多目标灰色局势决策方法研究解析

第３１卷第４期２０１０年８月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮｏＡｈ华北水利水电学院学报ＣｈｉｎａＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＷａｔｅｒＣｏｎｓｅｒｖａｎｃｙａｎｄＨｙｄｒｏｅｌｅｃｔｒｉｃＰｏｗｅｒＶ０１．３ｌＮｏ．４Ａｕｇ．２０１０文章编号：１００２—５６３４（２０１０）０４—０１５０—０４多目标灰色局势决策方法研究周玲，罗党（华北水利水电学院，河南郑州４５００１１）摘要：在传统灰色局势决策的基础上，探讨了评价信息为区间灰数的情况，给出了多目标灰色局势决策问题确定目标权重的优化模型．首先考虑不同目标下各局势效果测度与正理想效果测度、负理想效果测度的偏差建立优化模型，获得各局势的理想目标权重；再从全局考虑建立二次规划模型，通过协调权向量获得灰色局势决策各目标的最佳综合权重向量．利用区间灰数可能度公式对每个事件的局势进行排序，获得最优局势，从而进一步完善了传统的灰色局势决策理论和分析方法．最后通过实例验证了该模型的有效性和可行性．关键词：灰色局势决策；区间灰数；权重；目标规划中图分类号：Ｎ９４１．５文献标志码：Ａ灰色局势决策¨。

２１是灰色系统理论的重要组成部分，是在多个时间、多种对策、多个目标下的满意决策，自提出以来得到了广泛的应用．实际决策问题中，由于客观事物的复杂性、不确定性及人们认知能力的条件限制，决策者往往不能给出局势效果测度的具体数值。

而是给出区间灰数口“１．传统的决策模型将决策目标进行等权处理，无法反映决策者的偏好和决策问题的实际情况．基于上述问题，文献［７］探讨了区间灰数的多目标灰色局势决策模型，确定了灰色局势的效果测度正、负理想向量，即以向量形式来描述综合考虑各对策和各目标分别达到最优和最劣的状态．笔者认为以矩阵的形式来描述上述状态较为合理，为此探讨了改进的多目标灰色局势决策方法．１１．１ｕ：（ｏ）＝［旦：，－－“ｋｕ］，其中ｕ：，－－ｕｋ“分别为局势ｓ。

在ｋ目标下效果样本值的上限和下限．为消除不同目标下效果样本值量纲上的差异性和增加可比性，可定义区间灰数的极差变化公式．ａ．对于希望效果样本值“越大越好”、“越多越好”的这类目标，采用上限效果测度，ｔ一坚≯一坚岛２寿，７。

２寿‘ｒ—ｒｒ—ｒｂ．对于希望效果样本值“越小越好”、“越少越好”的这类目标，采用下限效果测度三。

一亍‘一，’。

一，ｔ一垫≯一垫。

一亍‘一，’ｌ≤Ｉ《ｎＩ≤，《ｍ。

式中：ｆ＝ｒａｉｎ．ｒａｉｎ｛ｕ：｝，≯＝ｍａｘｍａｘ｛瓦：ｆ．１《Ｉ≤ｎＩ≤，≤ｍ以上２种效果测度ｒ：（圆）Ｅ［ｒ：，亍：］满足：①无量纲；②！：，亍：∈［０，１］；③效果越理想，ｒ：（ｏ）越大．局势集Ｓ在目标ｋ下的一致效果测度矩阵基于区间灰数的灰色局势决策模型基本知识及效果样本值的归一化处理设事件集Ａ＝｛口。

，口：，…，口。

｝，对策集Ｂ＝｛ｂ。

，ｒ：。

（＠）Ｒ‘（０）＝ｒ：：（ｏ）ｒ：：（ｏ）……Ｏｏｂ２，…，ｂ。

｝，局势集Ｓ＝｛５。

＝（口ｉ，ｂ』）ｌ口ｉＥＡ，ｂｉ∈ｒ：。

（ｏ）Ｂ｝；ｕ：（Ｑ）（ｉ＝１，２，…，ｎ；＿『＝１，２，…，ｍ）为局势ｓⅡ∈Ｓ在ｋ目标下的效果样本值，是一区间灰数，记为收稿日期：２０１０—０６—１７ｒ‘ｎ。

（ｏ）ｒ：：（ｏ）…圆资助项目：河南省软科学研究计划项目（０８２４００４４０１００）；河南省教育厅自然科学基础研究计划项目（２００９Ａ１１００１１）作者简介：周玲（１９７８一）。

女，河南正阳人，讲师，硕士，主要从事灰色系统理论与决策分析方面的研究．通讯作者：罗党（１９５９一），男，河南汝南人，教授，博士，主要从事灰色系统理论与决策分析方面的研究．万方数据Ｉｎ《ｉ＝ｌ＝第３１卷第４期周玲，等：多目标灰色局势决策方法研究１５１定义１…设埘。

（ｋ＝１，２，…，５）为目标ｋ的决策权重，则称ｒ＃（Ｑ）＝∑训ｔｒ：（＠）为局势ｓｕ的综Ｉ：ｌ合效果测度．综合效果测度矩阵可表示为ｒｌｌ（＠）ｒ１２（ｏ）…＠…ｏＲ（ｏ）＝，２Ｉ（＠）ｒ２２（ｏ）ｒ。

（ｏ）ｒ。

：（ｏ）…＠定义２若巴ａ芋｛～｝＝‰，称６』ｏ为事件口ｉ的最Ｉ‘Ｊ《ｍ。

优对策；若ｍａｘ｛～｝＝ｒ护称口ｉ０为对策ｂｆ相对应的ｌ‘Ｉ毛肝’””’最优事件；若ｍ—ａｘ．｛～｝＝’讥，称５诋为最优对策．Ｉ’””《●《ｍ。

”１．２区间灰数距离及可能度公式定义３设区问灰数口（ｏ）∈［口，面］，ｂ（９）∈［ｂ，ｂ］，贝０称ｄ（ａ（＠），ｂ（０））＝ｌⅡ一ｂＩ＋ｌ石一ｂ｝为区间灰数口（ｏ）与６（Ｑ）的距离．。

定义４对于区间灰数口（＠）∈［ｎ，石］，ｂ（ｏ）∈［ｂ，ｂ］，记ｚ。

＝石一口，Ｚ。

＝ｂ—ｂ，贝０称Ｐ（口（ｏ）≥ｂ（＠））＝—ｌ三—手＿＿产—竺，，。

、．，。

、、ｍｉｎ｛ｆ。

＋Ｚ６，ｍａｘ（瓦一ｂ，０）｝‘口１＿‘ｂ为口（ｏ）≥６（ｏ）的可能度．１．３多目标灰色局势权重的优化模型。

根据局势集ｓ个目标下一致效果测度矩阵，确定正负理想效果测度．在目标｜ｉ｝下，对于事件ｏｉ而言，定义”ｉｋ＋（ｏ）［秽：＋，否：＋］分别为事件口ｉ在目标ｋ下的正、负理想效果测度．’其中：ｔ，：＋＝．ｍａｘ—ｒ：；石：＋＝ｍａｘ—ｒ：；Ｉ一・Ｉ－ｋ一－ｋ兰移‘一＝ｍ“ｉｎ胁一ｒｖ．．；《』《胁。

ｌ‘，《ｍ。

ｒ圹局势（口。

，ｂｉ）在目标ｋ下效果测度ｒ：（ｏ）与其对应的正、负理想效果测度鄯：＋、”：。

偏差分别记为：ｄ：＋＝Ｉ！：一口：＋Ｉ＋Ｉ一‘一面：＋Ｉｒｑｄ盯＝Ｉ！ｉｉ一口ｉｌ＋Ｉ—Ｆ。

，ｄ：一＝Ｉ！：一‰ｋ’Ｊ＋ｌＦ：一－－吼ｋ’Ｉ，ｄ：＋越小或ｄ：一越大，在目标ｋ下局势（口。

，ｂ，）的一致效果测度越逼近正理想效果测度．对于事件ｎ；，各单个局势（口。

，ｂ，）成为最优局势的模型为ｍｉｎ∑埘：订（ｄⅡｋ＋一ｄ：’），ｓ．ｔ．∑加：订＝１，利用软件解此模型，得到单个局势（口，，ｂｉ）的理想最优目标权重向量＇．，博ｒ＝（｜ｔＪ：∞’，埘：们‘，…，钾：们’）．由于事件口ｉ各对策（ａｉ，ｂ。

），（ａｉ，ｂ２），…，（ａ。

，ｂ。

）的理想最优目标权重向量并不完全相同．因此要全局考虑关于事件口ｊ采用统～的权重埘：＂（后＝万方数据ｌ，２，…，ｓ）才能进行综合评判，为此寻找关于事件Ｃｌ。

的最佳协调权重，显然希望各局势（口ｉ，ｔ）的全局综合效果测度ｒ。

（ｏ）＝∑甜ｐｒ¨ｑｔｏ），＾＝ｌ局部综合效果测度ｒ；（＠）＝∑训∥ｒ：（Ｑ），Ｉ：１的离差和最小，建立二次规划模型ｒａｉｎ∑忆（ｏ）一ｒ：（圆）ｏ＝２＋』２∑（Ｉ∑Ⅲ％一∑钾∥艺ｌ１＾＝１＾＝ｌｌ乏彬蹦一荟彬∥ｒ４｝２）’ｓ．ｔ．∑埘：”＝１，为方便求解，将上述模型变形为幽；荟（ｚｔ，卜埘∥）２【（艺）２＋（弓）２】，…ｔ∑埘∥＝１，令（！：）２＋（－ｒ｛，ｋ）２＝ｔ：，通过构造拉格朗日函数，解此模型得Ａｗ！？。

＝（加：“，彬ｉ”，…，埘：”）７＝Ｊ－×：【曰，，，＋三拦层，。

，】，Ａ＝如ｇ一’～一。

∑川，呵Ｅｘ。

∑川“●。

∑川卜弓．，广曰，。

：（；；；彬：。

）‘ｚ：，荟ｍ叫ｉ。

）＋ｚ；，…，；；；彬：“）。

ｚ；）７．设权重向量＇．，％组成的矩阵为幻｝１）ｌｔ『：２’埘∥Ｗ＝印≯训ｉ２’埘≯●●●：：：加，幻：２’埘，则最佳综合权重向量’．，＝Ｗｔ，．式中：’‘，为最佳综合权重向量；ｐ为待定的ｓ×１列向量且满足∑ｔ，ｘ＝１．各局势ｓ＃的综合效果测度Ｉ＝Ｉ７“（圆）；∑¨：（Ｑ）“岛，‘］，Ｉ＝Ｉ则∑伽。

弓＝（ｒ－∥Ｉ－．－｛『，．２～，焉）・Ｉ＝１１５２华北水利水电学院学报２０１０年８月（埘ｌ，阳２，…，埘，）１＝露Ｗｖ，ｉ＝∑加。

艺＝ｉＷｖ，记菇＝（！；，匀２，…，！；），亍ｉ＝（亍：，－，２Ⅱ，…，瓦）．在选择协调权向量Ｆ时，应使所有局势的综合测度值都尽可能大，为此构造２个多目标模型：ｍａｘ（乙。

，乙：，…，Ｌ。

），ｓ．ｔ．∑ｔ，。

＝１，ｍａｘ（‘。

，ｒ—Ｉ：ｆｏ－‘，‘。

），ｓ．ｔ．∑ｔ，ｔ＝１．由于不同局势的综合效果测度值事先并不存在任何偏好。

因而上述决策模型可转化为等权的单目标决策模型：ｍａｘ￡（ｔ，）（￡（１，））７，ｓ．ｔ．∑ｔ，。

＝１；（１）ｍａｘＦ（ｔ，）（尹（ｔＪ））７，８．ｔ．∑ｔ，。

＝１．。

（２）！（ｐ）＝（ｒ…ｒ１２’…，ｒ．。

）＝（ｒＷｖ）’，亍（秒）＝（予。

Ｉ，亍１２，…，亍。

）＝（亍Ｈ～）。

￡＝（！…ｒ１２’…，￡。

）７；于＝（ｉ…－１２，…，亍。

）７．通过构造Ｌａｎｒａｎｇｅ函数求得上述两个模型的解，模型（１）所确定的协调权向量记为：吲蚺，…趴垫＝１＋毫∥・仇２ｄ１（ｄＩ）一ｔｔＩ．模型（２）所确定的协调权向量记为：Ⅳ＝ｃ石。

，否：，…，石，，，玩＝１＋ｋ主＝ｌ毫）～；玩＝ｄ。

（ｄＩ）“玩．证明过程略，其中ｄ。

为（ｒｗ）’（￡ｗ）中第ｋ行元素的和；ｄ。

为（于ｗ）７（于＇誓，）中第ｋ行元素的和．由于各个局势的综合效果测度值的上界和下界地位是相同的，故可得到协调权向量：ｔ，＝（”ｌ，ｔ，２…，ｔ，．），ｔ，Ｉ＝＿Ｉｒｔ（旦＾＋石＾）．通过协调权向量可以计算出各局势的最佳综合权向量＂＝（埘ｌ，ｔｌ，２，…，幻，）．１．４最优局势的确定灰色局势决策各目标权重确定以后，根据公式ｒｉ（Ｑ）＝Ｅ埘。

ｒ：（ｏ）计算出综合效果测度矩阵，各局势的综合效果测度值均为区间灰数，用区间灰数的排序问题来确定每个事件的最优局势．对于事件ａｉ，按照可能度公式可计算出ｒｉｆ（＠）≥ｈ（０）的可能度，将ｍ个对策进行两两比较，得万方数据到可能度矩阵ｐ“’＝（ｐ∥）。

，其中（ｐ∥）＝ｐ（ｒｉ（＠）≥ｒｉｌ（＠））．则对局势进行排序问题便转化为求解可能度矩阵的排序问题，由公式∞３∥＝赤（荟∥＋詈一，）得到可能度排序向量Ｖ“’＝（ｖｌｎ，口∥。

…，”，），再用０订对局势进行排序获得事件ａｉ（ｉ＝１，２，…ｎ）的最优局势．２应用实例设某企业拥有４个工厂（记为口，，ａ：，ａ，。

ａ。

），现欲对３种产品（记为６，，ｂ：，ｂ，）的生产进行决策．第１步：建立事件集、对策集和局势集．事件集Ａ＝｛口，，ａ：，ａ，，ａ．｝，所选择得３种产品为对策集Ｂ＝｛ｂ。

，ｂ：。

ｂ，１．构造局势集Ｓ＝｛ｓ口＝（口ｉ，ｂ，）Ｉｎｉ∈Ａ，ｂｉＥＢ｝（ｉ＝１，２，３，４√＝１，２，３）．第２步：确定决策目标ｋ（克＝ｌ，２，３），分别以产值、产销率、管理费用为决策目标．第３步：各目标下的效果样本矩阵分别为：￡，１（＠）＝，，［１０００，１２００］［４８０，５６０］００２５０Ｉ［９４０，９６０］．［４５０，５５０］５０２００Ｉ［６７０，７２０】［４００，４５０］６０３００Ｌ［４００，５００］［３７０，４３０］００３５０［Ｏ．９５，０．９８］［ｏ．．８６，０．９１］［０．８２，０．８４］［０．８７，０．９０］［０．８１。

０．８３］［０．８３，０．８６］［０．９２，０．９３］［０．・９４，０．９６］［０．９０，０．９２］［０．９０，０．９２］［０．９７，０．９９］［０．９３，０．９４］［８０，１００］４０５０１５１８５０６０１２１４扩（０）＝［５０，６０］［２０，３０】５０６０２０２４［７０，８０］２５３０１４１６第４步：利用极差变换公式求一致效果测度矩阵．产值、产销率均采用上限效果测度；对管理费用采用下限效果测度．经过对样本数据规范化处理后，得到一致效果测度矩阵．第５步：计算出各目标的权重。