，目标是让学生能够正确应用等比数列前项求和的公式，并能够灵活运用于解决实际问题。
二、设计步骤与活动安排1. 活动导入（约10分钟）a. 引入等比数列的概念，并与等差数列进行比较，引起学生对等比数列的兴趣。
b. 通过一个简单的例子，让学生观察并总结等比数列的特点。
例如，给出一个等比数列的前三项，让学生观察公比的特点。
2. 理解等比数列前项求和公式（约20分钟）a. 介绍等比数列前项求和的公式：S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中S_n为前n项和，a为首项，r为公比。
b. 通过多个例子，让学生逐步理解公式的使用方法。
例如，给出一个等比数列的首项、公比和项数，让学生计算前n项的和。
3. 实际应用演练（约30分钟）a. 设计一些实际问题，让学生运用等比数列前项求和的公式解决。
例如，某班级每天增加人数是等比数列，首天有10人，公比为2，问经过30天后班级共有多少人。
b. 让学生分组讨论并解决问题，然后进行展示和讨论。
引导学生思考如何将实际问题转化为等比数列，并运用公式求解。
4. 拓展练习与反思（约20分钟）a. 给予学生一些形式各异的拓展题目，让他们巩固和巩固所学的知识。
例如，找出等比数列中的首项或公比等未知信息，给出前n项和并解出未知项等。
b. 结合学生的实际表现，进行个别指导和反思。
鼓励学生思考解题方法和思路，并及时纠正错误的观念。
5. 总结与归纳（约10分钟）a. 让学生总结等比数列前项求和的公式和解题方法，提出问题并共同总结。
b. 引导学生将所学的知识应用到其他的问题中，拓展他们的思维。
三、教学评价与追踪1. 教师的评价：通过观察学生在活动中的表现，可以对学生的掌握程度进行初步评价。
等比数列的求和教案
等比数列的求和教案一、引言数列是数学中的重要概念，而等比数列是数列中的一种特殊形式。
在解决等比数列问题时，求和是一个常见的需求。
本教案将介绍如何求解等比数列的求和问题，帮助学生掌握解题技巧。
二、等比数列的定义等比数列是指一个数列中，从第二个数开始，每个数与前一个数的比值都相等的数列。
具体而言，如果一个数列的通项公式为an = a1 *r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数，则这个数列为等比数列。
三、等比数列的求和公式在求等比数列的和时，可以使用以下公式：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中Sn表示等比数列前n项的和，a1为首项，r为公比。
四、教学步骤为了帮助学生理解等比数列的求和过程，我们将按照以下步骤进行教学：Step 1: 引入概念首先，我们会引入等比数列的概念，并通过具体的数列示例来说明等比数列是如何构成的。
Step 2: 推导求和公式接下来，我们将通过推导的方式得出等比数列求和的公式，让学生能够理解公式的来由，并通过实际例子进行验证。
Step 3: 解题示例在这一步骤中，我们将给出一些实际的问题，让学生运用所学的公式解决等比数列求和的问题。
教师可以给予学生一些指导，鼓励他们独立思考和解答问题。
Step 4: 练习题最后，我们将给学生一些练习题，让他们在课后巩固所学知识。
这些题目既包括应用题，也包括理论题，以检验学生对等比数列求和的掌握情况。
五、教学反馈在教学结束后，教师可以与学生进行互动交流和反馈。
可以找学生上台讲解解题过程，或者进行小组合作讨论。
通过反馈，可以检验学生对等比数列求和的掌握情况。
六、教学延伸如果学生对等比数列求和已经掌握得很好，可以进行一些拓展讨论。
比如，介绍等比数列的性质和应用，以及更高阶的数列求和问题。
七、总结通过本教案的学习，学生应该能够掌握等比数列求和的基本技巧和方法。
同时，也明白了等比数列的应用和重要性。
教师可以进一步引导学生拓展思维，培养他们独立解决问题的能力。
等比数列求和(详细教案)
= .
⑶分期付款应用题： 为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清； 为年利率.
例3某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2009年起，每年年初到银行存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2019年年初将所有存款和利息全部取出，共取出多少元？
解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项 的等比数列
则：一天内获知此信息的人数为：
变式3：等比数列 中， （答案： ）
2.等比数列前n项和 的性质
（1）在等比数列 中， ，...，也成等比数列，公差为
注意：是 ，...，成等比数列，而不是 ，...；
（2）若项数为2n，则
（3）
（4） 为等比数列
例2一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数（答案：2,8）
变式1一个项数是偶数的等比数列，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前三项之积为64，求
变式2设 是由正数组成的等比数列， 是其前n项和，证明 ；（2）求证：等比数列中有
变式3已知等比数列 中， 求
3.等比数列常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为 ，年增长率为 ，则每年的产量成等比数列，公比为 . 其中第 年产量为 ，且过 年后总产量为：
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
4.设{an}是等比数列，且a1= ，S3= ，则它的通项公式为an= ( )
(A) (B) (C) (D) 或
5.等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为().
等比数列求和的公开课教案
等比数列的求和公式一、教学重点、难点本节课的重点是公式的推导、错位相减法的推广使用；难点是公式的推导方法的应用。
二、教学目标：1．知识与技能目标：理解并掌握等比数列前n 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用推导方法解决与之有关的问题．2．过程与方法目标：通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．3．情感、态度与价值观：通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质。
三、教学过程1、创设情境，提出问题引入：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。
西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。
国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊 。
为什么？你能算出麦粒的总数吗？设问：同学们，你们知道国王给出多少小麦吗？引导学生写出麦粒总数为：?2 (22)216332=+++++2、师生互动，探究问题探讨1: 发明者要求的麦粒总数是？ 生：可能会直接利用公式qq a S n n --=1)1(1)1(≠q 求出答案126464-=S （1964108.112⨯≈-，以小麦千粒重为40克计算，麦子质量超过7000亿吨！2010年世界粮食总产量约为22.8亿吨，全世界人民不吃粮食也得300多年才能够生产7000亿吨。
）探讨2：上述的公式qq a S n n --=1)1(1)1(≠q 是怎么产生的？ 生：可能会说到错位相减法，但没有具体书写。
师：要求学生回忆教材，具体写出公式的推导方法。
设n n n a a a a a S +++++=-1321 ①乘以公比q ，n n n n qa a a a a qS +++++=-132 ②①-②：()n n qa a S q -=-11，当1≠q 时：()q q a q aq a q qa a S nn n n --=--=--=1111111 探讨3：还有别的推导方法吗？师：通过学生回忆数列的性质以及等比定理、乘法公式。
省级优质课《等比数列前n项和》精品教案
等比数列的前n项和（第一课时）教学目标：1.知识与技能：理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，会用前n项和公式求等比数列的和。
2.数学思维：通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、培养学生观察、分析的能力和协作、竞争意识。
3.情感与态度：通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，培养学生主动探索的求知精神和团结协作精神,感受数学的美。
教学重点：等比数列的前n项和公式的推导教学难点：错位相减法的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、复习等比数列的通项公式，有关性质，及等比中项等概念。
教学目的：要求学生掌握求等比数列前n项的和的（公式），并了解推导公式所用的方法。
教学过程：一、复习等比数列的通项公式，有关性质，及等比中项等概念。
二、引进课题（一）问题展现张明和王勇是中学同学，张明学习成绩优异，考上了重点大学。
王勇虽然很聪明，但对学习无兴趣，中学毕业后做起了生意，凭着机遇和才智，几年后成了大款。
一天，已在读博士的张明遇到了王勇，寒暄后王勇流露出对张明清苦的不屑。
表示要资助张明，张明说：“好吧，你只要在一个月30天内，第一天给我1分钱，第二天给我2分钱，第三天给我4分钱，第四天给我8分钱，依此类推，每天给我的钱都是前一天的2倍，直到第30天。
”王勇听了，立刻答应下来心想:这太简单了。
没想到不到30天，王勇就后悔不迭，不该夸下海口。
同学们，你们知道王勇一共应送给张明多少钱吗？即求293028421++++=ΛΛs（二）自学指导根据下列问题自学课本p.55——p.56例2以上的内容，5分钟后开始讨论交流。
问题：1、p.55①、②式有什么共同之处？2、若公比q=1,则Sn=？3、讨论在用公式求等比数列前n 项和时，应注意什么问题？（三）知识归纳等比数列前n 项求和公式（采用错位相减法）一般公式推导：设n n n a a a a a S +++++=-1321ΛΛ ①乘以公比q ，n n n n qa a a a a qS +++++=-132ΛΛ ②①-②：()n n qa a S q -=-11，1≠q 时：()q q a q aq a q qa a S nn n n --=--=--=1111111 1=q 时：1na S n =注意：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个，（2）注意求和公式中是n q ，通项公式中是1-n q 不要混淆，（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况。
等比数列的教案市公开课一等奖教案省赛课金奖教案
等比数列的教案导语：等比数列是数学中非常重要的概念之一。
了解等比数列的性质和求解方法能够帮助学生更好地理解数列的规律，并在解决实际问题中应用数学知识。
本教案将通过理论讲解和实例演练的方式，帮助学生掌握等比数列的相关概念、性质和应用。
一、教学目标：1.了解等比数列的概念和基本性质；2.掌握等比数列的通项公式和求和公式的推导与运用；3.能够解决实际问题，灵活运用等比数列的知识。
二、教学重难点：1.等比数列的通项公式和求和公式的推导；2.能够将等比数列的知识应用于实际问题的解决。
三、教学过程：Step 1：引入知识（10分钟）通过生活中的例子，引导学生了解数列的概念，然后引入等比数列的概念，并与等差数列进行比较，帮助学生理解等比数列的特点。
Step 2：等比数列的定义和基本性质（15分钟）讲解等比数列的定义，并介绍等比数列的基本性质，如公比、首项、通项等的定义和表示方法。
Step 3：等比数列的通项公式的推导（20分钟）通过对等比数列的性质进行分析和推导，引导学生得出等比数列的通项公式：an=a1*r^(n-1)。
并通过实例演示的方式，让学生掌握这个公式的运用。
Step 4：等比数列的求和公式的推导（20分钟）通过对等比数列求和的过程进行分析和推导，引导学生得出等比数列的求和公式：Sn = a1*(1-r^n)/(1-r)。
并通过实例演示的方式，让学生掌握这个公式的运用。
Step 5：应用实例解答（20分钟）给学生提供一些实际问题，让学生运用所学知识解答问题。
问题可以涉及利润的增长、物体的重量递减等，帮助学生将等比数列的知识应用到实际生活中。
Step 6：总结归纳（10分钟）对本节课所学的内容进行总结归纳，并与学生一起讨论等比数列的应用领域和意义。
四、教学评价：1.在课堂练习中，检查学生对等比数列的概念、性质和公式的理解和掌握情况；2.布置小组作业，让学生能够结合实际问题应用等比数列的知识进行解答；3.进行课堂互动讨论，引导学生思考和探究等比数列的应用领域。
等比数列前n项和公式教案
等比数列前n项和公式教案一、教学目标1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的基本性质。
2. 引导学生通过观察、分析、归纳等比数列前n项和的公式。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 等比数列的概念及基本性质。
2. 等比数列前n项和的公式推导。
3. 等比数列前n项和公式的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：等比数列前n项和公式的推导及应用。
2. 教学难点：等比数列前n项和公式的理解与运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等比数列前n项和的公式。
2. 运用案例分析法，让学生通过具体例子体会等比数列前n项和公式的应用。
3. 采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力。
五、教学过程1. 导入：回顾等差数列的前n项和公式，引出等比数列前n项和公式的探究。
2. 新课：介绍等比数列的概念及基本性质，引导学生观察等比数列的前n项和的特点。
3. 推导：引导学生通过观察、分析等比数列的前n项和，归纳出等比数列前n项和的公式。
4. 巩固：通过例题讲解，让学生掌握等比数列前n项和的公式的应用。
5. 拓展：引导学生思考等比数列前n项和公式的推广应用，提高学生的思维能力。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调等比数列前n项和公式的关键点。
7. 作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对等比数列概念和性质的理解程度，以及学生对等比数列前n项和公式的掌握情况。
2. 练习题：布置课后练习题，检验学生对等比数列前n项和公式的应用能力。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估学生对等比数列前n项和公式的理解深度和团队合作能力。
七、教学反思1. 教师总结：本节课结束后，教师应总结自己在教学过程中的优点和不足，如教学方法、课堂组织等。
2. 学生反馈：收集学生对等比数列前n项和公式的学习反馈，了解学生的掌握情况，为后续教学提供参考。
等比数列求和公式教学设计
等比数列求和公式教学设计教学设计：等比数列求和公式一、教学目标：1.知识与能力目标：掌握等比数列的概念和性质；理解等比数列求和公式的推导过程；能够运用等比数列求和公式解决实际问题；2.过程与方法目标：合作探究，培养学生的自主学习能力；让学生在实践中运用公式，提高思维能力；3.情感态度与价值观目标：培养学生合作意识和团队精神；加深学生对数学知识的兴趣；培养学生的分析问题和解决问题能力；二、教学重点与难点：1.教学重点：等比数列的概念和性质；2.教学难点：如何引导学生理解和掌握等比数列求和公式的推导过程；如何在实际问题中运用等比数列求和公式；三、教学准备：1.教学资料：教材、课件、黑板、书写工具等；2.实验器材：计算器；3.教学环节和内容安排：导入新课、概念讲解、公式推导、例题演示、合作探究、课堂练习、总结与布置作业。
四、教学过程：1.导入新课（10分钟）通过提问学生已学的等差数列的求和公式，引导学生回顾和思考，并激发学习等差数列求和公式的兴趣。
老师问：“大家回忆一下，我们之前学过的等差数列能用什么方法求和呢？”学生回答：“可以用等差数列求和公式Sn=n(a1+an)/2、”老师说：“非常好，那么我们今天来学习一下等比数列的求和公式。
”2.概念讲解（15分钟）a.等比数列的概念：老师出示等比数列的定义：“等比数列是指一个数列中后一项是前一项乘以同一个固定的数。
”b.等比数列的性质：老师通过举例子来解释等比数列的性质。
-等比数列首项为a，公比为r，第n项为an，则有如下性质：an=a*r^(n-1)（其中，^表示乘方运算）a(n-1)=a*r^n（其中，n-1表示n-1项）(an/an-1)=r（相邻项的比值恒为r）- 当公比，r，<1时，等比数列的前n项和的极限为S=infinity当公比，r，=1时，则无极限值。
当公比，r，>1时，等比数列的前n项和的极限为S=a/(1-r)3.公式推导（15分钟）a.老师引导学生思考如何推导等比数列的求和公式。
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等比数列的求和公式
一、教学重点、难点
本节课的重点是公式的推导、错位相减法的推广使用；难点是公式的推导方法的应用。
二、教学目标：
1．知识与技能目标：理解并掌握等比数列前n 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用推导方法解决与之有关的问题．
2．过程与方法目标：通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．
3．情感、态度与价值观：通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质。
三、教学过程
1、创设情境，提出问题
引入：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。
西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。
国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊 。
为什么？你能算出麦粒的总数吗？
设问：同学们，你们知道国王给出多少小麦吗？
引导学生写出麦粒总数为：?2 (22)
216332=+++++
2、师生互动，探究问题
探讨1: 发明者要求的麦粒总数是？ 生：可能会直接利用公式q
q a S n n --=1)1(1)1(≠q 求出答案126464-=S （1964108.112⨯≈-，以小麦千粒重为40克计算，麦子质量超过7000亿吨！2010年世界粮食总产量约为22.8亿吨，全世界人民不吃粮食也得300多年才能够生产7000亿吨。
）
探讨2：上述的公式q
q a S n n --=1)1(1)1(≠q 是怎么产生的？ 生：可能会说到错位相减法，但没有具体书写。
师：要求学生回忆教材，具体写出公式的推导方法。
设n n n a a a a a S +++++=-1321 ①
乘以公比q ，n n n n qa a a a a qS +++++=-132 ②
①-②：()n n qa a S q -=-11，
当1≠q 时：()
q q a q aq a q qa a S n
n n n --=--=--=1111111 探讨3：还有别的推导方法吗？
师：通过学生回忆数列的性质以及等比定理、乘法公式。
启发学生再次思考： 法1：设n n a a a a S ++++= 321
∵{}n a 成等比数列，∴q a a a a a a a a n n =====-1
342312 由等比定理：,1321432q a a a a a a a a n n =++++++++- 即：q a S a S n
n n =--1 当1≠q 时，()
q q a q q a a S n
n n --=--=11111 当1=q 时，1na S n =
法2：q a q a q a a S n n 1211-++++=
()13211-+++++=n a a a a q a
()n n n a S q a qS a -+=+=-111
从而：()⇒-=-q a a S q n n 11当1≠q 时q q a a S n n --=
11 法3：n n a a a a S ++++= 321
)1(121-+++=n q q q a )1(111≠--=q q
q a n
探讨4：上述的哪个方法更简单？教材为什么要用错位相减法？
如果西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒×1个小麦，第二格放2粒×2个小麦，第三格放4粒×3个小麦，以此类推，直至第64格。
师：请大家再看这样的问题：=⋅+⋯+⋅+⋅+⋅+⋅633226424232211
令633226424232211⋅+⋯+⋅+⋅+⋅+⋅=S
则6463432264263242322212⋅+⋅+⋯+⋅+⋅+⋅+⋅=S
两式相减，得：64633226422221⋅-+⋯++++=-S
646426412⋅--= 126364-⋅-=
∴126364+⋅=S
3、例题讲解，形成技能
例题：求和：n n n n n S 22)1(23222132+-+⋯+⋅+⋅+=-
解：∵n n n n n S 22)1(23222132+-+⋯+⋅+⋅+=-
∴143222)1(232222++-+⋯+⋅+⋅+=n n n n n S
两式相减得：1432222222+-+⋯++++=-n n n n S
122
1)21(2+---=n n n 22)1(1--=+n n ∴ 22)1(1+-=+n n n S
练习：
1、求数列21, 42, 83, ……, n n 2
, ……的前n 项和S n 解： ∵S n =21+42+83+ ……+12
-n n +n n 2 ∴21S n =41+82+163+…….+n n 21-+ 12
+n n 两式相减，得
21S n =21+41+81+ ……+n 21-12
+n n （同分母错项相减） =2
11)211(2
1--n -12+n n =1-n 21-12+n n ∴S n =2-12
1-n -n n 2 2、求和：S n =1+2x+3x 2+4x 3+….+nx n-1
解：当x=0时，S n =1，
当x=1时，S n =1+2+3+……+n=2
)1(+n n , 当x ≠0且x ≠1时，S n =1+2x+3x 2+4x 3+….+(n -1)x n-2+nx n-1
xS x =x+2x 2+3x 3+4x 4+….+(n -1)x n-1+nx n
两式相减：(1-x)S n =1+x+x 2+……+x n-1-nx n
=x
x n
--11-nx n S n =2)1(1x x n ---x
nx n
-1 4、归纳总结，布置作业
四、课后反思：
本节课的设计思路是：通过教材的引例归纳等比数列的前n 项和公式，突出错位相减法，进一步发掘差比数列的解题方法。
整节课比较顺利，但是难点没有很好的突破，主要对学生的学情估计不足。
这节课的思维设计比较连贯，有层次型，引入问题也可以激发学生的兴趣。
不足就是:备学生不充分，学生对错位相减法的理解比较容易，但在具体使用过程中问题凸显，所以教学目标应定为：让学生了解错位相减法，知道这种方法可以解决差比数列，而不是使用这种方法解复杂的题目。