第20讲 滑移线应力场理论
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滑移线理论及应用
证明：设α、β线上任一点的曲率半径分别为R α 、R β ，由 曲率半径的定义知：
1/ R / S 和 1/ R / S ΔSβ沿弧S α的变化率为：
d (S ) dS
d (R ) dS
R S
R
S
根据汉盖第一定理有，
d (S dS
)
R S
当曲线四边形单元趋近无限小时
tg
Am AB
沿β2线从点B→点C
pB 2kB pc 2kc
于是，得沿路径A→B→C和静水压力差
同理
PC PA 2k(A C 2B )
PC PA 2k(2D A C ) 由上两式可得
C B D A
同理
pC pB pD pA
二、汉盖第二定理
一动点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动点起、始 位置的另一族两条滑移线的曲率变化量（如dRβ）等于该点 所移动的路程（如dSα）。 1
线的方向。
二、滑移线场绘制的数值计算方法
滑移线数值计算方法的实质是：利用差分方程近似代 替滑移线的微分方程，计算出各结点的坐标位置，建立滑 移线场，然后利用汉盖应力方程计算各结点的平均应力p 和角。
根据滑移线场块的邻接情况，滑移线场的边值有三类。
1）特征线问题 这是给定两条相交的滑移线为初始线，求作整个滑移线
滑移线的曲率变化量（如dRβ ）等于该点所移动的路程（如dSα）； • 同族滑移线必然有个相同的曲率方向。
§8.5 应力边界条件和滑移线场的绘制
一、应力边界条件
1）自由表面 塑性加工时塑性区可能扩展到自由表面，如平冲头压入半无限体工件（见
图 8-10a）。因为自由表面（设为 x 轴）上的法向应力（ n y 0 ）和切 应力（ k 0 ）。根据式（8-3），可知滑移线性边界点上的k 角和静水压力别
滑移线法
理想刚塑性体的平面应变问题1金属塑性加工变形的特点：材料的塑性变形很大弹性变形可以忽略冲模对金属块状材料的作用（塑性成形）塑性极限状态的荷载理论分析方法：滑移线法213滑移线的几何性质当滑移线沿着与之相交的另一族滑移线过渡到同族的另一条滑移线时，和的变化为常量。
θσHencky 第一定理：沿滑移线性质：9沿着滑移线平均应力的变化与夹角的变化成比例θσ9当滑移线为直线，均沿着滑移线为常数θσ9在被两根滑移线所截的另一族滑移线中，若某一段为直线，则被截的所有滑移线段都为直线简单滑移线场1. 均匀滑移线场αβ和线为两族相互正交的直线，代表均匀应力状态2. 中心扇形滑移线场滑移线场为同心圆族和在圆心共点的直线族组成，代表简单应力状态18滑移线场求解问题的例题1. 刚性平冲头压入半平面的极限荷载2. 单边受压力的楔形体3. 两侧带缺口板条的拉伸19212. Geiringer 速度方程速度场满足的条件：0=⋅+⋅dy dv dx dv y x 沿线：αβ沿线：0tan =⋅+y x dv dv θ0cot =⋅−y x dv dv θ沿线：αβ沿线：0=⋅−θβαd v dv 0=⋅+θαβd v dv Geiringer 方程几何意义：沿滑移线方向线应变率为零23 应力场必须满足平衡条件塑性区的应力满足屈服条件;刚性区应力点不在屈服面之外 应力要满足应力边界条件¾塑性区速度和应变率是连续的, 而在刚性区应变率为零;¾体积不可压缩¾速度满足速度边界条件¾在力边界，速度使外力所做的功大于零塑性区应力和应变率满足Levy-Mises 方程解的性质。
材料加工与制备 9.5 滑移线场理论
m 2k C ( )
(沿
线)
当滑移线场确定、即各点转角φ确定后，若已知 某条滑移线上一点的平均应力，则沿该条滑移线上 任一点的平均应力可求。进而，应力场可求。
8.5.3 滑移线的性质
1) 同一条滑移线上任意两点间平均应力的变化 Δσm与该两点之间滑移线转角的变化Δφ成正比。
以α线为例，沿线任取两点A、B，由汉盖应力方 程，
4
p 3
4
4
3
4
4
8.5.4 塑性区的应力边界条件
3) 接触表面单位摩擦力达到最大值的接触表面 （τf=k ）
此时， 接触表面与工具粘着，而接触表面以下单 元体之切应力为k（屈服），所以有τf=k。
p m
f k
m
k
xy k cos 2 k
0,
2
m
k
0
m
k
2
8.5.4 塑性区的应力边界条件
1G 3G yG xG 2k
3G 2k
mG
1 2
(1G
3G )
k
在O点，
O
G
4
2
4
沿α线ONMG， mO 2kO mG 2kG
mO
mG
2k (O
G )
k
2k( 4
) 4
k(1 )
在O点，
yO
mO
k
sin 2O
k(1 )
k
sin
2( )
4
k(1 )
k
k(2
)
x
m
k
sin
2
y m k sin 2
xy k cos 2
x
x
yx
y
第4章 滑移线场理论
点起、始位置的另一族两条滑移线的曲率变化量 （如dRβ）等于该点所移动的路程（如dSα）。
11
4.3 塑性区应力边界条件：
自由表面
Principle of Metal Forming
12ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
接触表面之：
摩擦切应力为零
摩擦切应力为某中间值
Principle of Metal Forming
13
摩擦切应力为最大值
7
由称Saint-Venant塑性流动方程
Principle of Metal Forming
8
4.2 滑移线的性质
4.2.1 H.Hencky方程 也称沿线特性，描述滑移线上各点的平均应力变化规律。
Principle of Metal Forming
由上式知，任一族中任一条滑移线上 两点的平均应力符合下列关系式：
一条滑移线（如β1或β2 ）相交两点的倾角差和静水压力变化量均保
Principle of Metal Forming
持不变。
若单元三个节点角ω、σm知，则第四点知。 推论： 异族截区内，一直皆直。
10
4.2.3 H.Hencky第二定理
一动点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动
Principle of Metal Forming
Principle of Metal Forming
14
4.2 常见的滑移线场类型
正交直线 １ ） 直 线 型
Principle of Metal Forming
２ ） 简 单 型
奇点
有心扇形：直线＋圆弧 无心扇形：包络＋渐开
15
３ ） 直 简 组 合 型
Principle of Metal Forming
滑移线理论及应用PPT课件
a b cd const mab mdc const
17
在同一族（例如a族）的两条滑移线（例如a 1和a 2线）与另 一族（例如β族）的任一条滑移线（例如β1和β2线）的两个 交点上，其切线夹角△ω与平均应力的变化△σm 均保持常数， 如下图所示:
对于图中的节点(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)有：
点P1，平面塑性变形时，
最大切应力成对出现，并
相交。
6
三、滑移线和ω 角规定
α 与β 滑移线规定
设α 与β 线构成右手坐标系，
设代数值最大的主应力σ1 作用线在第一与三象限，则：
α 线两侧最大切应力顺时针
方向。 β线两侧最大切应力逆
时针方向。
Hale Waihona Puke 或：σ1方向顺时针转45°得到α线
由σ1的方位线顺时针转45°到达的滑移线称α线，而由σ3线 的方位线顺时针转45°到达的滑移线称为β线。α线与β的方向
代入平面应变问题的微分平衡方程
x yx 0
x y
xy y 0
x y
11
m
x
2k c os2
x
sin2
y
0
m
x
2k s in2
x
cos2
y
0
取滑移线本身作为坐标轴，设为轴a和β轴。这样，滑移 线场中任何一点的位置，可用坐标值a和β表示。当沿着a坐标 轴从一点移动到另一点时，坐标值β不变，当然沿着坐标轴β 从一点移动到另一点时，坐标轴a也不变。
将xy坐标原点置于两条滑移线的交点a上，并使坐标轴x、 y分别与滑移线的切线x` 、y`重合。
17
在同一族（例如a族）的两条滑移线（例如a 1和a 2线）与另 一族（例如β族）的任一条滑移线（例如β1和β2线）的两个 交点上，其切线夹角△ω与平均应力的变化△σm 均保持常数， 如下图所示:
对于图中的节点(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)有：
点P1，平面塑性变形时，
最大切应力成对出现，并
相交。
6
三、滑移线和ω 角规定
α 与β 滑移线规定
设α 与β 线构成右手坐标系，
设代数值最大的主应力σ1 作用线在第一与三象限，则：
α 线两侧最大切应力顺时针
方向。 β线两侧最大切应力逆
时针方向。
Hale Waihona Puke 或：σ1方向顺时针转45°得到α线
由σ1的方位线顺时针转45°到达的滑移线称α线，而由σ3线 的方位线顺时针转45°到达的滑移线称为β线。α线与β的方向
代入平面应变问题的微分平衡方程
x yx 0
x y
xy y 0
x y
11
m
x
2k c os2
x
sin2
y
0
m
x
2k s in2
x
cos2
y
0
取滑移线本身作为坐标轴，设为轴a和β轴。这样，滑移 线场中任何一点的位置，可用坐标值a和β表示。当沿着a坐标 轴从一点移动到另一点时，坐标值β不变，当然沿着坐标轴β 从一点移动到另一点时，坐标轴a也不变。
将xy坐标原点置于两条滑移线的交点a上，并使坐标轴x、 y分别与滑移线的切线x` 、y`重合。
工程弹塑性力学教学课件第十一章滑移线场理论
y S
0
p
2R
cos
x
sin
y
0
S
S
S
S
p* 2R C p* 2R C
（3）γ＝0和φ＝0代入(3.10)并积分可得:
（沿线） （沿线）
p* p cosx sin y R K (或 C)
S
(p
2R )
0
( p 2R ) 0
S
p 2R C （沿线） p 2R C （沿线）
4.滑移线基本性质
滑移线上的剪应力等于岩土的抗剪强度 两族滑移线间的夹角与屈服准则有关 对所有岩土材料,重力的存在不影响两族滑移线间 的夹角,但对其形状有影响。对c-φ型岩土材料,粘 聚力的存在不影响两族滑移线的形状和夹角。
4.滑移线基本性质…
（1）Henky第一定律：如果由一条滑移线 α1（或β1 ）转到另一条滑移线α2 （或β2）， 则沿任何一条β族 （或α族）的滑移线，α线 （或β线）的方向与x轴的夹角的变化值保持 常量。如图1，得：
RA )( p
A)
sin(
2 )( x p
x A
)
cos(
2 )(
yp
yA)
sin 2( pp pB ) (Rp RB )( p B ) sin( 2)(xp xB ) cos( 2)( yp yB )
yp
yA
tg
(
p
A 2
)( x p
xA )
yp
yB
tg
(
p
B 2
)( x p
自由表面上 n 0, n 0 。周界处处不 与滑移线方向相重合。自由表面附近的 应力场与自由表面的形状有关。如果自 由表面是平面，其影响区域将如图7-2.
第20讲 滑移线应力场理论
沿β 2从（1，2），（2，2）
m 1, 2 m 2 , 2 -2 K ( 1, 2 2 , 2 )
沿α 1从（1，1），（1，2）
m 1,1 m 1, 2 2 K ( 1,1 1, 2 )
m 1,1 m 2 , 2 2 K ( 1,1 + 2 , 2 -2 2 ,1 )
第四章 塑性成形问题工程解法
第二节 滑移线方法
第一讲 滑移线应力场理论
平面应变的特点
滑移线基本概念 滑移线的主要特点 滑移线场的建立
平面应变问题的特点
主应力特点
2
K
1 3
2
m
1
2 3
m m m
K
1 3
2
K
平面应变问题的特点
滑移线的主要特点
2、Hencky第一定理
同族的两条滑移线截另一族任意一条滑移线相交两点的 倾角差和静水压力变化量均保持不变。
m 1,1 m 2 , 2 2 K ( 1,1 2 , 2 2 2 ,1 )
m 1,1 m 2 , 2 2 K ( 1,1 2 1, 2 2 , 2 )
图解法和数值积分法
例题
如图所示光滑平冲头压入半无限高坯料，刚
性冲头的宽度为2b，长度远大于宽度，冲头 两侧为自由表面，按图所建立的滑移线场求 流动应力p。
2b
X
在a 点：
2b
X
a
4
3 p
在b点：
b
4
1 3 2K
1 0
m 1, 2 m 2 , 2 -2 K ( 1, 2 2 , 2 )
沿α 1从（1，1），（1，2）
m 1,1 m 1, 2 2 K ( 1,1 1, 2 )
m 1,1 m 2 , 2 2 K ( 1,1 + 2 , 2 -2 2 ,1 )
第四章 塑性成形问题工程解法
第二节 滑移线方法
第一讲 滑移线应力场理论
平面应变的特点
滑移线基本概念 滑移线的主要特点 滑移线场的建立
平面应变问题的特点
主应力特点
2
K
1 3
2
m
1
2 3
m m m
K
1 3
2
K
平面应变问题的特点
滑移线的主要特点
2、Hencky第一定理
同族的两条滑移线截另一族任意一条滑移线相交两点的 倾角差和静水压力变化量均保持不变。
m 1,1 m 2 , 2 2 K ( 1,1 2 , 2 2 2 ,1 )
m 1,1 m 2 , 2 2 K ( 1,1 2 1, 2 2 , 2 )
图解法和数值积分法
例题
如图所示光滑平冲头压入半无限高坯料，刚
性冲头的宽度为2b，长度远大于宽度，冲头 两侧为自由表面，按图所建立的滑移线场求 流动应力p。
2b
X
在a 点：
2b
X
a
4
3 p
在b点：
b
4
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1 0
滑移线理论_弹塑性力学讲稿
R ` R R
R
"
S R S
B B`
S `
`
S
`
`
R `
A S
A`
R
`
证明：由于
1 R S 1 R S
（定义）
又可写为
R ` S R ` S
o
★ 屈服条件：（Mises）
（4-37）
化简后为
（4-38）
于是，在塑性区内主应力为
（4-39）
（4-40）
（4-41）
这就是说，在塑性区内任一点 的应力状态，可用静水压力 o 与
o
纯剪应力 两个分量来表示，
如图示。
o o
o o
o
★ 在不计体力的情况下，平衡方程为：
可解出
xm,m1 , ym,m1
（d) 重复计算可得出ABP范围内的塑性应力场。
(3) 第二边值问题（黎曼问题）
已知边界上某一点的两条正交的滑移线，其各点的、 已知，如图示： 求：区域AoBC内的塑性应力场。 步骤： （a) 分网，如图示 （b)求、，由汉基第 y B
(0,n) (o,2) (0,1) (m,0) (1,1) (m-1,n)
沿这两组滑移线分别有一一相
等的值和一一相等的值。而所有
也必相等，应力是均匀分布的，即称为均匀应力场。
例：图示直线边界上 n const, n 0 则
n k sin 2( ) 常数 p n k cos 2( ) 0
n
即
将上式代入（4-51（a)式得：
n k sin 2( ) n k cos 2( )
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滑移线的主要特点
2、Hencky第一定理
同族的两条滑移线截另一族任意一条滑移线相交两点的 倾角差和静水压力变化量均保持不变。
m 1,1 m 2 , 2 2 K ( 1,1 2 , 2 2 2 ,1 )
m 1,1 m 2 , 2 2 K ( 1,1 2 1, 2 2 , 2 )
滑移线的主要特点
2、Hencky第一定理推论1
同族滑移线中有一条为直线的话，则这族滑移线的其他 各条滑移线必然全是直线。由于直线滑移线的倾角差为零， 所以直线滑移线上的静水压力保持恒定。
滑移线的主要特点
2、Hencky第一定理推论2
一族的一条滑移线的某一段为直线，则被另一族滑移线 所截的该族的滑移线的所有相应的段均为直线。
ma mb 2 K ( a b )
沿α 2从（2，1），（2，2）
m 2 , 1 m 2 , 2 2 K ( 2 ,1 2 , 2 )
沿β 1从（1，1），（2，1）
m 1 ,1 m 2 ,1 2 K ( 1 ,1 2 ,1 )
m 1,1 m 2 , 2 2 K ( 1,1 2 , 2 2 2 ,1 )
滑移线的主要特点
2、Hencky第一定理
同族的两条滑移线截另一族任意一条滑移线相交两点的 倾角差和静水压力变化量均保持不变。
ma mb 2 K ( a b )
图解法和数值积分法
例题
如图所示光滑平冲头压入半无限高坯料，刚
性冲头的宽度为2b，长度远大于宽度，冲头 两侧为自由表面，按图所建立的滑移线场求 流动应力p。
2b
X
在a 点：
2b
X
a
4
3 p
在b点：
b
4
1 3 2K
1 0
1 2K p
ma K p
滑移线基本概念
滑移线:两条正交的最大切应力方向的轨迹线 称为滑移线。 α线：沿第一剪切方向的滑移线 β线：沿第二剪切方向的滑移线 滑移线场：由滑移线构成的正交网络成为滑移 线场。 滑移线族：同一方向的滑移线组成滑移线族。
滑移线基本概念
滑移线的判断
第一主方向顺时针转450，得到α.
滑移线的主要特点
( 1 ,1 2 , 2 2 2 , 1 ) ( 1 ,1 2 1 , 2 2 , 2 ) 0 1 ,1 2 , 2 2 ,1 1 , 2 0
1 , 2 2 , 2 1 ,1 2 ,1
应力摩尔圆
x m k sin 2
y
m k sin 2
xy k sin 2
平面应变问题的特点
基本概念
第一主方向:代数值最大的主应力方向. 第一剪切方向:第一主方向顺时针转450所确定的最大切应 力的正方向. 剪切方向方向角:由坐标轴正向转向第一剪切方向的角度.
第四章 塑性成形问题工程解法
第二节 滑移线方法
第一讲 滑移线应力场理论
平面应变的特点
滑移线基本概念 滑移线的主要特点 滑移线场的建立
平面应变问题的特点
主应力特点
2
K
1 3
2
mLeabharlann 1 2 3m m m
K
1 3
2
K
平面应变问题的特点
mb
ma
2 K ( a b )
滑移线的主要特点
1、Hencky应力方程推论2
m 2 K (沿 线 ) m 2 K (沿 线 )
如果滑移线场确定，且已知一条滑移线上 任一点的平均应力，则可以确定滑移线场中各 点的应力。
滑移线的主要特点
沿β 2从（1，2），（2，2）
m 1 , 2 m 2 , 2 2 K ( 1 , 2 2 , 2 )
m 1,1 m 2 , 2 2 K ( 1,1 2 1, 2 2 , 2 )
滑移线的主要特点
2、Hencky第一定理
同族的两条滑移线截另一族任意一条滑移线相交两点的 倾角差和静水压力变化量均保持不变。
滑移线的主要特点
2、Hencky第一定理推论3
单元网络节点上，三个节点已知，可求另一个。
滑移线场的建立
边界建立——自由表面
1 ) 1 2 K , 3 0 2 ) 1 0 , 3 2 K
滑移线场的建立
边界建立——粘着摩擦接触表面
xy K
滑移线场的建立
由屈服准则
1 3 2K
ma mb 2 K ab
p 2 K (1
3 2 K
mb K
2
)
如果两族滑移线场为直线，各点的应力状 态相同，称为均匀应力场；
滑移线的主要特点
2、Hencky第一定理
同族的两条滑移线截另一族任意一条滑移线相交两点的 倾角差和静水压力变化量均保持不变。
ma mb 2 K ( a b )
沿α 1从（1，1），（1，2）
m 1 ,1 m 1 , 2 2 K ( 1 ,1 1 , 2 )
1、Hencky应力方程
m 2 K (沿 线 ) m 2 K (沿 线 )
滑移线的主要特点
1、Hencky应力方程推论1
m m
2 K (沿 线 ) 2 K (沿 线 )
ma mb
2Ka 2Kb
边界建立——滑动摩擦接触表面
x y
m m
k sin 2 k sin 2
xy k sin 2
1 3
2
2
m
K
1 3
2
0
xy
K 1 2 cos
1
xy
K
滑移线场的建立
特殊滑移线场
直线滑移线场：
简单滑移线场：
滑移线场的建立
沿β 2从（1，2），（2，2）
m 1, 2 m 2 , 2 -2 K ( 1, 2 2 , 2 )
沿α 1从（1，1），（1，2）
m 1,1 m 1, 2 2 K ( 1,1 1, 2 )
m 1,1 m 2 , 2 2 K ( 1,1 + 2 , 2 -2 2 ,1 )
1、Hencky应力方程推论3
m 2 K (沿 线 ) m 2 K (沿 线 )
如果滑移线场为直线，则此直线上各点的 应力状态相同；
滑移线的主要特点
1、Hencky应力方程推论4
m 2 K (沿 线 ) m 2 K (沿 线 )