2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律
第六节机械能与机械能守恒定律
100323
动能
机械能
势能
引力势能 重力势能
弹性势能
★对 比 动量——冲量 动能——功
动量定理
动能定理
动量守恒定律 能量守恒定律
一、功与功率
1、常力的功 W Fs cos F s F
S
2、★变力的功
F3 F2 F1
F
问题1： 常力做功？还是变力做功？
问题2：
写出变力的表达式（设位移为 x）
问题3：
确定研究对象，分析规律与特征
●确定研究对象：钉子？木板？铁锤？
●钉子有何变化？遵循什么规律？
●铁锤有何变化？两次敲击钉子的速度相 同，说明什么意义？
怎样做简明扼要的 文字叙述和分析说明
以铁锤和钉子为研究对象，钉子因获 得初动能，克服木板阻力而做功。
★作用于质点系的外力和非保守内力作功 之和等于零时，质点系的机械能守恒。
例一：P82 3-2
问题1 问题2 问题3
问题4 问题5
选什么系统？ 内力有哪几个？是否为保守力？
外力有哪几个？是否需要考虑 保守力问题？ 动量是否守恒？为什么？ 机械能是否守恒？为什么？
例二：P82 3-4
问题1 问题2 问题3
怎样作简明扼要的文字叙述？
以 m、M 为系统，因 M 与水平面无摩擦力
作用，系统水平动量守恒；又因合外力与保守 内力为零，系统机械能守恒。
设子弹射入靶内最大深度时，两者的共同
速度为 V ，弹簧的最大压缩量为 l ，则有：
1 mv2 1 (m M )V 2 1 k(l)2
2
2
2
mv (m M )V
高中物理必修二第七章-机械能守恒定律知识点总结
机械能知识点总结一、功1概念：一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，这个力就对物体做了功。
功是能量转化的量度。
2条件：. 力和力的方向上位移的乘积3公式：W=F S cos θW ——某力功，单位为焦耳（J ）F ——某力（要为恒力），单位为牛顿（N ） S ——物体运动的位移，一般为对地位移，单位为米（m ）θ——力与位移的夹角4功是标量，但它有正功、负功。
某力对物体做负功，也可说成“物体克服某力做功”。
当)2,0[πθ∈时，即力与位移成锐角，功为正；动力做功； 当2πθ=时，即力与位移垂直功为零，力不做功； 当],2(ππθ∈时，即力与位移成钝角，功为负，阻力做功； 5功是一个过程所对应的量，因此功是过程量。
6功仅与F 、S 、θ有关，与物体所受的其它外力、速度、加速度无关。
7几个力对一个物体做功的代数和等于这几个力的合力对物体所做的功。
即W 总=W 1+W 2+…+Wn 或W 总= F 合Scos θ8 合外力的功的求法：方法1：先求出合外力，再利用W =Fl cos α求出合外力的功。
方法2：先求出各个分力的功，合外力的功等于物体所受各力功的代数和。
二、功率1概念：功跟完成功所用时间的比值，表示力(或物体)做功的快慢。
2公式：tW P =（平均功率） θυc o s F P =（平均功率或瞬时功率）3单位：瓦特W4分类：额定功率：指发动机正常工作时最大输出功率实际功率：指发动机实际输出的功率即发动机产生牵引力的功率，P 实≤P 额。
5分析汽车沿水平面行驶时各物理量的变化，采用的基本公式是P =Fv 和F-f = ma6 应用：（1）机车以恒定功率启动时，由υF P =（P 为机车输出功率，F 为机车牵引力，υ为机车前进速度）机车速度不断增加则牵引力不断减小，当牵引力f F =时，速度不再增大达到最大值m ax υ，则f P /max =υ。
（2）机车以恒定加速度启动时，在匀加速阶段汽车牵引力F 恒定为f ma +，速度不断增加汽车输出功率υF P =随之增加，当额定P P =时，F 开始减小但仍大于f 因此机车速度继续增大，直至f F =时，汽车便达到最大速度m ax υ，则f P /max =υ。
2-(3)势能、机械能守恒定律
15 – 8
多普勒效应
第十五章 机械波
例 1 一雪橇从高度为50m 的山顶上点A沿冰道由 静止下滑,山顶到山下的坡道长为500m . 雪橇滑至山下 点B后,又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在C 处 . 若摩擦因数为0.050 . 求此雪橇沿水平冰道滑行的 路程 . (点B附近可视为连续弯曲的滑道.忽略空气阻力 .)
0
15 – 8
多普勒效应
第十五章 机械波
我国1977年发射升空的东方红三号通信卫星
15 – 8
多普勒效应
第十五章 机械波
2） 人造行星 第二宇宙速度 第二宇宙速度 v 2 ，是抛体脱离地球引力所需 的最小发射速度 . 设 地球质量 m E , 抛体质量 m , 地球半径 R E . 取抛体和地球为一系统 系统机械能 E 守恒 . 当 r ,
A = F dx ( 52.8 x + 38.4 x 2)dx = 0.5
1
= 19.8 +11.2 = 31（J ）
15 – 8
重力的功：
弹力的功：
多普勒效应
Aab mgha mghb (1) Aab 1 2 kx
2 a
第十五章 机械波
1 2
kxb (2)
2
万有引力的功： Aab
多普勒效应
第十五章 机械波
A外 A非保守内力 E2 E1
说明
1）功能原理说明只有外力及非保守内力才能改变 系统的机械能. 例: 提高杠铃的机械能靠外力,而马达的停止转动是 靠非保守内力---磨擦力. 2）功能原理与动能定理并无本质差别 ,区别在于功能 原理引入了势能概念,而无需计算保守力的功. 动能 原理则应计算包括保守内力在内的所有力的功.
势能机械能守恒定律
－（Ep2－Ep1）
A外＋A非保守内力+【－（Ep2－Ep1）】=Ek2－Ek1
A外＋A非保守内力=(Ek2－Ek1 ）+[（Ep2－Ep1）] “同状态旳量”合并： A外＋A非保守内力=(Ek2+ Ep2）-（Ek1 + Ep1）
令 Ek E p E 称为系统旳机械能
A外 A非保守内力 E2 E1 系统旳功能原理
式中 E1, E2 分别为作功前后系统旳机械能
功能原理:系统旳机械能旳增量等于外力及非 保守内力作功之总和.
A外 A非保守内力 E2 E1
阐明: 1）功能原理阐明只有外力及非保守内力才干 改系统旳机械能.
2）功能原理与动能原理并无本质差别 ,区别 在于功能原理引入了势能概念,而无需计算保 守力旳功.动能原理则应计算涉及保守内力在 内旳全部力旳功.
试计算链条刚巧全部离开桌面时旳速率。
T'O T
a
x
G
解：法1）利用动能定理
以链条为研究对象
Ap
Af
1 mv2 0 2
求重力旳功：
dAp ygdy ( m / l)
l
Ap
gydy
a
求重力旳功：
dAp ygdy
l
Ap
gydy
a
1 g(l 2 a2 )
2
mg (l 2 a2 ) 2l
a
3）计算势能能够任选一种你以为以便旳途径。
o
a 例：重力势能，以地面为参照点，
mg 势能：选用从a---b点旳途径，则：
参 h
b EPa F dr mgdy mgh
a
0
例：弹性势能，以弹簧旳平衡位
y
置为势能零点
变力的功、动能定理、保守力的功、势能、机械能守恒定律题库
一、选择题号：00611001 分值：3分难度系数等级：有一劲度系数为k 的轻弹簧，原长为l 0，将它吊在天花板上．当它下端挂一托盘平衡时，其长度变为l 1．然后在托盘中放一重物，弹簧长度变为l 2，则由l 1伸长至l 2的过程中，弹性力所作的功为(A) ⎰-21d l l x kx (B) ⎰21d l l x kx (C) ⎰---0201d l l l l x kx (D)⎰--0201d l l l l x kx[ ]答案：（C ）题号：00611002 分值：3分难度系数等级：A 、B 两木块质量分别为m A 和m B ，且m B ＝2m A ，其速度分别-2v 和v ，则两木块运动动能之比E KA /E KB 为(A) 1:1 (B) 2:1 (C) 1:2 (D) -1:2[ ] 答案：（B ）题号：00611003 分值：3分难度系数等级：质点的动能定理：外力对质点所做的功，等于质点动能的增量，其中所描述的外力为(A) 质点所受的任意一个外力 (B) 质点所受的保守力(C) 质点所受的非保守力 (D) 质点所受的合外力[ ] 答案：（D ）题号：00611004 分值：3分 难度系数等级：考虑下列四个实例，你认为哪一个实例中物体和地球构成的系统的机械能不守恒? (A) 物体在拉力作用下沿光滑斜面匀速上升 (B) 物体作圆锥摆运动(C) 抛出的铁饼作斜抛运动（不计空气阻力） (D) 物体在光滑斜面上自由滑下[ ]答案：（A ）分值：3分 难度系数等级：当重物减速下降时，合外力对它做的功(A)为正值 (B)为负值 (C)为零 (D)先为正值，后为负值[ ]答案：（B ）题号：00612006 分值：3分 难度系数等级：地球绕太阳公转，从近日点向远日点运动的过程中，下面叙述中正确的是 （Ａ）太阳的引力做正功 （Ｂ）地球的动能在增加 （C ）系统的引力势能在增加 （Ｄ）系统的机械能在减少[ ]答案：（C ） 题号：00612007 分值：3分 难度系数等级：下面几种说法中正确的是:(A) 静摩擦力一定不做功 (B) 静摩擦力一定做负功 (C) 滑动摩擦力一定做负功 (D) 滑动摩擦力可做正功[ ]答案：（C ）题号：00612008 分值：3分 难度系数等级：质量为m 的一架航天飞机关闭发动机返回地球时，可认为它只在地球引力场中运动。
保守力-势能
2 l
2 l
2
得 v g l( l2 a 2 )( l a ) 21 2
小结 •功与功率
•势能
重力势能 Ep mgy
dAFdr
Mm
P＝ dA dt
•质点的动能定理
引力势能 Ep G r
弹性势能
Ep
1 2
kx 2
A12mv22 12mv12
•质点系的动能定理
n
n
n
Ai Eki Eki0
•万有引力、重力、弹性力
i1
i1
i1
作功的特点
•质点系的功能原理
A 外 力 ＋ A 非 保 守 内 力 ＝ E－ E0
•机械能守恒定律
n
n
n
n
E ki Ep＝ i E k0i Ep0i
i0
i0
i0
i0
1. 能量、动量、角动量是更为基本的物理量， 它们的守恒定律具有更广泛、更深刻的意义。 （既适用于宏观世界，又适用于微观领域； 既适用于实物，又适用于场。）
A F d r 0
典型的保守力： 重力、万有引力、弹性力 与保守力相反的是非保守力
典型的非保守力： 摩擦力
1、重力的功
m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.
A Ga bm g d r
b ( m ) k ( d g i x d j d yk )
zb (mg)dz a za
Z
mg azmg b z
B C
X
解：取绳索、光滑面、地球为系统，机械能守恒。
取AB面为重力势能零点，系统初始状态的机械能为
E1Ll mg(2lsin)
系统末状态的机械能为 E21 2m2vmg(L 2sin)
保守力的功功能原理能量守恒定律.ppt
A外力 A非保守内力 （Ep2 Ep1） Ek2 Ek1
A外力 A非保守内力 （Ek 2 Ek1）（Ep2 -Ep1）
“同状态的量”合并：
A外力＋A非保守内力＝（Ek 2 EP2）（Ek1 EP1）
令 Ek Ep E 称为系统的机械能
A外力 A非保守内力 E2 E1 L L
l
例 :如图所示质量为M的物块A在离平板h的高度处自
由下落，落在质量也是M的平板B上。已知轻质弹簧的
倔强系数为k，物体与平板作完全非弹性碰撞，求碰撞
后弹簧的最大压缩量。
A
解： A自由落体：
0
h
A到B时速度为u1;
x1
u1 2gh (1)
x2
系统: A与B碰撞问题
内力>>重力，竖直方向动量守恒。 A和B碰后速度为u2;
解 由于摩擦力做功的结果，最后使得物体与 小车具有相同的速度，这时物体相对于小车为 静止而不会跌下.在这一过程中，以物体和小 球为一系统，水平方向动量守恒，有
Mv (m M )V
而m相对于M的位移为l，如图2.28所示，则一对摩擦力的功为
mgl 1 (m M )V 2 1 Mv2
2
2
联立以上两式即可解得车顶的最小长度为
而保守内力的功等于系统势能增量的负值。即：
A保守内力 Ep2 Ep1
而非保守内力没有与之 相应的势能改变。
故有：
F1
F21
m2 F2
F12
F23
F32
m1 F13
F31 m3
F3
A外力 A非保内力 [(Ep2 Ep1)] Ek 2 Ek1
A外力 A非保守内力 A保守内力 Ek 2 Ek1
机械能守恒定律
1m
5N
4
第五章 机械能守恒
解: 建立坐标系(如图)
F x F cos
F x 1 x2
F
x
1
5N m
0
W
F x2 x1
xdx
F x2
x1
x dx
1 x2
1 x1 tg300 1.732m
x2
1 tg370
1.327m
W F ( 1 x12 1 x2 2 ) 1.69J
5
第五章 机械能守恒
求 L 和 l 。巳知木箱与卡车间的滑动摩擦系数为 1 ， 卡车轮与地面的滑动摩擦系数为 2
l
L
N
f
F mg Mg
N
f
mg
13
第五章 机械能守恒
解：解法一（用质点动能定理求解）
卡车和木箱受力如图.只有二者间摩擦力 f、f 和地面对车
的摩擦力 F 做功，三力之受力质点位移各为 L、L l、L .
根据质点动能定理得
dr
)
W1 W2
合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。
（3）功是标量，没有方向，但有正负.
（4）功率： 力在单位时间内所做的功
P
dW
F cos
dr
F cos v
Fv
dt
dt
单位:焦耳/秒(瓦特) 量纲：ML2T-3
3
第五章 机械能守恒
例题5.1 如图所示，一绳索跨过无摩擦的滑轮系在质 量为1.0kg的物体上，起初物体静止在无摩擦的水平 面上。若用5.0N的恒力作用在绳索的另一端，使物体 向右作加速运动.当系在物体上的绳索从与水平成 300 变为 370 时,力对物体作功为多少?己知滑轮与水平面 间的距离为1m.
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引入机械能 E Ek E p
A外 A非保内 Eb Ea
质点系的功能原理：质点系所受外力的功与非保守内力的功 等于系统机械能的增量。
§2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律 (一保守力 二势能 三功能原理)
2.7.4 机械能守恒定律
由质点系的功能原理 A外 A非保内 Eb Ea
当 A外 A非保内 0 时
A重力 (mghb mgha ) =-(末□－初□)
A弹性
( 1 2
k xb2
1 2
kxa2 )
=-(末□－初□)
A万有
(G
Mm) rb
(G
Mram)=-(末□－初□)
A→△能量→ mgh、1 kx2、 G Mm ——某种能量
2
r
2.概念 这种由物体间相对位置决定的能量——称为势能——Ep
A保守力 E p
(2)概念 保守力———做功与路径无关，只取决于始末位置 如：重力、弹性力、万有引力
非保守力——不具有这种性质的力 如：摩擦力
(3)说明 保守力的另一种表述：
沿任一闭合路径运动一周时，做功为零的力
数学表达
F
dr
0
§2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律（—力做功特点、保守力）
2.7.2 势能 1.保守力做功的启示
mvm (m M )v共 v共
(2)m、M、弹簧、地球系统
E(2) Ek E p重 E p弹
Ek E p重
1
2
(m M 0；E p弹
)v共 1
2
kl
2
l Mg k E(2)
(3)E=C → E(2)=E(3)
E(3)
(m
M
)gh
1 2
k (l
h)2
h
§2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律——习题
§2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律
例1 已知地球质量为M，半径为R。有一质量为m的火箭
从地面上升到2R的高度，求此过程中地球引力对火箭的功。
解：地球、火箭引力——保守力
A保 (E p末 E p初 )
选 Ep 0
有
E p引
G
Mm r
则 A (G Mm) (G Mm ) G 2Mm
（A）动量守恒，机械能守恒 . （B）动量不守恒，机械能守恒 . （C）动量不守恒，机械能不守恒 . （D）动量守恒，机械能不一定守恒 .
C
D
C
D
A
B
A
B
AC和BD之间无相对滑动，机械能守恒。有滑动，不守恒
例 小车以 vv0 沿水平面向右作匀速直线运动，车箱内A端
固定一弹簧，弹簧另一端连一质量为m的物体在光滑水平面 上运动，左右运动。
3.性质
★保守性——只有在保守力场中才有； ★系统性——属物体系所共有； ★相对性——势能差有绝对意义，而势能只有相对
意义。与势能零点选择有关
§2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律（— 做功特点 保守力二势能）
4.势能的值
①值的确定
由
A保
b a F保 dr (Epb Epa )
A保守力 E p
2.7.3 功能原理
由质点系动能定理 A外 A内 Ekb Eka
内力分为保守内力与非保守内力 ？
系 统
地球
A引→内、外？ →保？×
A外 A保内 A非保内 Ekb Eka
由保守力的功和势能增量的关系 A保内 (Epb Epa )
A外 A非保内 (Ekb E pb ) (Eka E pa )
路径无关。
§2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律（一做功特点 ①重力）
(2)弹性力做功
求：Aab 可证：A
(
1 2
k xb2
1 2
k xa2
)
a
b
表明：弹性力作功仅与质点的始末位置有关，与具体路径无关。
(3)万有引力做功
b
求：如图 Aab
M
rb
可证：A
(G
Mm) rb
(G
Mram)
表明：重力作功仅与物体的始末位置有关，
力可能不作功，而相对另一个
惯性系，该外力可能作功。
例4：如图所示，一轻弹簧两端分别为m1 ,m2两个物体，问：至少要 用多大的力F压下m1，松手后，弹簧才能把下面物体带离地面？
解： 系统：m1、m2、弹簧、地球
y
分析力
分析力：除F外全为保守力(之后E=C) y3
建坐标：原长时m1位为O点
o
m1
选： E p重O 0 E p弹O 0
§2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律—位置
运
动 —描述
质学 点
牛顿定律
F
ma
力 学
动
力 学
—
作用 规律
动量定理 角动量定理
t2
t1
F合外dt
p2
dL
p1
→守恒
M 合外 dt →守恒
刚
动能定理
A合 F dr Ek2 Ek1
体
——进而→机械能守恒
机械能→势能→保守力→做功与路径无关的力
问：(1)以车箱为参考系弹簧振子在运动过程中机械能是否守恒 (2)以地面为参考系……
解：系统——弹簧振子
——弹簧、m
A外 A非保内 0 ？
(1) A非保内 0
A外 A重力 A支持 AA点拉力 =0
守恒
(2) A非保内 0
这是因为作功与参考系有关，
AA点拉力 0
不守恒 在同一个物理过程中，相对一 个惯性系，作用在系统上的外
R
2R R
3R
初态
末态
§2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律
例2 如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上，物体 A 和 C, B 和 D 之间摩擦因数均不为零，首先用外力沿水平 方向相向推压 A 和 B， 使弹簧压缩，后拆除外力， 则 A 和 B 弹开过程中， 对 A、B、C、D 组成的系统
若选Epb=0
则a点势能值为
Epa
参考零 a
F保
dr
——确定
②常见势能
重力势能：若选 E p(h0) 0 弹性势能：若选 E p(无形变) 0
万有引力势能： 若选 E p() 0
Ep mgh
Ep
1 2
k x2
mM Ep G r
§2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律 (一保守力 二势能)
0时
A合力 Ek 2 Ek1
功能原理 A外 A非保内 E2 E1 机械能守恒 当A外 A非保内 0时
重要概念：动量、冲量、功、保守力、势能、动能、机械能 计算：各量的独立计算、应用定理定律计算、必要的文字说明
完
y1
m1
F
守恒：1 2
k y22
m1gy2
1 2
k y32
m1gy3 (1)
y2
m1
Ep重m2 不变；y 值
平衡方程：ky2 m1g F (2)
临界条件：ky3 m2 g (3)
m2 放置m1
m2 加力F
m2 弹起
可解，得
(1)分两个阶段
①m下落阶段 碰前vm 2gh ②mM碰阶段 动量守恒
P74: 2-22；2-24； 2-25 提示： vmax 时对应 m1、m2 同位置时
此时弹簧无形变
§2 质点动力学——小结
运动学 —描述
质
牛顿运动定律
点 动 动量定理
力 学
力 学 角动量定理
动能定理
刚 体
F
ma•
•
•
t2
Fdt
t1
dL
M
dt
p2
p1
守恒
守恒 F合外 M合外 0时
结果：是已知的 关注：物理思想
§2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律
2.7.1 几种力做功的特点 保守力
1. 几种力做功的特点 (1)重力做功
求：如图 Aab
ya ha
m
解：因只受y方向重力
hb
b
A F dr Fydy
z
hb ha
mgdy
(mghb
O
mgha )
x
表明：重力作功仅与物体的始末位置有关，而与所经历的
ra
而所经历的路径无关。
m a
小结：重力、弹性力、万有引力的共同特征:…
A重 (mghb mgha ) =-
=-(末□－初□)
§2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律（—力做功特点）
2.保守力与非保守力
(1)上面结果 重力、弹性力、万有引力做功均与路径无关， 只取决于始末位置
Eb Ea 恒
机械能守恒定律：只有保守内力作功的情况下，质点系的
机械能保持不变 .
守恒定律的意义：不究过程细节而能对系统的状态下结论， 这是各个守恒定律的特点和优点
解题步骤
1、选择研究系统与过程；
4、描述初、末状态；
2、分析外力、非保守力作功； 5、应用机械能定律列方程。
3、确定势能零点；
6、求解方程。