数学科学前沿简介(第一讲)概览
数学基础研究的前沿和设计方法
数学基础研究的前沿和设计方法数学是一门哲学性质极强的学科，其内在逻辑和抽象性质对人类认识和思维方式有着深远的影响。
数学的基础研究是数学发展的源头，其前沿和设计方法对于推动数学发展和应用具有重要的意义。
本文将从数学基础研究前沿和设计方法两个方面进行探讨。
一、数学基础研究的前沿1. 群论和拓扑学：群论是数学的一大分支，通过研究群的结构和性质来推进数学基础理论的发展。
近年来，群论和拓扑学的研究逐渐相互交织，构建了更为深入的数学理论。
例如，群的同调代数和拓扑空间的同调代数之间存在密切的关系，这种关系使得拓扑学的发展成为了群论的重要组成部分。
2. 算术几何：算术几何是数学基础研究中的一个极其重要的领域，试图将代数几何的理论和算术的性质更为密切地结合起来。
其中，代数数论和椭圆曲线理论是该领域的两个主要分支。
正在发展中的數學领域“整数分解”，是实践中使用了代数数论和椭圆曲线理论的機制，可以有效推动密码学、網絡安全等重要学科的研究。
3. 微分几何和偏微分方程：微分几何和偏微分方程是数学基础研究中的两个重要分支。
微分几何的发展已经推动了许多其他领域的研究，比如数学物理和数学生物学等。
偏微分方程是自然科学和工程科学中的一个重要工具，通过建立数学模型来研究各种自然现象。
最近的发展使得该领域能够更好地处理复杂现象，例如涡旋和紊流的建模、气体的运动和燃烧现象等。
二、数学基础研究的设计方法1. 抽象理论：抽象理论是数学基础研究中重要的一个设计方法，通过一定程度的抽象化，能够帮助我们更好地解决一些基础问题。
例如，通过刻画群的一般性质，我们可以推导出许多不同的关键结果。
抽象理论的设计方法是对问题进行深入分析，找到本质特征，尽可能提高问题的推广性和解决效率。
2. 计算机辅助方法：在现代数学基础研究中，计算机辅助方法已经成为了一个非常重要的资源。
数学家们可以利用计算机进行实验，针对某些特殊的例子进行分析和理解。
例如，在代数几何和数论中，计算机辅助算法已经被广泛应用，能够大幅提高研究的精度和速度。
数学科学前沿简介(第一讲)概览
数学的分类纵向：初等数学和古代数学 17世纪以前数量数学 17-19世纪近代数学 19世纪现代数学 20世纪横向：基础数学（代数、几何、分析）应用数学计算数学概率论与数理统计运筹学与控制论国外：纯粹数学、应用数学、概率论第一讲数学科学前沿简介一、20世纪数学研究的简单回顾站在数学内部看，上个世纪的数学必须归结到1900年8月6日，在巴黎召开的第二届国际数学家大会代表会议上，38岁的德国数学家希尔伯特(Hilbert, 1862--1943)所发表的题为《数学问题》的著名讲演。
他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。
这23个问题通称希尔伯特问题。
这一演说成为世界数学史发展的里程碑，为20世纪的数学发展揭开了光辉的一页。
在这23个问题中，头6个问题与数学基础有关，其他17个问题涉及数论、不定积分、二次型理论、不变式理论、微分方程、变分学等领域。
到了1905年，爱因斯坦创立了狭义相对论（事实上，有两位数学家，庞加莱和洛伦兹也已经走到了相对论的门口），1907年，他发现狭义相对论应用于物理学的其他领域都很成功，唯独不能应用于万有引力问题。
为了解决这个矛盾，爱因斯坦转入了广义相对论的研究，并很快确立了“广义相对论”和“等效理论”，但数学上碰到的困难使他多年进展不大。
大约在1911年前后，爱因斯坦终于发现了引力场和空间的几何性质有关，是时空弯曲的结果。
因此爱因斯坦应用的数学工具是非欧几何。
1915年，爱因斯坦终于用黎曼几何的框架，以及张量分析的语言完成了广义相对论。
德国女数学家诺特（Emmy Noether 1882~1935）发表的论文《Idealtheorie in Ringbereiche（环中的理想论）》标志着抽象代数现代化开端。
她教会我们用最简单、最经济、最一般的概念和术语去进行思考：如同态、理想、算子环等等。
还有其它许多数学大成果。
20世纪近50名菲尔兹数学奖得主的工作都是数学内部的大成果。
数学前沿知识讲座ppt课件
Brain imaging and functional mapping
Acquisition and analysis of gene microarrays.
Security, Identity, and Identification（安检保卫与鉴别）
FBI fingerprint storage and processing (Wavelets) [retina image next?]
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法国--德国--美国: 世界数学中心的转移
19世纪末，世界数学中心在法国，庞加莱是首屈一 指的权威，是高斯和柯西之后无可争辩的数学大 师．庞加莱是一个数学的“万能者”，可以说是能对 数学的所有分支(纯粹数学和应用数学)都作出贡献 的最后一个人．（战争和狭窄的研究领域）．
从1900年到1933年，数学的中心是德国（哥廷根 数学学派）。代表人物：克莱因、希尔伯特。
数学与图像信息处理
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1
了解数学 研究数学
数学是什么？——维基百科
数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概 念的一门学科。
透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对
物体形状及运动的观察中产生。数学家们拓展这些概念，
为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立
起严谨推导出的定理。
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常用彩色模型
RGB模型 HIS模型 H: hue 色相 S: saturation 饱和度 I: intensity 强度，明度
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连续观点：灰度图像f(x,y)，彩色图像
F (x, y) [ f1(x, y), f2 (x, y), f3(x, y)]T
数学专业的学科发展与前沿
数学专业的学科发展与前沿数学作为一门古老而神秘的学科，自古以来一直在人类文明的发展中扮演着重要的角色。
随着科技的进步和社会的不断发展，数学专业也日新月异，涌现出了许多发展与前沿的领域。
本文将为大家介绍数学专业的学科发展与前沿，并探讨其对社会的重要意义。
一、数学专业的学科发展数学专业的学科发展源远流长。
自古至今，人们对于数学的研究从简单的计数和测量开始，逐渐发展起来。
在数学的不同领域中，代数、几何、概率论和数论等都是数学专业的重要分支。
1. 代数代数是数学中一门基础而重要的学科，研究的是数与结构之间的关系。
代数的发展可以追溯到古希腊时期，如欧几里德几何中的代数方法。
而在现代代数领域中，线性代数、群论和域论等都是重要的分支。
2. 几何几何是研究空间形状、大小和相对位置的学科。
在古希腊时期，几何学开始发展，如欧几里德几何。
而在现代几何学中，包括微分几何、代数几何和拓扑学等，都是数学专业的重要领域。
3. 概率论概率论是研究随机事件的学科，也是数学专业中重要的分支之一。
概率论的发展对于理解随机事件和风险管理至关重要。
在概率论中，包括概率分布、随机过程和统计推断等。
4. 数论数论是研究整数性质的学科，主要关注数的性质和数之间的关系。
数论的发展对于密码学和计算机科学等领域有着重要的影响。
在数论中，包括素数理论、同余方程和整数分解等。
二、数学专业的前沿领域数学专业的前沿领域是指当前正在快速发展和研究的领域。
这些领域既涉及到数学专业内部的新发现，也与其他学科有着密切的联系。
以下是数学专业的几个前沿领域。
1. 应用数学应用数学是将数学方法和技术应用到实际问题中的学科。
随着科技的发展和社会需求的提高，应用数学在现代社会中发挥着重要的作用。
在应用数学领域，包括数值计算、最优化和控制论等。
2. 数据科学数据科学是研究如何从大量的数据中提取有价值的信息的学科。
在数据科学中，包括数据分析、机器学习和人工智能等。
随着大数据时代的到来，数据科学对于科学研究和商业决策等领域都具有重要的意义。
数学领域的前沿研究与挑战
数学领域的前沿研究与挑战数学是一门古老而又不断发展的学科，它的应用范围涵盖了自然科学、工程技术、经济金融等诸多领域。
随着科学技术的快速进步和人类对于探索事物本质的渴望，数学领域也出现了一系列前沿研究与挑战。
本文将从几个重要的方向介绍数学领域的前沿研究，并探讨这些研究所面临的挑战。
一、高维几何与拓扑高维几何与拓扑是数学领域的一个重要研究方向，它主要研究高维空间中的几何性质和拓扑结构。
在低维情况下，几何和拓扑的理论已经相对成熟，但在高维情况下，许多问题依然困扰着数学家。
例如，庞加莱猜想（Poincaré Conjecture）在低维情况下已被证明，但对于高维空间来说，该猜想仍未解决。
此外，高维几何与拓扑还涉及到曲面的分类、流形的结构等问题，这些都是当前数学领域的研究热点。
二、图论与网络科学图论与网络科学是研究图和网络的结构、性质和算法的学科。
随着互联网的快速发展，网络科学在社会学、信息科学等领域的应用愈发广泛。
图论与网络科学也面临着一系列挑战。
其中一个重要的挑战是大规模网络的建模和分析，如何对包含数以亿计节点和边的网络进行高效的计算和算法设计是一个巨大的难题。
此外，网络中的信息传播、社区发现等问题也是当前图论与网络科学的研究方向。
三、计算数学与科学计算计算数学是研究数值计算方法和数值分析的学科，它与科学计算密切相关。
许多科学和工程问题无法通过解析方法求解，需要依靠数值计算的方法。
在计算数学领域，求解大规模线性方程组、优化问题以及求解偏微分方程等是许多研究的热点。
然而，随着问题规模的增大和计算能力的提高，人们也面临着高精度计算、数值稳定性分析以及高效算法设计等挑战。
四、随机性与不确定性随机性与不确定性是现实世界中普遍存在的现象。
在应对随机性和不确定性时，概率论和随机过程是数学家们的有力工具。
然而，随机模型的建立和分析仍然是一个复杂而困难的课题。
各种随机过程的性质、随机系统的建模以及风险度量等方面都需要深入研究。
高考前沿数学知识点归纳
高考前沿数学知识点归纳数学作为一门基础学科，不仅在日常生活中应用广泛，而且在高考中占据了重要地位。
每年高考数学试题都有新颖、前沿的内容，这要求考生熟练掌握数学的基本知识和思维方法，同时了解一些前沿的数学知识点。
本文将对高考前沿数学知识点进行归纳，并给出相应的思考和讨论。
一、函数的仿射变换在高中数学中，函数是一个非常重要的概念。
而在高考前沿数学中，函数的仿射变换是一个重要的知识点。
仿射变换是指保持直线平行性和比例的一类变换。
在几何中，仿射变换被广泛应用于对平面图形的变换和描述。
在数学中，通过仿射变换可以把一个函数的图像进行平移、旋转、伸缩等变换，从而得到新的函数图像。
掌握函数的仿射变换可以帮助我们更加深入地理解函数的性质和特点。
二、集合在数学中的应用集合论是数学的一个基础分支，也是高考数学中的重要知识点。
在高考前沿数学中，集合的应用更加广泛。
集合可以用来描述和刻画各种各样的数学问题，例如数列、函数和概率等。
在高考中，我们经常会遇到需要运用集合知识解题的情况。
因此，掌握集合的基本概念和运算法则，对于高考的数学题目解答至关重要。
三、概率与统计的深入应用概率与统计是高中数学中的一门重要课程，也是高考数学中常考的内容。
而在高考前沿数学中，概率与统计的深入应用是一个新颖而复杂的知识点。
在现实生活中，我们经常会遇到涉及概率和统计的问题，例如抽样调查、排列组合和随机事件等。
掌握概率与统计的深入应用可以帮助我们更好地分析和解决实际问题，提高数学问题的解答能力。
四、微积分的高阶应用微积分是高中数学中的一门重要课程，也是高考数学中重要的考点。
而在高考前沿数学中，微积分的高阶应用是一个较为复杂和深入的知识点。
微积分的高阶应用涉及到极限、导数和积分等概念的综合运用，可以帮助我们更加深入地理解函数的性质和特点。
掌握微积分的高阶应用，不仅可以提高解题的速度和准确度，还可以培养数学思维和分析问题的能力。
五、数论和离散数学的应用数论和离散数学是数学的两个重要分支，也是高考前沿数学的重要组成部分。
数学的发展历程与前沿领域
群论的应用
对称群与置 换群
研究集合的置换 对称性，由此产 生了群论中的对
称群概念。
群论在密码 学中的应用
群论的离散数学 特性被广泛应用 于密码学领域， 保障数据的安全
性。
群论9在1化%学
结构分析中 的应用
通过分析分子结 构的对称性，可 以更好地理解化 学反应的机理。
● 04
第四章 概率论与统计学的发 展
01 数据挖掘与特征工程
发掘数据中的价值信息
02 机器学习算法与模型
学习数据的模式与规律
03 深度学习与神经网络的发展
模拟人脑神经网络
总结
数学的前沿领域涵盖了计算数学、数学物理、拓 扑学、数据科学等多个领域，这些领域的研究不 断推动数学科学的发展，拓展了我们对数学的认 识。通过深入学习和应用这些前沿领域的知识， 可以不断拓展数学的边界，探索未知领域。
利用大数据进行分析与预测
03 人工智能
数学为AI算法提供理论支持
数学在未来的重要性
科技创新
数学是科学研究的基础， 推动技术进步
人才培养
社会发展
培养具有数学思维的人才， 提高综合素养
数学的应用促进经济增长 和社会进步
91%
全球挑战
数学为解决跨国问题提供 重要手段
数学未来的前沿领域
计算机视觉
深度学习与图像 处理的数学基础
● 03
第三章 代数学的演变与发展
代数学基础理论的建立
代数结构的定义是数学中的重要概念，群论、环 论、域论是代数学中的三大支柱，它们相互关联、 相互影响。代数学在密码学中的应用非常广泛， 如RSA加密算法就是建立在代数学的基础上的。
线性代数的拓展
01 矩阵的引入
数学学科的前沿研究与创新思路
数学学科的前沿研究与创新思路数学作为一门严谨而又富有创造力的学科，一直以来都在不断发展和创新。
数学的前沿研究领域涉及到许多复杂而又有趣的问题，这些问题的解决不仅对数学学科本身具有重要意义，也对其他学科的发展产生了深远的影响。
本文将探讨数学学科的前沿研究领域以及一些创新思路。
在数学的前沿研究领域中，一个重要的方向是代数几何。
代数几何研究的是代数方程与几何图形之间的关系。
在这个领域中，数学家们致力于研究代数方程的解以及它们所对应的几何图形的性质。
例如，费尔马大定理就是代数几何领域的一个重要问题，它探讨了整数解方程x^n + y^n = z^n在n大于2时是否存在非零整数解。
解决这个问题的思路之一是运用数论和代数几何的工具，通过研究椭圆曲线和模形式等数学对象的性质来推导出结论。
这种将不同数学领域的工具和思想结合起来的创新思路正是数学学科前沿研究的一个重要特点。
另一个数学学科的前沿研究领域是数论。
数论研究的是整数的性质和它们之间的关系。
在数论中，一个重要的问题是素数分布的规律性。
素数是只能被1和自身整除的整数，它们的分布一直以来都被认为是随机的。
然而，数学家们通过研究素数的性质和分布规律，提出了许多猜想和定理。
例如，黎曼猜想是一个关于素数分布的猜想，它认为素数的分布和复数域中的解析函数有密切的联系。
解决这个问题的思路之一是运用复分析的工具，研究黎曼函数的性质以及它与素数分布的关系。
这种将数论与复分析相结合的创新思路为解决素数分布问题提供了新的思路和方法。
除了代数几何和数论，数学的前沿研究领域还涉及到许多其他学科的交叉。
例如，数学物理是数学和物理学的交叉领域，研究的是物理现象的数学描述和解析。
在这个领域中，数学家们通过研究偏微分方程、复变函数等数学工具，为物理学家提供了许多重要的工具和方法。
另一个例子是计算机科学与数学的交叉研究。
计算机科学中的算法设计和复杂性理论等问题需要借助数学的工具和方法来解决。
在这个领域中，数学家们通过研究图论、离散数学等数学分支，为计算机科学的发展提供了重要的支持。
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数学的分类纵向：初等数学和古代数学 17世纪以前数量数学 17-19世纪近代数学 19世纪现代数学 20世纪横向：基础数学（代数、几何、分析）应用数学计算数学概率论与数理统计运筹学与控制论国外：纯粹数学、应用数学、概率论第一讲数学科学前沿简介一、20世纪数学研究的简单回顾站在数学内部看，上个世纪的数学必须归结到1900年8月6日，在巴黎召开的第二届国际数学家大会代表会议上，38岁的德国数学家希尔伯特(Hilbert, 1862--1943)所发表的题为《数学问题》的著名讲演。
他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。
这23个问题通称希尔伯特问题。
这一演说成为世界数学史发展的里程碑，为20世纪的数学发展揭开了光辉的一页。
在这23个问题中，头6个问题与数学基础有关，其他17个问题涉及数论、不定积分、二次型理论、不变式理论、微分方程、变分学等领域。
到了1905年，爱因斯坦创立了狭义相对论（事实上，有两位数学家，庞加莱和洛伦兹也已经走到了相对论的门口），1907年，他发现狭义相对论应用于物理学的其他领域都很成功，唯独不能应用于万有引力问题。
为了解决这个矛盾，爱因斯坦转入了广义相对论的研究，并很快确立了“广义相对论”和“等效理论”，但数学上碰到的困难使他多年进展不大。
大约在1911年前后，爱因斯坦终于发现了引力场和空间的几何性质有关，是时空弯曲的结果。
因此爱因斯坦应用的数学工具是非欧几何。
1915年，爱因斯坦终于用黎曼几何的框架，以及张量分析的语言完成了广义相对论。
德国女数学家诺特（Emmy Noether 1882~1935）发表的论文《Idealtheorie in Ringbereiche（环中的理想论）》标志着抽象代数现代化开端。
她教会我们用最简单、最经济、最一般的概念和术语去进行思考：如同态、理想、算子环等等。
还有其它许多数学大成果。
20世纪近50名菲尔兹数学奖得主的工作都是数学内部的大成果。
但从数学以外，或从推动社会发展这个角度来看，也许与计算机的算法研究有关的数学，更有影响。
这种研究发生在第二次世界大战前后，有三位数学家（图灵、哥德尔、冯.诺依曼），而不是工程师，由于对于计算机的诞生、设计和发展起了奠基和指导的作用，因此被列入20世纪“百年百星”的名单中。
另外两位获得诺贝尔奖的纯数学家（康托洛维奇、纳什）也是与算法研究（或军事数学）有关，后者被拍成电影，刚获得奥斯卡奖。
我国首届国家最高科技奖（不是数学奖）得主吴文俊的工作也包括了算法的研究。
有一次在中国十大科技进展中有一项数学家堵丁柱的工作，也是有关算法的。
值得注意的是，这些人都没有获得菲尔兹奖。
与算法研究（或军事数学）有关的，还有筹学、密码学以及大规模科学工程计算等等。
二十世纪中，以算法为主干的数学研究对于外部世界，科技和军事，有相当直接的影响。
本世纪（信息、材料、生物）是否还会如此？二、数学研究领域的重大难题应该说在20世纪，无论是经典的数学分支，还是新兴的数学分支，都取得了相当大的进展。
然而我们也看到，在数学研究的历程中，存在诸多遗憾，很多难题至今没有解决，或者没有得到完美的解决。
在数学研究当中在数学领域存在着哪些重大难题？至于难题，应该说解决需要很大的决心，我以为我们科研工作者能做好自己的本职工作，上个世纪没有解决的难题，这个世纪也未必可以解决。
应该说二十世纪是数学大发展的世纪。
从报道上看，数学的许多重大难题得到了解决，如费尔玛大定理的证明，有限单群分类工作的完成等，从而使数学的基本理论得到空前发展。
计算机的出现是20世纪数学发展的重大成就，同时极大推动了数学理论的深化和数学在社会和生产力第一线的直接应用。
回首20世纪数学的发展，数学家们深切感谢20世纪最伟大的数学大师大卫·希尔伯特。
正如我们在开始谈到的，希尔伯特在1900年8月8日于巴黎召开的第二届世界数学家大会上的著名演讲中提出了23个数学难题。
希尔伯特问题在过去百年中激发数学家的智慧，指引数学前进的方向，其对数学发展的影响和推动是巨大的，无法估量的。
效法希尔伯特，许多当代世界著名的数学家在过去几年中整理和提出新的数学难题，希望为新世纪数学的发展指明方向。
数学界也爱搞点新闻效应，2000年初美国克雷数学研究所的科学顾问委员会选定了七个“千年大奖问题”，克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励。
克雷数学所“千年大奖问题”的选定，其目的未必是为了形成新世纪数学发展的新方向，而是集中在对数学发展具有中心意义、数学家们梦寐以求而期待解决的重大难题。
2000年5月24日，千年数学会议在著名的法兰西学院举行。
会上，1998年费尔兹奖获得者伽沃斯（Gowers）以“数学的重要性”为题作了演讲，其后，塔特（ Tate）和阿啼亚 (Atiyah) 公布和介绍了这七个“千年大奖问题”。
克雷数学研究所还邀请有关研究领域的专家对每一个问题进行了较详细的阐述。
克雷数学研究所对“千年大奖问题” 的解决与获奖作了严格规定。
每一个“千年大奖问题”获得解决并不能立即得奖。
任何解决答案必须在具有世界声誉的数学杂志上发表两年后且得到数学界的认可，才有可能由克雷数学研究所的科学顾问委员会审查决定是否值得获得百万美元大奖。
这七个“千年大奖问题”是：NP 完全问题，郝治（Hodge）猜想，庞加莱（Poincare）猜想，黎曼（Rieman ）假设，杨－米尔斯 (Yang-Mills) 理论, 纳卫尔－斯托可（Navier-Stokes）方程，BSD（Birch and Swinnerton-Dyer）猜想。
“千年大奖问题”公布以来，在世界数学界产生了强烈反响。
这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动（第一个问题就是关于计算机算法的一个基本理论）。
认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。
不少国家，包括我国数学家，正在组织联合攻关。
黎曼(Riemann)假设:有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。
这样的数称为素数;它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。
在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式;然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。
著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。
这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。
证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
杨-米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口:量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。
大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。
基于杨-米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实:布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。
尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。
特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于"夸克"的不可见性的解释中应用的"质量缺口"假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。
在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。
纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性:起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。
数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶-斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。
虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。
挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶-斯托克斯方程中的奥秘。
贝赫(Birch)和斯维讷通-戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想:数学家总是被诸如x^2+y^2=z²那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。
欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。
事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。
当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通-戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。
特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。
三、数学研究领域的重大难题数学领域其他的难题可以说层出不穷，简单的至少有以下几个：第一个是哥德巴赫猜想哥德巴赫（Goldbach）是德国一位数学家，生于1690年。
1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。
如6＝3＋3，12＝5＋7等等。
公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想：(a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。
(b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。
这就是著名的哥德巴赫猜想。
欧拉在6月30图1 大数学家欧拉日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。
叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。
从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。
当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3+ 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 +7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 +13, . . . . 等等。
有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。
但严格的数学证明尚待数学家的努力。
从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。
200年过去了，没有人证明它。
哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。
到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。
1920年，挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比36大的偶数都可以表示为（9+9）。
这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9+9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫猜想”。