七年级数学下册 5.3.2《简单的轴对称图形(二)》尺规作图数学史素材 (新版)北师大版

初中尺规作图数学史
尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等.这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中.
初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：
⑴ 经过两已知点可以画一条直线；
⑵ 已知圆心和半径可以作一圆；
⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；
以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.
历史上，最著名的尺规作图不能问题是：
⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；
⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；
⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.
这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1
r 时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.
若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错
误作法结集成书.
还有另外两个著名问题：
⑴ 正多边形作法
·只使用直尺和圆规，作正五边形.
·只使用直尺和圆规，作正六边形.
·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著
名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.
·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是
不足以把一个角分成三等份的.
·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用
尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的
非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难
题.
⑵ 四等分圆周
只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.
尺规作图的相关延伸：
用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图
1.只用直尺及生锈圆规作正五边形
2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA
==.
3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.
4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.
五种基本作图：
初中数学的五种基本尺规作图为：
1.做一线段等于已知线段
2.做一角等于已知角
3.做一角的角平分线
4.过一点做一已知线段的垂线
5.做一线段的中垂线
下面介绍几种常见的尺规作图方法：
⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这
两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的
位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一
条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的
方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.
【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇
A 、
B 的距离必须相等，到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等，发射塔P 应修建在什么位置？
m
【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个
条件，一是在线段AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点.
【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；
⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发
射塔的位置.
⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用
代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称
为代数作图法.
【例2】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.
【分析】 设半径为1.
.我
们的任务就是做出这个长度.
.设法构造斜边
1
.
【解析】 具体做法：
⑴ 随便画一个圆.设半径为1.
⑵ 先六等分圆周.
⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的
等分点”形成的是一个底为2
.可算出顶点距圆心距离
）
的长度等分圆周就可以啦！
⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.
【例3】 已知：直线a 、b 、c ，且a b c ∥∥.
求作：正ABC ∆，使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.
c b a
D'D
C B A
c
b a
【分析】 假设ABC ∆是正三角形，且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b
⊥于D ，将ABD ∆绕A 点逆时针旋转60︒后，置于'ACD ∆的位置，此时点'D 的位置
可以确定.从而点C 也可以确定.再作60BAC ∠=︒，B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.
【解析】 作法：
⑴ 在直线a 上取一点A ，过A 作AD b ⊥于点D ；
⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ；
⑶ 过'D 作''D C AD ⊥，交直线c 于C ；
⑷ 以A 为圆心，AC 为半径作弧，交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧).
⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆.
ABC ∆即为所求.
⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，
作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或
缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.
【例4】 已知：一锐角ABC ∆.
求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.
C B A
G'F'
E'
D'G
F E D C B A
【分析】 先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件，作出与正方形DEFG 位似的正方形
''''D E F G ，然后利用位似变换将正方形''''D E F G 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG .
【解析】 作法：
⑴ 在AB 边上任取一点'G ，过'G 作''G D BC ⊥于'D
⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ，且使'E 在'BD 的延长线上.
⑶ 作直线'BF 交AC 于F .
⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ；作''FE F E ∥交BC 于E .
⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D .
则四边形DEFG 即为所求.
⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个
三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不
变，从而完成所作图形.
【例5】 如图，过ABC ∆的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC ∆的面积.
【分析】 因为中线AM 平分ABC ∆的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ 平分ABC ∆的面
积，在AMC ∆中先割去AMP ∆，再补上ANP ∆.只要NM AP ∥，则A M P ∆和AMP ∆就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ∆的面积.
【解析】 作法：
⑴ 取BC 中点M ，连接,AM AP ;
⑵ 过M 作MN AP ∥交AB 于N ；
⑶ 过P 、N 作直线l .
直线l 即为所求. N
M P C
B A
l。