热力学与统计物理期末考试整理
热力学与统计物理期末试题(杭师大)
一、填空（每小题1分，共20分）1．热力学和统计物理学的任务相同，但研究的方法是不同的。
热力学是热运动的 理论，统计物理学是热运动的 理论。
2．热力学第二定律揭示了自然界中与热现象有关的实际过程都是 。
3．定域系统和满足经典极限条件的玻色（费米）系统都遵从 玻耳兹曼 分布。
4．能量均分定理：对于处在温度为T 的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项平均值等于 。
5．不满足12232>>）（hm kT N V π条件的气体称为 简并 气体，如果系统是由费米子构成，需要用 费米—狄拉克 分布处理。
6．光子是属于 玻色子 粒子，达到平衡后遵从 玻色—爱因斯坦 分布。
7．对粒子运动状态的描述可分为 经典 描述和 量子 描述， 经典 描述认为粒子运动遵从经典力学运动规律，粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的 广义坐标 和与之共轭的 广义动量 在该时刻的数值确定。
在不考虑外场的情况下，粒子的能量是其 广义坐标 和 广义动量 的函数。
量子 描述认为粒子的运动遵从量子力学的运动规律，从原则上说微观粒子是遵从 量子力学 运动规律的。
8．统计物理学从宏观物质系统是由大量微观粒子组成这一事实出发，认为物质的宏观特性是 大量微观粒子 行为的集体表现，宏观物理量是 微观物理量 的统计平均值。
9．电子是费米子粒子，强简并的费米子粒子构成的系统遵从费米分布，费米子系统的巨配分函数定义为l l l a e ωβε∏--+=Ξ]1[，其对数为∑--+la l l e )1ln(βεω10．在经典描述中，三维自由粒子的能量为)(21222z y x p p p m++=ε（其中x x m p v =，y y m p v =，z z m p v =），在量子描述中三维自由粒子的能量为)(21222z y x p p p m ++=ε（其中x x n L p π2=，y y n L p π2=，z z n Lp π2=，）或),2,1,,(2222222L h ±±=++=z y x z y x n n n Ln n n m πε。
(完整word版)热力学与统计物理期末复习题
热力学统计物理1、请给出熵、焓、自由能和吉布斯函数的定义和物理意义解：熵的定义：S B−S A=∫dQT ⟹B A dS=dQT沿可逆过程的热温比的积分，只取决于始、末状态，而与过程无关，与保守力作功类似。
因而可认为存在一个态函数，定义为熵。
焓的定义：H=U+pV焓的变化是系统在等压可逆过程中所吸收的热量的度量。
自由能的定义：F=U−TS自由能的减小是在等温过程中从系统所获得的最大功。
吉布斯函数的定义：G =F+pV= U – TS + pV在等温等压过程中，系统的吉布斯函数永不增加。
也就是说，在等温等压条件下，系统中发生的不可逆过程总是朝着吉布斯函数减少的方向进行的。
2、请给出热力学第零、第一、第二、第三定律的完整表述解：热力学第零定律：如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡(温度相同)，则它们彼此也必定处于热平衡。
热力学第一定律：自然界一切物体都具有能量，能量有各种不同形式，它能从一种形式转化为另一种形式，从一个物体传递给另一个物体，在转化和传递过程中能量的总和不变。
热力学第二定律：克氏表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化；开氏表述：不可能从单一热源吸热使之完全变成有用的功而不引起其他变化。
热力学第三定律：能氏定理：凝聚系的熵在等温过程中的改变随热力学温度趋于零，即limT→0(∆S)T=0绝对零度不能达到原理：不肯能通过有限的步骤使一个物体冷却到热力学温度的零度。
通常认为，能氏定理和绝对零度不能达到原理是热力学第三定律的两种表述。
3、请给出定压热容与定容热容的定义，并推导出理想气体的定压热容与定容热容关系式：C p−C V=nR解：定容热容： C V=(ðUðT )V表示在体积不变的条件下内能随温度的变化率；定压热容：C p=(ðUðT )p−p(ðVðT)P=(ðHðT)P表示在压强不变的情况下的熵增；对于理想气体，定容热容C V的偏导数可以写为导数，即C V=dUdT（1）定压热容C p的偏导数可以写为导数，即C P=dHdT（2）理想气体的熵为 H=U+pV=U+nRT（3）由（1）（2）（3）式可得理想气体的定压热容与定容热容关系式：C p−C V=nR4、分别给出体涨系数α，压强系数β和等温压缩系数κT的定义，并证明三者之间的关系：α=κTβp解：体涨系数：α=1V (ðVðT)P，α 给出在压强不变的条件下，温度升高1 K所引起的物体的体积的相对变化；压强系数：β=1p (ðp ðT )v ，β 给出在体积不变的条件下，温度升高1 K 所引起的物体的体积的相对变化；等温压缩系数：κT =−1V (ðV ðp )T ，κT 给出在温度不变的条件下，增加单位压强所引起的物体的体积的相对变化；由于p 、V 、T 三个变量之间存在函数关系f （p ，T ，V ）=0，其偏导数存在以下关系：(ðV ðp )T (ðp ðT )v (ðT ðV )P =−1 因此α， β， κT 满足α=κT βp5、分别给出内能，焓，自由能，吉布斯函数四个热力学基本方程及其对应的麦克斯韦关系式解：内能的热力学基本方程：dU =TdS −pdV对应的麦克斯韦关系式：(ðT ðV )S =−(ðp ðS )V 焓的热力学基本方程：dH =TdS +Vdp对应的麦克斯韦关系式：(ðT ðp )s =(ðV ðS )p 自由能的热力学基本方程：dF =−SdT +Vdp对应的麦克斯韦关系式：(ðS ðV )T =(ðp ðT )V 吉布斯函数的热力学基本方程：dG =−SdT −pdV对应的麦克斯韦关系式： (ðS ðp )T =−(ðV ðT )p 6、选择T ，V 为独立变量，证明：C V =T (ðS ðT )V ，(ðU ðV )T = T (ðp ðT )V −p 证明：选择T ，V 为独立变量，内能U 的全微分为dU =(ðU ðT )V dT +(ðU ðV )T dV （1） 又已知内能的热力学基本方程 dU =TdS −pdV （2）以T ，V 为自变量时，熵S 的全微分为dS =(ðS ðT )V dT +(ðS ðV )T dV （3） 将（3）式代入（2）式可得dU =T (ðS ðT )V dT +[T (ðS ðV )T −P]dV （4） 将（4）式与（1）式比较可得C V =(ðU ðT )V =T (ðS ðT )V （5） (ðU ðV )T = T (ðp ðT )V −p （6） 7、简述节流过程制冷，气体绝热膨胀制冷，磁致冷却法的原理和优缺点解：节流过程制冷：原理：让被压缩的气体通过一绝热管，管子的中间放置一多孔塞或颈缩管。
热力学与统计物理期末复习..
E
期末复习
12
9、简述能量均分定理；用能均分定理求自由电子的内能 和定容热容量；结果与实验结果有何差异？量子统计的 结果如何解释这些差异？ 10、简述能量均分定理；用能均分定理求辐射场内能U 和定容热容量CV的结果与实验有何差异？量子统计的结 果如何解释这些差异？
p p V ( ) 0 T T
若pα > pβ ，则有δ V α >0。 这时不可逆过程导致压强大的相将膨胀，压强 小的相将被压缩，即压强差异将导致物质流动。
第三章 期末复习 单元系的相变
7
若热平衡已满足，但相平衡未能满足，熵增 加原理要求
n (
T
SC 2 Nk ln T Nk ln V 2 Nk[1 ln( h
2 0
)]
3 V 3 5 2m k SQ Nk ln T Nk ln Nk[ ln( 2 )] 2 N 2 3 h
试讨论这两个熵的性质。(P212~213)
期末复习 3
3、简述熵判据；写出单元两相系的热学平衡条件、力学 平衡条件和相变平衡条件。如果在一个孤立系统内部引入 内能、体积和摩尔数的虚变动 δ Uα 、 δVα 和 δnα 所引起 的熵变为
期末复习
期末复习
1
一 期末考试题型
1 判断题（每小题2分，共20分）
2 填空题（每空2分，共20分）
3 简述题（每小题8分，共16分） 4 计算与证明题（5个小题，共44分）
大学热力学与统计物理期末复习笔记1
《热力学统计物理》期末复习一、简答题1、写出焓、自由能、吉布斯函数的定义式及微分表达式（只考虑体积变化功）答：焓的定义H=U+PV，焓的全微分dH=TdS+VdP；自由能的定义F=U-TS，自由能的全微分dF=-SdT-PdV；吉布斯函数的定义G=U-TS+PV，吉布斯函数的全微分dG=-SdT+VdP。
2、什么是近独立粒子和全同粒子？描写近独立子系统平衡态分布有哪几种？答：近独立子系统指的是粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用。
全同粒子组成的系统就是由具有完全相同的属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成的系统。
描写近独立子系统平衡态分布有费米-狄拉克分布、玻色-爱因斯坦分布、玻耳兹曼分布。
3、简述平衡态统计物理的基本假设。
答：平衡态统计物理的基本假设是等概率原理。
等概率原理认为，对于处于平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。
它是统计物理的基本假设，它的正确性由它的种种推论都与客观实际相符而得到肯定。
4、什么叫特性函数？请写出简单系统的特性函数。
答：马休在1869年证明，如果适当选择独立变量（称为自然变量），只要知道一个热力学函数，就可以通过求偏导数而求得均匀系统的全部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质完全确定。
这个热力学函数称为特性函数。
简单系统的特性函数有内能U=U （S 、V ），焓H=H （S 、P ），自由能F=F （T 、V ），吉布斯函数G=G （T 、P ）。
5、什么是μ空间？并简单介绍粒子运动状态的经典描述。
答：为了形象的描述粒子的运动状态，用r r p p q q ,,,,11 ；共2r 个变量为直角坐标，构成一个2r 维空间，称为μ空间。
粒子在某一时刻的力学运动状态()r r p p q q ,,,,11 ；可用μ空间的一个点表示。
6、试说明应用经典能量均分定理求得的理想气体的内能和热容量中哪些结论与实验不符（至少例举三项）。
热力学与统计物理期末考试整理
（2）在 体积V 内，在 p p dp的动量大小范围内，
在 d, d 动量方向范围内，光子可能的量子态
数为
2Vp 2 sindpdd
h3
（3）在 体积V 内，在 p p dp的动量大小范围内，
光子可能的量子态数为
8Vp 2dp
h3
cp
变的情形下，稳定平衡态的 S 最大.
（d）由自由能的定义 F U TS 和式（1）知在虚变动中必有
F ST đW.
在 F 和V 不变的情形下，有
如果系统达到了 S 为极大的状态，它的熵不可能再增加，系统就不可 能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在 H , p 不 变的情形下，稳定平衡态的 S 最大.
第三章
• 单元系的复相平衡条件
• 整个系统达到平衡时，两相的温度、压强 和化学势必须分别相等。这就是单元复相 系达到平衡所要满足的平衡条件。
Tα Tβ pα pβ μα μβ
(热平衡条件) （力学平衡条件） （相变平衡条件）
第四章 • 化学平衡条件
vi i 0 单相化学反应的化学平衡条件。
CV V
T
T
2S
V
T
2S
பைடு நூலகம்
T
T
V
T
2S
T
2
V
,
（2）
其中第二步交换了偏导数的求导次序，第三步应用了麦氏关系
（2.2.3）. 由理想气体的物态方程
pV nRT
知，在 V 不变时， p 是 T 的线性函数，即
2 p
T
2
V
0.
所以
CV V
T
0.
西南大学(陈鹏)热力学统计物理期末复习重点习题整理
第一章 热力学的基本规律1.8 满足n pV C =的过程称为多方过程，其中常数n 名为多方指数。
试证明：理想气体在多方过程中的热容量n C 为1n V n C C n γ-=- 解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量0lim .n T n nnQ U V C p T T T ∆→∆∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪∆∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1） 对于理想气体，内能U 只是温度T 的函数，,V nU C T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ 所以.n V nV C C p T ∂⎛⎫=+ ⎪∂⎝⎭ （2）将多方过程的过程方程式n pV C =与理想气体的物态方程联立，消去压强p 可得11n TV C -=（常量）。
（3）将上式微分，有12(1)0,n n V dT n V TdV --+-=所以.(1)nV V T n T ∂⎛⎫=- ⎪∂-⎝⎭ （4） 代入式（2），即得,(1)1n V V pV n C C C T n n γ-=-=-- （5） 其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。
1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。
解：假设在p V -图中两条绝热线交于C 点，如图所示。
设想一等温线与两条绝热线分别交于A 点和B 点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在循环过程ABCA 中，系统在等温过程AB 中从外界吸取热量Q ，而在循环过程中对外做功W ，其数值等于三条线所围面积（正值）。
循环过程完成后，系统回到原来的状态。
根据热力学第一定律，有W Q =。
这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了， 这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。
因此两条绝热线不可能相交。
第二章 均匀物质的热力学性质2.2 设一物质的物态方程具有以下形式：(),p f V T =试证明其内能与体积无关.解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式：(),p f V T = （1）故有().Vp f V T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ （2） 但根据式（2.2.7），有,T VU p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3） 所以()0.TU Tf V p V ∂⎛⎫=-= ⎪∂⎝⎭ （4）这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T 的函数.2.4 已知0T U V ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭，求证0.TU p ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ 解：对复合函数(,)(,(,))U T P U T V T p = （1）求偏导数，有.T T TU U V p V p ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2） 如果0TU V ∂⎛⎫=⎪∂⎝⎭，即有0.TU p ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ （3） 式（2）也可以用雅可比行列式证明：(,)(,)(,)(,)(,)(,)T U U T p p T U T V T V T p T ⎛⎫∂∂= ⎪∂∂⎝⎭∂∂=∂∂.T TU V V p ⎛⎫∂∂⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2）第六章 近独立粒子的最概然分布6.3 试证明，对于二维自由粒子，在面积L 2内，在ε到ε+d ε的能量范围内，量子态数为D(ε) d ε =επmd hL 222证明：对于二维自由粒子，有y y x x n Lh p n L h p ==, y y x x dn Lhdp dn L h dp ==∴,所以，在面积L 2内，在y y y x x x dp p p dp p p +→+→,内的量子态数为y x y x dp dp dn dn 22hL ＝换为极坐标，则动量大小在dp p p +→内的量子态数为ϕϕd dp hL pdpd h L dn 222222==对φ从0至2π积分，并利用mp 22=ε则可得在ε到ε+d ε的能量范围内，量子态数为D(ε) d ε =επmd hL 222，证毕第七章 玻耳兹曼统计7.8稀薄气体由某种原子组成. 原子两个能级能量之差为210.εεω-=当原子从高能级2ε跃迁到低能级1ε时将伴随着光的发射. 由于气体中原子的速度分布和多普勒（Doppler ）效应，光谱仪观察到的不是单一频率0ω的谱线，而是频率的一个分布，称为谱线的多普勒增宽. 试求温度为T 时谱线多普勒增宽的表达式.解：我们首先根据在原子跃迁发射光子过程中动量和能量的守恒关系导出多普勒效应.为明确起见，假设光谱仪接受沿z 轴传播的光，原子的誓师为m ，初态处在能级2ε，速度为2υ，发射能量为ω，动量为k （平行于z 轴）的光子后跃迁到能级1ε，速度变为1v 动量守恒和能量守恒要求12,m n +=υk υ （1）22112211.22m υm υεωε++=+ （2）将式（1）平方并除以2m ，得222211211,222k m υm υm ++⋅=υk 代入式（2），注意210.εεω-=即有2201,2k mωω=-⋅-υk或2102.2z υc mc ωωωω=-- （3）式（3）右方后两项的大小估计如下：考虑262-1115-110kg,310m s ,10s ,zm υω-⨯⋅即有619210,10.2zυcmcω--因此右方第三项完全可以忽略，且ω与0ω的差别很小. 将式（3）改写为11011.z zυc υc ωωω=-⎛⎫≈+ ⎪⎝⎭（4）式（4）给出多普勒频移. 多普勒频移通常表达为：当原子以速度v 面对观察者运动时，观察者看到的光频是01,υcωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭其中0ω是静止原子发出的光的频率.根据式（7.3.7），温度为T 时，气体中原子速度的z 分量z υ到z z υd υ+之间的概率与下式成正比：22ed .z m υkTz υ- （5）将式（4）代入上式可以得到光的频率分布()2202020ed .c m kT cωωωωω--（6）这是以0ω为中心的高斯（Gaussian ）型分布. 可以将式（6）表示为高斯型分布的标准形式：()()()202,21221e2F ωωδωπδ--=（7）其中1202.kT mc δω⎛⎫=⎪⎝⎭函数()F ω满足归一化条件()d 1.F ωω=⎰ （8）式（7）可以从实验加以验证. 这是实验上验证麦氏速度分布的方法之一.7.16 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为()22221,2x y z p p p ax bx mε=++++ 其中,a b 是常量，求粒子的平均能量.解: 应用能量均分定理求粒子的平均能量时，需要注意所难能量表达式ε中2ax 和bx 两面三刀项都是x 的函数，不能直接将能量均分定理用于2ax 项而得 出212ax kT =的结论. 要通过配方将ε表达为()222221.224x y z b b p p p a x m a a ε⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ （1） 在式（1）中，仅第四项是x 的函数，又是平方项. 由能量均分定理知()22222124x y z b b p p p a x m a a ε⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭22.4b kT a=- （2）7.21 定域系统含有N 个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级0ε和()110.εεε>求在温度为T 的热平衡状态下粒子在两能级的分布，以及系统的内能和熵. 讨论在低温和高温极限下的结果.解: 首先分析粒子在两能级的分布. 配分函数为()01101e e e1e .Z βεβεβεβεε-----=+⎡⎤=+⎣⎦处在两能级的最概然粒子数分别为()001001e e 1eN N n Z αβεβεβεε-----===+,1TN eθ-=+ （1）()()10111011e ee 1eN N n Z βεεαβεβεβεε-------===+ e,1eT TN θθ--=+ （2）其中10kεεθ-=是系统的特征温度. 式（1）和（2）表明，01,n n 随温度的变化取决于特征温度与温度的比值，如图所示. 在低温极限T θ<<下，01,0.n N n ≈≈粒子冻结在低能级. 在高温极限T θ>>下，012Nn n ≈≈，意味着在高温极限下两能级级能量的差异对粒子数分布已没有可能觉察的影响，粒子以相等的概率处在两个能级.系统的内能为()()101010ln 1eN U NZ N βεεεεεβ--∂=-=+∂+()100.1e TN N θεεε-=++ （3）在低温极限T θ<<下，有0.U N ε≈在高温极限T θ>>下，有()01.2NU εε≈+这是容易理解的.系统的热容量为22e .1eT TTC Nk θθθ--⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（4）热容量随温度的变化如图所示. 在低温极限T θ<<下，有2e ,TC Nk T θθ-⎛⎫≈ ⎪⎝⎭它趋于零. 在高温极限T θ>>下，有21,4C Nk T θ⎛⎫≈ ⎪⎝⎭也趋于零. 这结果也是易于理解的. 值得注意，C 随温度的变化有一个尖峰，其位置由0CT∂=∂ 确定（大致在~T θ附近）. 热容量这一尖峰称为热容量的肖脱基（Shottky ）反常（解释见后）.系统的熵为11ln lnZ S Nk Z ββ⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭()()()101010ln 1e .1e Nk βεεβεεβεε----⎧⎫⎡⎤=++⎨⎬⎣⎦+⎩⎭（5） S 随温度的变化如下图所示. 在低温极限下，0.S ≈高温极限下，ln 2.S Nk =二能级系统是经常遇到的物理模型，§7.8介绍的顺磁性固体和§7.9介绍的核自旋系统是熟知的例子. §7.8着重讨论了顺磁性固体的磁性，§7.9则将核自旋系统看作孤立系统而讨论其可能出现的负温状态. 处在外磁场B中的磁矩μ具有势能⋅-.μB 对于自旋为12的粒子，能量为B μ. 如果磁矩间的 相互作用能量远小于磁矩在外磁场中的能量，就形成二能级系统. 核磁子N μ很小，使核自旋系统通常满足这一要求 在顺磁性固体中，许多情形下磁性原子（离子）被非磁性离子包围而处于稀释状态，也满足这一要求. 讨论固体中的二级级系统时往往假设二能级系统与固体的其他热运动（如晶格振动）近似独立. 低温下晶格振动的热容量按3T 律随温度降低而减小（参阅§9.7）. 实验发现顺磁性固体的热容量在按3T 律减少的同时，出现一个当时出乎意料的尖峰而被称为肖脱基反常. 如前所述，尖峰是处在外磁场中的磁矩发生能级分裂形成二能级系统引志的. 除了磁性系统外，二级级结构也存在于其他一些物理系统中. 例如，能级的精细结构使NO 分子的基态存在特征温度为178K 的二能级结构，从而影响其热力学特性. 参阅Landau, Lifshitz. Statistical Physics. §50. 二能级系统更是激光和量子光学领域的一个基本物理模型，不过其中讨论的不是热力学平衡状态了.第八章 玻色统计和费米统计8.13银的导电电子数密度为28 3.5.910m -⨯，试求0K 时电子气体的费米能量、费米速率和简并压. 解: 由()()222303π2n mμ=，将31342839.110kg, 1.0510, 5.910m m Js n ---=⨯=⨯=⨯代入得()0 5.6eV μ=费米速率：611.410m s υ-==⨯⋅F ，0K 下电子气体的压强为()()10200 2.110Pa 5p n μ=≈⨯8.18试求在极端相对论条件下自由电子气体在0K 时的费米能量、内能和简并压.解:极端相对论条件下，粒子的能量动量关系为.cp ε=在体积V 内，在ε到εε+d 的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为()()238πd d VD ch εεεε=0K 下自由电子气体的分布为()()()1,00,0f μμεμμ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩费米能量()0μ由下式确定：()()()()023338π8π1d 03VV N ch ch μεεμ==⋅⎰，故()13308n ch μπ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 0K 下电子气体的内能为：()()()()()()()0034338π8π13d d 0044VV U D N ch ch μμεεεεεμμ===⋅=⎰⎰ 电子气体的压强为：()110.34U p n V μ== 第九章 系综理论9.9仿照三维固体的地拜理论，计算长度为L 的线形原子链在高温和低温下的内能和热容量。
热力学统计物理期末考试卷
热力学与统计物理1.下列关于状态函数的定义正确的是（ ）。
A •系统的吉布斯函数是： G U TS C .系统的焓是：H U pV2. 以T 、p 为独立变量，特征函数为（ A.内能； B.焓；C.自由能；3. 下列说法中正确的是（ ）。
A •不可能把热量从高温物体传给低温物体而不引起其他变化； B .功不可能全部转化为热而不引起其他变化； C .不可能制造一部机器，在循环过程中把一重物升高而同时使一热库冷却; D •可以从一热源吸收热量使它全部变成有用的功而不产生其他影响。
4. 要使一般气体满足经典极限条件，下面措施可行的是（ ）。
A.减小气体分子数密度；B.降低温度；C.选用分子质量小的气体分子；D.减小分子之间的距离。
5. 下列说法中正确的是（）。
A •由费米子组成的费米系统，粒子分布不受泡利不相容原理约束； B •由玻色子组成的玻色系统，粒子分布遵从泡利不相容原理；pV B .系统的自由能是：F D •系统的熵函数是：S）。
D.吉布斯函数。
U TS Q TC.系统宏观物理量是相应微观量的统计平均值；D •系统各个可能的微观运动状态出现的概率是不相等的。
6. 正则分布是具有确定的（A •内能、体积、温度；C内能、体积、粒子数; ）的系统的分布函数。
B •体积、粒子数、温度;D .以上都不对。
、填空题（共20分，每空2 分）1. 对于理想气体,在温度不变时，内能随体积的变化关系为2•在S V不变的情形下，稳定平衡态的U ________ 。
3. 在可逆准静态绝热过程中，孤立系统的熵变A S = __________ 。
4. 连续相变的特点是___________________________________________________________________5. 在等温等压条件下，单相化学反应iA 0达到化学平衡的条件为__________________i6. 在满足经典极限条件e 1时，玻色系统、费米系统以及玻耳兹曼系统的微观状态数满足关系______________________________ 。
热力学统计物理期末复习试题.doc
一. 填空题1.设一多元复相系冇个0相，每相有个乞组元，组元Z 间不起化学反应。
此系统平衡时必同时满足 条件.T a= T fi=•- - 、P 、p"=..・=p®、(i = i,2,・・・k)2. 热力学第三定律的两种表述分别叫做：能特斯定律和绝对零度不能达到定律。
3. 假定一系统仅由两个全同玻色粒子组成,粒子可能的量子态有4种。
则系统可能的微观态数为：10。
4. 均匀系的平衡条件是丁 5 月.P = U .平衡稳定性条件是_ 5 > ° R (黔)「°_ 3 £ _ 3 »5玻色分布表为八八"-丨；衣米分布表为心+1 ；玻耳兹曼分布表为6热力学系统的四个状态量S 、V 、P 、T 所满足的麦克斯韦关系为(fH = (fH (IH =(料 (fH =- (IH (誇),=-(鬥。
-------------- ? ---------------- ? ---------------- ? ----------------- °u = - N ° 5 Z .7. 玻耳兹曼系统粒子配分函数用乙表示，内能统计表达式为 ____________ 广义力统计表达式为丫 = . .v a in z , S = Nk(\n Z.- /3C in Z)一卩°『，爛的统计表达式为 ______________________ ,自由能的统计表达式为 F = -NkT In Z 1 ___ o8. _______________________________________________________ 单元开系的内能、自由能、熔和吉布斯函数所满足的全微分是： __________________________________ , —, _________ , _____ o 9. 均匀开系的克劳修斯方程纟fl 包含如下四个微分方程：dU=TdS-pdV+/Ldn 薊=亦+划?+妙 dG=-SdT+Vdp+/jdn dF=-SdT-pdV+pdn, _________________ 9 ______________________ 9 ______________________10. 等温等容条件下系统屮发牛的自发过程，总是朝着自市能减小方向进行,当自市能减小到极小值 时，系统达到平衡态；处在等温等压条件下的系统中发生的自发过程，总是朝着吉布斯函数减小的方 向进行，当吉布斯函数减小到极小值时,系统达到平衡态。
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p
0.
所以
Cp
p
T
0.
这意味着理想气体的定压热容量也只是温度 T 的函数. 在恒定温度
下将式（5）积分，得
C p
C
0 p
T
p 2V
p0
T
2
p
dp.
式（6）表明，只要测得系统在压强为 p0 时的定压热容量，任意压强 下的定压热容量都可根据物态方程计算出来.
3.1 证明下列平衡判据（假设 S>0）； （a）在S, V 不变的情形下，稳定平衡态的U 最小. （b）在S, p 不变的情形下，稳定平衡态的 H 最小. （c）在 H , p 不变的情形下，稳定平衡态的S 最小. （d）在 F, V 不变的情形下，稳定平衡态的T 最小. （e）在G, p 不变的情形下，稳定平衡态的T 最小. （f）在U , S 不变的情形下，稳定平衡态的V 最小. （g）在 F, T 不变的情形下，稳定平衡态的V 最小.
第八章：
•波色——爱因斯坦凝聚：在 T T c时，宏观
量级的粒子在能级 0凝聚，这一现象称为
波色——爱因斯坦凝聚。
•对于波色粒子，一个量子态所能容纳的粒子
数目不受限制，因此绝对零度下波色粒子将
全部出在
的最低0 能级。凝聚在
• 的0 粒子集合称为玻色凝聚体。凝聚体不但
能量、动量为零，由于凝聚体的微观状态完
全确定，熵也为零。凝聚态中的粒子动量为 零，对压强就没有贡献。
第三章
•单元系的复相平衡条件
•整个系统达到平衡时，两相的温度、压强和 化学势必须分别相等。这就是单元复相系达 到平衡所要满足的平衡条件。
Tα T β pα pβ μα μβ
(热平衡条件) （力学平衡条件） （相变平衡条件）
第四章 •化学平衡条件
这意味着，理想气体的定容热容量只是温度 T 的函数. 在恒定温度下 将式（2）积分，得
CV
CV0 T
V 2 p
V0
T
2
V
dV .
（3）
式（3）表明，只要测得系统在体积为V0 时的定容热容量，任意体积 下的定容热容量都可根据物态方程计算出来.
同理，式（2.2.8）给出
Cp
T
S T
p
只涉及无穷小的变化，T 也等于系统的温度. 下面根据式（1）就各
种外加约束条件导出相应的平衡判据.
（a）在 S, V 不变的情形下，有
S 0, đW 0.
根据式（1），在虚变动中必有
U 0.
（2）
如果系统达到了U 为极小的状态，它的内能不可能再减少，系统就不
可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在S, V
.
（4）
以T, p 为状态参量，将上式再求对 p 的偏导数，有
Cp
p
T
T
2S pT
T
2S
T
p
T
2S T 2
. p
（5）
其中第二步交换了求偏导数的次序，第三步应用了麦氏关系（2.2.4）.
由理想气体的物态方程
pV nRT
知，在 p 不变时V 是TV T 2
, p
并由此导出
CV
CV0 T
V 2 p
V0
T
2
V
dV
,
C p
C
0 p
T
p 2 p
p0
T
2
dp.
p
根据以上两式证明，理想气体的定容热容量和定压热容呈只是温度 T
的函数.
解：式（2.2.5）给出
CV
T
S T
V
.
（1）
以 T，V 为状态参量，将上式求对 V 的偏导数，有
热力学与统计物理
期末考试
简答题
第七章： •能量均分定理：对于处在温度为T的平衡状 态的经典系统，粒子能量表达式中每一个独 立平方项的平均值等于kT/2。 •主要的不足之处： •1.低温下氢的热容量所得结果与实验不符。 •2.解释不了原子内电子对气体的热容量为什 么没有贡献。 •3.解释不了双原子分子的振动为什么对系统 的热容量没有贡献。（见7.5节原因分析）
（c）根据焓的定义 H U pV 和式（1）知在虚变动中必有
H T S V p pV đW .
在 H 和 p 不变的的情形下，有
H 0, p 0, đW pV ,
在虚变动中必有
T S 0.
（4）
如果系统达到了 S 为极大的状态，它的熵不可能再增加，系统就不可
能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在 H , p 不
CV V
T
T
2S
V
T
2S
T
T
V
T
2S
T
2
V
,
（2）
其中第二步交换了偏导数的求导次序，第三步应用了麦氏关系
（2.2.3）. 由理想气体的物态方程
pV nRT
知，在 V 不变时， p 是 T 的线性函数，即
2 p
T
2
V
0.
所以
CV V
T
0.
这意味着，理想气体的定容热容量只是温度 T 的函数. 在恒定温度下
vii 0 单相化学反应的化学平衡条件。
i
如果由化学平衡条件求得的n满足 nb ，n 反应na就可以达 到平衡。
多元复相系的平衡条件
T1T2T p1p2p
i i 1 ,2 , 1 i1,2,k
平衡条件全部用强度量决定。
证明题
2.8 证明
CV V
T
T
2 p T 2
V
,
Cp
p
T
解：为了判定在给定的外加约束条件下系统的某状态是否为稳定
的平衡状态，设想系统围绕该状态发生各种可能的自发虚变动. 由于
不存在自发的可逆变动，根据热力学第二定律的数学表述（式
（1.16.4）），在虚变动中必有
U T S đW ,
（1）
式中U 和 S 是虚变动前后系统内能和熵的改变， đW 是虚变动中外 界所做的功，T 是虚变动中与系统交换热量的热源温度. 由于虚变动
不变的情形下，稳定平衡态的U 最小.
（b）在S, p 不变的情形下，有
S 0,
đW pdV ,
根据式（1），在虚变动中必有
U pV 0,
或
H 0.
（3）
如果系统达到了 H 为极小的状态，它的焓不可能再减少，系统就不
可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在S, p
不变的情形下，稳定平衡态的 H 最小.
•关于“双原子分子的振动为什么对系统的热 容量没有贡献”的叙述性解释
•在常温范围内双原子分子的振动能级间距
远大于kT.由于能级分立，振子必须取得能量
才有可能跃迁到激发态。在T v 的情况下，
振子取得的热运动能量而跃迁到激发态的
概率是极小的。因此几乎全部振子都冻结在 基态。当气体温度升高时，它们几乎不吸收 能量。这就是在常温下振动自由度不参与能 量均分的原因。