西南财经大学出版社主编董君成《运筹学》课后题解

西南财经大学出版社主编董君成 《运筹学》 课

后题解参考答案

第一章 线性规划及单纯形法

1.（1）

3. 解：（ 1）

z

25,x 1 15,x 2 5,x

3 0 （2）有无穷多个最优解 ，例如 x 1 4,x 2 0, x

3

（3） z *

5.4 , x 1 0.2,x 2 0, x 3 1.6

（5） z 15 .x 1 2.5,x 2 2.5,x 3 2.5,x 4

（7） 无可行解。 （ 8） z

0 .x 1 0,x 2 0

（9） z 7.08 .x 1 0,x 2 0, x 3 1.35 , x 4

（11

）

z 35.6 .x 1 9.8, x 2 4.2,x 3 0, x 4

； 或

x 1 （4） 0,x 2

*

z * 0,x 3 8

等 ，此时 z *

8. .5 ,x 1

1,x 2 1,x 3 0.5

（6） z 260 . x 1 6,x 2 2,x 3 0.

x

3

4,x 4

.

0.21 （10） z 70 . x 1 16,x 2 0,x 3 10 3.4 （12） z

46 . x 1 14, x 2 0,x 3 4

4. 解：设决策变量 x

11 , x

12分别表示第一年投资到项目Ⅰ、Ⅱ的资金额；

x

21, x

23分别表示第二年投资

到项目Ⅰ、Ⅲ的资金额； x

31

, x

34 分别表示第三年投资到项目Ⅰ、Ⅳ的资金额。则得线性规划模型如下：

maxZ 0.2x 11 0.2x 21

0.2x 31 0.5x 12 0.6x 23

0.4x 34

x

11 x

12

300000

0.2x 11

x 21 x 12

x 23

300000

0.2x 11 0.2x 21

x 31 0.5x 12

x

23 x 34

300000

x 12

200000

x

23

150000

x

34

100000

x 11 ,x 21 ,x 31 ,x 12 ,x 23 ,x 34 0

2x 1 5x 2 3x 3 5x 4 5x 4 x 6 3 x 1 x 2 3x 3 x 4 x 4 x 5 14 2x 4x 4x 5x 5x 18 1 2 3 4 4 2x 1 3x 2 x 3 2x 4 2x 4 x 6 2

x 0,x 0,x 0,x 0,x 0 1 2 3 4 4

x 1,x 2,x 3,x 4, x 4 , x 5, x 6

*

2. （ 1） 有唯一最优解， z

9 2 ,x 1 3 2,x 2 12 ； （ 2 ）无可行

解； （3）有无穷多个最优解， z *

66；（ 4）有唯一最优解， z 15,x

1

maxz 3x 1 2x 2 4x 3 8x 4 8x 4 min z

3x 1 4x 2 2x 3 5x 4 5x 4

x 1 2x 2 5x 3 6x 4 6x 4 x 5 8 4x 1 x 2 2x 3 x 4 x 4

2

5,x 2 10 5. 解： (1)

d 0,c

1

0, c 2 0 ；(2) d

0,c 1 0, c 2

, 但

c 1 ,c 2

中至少有一个为零 ；

3） d 0 ，或 d 0 ，

而 c 1 0 ，

且

d 4

3 a

2 ；( 4 ) c

1

0，d 4 3 a 2；

(5)c 2 0, a 1

6） x 5

为人工变量，且 c 1 0,c 2

.

；

6. 解：（ 1）解得 z

440000 ,x 1 40, x 2 60

2)解得

z 380000 , x 1 40, x 2 60

(2)

7.设 x ij 为生产 i 种糖果所使用的 j

种原材料数，

i

1,2,3

分别代表甲、乙、丙， j 1,2,3 分别代表 A 、B 、C

其数学模型为

max z (3.4 0. 5)( x 11 x 12

x 13 ) (2.85 0 .4)( x 21 x 22 x 23 (2.25 0.3)( x 31 x 32

x 33) 2.0(x 11 x 21 x 31) 1.5(x 12

x 22

1.0(x 13 x 23 x 33 )

x

32 )

578

第二章 对偶理论与灵敏度分析

min w 10y 1 17y 2 12y 3 25y 4

min w 10y 1 17y 2 12y 3 25y 4 3y 5

y 1 y 2 6y 3 12y 4 1

y 2y y 2

1. (1)

y 1 y 2 7y 3 9y 4 2 2

1 2 3

3y 2 3y 3 y 4 y 5 3 y 1 y 2 3y 3 9y 4 3 y 1 y 2 4y 3 7 3y 1 3y 2 5y 3 9y 4 4 2y 1 2y 2 8

3y 1 3y 2 5y 3 9y 4 4

y 1，无约束 ， y 2,y 3, y 4,y 5 0

y 1，

y 2,y 3,y 4 0

2 原 问 题 的 最 优 解 为 ： （0,0,4,4）T

x 11

x

21

x

31

2000

x

12

x

22

x

32

2500

x

13 x

23

x

33 1200

x

11

0.6

x

21

0.15

x 11

x

12

x

13

x

21 x

22

x

23

x

13

0.2

x

23

0.6

x

11 x

12 x

13 x

21

x

22

x

23

x

33

0.5

x

x

31 x

32

x

33

ij

8. 解：

设

x i (i

1，2，3，

4，

5， 6）为第 i 班开始上班的服务员人数。则数学模型 min Z

x 1 x 2

x 3

x 4 x 5 x 6

x 6

x 1

80

x 1

x 2

90

x 2

x 3 80

x 3

x 4 70

x 4

x 5 40

x 5

x 6

30

x j

0 ( j 1, ,6)

9. 解： 设

x j (j 1,2,3,4)为第 j 种产品的生产数量，则有

max Z 49x 1 55x 2

38x 3 52x 4 27.5x 1 32.5x 2 29.6x 3 25 x 4

x 1

x 2 x 4

150

10 20 20 x 1 x 3 x 4

4 120

20 10 10

x 2

x 3 70 10 15

x 1 ,x 2,x 3 ,x 4 0

其中： 49=65-16 ； 27.5=200/20 + 150/10 ，依次类推。

10. 解：设 x i j

（i 1,2,3,4; j 1,2,3）

为第 j 台制衣机生产第 i

种服装的天数，则有：

4 4 4

minZ 80 x i1 100 x i 2 150 x i3

i1 i 1 i1

300x 11 280x 21 200x 31 150 x 41 x i j 0

600x 12 450x 22 350x 32 410 x 42 800x 13 700 x 23 680x 33 450x 43 (i 1,2,3,4; j

10000 9000 7000 8000 1,2,3)

579

min w 60y 1 40y 2 80y 3

3. (1) 对偶问题 是：

3y

1 2y

2 y

3

2

4y 1 y 2 3y 3 4 y 3 y 4 1

2y 1 2y 2 2y 3 3 y 1,y 2,y 3 0

（4）对偶单纯形法实质上是将单纯形法应用于对偶问题的求解，又对偶问题的对偶即原 问题，因此（2）、（3） 的计算结果完全相同。

4. ( 1) 对 偶 问 题 最 优 解 为 ： x 1

23 ，

x 2

8 3 ，

min w 10 3

2 ） 对 偶 问 题 的 最 优 解 为 ： （ 3,0,0,0,6,7,0） ）

minz 9

X （0,5,5,0,0） ； maxz 90

（ 2）］ 7 0， 所以线性规划 问题的最 优解 不变

5)

X (0,25 2,5 2 ,0 ,15,0) ；

maxz 95

6）线性规划的最优解不发生变化 x

代表原稿 纸、日记本和练习本的每月生产量。建 立线性规划模

2200

7.（1）

X （33815,1165,223,0,0,0）；maxz 202915（

2）设 备 B 的影子价格为

415

（千元/ 台时），

而借用设备的租金为1860（千元/台时） 415（千元/台时），所以

借用 B 设备不合算。

（3） 8 37 300 0

， 所 以 生 产 产 品 Ⅴ 合 算

（4）

9

3 4 7 9

253 ， 所 以 改 进 技 术 后 能 够 带 来 更 多 的 经 济 效 益 。 1 4.5 , , 12 0

1

100 15 150 300

4

8. ( 1)

当

0 t 83

时，最 优解为

X (0,10,10,0);maxz(t) 220

当

8 3 t 5时 ， 最 优 解 为

X (0,15,0,5); max z(t) 180 15t 当 t 5时，最优解 为 X (15,0,0,5); max z(t) 105 30t

5. ( 1) X (0,0,9,3,0)；

maxz 117

(3)此时 x 的检 验数为

8 [5

2) 30

4）此时 x 的 检验数为

1

1 0 0

5 (5,0) 4 1 5

，所以线性规划问题的最优解不变

50

6. （ 1） 分 别 用 x 1

、

x2 、

答案

4.

580

( 2 ) 当 0 t 5 时 ， 最 优 解 为 X (10 2t,0,10 2t,5 t,0); max z(t) 6t 30(0 t 5)

当 t 5 时 ， 最 优 解 为 X (10 2t,15 t,0,0,t 5);maxz(t) 5t 35(5 t 25)

第三章 运输问题

复习思考题答案

1～8 答案 略 9.

1)×； 2)×； 3)√ ；4)√；5)√；6)×； 7)√；8)√；9)√ ；

10)√ ； 11) ×； 习题答案

2)

地

销

地

产

B

1

B

2

B

3

B

4

B

5

产量

A 1

50

50

A 2

25

60

15

100 A

3

65

65

130 A

4

15

5

20

销量

25 115 60 30 70

2. 1销 产地

产

地

B 1

B

2

B

3

B

4

B

5

B

6

产量

A

1

20

30

50

A 2

20

20

40

A 3

10

39 11

60 A

4

1

30

31

销量

30

50 20 40

30

11

3.

1. 解：( 1)最优调运方案为

2

)

c 13 1,c 35 2,c 41 2

581

最大赢利为：

max z 10

5. 解：该厂的生产安排如下：

产

销

地

产

地

A

1

A

2

A

3

A

4

供应量

B 1

1

1

2

B

1

3

3 B 2

2

2 4 B 3

2

2 B

3

1

1

B

3

3

3 S

2

2

销量

3

3

4

7

总运费为： maxz

500 1 540 1 600 2 500 1 620 3 40 2 4730

（元）

6.

c 33

值应满足

c 33 14 0 ， c 33 10 0 ，

16 c 33 0

14 c 33 16

7.

8. （123

9.

10. 解：（1）制定最优生产计划

单位运价表中的数字表示成本，其计算：当季生产当季销售，总成本＝生产成本；前季生产后季销售，总成本＝生产成本+储存成本；后季生产前季销售不可能，总成本为M ,于是得单位运价表和产销平衡表如下：

产销平衡表与单位运价表

需求

生产季度

1 2 3 4 生产量季度

1 5 6 7 8 14

2 M 5 6 7 15

3 M M 6 7 15

4 M M M 6 13

需求量

10 14 20 8

最优生产计

划

需求

总成本：292 万元

（2）加班生产计划产

销平衡表与单位运价表

需求

生产季度1 2 3 4 生产量季度

1 季正常生产 5 6 7 8 14

生产季度 1 2 3 4 生产量季度

1 10 4 14

2 14 1 15

3 15 15

4 8 8

需求量

10 14 20 8

最优生产计划

需求

生产季度

1 2 3 4 生产量季度

1 季正常生产10 3 12

582

583

1 季加班生产 6 7 8 9

2 1 季加班生产

2 季正常生产 M 5 6 7 15 2 季正常生产

12

3

15 2 季加班生产 M 6

7 8 2 2 季加班生产

2

2

3 季正常生产 M M 6 7 15 3 季正常生产

15

15

3 季加班生产 M M 7.2

8.2 2 3 季加班生产

4 季正常生产 M M M 6 13 4 季正常生产

8

8

4 季加班生产

M

M

M

7.2

2

4 季加班生产

需求量

10

14

20

8

需求量

10

14

20

8

第四章 整数规划

复习思考题答案

1～ 5 答 案 略

6.

1)×；2)√；3)×； 4)×；5)√；6)√；7)√；8) √ ；9) √ ；10) √

11)

× ； 1 2) √；

习 题答

案

1.(1)

X

(4,2)T ,Z

340 (2)

X (2,4)T ,Z 58

(3) X (4,2)T

,Z 14 (4) X 1 (4,1)T ,X 2

(5,0)T Z 5

2. (1) x ( 1)

(3,1), x (2)

( 0,7); z 7 (2) 最优解 x

(5,2); z 16

(3) x 1

1,x 2

3,Z 4 (4) x 1

4,x 2

1,Z 5

3. (1)

54

maxZ

i1 j 1

C ij x

ij

x i1 x i2 x

i3 x

i4

3

1,2,L ,5

x

1j x

2 j

x

3 j

x

4 j

x

5 j

1j

1,2,3,4

5

4

i1

x ij 10

j1

x ij

1或0,i 1,2,L ,5; j 1,2,3,4

5. 解 :数学模型

为

584

7

maxz c i x i

i1

7

b i x i B

i1

s.t.

x 1 x 2 x 3 2 x 4 x 5 1 x 6 x 7 1, x i 0或

1

从而得最优解 (x *

,x *

,x *

) (1,0,1) ，最优值 z *

8。

(2)

(x 1,x 2,x 3) (1,1,1) ； z 9 4. 解 :

运筹学

585

6.

解：设 x i 1表示第 i 个队员出场， i 1,2,

max Z

18

5 i 1 x

i

i1

8

x

i

5

x 1 x 2 1 x 6

x 7

x 8 1 x 2

x 8 1 x 1 x 4 x 6

2

x i 是 0 1变量

x 1 2x 2 8 y 1M x

1

5 yM 8.

4x 1 x 2 10 y 2M

x

1

5

(1 y)M (1) 2x 1 6x 2 18 y 3M

(2) x 2 10

yM y 1 y 2 y 2 1

x 2

8 (1 y)M y j 0或1，j

1,2,3 y

或

1

7.

解：设 x i 1表示携带第 i 件物品， i 1,2, ,m m

max Z

c i x i

i1

m

a i x i a

i 1

m

b i x i b i1 x i 是 0 1变量 i 1,2, m

x 1 2y 1 4y 2 6y 3 8y 4

(3) y 1 y 2 y 3 y 4 1

y j 0或1，j 1,2,3,4

x j =1 表示装载第 j 件货物， x j =0 表示不装载第 j 件货物，有

6x 1 5x 2 3x 3 4x 4 7x 5 2x 6 20 x 4 x 5 0

x 1 x 2 1 x 3 x 6 0

x j 0或1,j 1,2,L ,6

12. ( 1)

（2）

在目标函数中增加 c ij x ij 。

解：设 x ij 表示第 i 个用户从第 j 辆卡车得到的实际运量 。

45

min Z

j1 c j x ij

i1

4

4

4

4 4

j1

x

1j

1,

x

2j

j1 2,

x 3 j

j1 3, x

4j

j1 4,

x 5 j 8

j1

5

5

5

5

i1 x

i1

2,

x

i2

i1

6, x i3

i1

8,

x

i4

i1 11

4

j1

(x 1j

x

3 j x 2j x

4 j

)0

x

ij

0,i

1, 2,3,4,5;

j

1,2,3,4

9. （ 1）求得最优指派方案为 x 15 x 23 x 32

2 ）求得最优指派方案为

x 13 x 22 x 31

x

51 x

56

1 ，最优值为 21 x 64 1 ，最小费用为 8

0.1

0 .6 1.4 1 .4 0.4

1.4 0 .2

0.1 0 .1 1.4 得到矩阵：

0.4 1 .4

1.4

0 .2 1.4 ， 1.4

0. 35

1.4

1 .2

0.4

0 .5

0.8 1 .4 0.3

1 0

0 0 0

0 0

1 0 0

最优解是：

0 0

0 1 0 ,Z

6.1

0 0 0 0 1

0 1

0 0

1.4 ，用它减去所有元素， 10. 解：最大元素是 maxZ 3x 1 7x 2 2x 3 5x 4 8x 5 3x 6

11. 解：设 x j 为装载第 j 件货物的状态，

7x 2 4x 3 5x 4 6x 5 2x 6 24

586

第五章 目标规划

复习思考题答案

1～ 4 答 案 略 5.

1）√；2）×； 3）√；4）√；5）×； 6）√；7）×；8） ×； 9） √；

习题答案

1. （1） 满意解为 X （25,15）T

;（2） 满意解为 X （2,2）T

;（3） 满意解为 X （2,2）T

;（4）满意解为 X （0,10）T

2. （ 1）意解为 X （45,0,55）T ；（ 2）有无穷多解，为点（ 0，5.2）和点（ 0.6，4.7）连线上的任一点。 3．满

意解为（ 0， 220/3）

4. （ 1）满意解为

X （0,35）T

d 1

20 d 3 115 d 4

95 其余 d i d i 0 （ 2）满意解为

X

（0,731

）T d 1 20 d 2 5 3 d 4

1331

其余 d i

d i

3

1

2 4

3

i

i

（ 3）满意解为

X

（0,35）T d 1

20 d 3 115 d 4 95 d 5 27,其余 d i d i 0

（ 4）满意解不变

5. （ 1）满意解为 X （70,45）

T ；（ 2）原满意解不发生变化；（ 3）满意解为

X （75,45） T

6.

解：假设企业购买钢管 x 1吨，扣件 x 2 吨。

优先级

P 1

：采购总费用

4800 x 1 3600 x 2 550000 ;优先级 P 2

：每月节省的租赁费用

240x 1 360x 2 30000

优先级

P 3

：钢管扣件配套约束：

0.8x 1 x 2 0.9x 1 ;优先级 P 4：

x 1 60，

x 2 50

优先级

P 5 ： 4800 x 1 3600x 2 450000 引入目标正负偏差变量，设采购总费用为 55万元的正偏差变量为 d 1

、负偏差变量为

d 1 ，每月节省租赁总 费用 3 万元的正偏差变量为 d 、负偏差变量为 d ，按照每吨钢管配套 800 只扣件记，采购钢管应

配套扣件数 （吨） 的正偏差变量为 d 、负偏差变量为 d ，钢管最少采购数量 60 吨的正偏差变量为 d 、负偏差变量为

d ，扣件最 少采购数量 50吨（ 50000只）的正偏差变量为 d 5 、负偏差变量为 d 5 。

根据管理层确定的目标，建立优先目标规划： 优先级 P ：

1

求解结果： d 0， x 104.17 ， 金额不突破 55 万元的计划。

优先级 P ：

2

求解结果： d 0， x 104.17 ，

21

节约 3 万元/月的租赁资金。

x

1

x

8

1 x

7

x

8

1 s.t. x 3

x

5

1

x

4

x

5

1

x

5 x

6

x

7 x

8

2

x

j

0,1

10

min z c x

j 1 j j

10

13.

x j 5

j1

x 13.89 ，即钢管采购量 104.17 吨，扣件采购量

2

13.89 吨，即可满足采购

x 13.89 ，即钢管采购量 104.17 吨，扣件采购量

2

13.89 吨，至少应为企业

优先级 P ：要求每吨钢管需配套 800~900 只扣件使用， 我们定的目标是 800 只，因此，优先级 3 要求 d 同时要求 d 最小。

3

求解结果：

d 3 0， x 1 71.61，

x 2 57.29 ，即钢管采购量 71.61 吨，扣件采购量 57.29 吨，即可满足每吨钢

管需配套 800~900 只扣件的目标。实际结果是每吨钢管配套 800 只扣件。

587

优先级 P 4 ：要求满足钢管需采购至少 60 吨，扣件采购至少 50000 只( 50吨)的目标，因此我们的目标 函数定为 d d ，同时因为优先级 3 中要求每吨钢管需配套 800~900 只扣件使用，因此要将优先级 3 的目标转

45

化为约束，但不是 d 0，既然优先级 3 已经实现，因此在这里我们直接使用 0.8x x 0.9x 作为约束。

求解结果： d d 0，x 71.61， x 57.29 ，即钢管采购量 71.61 吨，扣件采购量 57.29 吨，显然分别超 过了至少采购钢管 60吨和扣件 50 吨的要求。

优先级 P 5 ：最好能节约 10 万元以上的资金，企业留作招投标、合同签意外事件等的备用金。

求解结果： d 1

70000 ， x 1

62.5 ， x 2

50，即钢管采购量 62.5 吨，扣件采购量 50吨，可以满足前 4个优先 级，但是

只能节约 7 万元的资金。

7.

解：首先， 选择四个岗位， 我们以研发、 采购、生产、销售四个岗位为例， 来分析该厂的薪酬分配问

题。 ( 1) 建立层次结构模型，该模型共分为三个层次，三层次因素之间均为完全层次关系。

方案层 C

(2) 构造判断矩阵、层次单排序及其一致性检验。判断矩阵的构造因人而异，每个人给定的判断矩阵的 元素

不一定相同。

对于总目标 A ，准则层各因素构造判断矩阵 A ，求解最大特征值 (m A a )x 及其对应的特征向量 W ( A ) ，并进行 一致性检验，即

A

b 1 b 2 b 3 b 4

b

1

1 1/7 1/3 1/3 b 2

7

1 3 3 b

3

3 1/3 1 3 b

4

3 1/3

1/3

1

W (A) (0.0665 0.5300 0.2575 0.146)T

(m A

ax

)

4.1624 ,CR 0.0609 0.1

对于准则 b 1，准则层各因素构造判断矩阵 B 1，求解最大特征值 (m B a 1x ) 及其对应的特征向量 W (B1)，并进行一 致性检验，即

B

1

c

1

c

2 c

3 c 4

c

1

1 1/3 1/5 1/5 c 2

3 1 1/3 1/3 c

3

5 3 1 1 c

4

5

3

1

1

W ( B1)

(0.0679 0.1524 0.3899 0.3899)T

; (m B a 1)

x 4.0435,CR 0.0161 0.1

目标层 A

准则层 B

采

劳

合理分配薪酬 A

对于准则b2，准则层各因素构造判断矩阵B2，求解最大特征值(m B a2x)及其对应的特征向量W(B2)，并进行致性检验，即

W ( B2) (0.5785 0.0718 0.2337 0.1161) T(m B a2x) 4.2370,CR 0.0878 0.1

对于准则b3 ，准则层各因素构造判断矩阵B3 ，求解最大特征值(m B a3x)及其对应的特征向量

W (B3)，并进行致性检

验，即

W ( B3) (0.2554 0.1141 0.5806 0.0499)T; (m B a3x) 4.0763,CR 0.0283 0.1

对于准则b4 ，准则层各因素构造判断矩阵B4 ，求解最大特征值(m B a4x)及其对应的特征向量W (B4)，并进行

致性检

验，即

W ( B4) (0.5707 0.1318 0.0441 0.2534)T ; (m B a4x) 4.1821,CR 0.0674 0.1 以上各层次的判断矩阵均通过了一致性检验。

(3)

从层次总排序表中可以看出，对于四个岗位的薪酬水平的分配排序顺序为研发、生产、销售、采购。

8. 请参照例题求解，本题不做答案。

9. 解：

这是一个运输问题，但由于库存量( 3200+4500=8700 单位 )不能完全满足3 个居民点的需求

588

（2500+1800+5000=9300 单位），所以是一个产销不平衡的运输问题，我们先不考虑六个目标的附加条件，先求出无条件产销不平衡的最佳运输方案。

42800

下面考虑公司设有的6 个有序目标，可利用优先目标规划模型来求解。

各级的目标规划数学模型

一级：

得最优解：

最优值：min d1-＝0

二级：

得最优解：

最优值：min d1-＝0，min d2-＝525，min d3-＝0，min d4-＝0 三级：

得最优解

最优值：min d1-＝0，min d2-＝525，min d3-＝0，min d4-＝0，min d5+＝45950 四级：

得最优解

最优值：min d1-＝0，min d2-＝525，min d3-＝0，min d4-＝0，min d5+＝45950 min d6-＝0

五

：

589

590

状态转移方程为；

29

3x k 10(s k x k )

最优值： min d 1-＝0，min d 2-＝525，min d 3- ＝0，min d 4-＝0， min d 5+

＝ 45950

min d 6-＝ 0 ， min d 7+

＝ 500，min d 8+

＝0

六级：

平衡居民点 1和居民点 2 之间的供货时满意水平。即两个居民点人平均得到产品数量要一样。 得最优解：

居民点 1

居民点 2

居民点 3

库存量(单位产品)

仓库 1 1350

1350

500 3200 仓库 2

4500

4500

需求量(单位产品)

2500 1800 5000

min 1-

0min 2-525min 3- 0min 4-0min 5+

45950

- + + + -

min d 6 ＝ 0 ，min d 7 ＝ 500，min d 8 ＝0， min d 9 ＝ 1.296， min d 9 ＝ 0 即：本问题按上表所示的运输方

案执行最合适，部分目标能完全实现，但也有少数目标不能实现。

第六章 动态规划

复习思考题答案

1～ 6 答 案 略 7.

1)√；2)√；3)√；4)×； 5)×； 6)×；7)√；8)×； 9)×； 10)√；11)

√； 12) √ ；

习题答案

1. 解：按照动态规划的方法， 将此过程划分为 4 个阶段，即阶段变量 k 1,2,3,4；取过程在各阶段所处的 位置

为状态变量 S k ，按逆序算法求解。

从而通过顺序(计算的反顺序)追踪可以得到两条最佳的输运线路： C — M 11 — M 22 — M 32 — P 2；C — M 11—

M 22—M 33

— P 3。最短的输送距离是 280 千米。

2. 解：将问题按工厂分为 三个阶段 k 1,2,3 ，设状态变量 S k (k 1,2,3)代表从第 k 个工厂到第 3个工厂的 投资额，决

策变量 x k 代表第k 个工厂的投资额。于是有状态转移率S k1 S k x k 、允许决策集合 D k

(S k

) {x k

|0 x k

S k

} 和递推关系式：

f k (S k ) m 0 x ax S {

g k (x k ) f k 1(S k x k )} f 4(s 4 ) 0

最优分配方案有两个：( 1)甲工厂投资 200 万元，乙工厂投资 200 万元，丙工厂投资 100 万元；( 2)甲 工厂没有投资，乙工厂投资 200 万元，丙工厂投资 300万元。按最优分配方案分配投资(资源)，年利润将增 长 210 万元。

1 月生产 5，

2 月生产 6，最小费用为 67

3. 各月的产量如下：

D(1)=433.33 ， D(2)=333.33 ， D(3)=233.33 。 最小费用为 13566.67 (元)

4. 解:最优策略为第 1 种产品生产 3 件，第二种产品生产 2 件， 5小时内最大利润为 27元

5. 状态变量 s k 在第 k 年用于正常生产负荷的设备数决策变量

s k 1 0.4u k 0.8s k

f 4(s 4) max 20u 4 15(s 4 u 4)

0 u 4 s

4

f k (s k ) m 0 u ax s 5u k 15s k f k1(s k1) k 3,2,1

0 u k s

k

0,s 2 400; u 3 0,s 3 320; u 4 112, s 4 144

6. 最优方案：地区 1 设 2个；地区 2 设 1个；地区 3设 1 个，总收益： 25+12+10＝47

7. 最佳更新计划为：第一年年末和第二年年末各更新一次，从第三年年初起一直到第四年年末，总赢利 63.5

万元。

8. 这是一个设备负荷问题：设阶段 k

表示季节(

k 1,2,3,4

)；状态变量

s k 表示第 k 阶段完好机器数；决策 变量 x

表示第 k 阶段分

配给第一种生产任务的机器数；

(k 3,2,1)

u 在第 k 年用于超负荷生产的设备数

解得：

u 1 0,s 1 500;u 2

2

3

1

2

2

591

第

k

阶段获利为

v k (s k , x k ) 10x k 7(s k x k )

指标函数为：

V 1,4 4

v k (s k ,x k )

K1

最优解为：前两个季度所有设备全用于生产第二种产品，后两个季节全部用于生产第一种产

品。 x 1

0,s 1

2280;x 2

0,s 2

90;x 3 s 3

81;x 4 s 4

54

9. ( 1)解：阶段：将问题的变量数作为阶段，即 k 1,2,3； 决策变量：决策变量 x k ；

状态变量：状态变量 S 代表第 k 阶段的约束右端项，即从 x 到x 占有的份额；

k k

3

状态转移律： S S

边界条件： S

1

允许决策集合 ：

复习思考题答案

1～ 8 答 案 略

不能放在一起的用连线连接；( 2)找出最大次的点，将其与不相邻的 放在一起(放在一起的各点都互不相邻)，将其从图中去掉，重复此步骤，可找到最佳答案。

2. 将不能放在同一天考试的科目用连接线连接。

A 安排在第一天上午， 与 A 不相邻的点只有 E ，E 安排在第一天下午，去掉 A,E 点及其连线； F 安排在最后

一天下午，与 F 不相邻的点只有 D ，D 安排在第三天上午； B 与 C 不相邻， B 安排在第二天下午， C 安排在第二 天上午。

3. (1)

①

x 1 2,x 2

3,x 3

3,x

4

2 ；② x 1

3,x 2

2,x 3

3,x 4

2 ③ x

1

3, x 2

3,x 3 2,x 4 2 ；④ x 1 2, x 2 2,x 3

3,x 4

3

⑤ x

1

2,x 2 3,x 3 2,x 4 3 ；⑥ x 1 3,x

2

2,x 3 2,x 4 3

最优值为 z min

26 min

最优解有六

组：

4) k

x k

f 4(S 4) 1 ； 0

x k S k

1

36

， 于是得到最优解

(9,18,9) ，最优值

z 26244

2) 最优解为：

x

1 3) 最优解为：

x

1

63 ,x 2

3

2, 4,s 1 12;x 2

3 2 6

6 ；最优解为： 3 6 3 63 x

3 4

,s 2 8;x 3 2,s 3 3 2 3 3

4

；最优解为 64

第七章 图与网络优化

9. 1 ) ×； 2 )

习题答案

√； 3) ×； 4) ×； 5) √ ； 6) √ ； 7) ×； 8) √ ； 9) ×；

1. (1)将 8 种药品用 8 个点表示，

9.

592

30

4,4 )

4. (a)总费用为 116; (b)总费用为 37 当前流为最大流， 最大流量为 5 ； 最小截为 {(vs,v2), (v1,v3)} 3,3 )

5,4)

1,1)

5.( a )最大流为 14； 13 (5) 9 (3)

的。

v s

5,2)

，截量为： 5

v

2

6(3)

v

4

5 (2)

V 1 v 1,v 2 ;V 2 v 3,v 4 ,v v

5,3v 6,v 7 则截集为 ;

1,0

v 3

3,0)

2,1

2,2)

9 (5)

5 (2)

4 (2)

v

7

4 (1)

5 (0)

(V 1 ,V 2 ) (v 1v 3),(v 2,v 4),v (6v 2,v 5

容量为1200

(1)

6. 最优路径是 .第一年购买到第三年更新，再用到第五年，最小费

用为

7. 经过一步一步计算

，可以得 D (6)

D (7)

0 5 2

7

124

7

1365

6

136

10

13657 5 0

7

2 54

8

213

2465 246

24657

2

7

312

6

36 4 5365

4 8

3657

D (6) D 7

7421 2

6

463

0 3

465 2 6

4657

7

5

5 3 0 1 3

5631

5462

563

564

6

631

4

632 4

2

1 0

4

657

10

75631 8

75642 8

7563 6

7564 3

4

756

A B C D E F G A

150 60 210 210 180 300 B 200 0 280 80 200 160 320 C 50 175 0 150 175 100 200 D 140 40 120 0 60 40 120 E 350

250

350 150 0 50 150 F 360

240

240

120 60

0 240

G 600 480 480

360 180

240

8. 即圈 WLCDBSW ，从北京出发，依次途经上海，武汉，拉萨，成都，大连最后回到北京是飞行路线

最短 60

10

b

50

s 70

80

50

90

目前的道路状况不能使所有垃圾都运到处理场得到处理。从图上不难发现，理论上应当拓宽割集所在的道路。但由于sa,sc和4t都是添加的虚拟道路，所以只有拓宽割集中的b3道路的路宽，或者增大4 号处理场处理垃圾的能力，才能解决问题。

复习思考题答案

1～7 答案略

1. (1)

(3) 图中TF i-j 为零的各工作构成了关键路线(粗线)，即关键工作为：

(2)各时间参数如图所

示

2

3

ES i-j LS i-j TF i-j

EF i-j L F i-j FF i-j

15150

30300

B

15

15

29

14

1

30 35 5

36 41 5

E

41410

71710

161

30

40400

41410

6

G

406525

467125

1

F

2.

440

10100

B

10100

18180

D

00068

25272

25272

F

时间参数：

ES i-j LS i-j TF i-j

第八章网络计划

8. 1 )√ ；2) ×；3) ×；4) √ ；5) ×；6) ×；7)×；8)×；9)√；

10 ) √ ；11 )

习题答案

√；12)√；13)√；14)×；15) ×；16)√；17)√；18) √；

A,B,D,G,H,I

593

(2)①T E(1) 0; T E ( 2) 4;T E (3) 11; T E ( 4) 14; T E(5) 14;T E(6) 26;T E (7)

31;T E (8) 35②T L(1) 0;T L (2) 4;T L(3) 14;T L (4) 14; T L(5) 14;T L(6)

26;T L(7) 31;T L (8) 35

③

T ES (1,2)

T ES (5,6)

0;T ES(2,3)

14;T ES(4,6)

4;T ES(2,4)

14;T ES (6,7)

4;T ES (3,6) 11;

26;T ES (7,8) 31

④T LS(1,2)

T LS(5,6)

0;T LS(2,3)

14;T LS (4,6)

7;T LS (2,4) 4

19;T LS(6,7)

;T LS (3,6) 18;

26;T LS (7,8) 31

⑤T EF (1,2)4;T EF (2,3)11;T EF(2,4)14;T EF (3,6) 19;⑥T LF (1,2)0;T LF (2,3)14;T LF(2,4)14; T LF (3,6) 26;

T EF (5,6)26;T EF (4,6)21;T EF (6,7)31;T EF (7,8) 35T LF (5,6)26;T

LF(4,6)21; T LF (6,7)

31;T LF (7,8) 35

⑦TF (1,2)0;TF(2,3)3;TF(2,4)0;TF ( 3,6) 7;⑧FF (1,2)0;FF (2,3)0;FF(2,4)0;FF (3,6) 7;

TF (5,6)0;TF (4,6)5;TF ( 6,7)0;TF (7,8) 0FF (5,6)0; FF (4,6)5;FF (6,7)0; FF ( 7,8) 0

（3）关健路线：①→②→④→⑤→⑥→⑦→⑧

4. 解（1）工序时间的期望值和方差如下表所示：

工序A B C D E F G H I J 期望值7.177.8312.171710.1713.3335.3325.6717.3333.67方差0.250.690.250.440.25 1.784 2.78 1.78 2.78（2）绘制项目的网络图如图所示，

工序最早开始时间最迟开始时间工序最早开始时间最迟开始时间（1，2）016.5（4，6）12.1726.5（1，4）018.67（5，9）17.3433.84（1，3）00（6，9）29.1743.5

3.(1)

594

595

（2，4） 7.17 26.5 （7，8） 35.5 35.5 （2，5） 7.17 23.67 （7，9） 35.5 51.84 （3，4）

12.17

26.5

（8，9）

69.17

69.17

（3，7） 12.17 12.17

4C F J 则有： p(T 72) (T

) (1.29) 0.90

（6） 已知概率 p 0 0.98,

可得，

p （T T 0） （Z ） 0.98,Z 2.058,

工序 A B C D E F G H 正常工序时间 10 5 3 4 5 6 5 5 赶工天数 2

1

1

1

赶工后的工序 时间

8

2

3 3

5

6 4 4 赶工成本

800

300

100

400

此时赶工成本和间接成本之和为： 800+300+400+500 21=12100

B

8 3

事项 i

1 2 3 4 5 6 7 T E (i)

0 4 8 9 8 12 15 T L (i)

5

9

12

8

12

15

工序

最早开始时间

最早结束时间

最迟结束时间

最迟开始时间

工序总时差

工序单时差

A 0 4 5 1 1 0

B 0 8 8 8 0 0

C 8 14 15 9 1 1

D 4 7 8 5 1 1

E 4 9 12 7 3 3 F

4 11 12

5 1 1 G

8

12

12

8

12.17 23.33 33.67

69.17; 2 0.25 1.78 2.76 4.79, 2.19

T

5) T 0 72,T

72 69.17 2.19

1.29

6. (1)

E 5

F

3

D G

H

3 7

H 2 15 15 12 0 0 确定关键路线B→G→ H

分析合理的能够赶进度的工序及天数。因为赶进度需要增加直接费用，而同时能节省的只有工程间接费用，的以，只要赶进度一天所增加的直接费用大于或等于工程一天的间接费用的工序就不考虑了。该工程只能赶一天的进度，比较工序B 和G 赶进度所需的费用，4 3 ,所以选择对工序G 赶进度一天，即日程其他工序不变，对工序G 赶进度一天，此方案成本最低，完工所需天数为8+4+3－1＝14 天，最低费用为153+14×5+3＝226（百元）

7. 根据已知资料和随机网络形式，上述问题的随机网络如下图所示

(1,26)

g

产品的成品率为0.937；产品完成的平均时间为36.82 小时。

8. （1）网络图如下图，其关键路线为A→C→D 共用时12天，全部费用为327元

（2）综知D工程2天，全部费用为322元

（3）再将B和D各缩短一天（全部费用为320.5元）

（4）再将A缩短2天，（总费用319.5 元）

9. （1）根据网络图，可知该项目的关键路线及最短工

程为80 天；

（2）若工序L 拙舌10天，对整个工程进度的影响：工序L 最早开始时间为第16天，最晚开始时间为第44

天，总时差为28天，因此L拖期10天对整个工程进度无影响；

（3）由于工序J 在关键路线上，若工序J 的工序时间由12 天缩短到8 天，则整个工程工期可以缩短4 天；

（4）工序I的最晚开工时间为第56 天，为保证整个工程进度在最短周期内完成，工序I必须在工程开工后

的第56 天开工；

（5）若要求工程75天完工，需要采取措施，设法缩短关键路线上的工序A、C、E、F、G、J、K、N 的

工序时间，其需综短5 天。

10. 编排时可以从完工事项由后向前进行，也可以从开工事项由前向后进行，还可以从最重要的工序开

始，按照约束条件的相互关系安排。本例网络图如下图所示。

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