浅谈线性变换的对角化问题
线性变换与对称矩阵的对角化
线性变换与对称矩阵的对角化线性代数是数学中十分重要的一个分支。
其中线性变换和矩阵的对角化是其最为基础的内容。
线性变换和矩阵的对角化的应用非常广泛，尤其在物理、工程和计算机科学等领域中被广泛使用。
在此，我们将简单介绍线性变换和矩阵的概念，并重点探讨对称矩阵的对角化。
1. 线性变换线性变换是一种将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换，满足两个向量空间之间的线性性质：对于任意向量u和v，以及任意实数a和b，满足以下条件：(1) T(u+v)=T(u)+T(v)(2) T(au)=aT(u)其中，T(u)表示对向量u进行线性变换的结果。
对于一个线性变换T，我们可以用一个矩阵来表示它。
具体地，对于一个n维向量空间中的线性变换T，我们可以用一个n×n矩阵A来表示它。
特别地，如果向量空间是二维的，则可以用如下的矩阵表示：$A=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}$此时，我们可以将一个二维向量$(x,y)$看成是一个列向量$\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$，于是线性变换T将一个向量$\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$映射到了另一个向量$\begin{bmatrix}u \\ v\end{bmatrix}$，并且有：$\begin{bmatrix}u \\ v\end{bmatrix}=T(\begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}a & b\\ c &d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$2. 对称矩阵和对角矩阵对于一个矩阵A，如果它满足$A=A^T$，那么我们称其为对称矩阵。
其中，A^T表示矩阵A的转置。
例如，对于一个二阶矩阵$A=\begin{bmatrix}1 & 2\\ 2 & 3\end{bmatrix}$，它是一个对称矩阵，因为$A=A^T$。
§7.52020线性变换的对角化
把（7.5.2）减去（7.5.3）得：
k1(λ1 − λm )ξ1 + k2 (λ2 − λm )ξ2 + " + km−1(λm−1 − λm )ξm−1 = 0 由假设知，ξ1,ξ2 ,",ξm−1 线性无关，故得
⎞ ⎟ ⎟
=
⎛ ⎜ ⎜
0 0
⎞ ⎟ ⎟
,
⎝⎜ −3 −6 −3⎠⎟ ⎝⎜ x3 ⎠⎟ ⎝⎜ 0⎠⎟
其基础解系为
⎛1⎞
η3
=
⎜ ⎜
−2
⎟ ⎟
⎜⎝ 3 ⎟⎠
⎛ −2 1 1 ⎞
⎛2 0 0 ⎞
故A可对角化，令
T
=
⎜ ⎜⎜⎝
1 0
0 1
−2 3
⎟ ⎟⎟⎠
,
则
T ′AT
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
2 0
0 −4
⎟ ⎟⎟⎠
ki (λi − λm ) = 0, i = 1, 2,", m − 1 。 又由于 λi ≠ λm , i = 1, 2,", m − 1, 故得 ki = 0, i = 1, 2,", m − 1 代入（7.5.1）得 kmξm = 0, 又 ξm ≠ 0, 故 km = 0 。
因此 ξ1,ξ2 ,",ξm 线性无关。
结论（1） 若 dimV = t1 + t2 + " + ts , 则 σ 可对角化； （2）若 t1 + t2 +" + ts < dimV , 则 σ 不可对角化。
5 线性变换的对角矩阵
当线性变换σ在一组基下的矩阵A是对角形时:
2
11
σ的特征多项式就是 | E - A | = ( - 1) ( - 2) … ( - n) .
因此,如果 在某个基下的矩阵是对角矩阵, 则 对角阵主对角线上元素正是 的特征多项式全部的 根(重根按重数计算).因此主对角线上的元素除排列 次序外是确定的. 可否对角化与 的特征子空间V的维数有关,
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7
推论 1 如果在 n 维线性空间 V 中, 线性变换σ 的特征多项式在数域 P 中有 n 个不同的根, 即σ 有 n 个不同的特征值, 那么σ在某组基下的矩阵是对角形 的. 因为在复数域中任一个 n 次多项式都有n个根, 所以上面的论断可以改写成 推论 2 在复数域上的线性空间中, 如果线性变 换σ的特征多项式没有重根, 那么σ在某组基下的矩 阵是对角形的.
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8
在一个线性变换没有n个不同的特征值的情形 如何判别这个线性变换的矩阵能不能成为对角形?
为此,把定理 8 推广为
定理 9 设1 , 2 , 特征值, i 1 , i 2 , 向量, i 1, 2, , k1 ,
, k 是线性变换 的不同的 , 1r1 , 21 , , 2 r2 ,
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(1)
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5
成立. 等式两端乘以 k+1 , 得 a1k+11+a2k+12+…+akk+1k+ ak+1k+1k+1 = 0 第(1)式两端同时施行变换σ, 得 a111 + a222 +…+ akkk + ak+1k+1k+1 = 0 第(3)式减去第(2)式得 a1(1 - k+1)1 + … + ak (k - k+1) k = 0 . 根据归纳法假设, 1 , 2 , … , k 线性无关, 于是 ai (i - k+1) = 0， i =1, 2, … , k .
关于线性变换的可对角化问题—数学本科毕业论文设计
本科毕业论文（设计）题目：关于线性变换的可对角化问题学生：学号: 学院：专业: 入学时间：年月日指导教师：职称: 完成日期：年月日诚信承诺我谨在此承诺：本人所写的毕业论文《关于线性变换的可对角化问题》均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。
承诺人（签名）：年月日关于线性变换的可对角化问题摘要：线性变换可对角化问题是高等代数的重要内容.我们可以通过探讨矩阵的可对角化问题来研究线性变换的可对角化问题.本文先给出可对角化的概念;再探讨线性变换可对角化的判定以及其在高等代数中应用，并简略介绍几种特殊的可对角化问题.关键词：线性变换可对角化；特征值；特征向量；最小多项式；矩阵可对角化；实对称矩阵Diagonolization of linear transformationAbstract: The diagonolization of linear transformation, which can be studied by the diagonalization of matrix, is important in higher algebra. In this paper, we first introduce the conception of diagonolization, then discuss the decision of diagonolization of linear transformation and its applications in the advanced algebra, moreover, we introduce briefly several kinds of special diagonolization problems.Key words: Diagonalization of linear transformation; Eigenvalue; Eigenvector; Minimal polynomial ; Matrix diagonalization; Real symmetric matrices目录1 引言........................................................ . (1)2 可对角化的概念 (1)3 判定方法 (1)4 两个矩阵同时合同对角化 (4)5 几类特别的可对角化矩阵 (6)6 应用........................................................ . (6)6.1 矩阵相似的判断 (6)6.2 方阵高次幂 (7)6.3 化实对称矩阵为对角形矩阵 (7)6.4 求特征值 (8)6.5 经典例题 (8)7 小结........................................................ .. (9)参考文献........................................................ ..101 引言我们要想研究可对角化问题,可以从它在某组基下的矩阵下手.那我们该如何研究这个问题?它的概念是什么?对角化有哪些判断方法?它们应该如何应用?下面将综合介绍一下以上问题.2 可对角化的概念定义[8] 设δ是n 维线性空间V 的一个线性变换, A 为δ在某一组基下的矩阵且A 与矩阵B 相似，其中矩阵B 是对角形矩阵，则称A 可对角化,也称线性变换δ可对角化.我们把B 叫做A 的相似对角形矩阵.3 判定方法3.1 定理1[8] 设n 维线性空间内有一个线性变换，且A 为它在某一组基下的矩阵，要是A 为对角形矩阵，那么δ可对角化.例1设在三维线性空间内有一个线性变换δ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4000300031A 是δ在基321,,ααα下的矩阵，由于1A 为对角形矩阵，可知δ可对角化.3.2 定理2[1] 设δ是n 维线性空间内的一个线性变换，且δ有n 个线性无关的特征向量，则δ可对角化.证明 “必要性” 假设δ可对角化，令=),,,(21n αααδ ),,,(21n ααα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m λλλ 21. 即i i i αλαδ=)( ，n i ,2,1=；特征值为n λλλ 21,，则 n ααα,,,21 是δ的特征向量,由已学知识可知n ααα,,,21 是不相关的.“充分性” 设有n 个不相关的向量n ααα,,,21 ，并且它们都是δ的特征向量，设i i i αλαδ=)( ，其中n i ,2,1=； 将n ααα,,,21 作为线性空间中的一组基，则满足：)(,),(),((21n αδαδαδ )),,,(2211n n αλαλαλ ==),,,(21n ααα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m λλλ 21.即δ在基n ααα,,,21 下的矩阵为对角形矩阵，从而δ可对角化.例2[2] ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163222123A 是δ在基321,,ααα下的矩阵，试利用定理2判断δ是否可对角化.解 由于)4()2(1632221232+-=+---+--=-λλλλλλA E ，A 的特征值为：4,2321-===λλλ.对于221==λλ，由()02=-X A E 知基础解系是：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012和⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101. 由已学知识可知它们是线性无关的，故它们对应的特征向量为：2112ααε+-=, 312ααε+=.对于43-=λ，由()04=-X A E 知基础解系是：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-13231.由已学知识可知它是线性无关的，故它对应的特征向量为：32133231αααε+-=. 由以上可知δ包含三个特征向量1ε，2ε，3ε，并且它们是线性无关的.其个数刚好等于空间维数，由定理1知δ可对角化.3.2推论1[2] 设δ是n 维线性空间V 的一个线性变换，若在数域P 中δ的特征多项式包含n 个互不相等的根，那么δ可对角化.例3 设二维线性空间内有一个线性变换δ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3102A 是它在基21,αα下的矩阵，试利用推论1判断δ是否可对角化.解 由3102---=-λλλA E )3)(2(--=λλ知A 的特征值为3,221==λλ.因为它们是不相等的，所以特征值的个数与空间维数相等.由推论1知δ可对角化.3.3 推论2[5] 设n 维线性空间V 内有一个线性变换δ，其中δ的特征值是n λλλ ,,21，并且它们是不相同的.用iir i i ααα,,,21 来表示i λ对应的i r 个特征向量，;,,2,1k i =那么：[]1 n r r r i =+++ 21，则δ可对角化.[]2 n r r r i <+++ 21，则δ不可对角化.例4 已知 ,4001300132⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4000301033A ，试利用推论2判断它们是否可对角化.解 通过计算02=-A E λ和03=-A E λ知32,A A 的特征值是相同的，它们全部为31=λ（二重），42=λ.首先讨论2A ，对于31=λ（二重），由()032=-X A E 知它的基础解系是：()T 0,0,11=α.因为31=λ是2A 的特征值而且是二重根，但只对应一个特征向量，故2A 只包含2个特征向量.它的个数比空间维数要少，由推论2知2A 不可对角化.最后讨论3A ，对于31=λ（二重），由()033=-X A E 知它的基础解系是：()()T T 01000121，，和，，==εε . 对于42=λ，由()043=-X A E 知它的基础解系是：()T 1013，，=ε；故3A 有3个特征向量而且它们是线性无关的，特征向量的个数与空间维数相等，由推论2知3A 可对角化.3.4 定理3[7] 在数域P 上，设k λλλλ，，，， 3,21是矩阵A 的所有互不相同的特征值.如果满足()()()()0321=----E A E A E A E A k λλλλ ，那么A 可以对角化.例5 设有一个线性变换δ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163222123A 是它在基321,,ααα下的矩阵，试利用定理3判断δ能否可对角化. 解 由上面例2知()()422+-=-λλλA E ，故4-2与是矩阵A 的所有不同特征值.又()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+-00000000036322212736324212142E A E A . 通过定理3知A 可以对角化.3.5 定理4[9] A 是复数域上的矩阵，当矩阵A 的最小多项式没有重根时，则A 可以对角化.例6 设一个线性变换δ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163222123A 是它在基321,,ααα下的矩阵，试利用定理4判断δ是否可对角化.解 由上面例2知()()422+-=-λλλA E ，则A 的最小多项式有以下两种可能：()()()()42422+-+-λλλλ或.计算()()042=+-E A E A 推出A 的最小多项式为()()42+-λλ.通过定理4知A 可对角化.4[10] 两个矩阵同时合同对角化4.1 定义[10] 设矩阵A ，B n n R ⨯∈，若存在可逆矩阵P ，使AP P T 和BP P T 同时为对角形矩阵，则A 、B 可同时合同对角化.4.2[10] 同时合同对角化的计算方法下面是以A 为n 阶实对阵正定矩阵，B 为n 阶实对阵矩阵为例给出计算步骤：（1）求出A 的n 个特征值，再求出特征向量；（2）对于每个不一样的特征值，把它们的特征向量标准正交化后通过列的形式构成n 阶正交阵1P ，那么()n T diagAP P λλλ，，， 2111=，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n d ia g P P λλλ111211，，， ， 则P 是可逆的，同时满足AP P T E =；（3）解出BP P T ，再求出它的n 个特征值i μ和它的n 个特征向量i η；（4）对每个不同的特征值，把它们的特征向量标准正交化后通过列的形式构成n阶正交矩阵Q ，则()()n T T diag Q BP P Q μμμ，，， 21=； （5）记PQ T =，则()n T T diag BT T E AT T μμμ，，，， 21==.例7设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011010200021012B A ，，求可逆矩阵T 将A 、B 可同时合同对角化.解 计算0=-A E λ可知321321===λλλ，，为A 的特征值.对于11=λ，由()01=-X A E λ得出它的一个特征向量为()T0111，，-=ξ； 对于22=λ，由()02=-X A E λ得出它的一个特征向量为()T 1002，，=ξ；对于33=λ，由()03=-X A E λ得出它的一个特征向量为()T 0113，，=ξ.将其单位化得()TT T ⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=021,2110002121321，，，，，，，，ααα.则正交矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=01021021210211P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=32111AP P T . 记⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=02106102161021312111P P ，则⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=210321010321021AP P T . 其特征方程为()031131=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-μμμμBP P E T . 它们的特征值为31131321==-=μμμ，，.由()01=-X BP P E T μ知()T23011-=，，η是1μ的一个特征向量； 由()02=-X BP P E T μ知()T0102，，=η是2μ的一个特征向量；由()03=-X BP P E T μ知()T23013+=，，η是3μ的一个特征向量； 将其单位化，则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--+-=322322032223010322103221Q ； 于是有：()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=31131Q BP P Q TT .⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--+--==021032613032613326103261PQ T ，则T 可逆，且()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-====31131BT T E EQ Q Q AP P Q AT T T T T T T ，， 故T 就是合乎题意的矩阵. 5 几类特别的可对角化矩阵命题4.1[4] 如果一个矩阵为实对称矩阵，那么该矩阵可以对角化. 命题 4.2[4] 如果一个矩阵为对合矩阵()E A =2，那么该矩阵可以对角化.命题4.3[4] 如果一个矩阵为周期矩阵)(E A m =，那么该矩阵可以对角化.命题 4.4[7] 如果一个矩阵为幂等矩阵()A A =2，那么该矩阵可以对角化.命题4.5[7] 如果一个矩阵为循回矩阵，那么该矩阵可以对角化. 命题4.6[4] 如果一个矩阵为幂零矩阵)00(=≠m A A ，，那么该矩阵不可以对角化.解 通过计算01=-A E λ，02=-A E λ和03=-A E λ知321,,A A A 的特征值相同，它们全部为31=λ（二重），42=λ；其中1A 已经是对角形矩阵，所以只需判断2A ，3A 是否可对角化.首先讨论2A ，对于31=λ（二重），由()032=-X A E 知它的基础解系是：()T 0,0,11=α.因为31=λ是2A 的特征值而且是二重根，但只对应一个特征向量，故2A 只包含2个特征向量.它的个数比空间维数要少，由推论2知2A 不可对角化，则1A 与2A 不相似.最后讨论3A ，对于31=λ（二重），由()033=-X A E 知它的基础解系是：()()T T 01000121，，和，，==εε . 对于42=λ，由()043=-X A E 知它的基础解系为：()T 1013，，=ε,故3A 有3个特征向量而且它们是线性无关的，特征向量的个数与空间维数相等，由推论2知3A 可对角化, 则1A 与3A 相似.参考文献：[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数[M]．北京，2003：299．[2] 邱森．高等代数．武汉：武汉大学出版社，2008：216-219．[3] 张禾端，郝炳新．高等代数[M]．4版．北京：高等教育出版社，2000．[4] 李志慧，李永明．高等代数中的典型问题与方法[J]．北京：科学出版社，2008：204．[5] 唐忠明，戴桂生．高等代数[M]．南京：南京大学出版社，2000：146-147．[6] 张正成．可对角化矩阵的应用[J]．科技资讯，2007．252（2）：252-253．[7] 冯莉．矩阵对角化的若干方法[J]．赤峰学院学报（自然科学版），2011，27（9）：9-11．[8] 徐新萍．有关对角化问题综述[J]．江苏教育学院学报（自然科学），2010，26（6）：44-46．[9] 李至琳．关于矩阵可对角化的问题[J]．黔东南民族师专学报，1998，16（5）：1-3．[10] 周立仁．矩阵同时对角化的条件[J]．理工学院学报，2007，20（1）：8-10．内部资料仅供参考。
7.5 线性变换的对角化
第七章 线性变换学习单元5：线性变换的对角化_________________________________________________________● 导学 学习目标：理解属于不同特征值的特征向量的线性关系；掌握线性变换可对角化的判别法；会通过具体计算判断线性变换是否可对角化；会把线性变换的问题转化成矩阵的问题；会判断矩阵是否可对角化。
学习建议：认真理解线性变换可对角化的判别条件及判别步骤；自己通过具体问题多练习，逐步掌握判别方法与计算步骤。
重点难点：重点：线性变换或矩阵可对角化的判别。
难点：对具体线性变换或矩阵的实际判别步骤。
_________________________________________________________● 学习内容 一、基本定理定理 设V 为P 上n 维线性空间，(),A L V ∈则A 在某个基下的矩阵能为对角阵的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。
二、特征向量间的线性关系定理 设V 为P 上线性空间，(),A L V ∈1,,s λλL 为A 的s 个互不相同的特征值，1,,s ξξL 分别是A 的属于1,,s λλL 的特征向量，则1,,s ξξL 线性无关。
推论 设V 为P 上n 维线性空间，(),A L V ∈若A 恰有n 个互不相同的特征值，则A在某个基下的矩阵可以是对角阵。
推论 设V 为C 上n 维线性空间，(),A L V ∈若A 的特征多项式无重根，则A 在某个基下的矩阵是对角阵。
定理 设V 为P 上线性空间，1,,s λλL 为A 的互不相同的特征值，1,,ii ir ααL 为A 的属于特征值i λ的线性无关的特征向量，则121112121,,,,,,,,,sr r s sr ααααααL L L L线性无关。
定理 设V 为P 上线性空间，dim ,()V n A L V =∈,A 的所有互不相同的特征值为1,,s λλL ，则A 在某个基下的矩阵为对角阵的充要条件是1dim dim s V V n λλ++=L 。
线性变换对角线问题开题报告
论文题目
浅谈线性变换的对角化问题
作者姓名
学号
年级
所属学院
专业
班级
指导教师姓名
职称
预计字数
6000
题目性质
应用研究
日期
选题的原由：
1）说明本选题的论、实际意义
本课题主要是通过对容易理解和掌握的矩阵对角化问题的具体分析和比较复杂的线性变换的对角化问题的一些探讨，使得我们能正确运用线性变换的对角化解决相关问题。线性变换的对角化问题在高等代数和解析几何中扮演者举足轻重的角色，在很多领域都有重要的地位和作用。
2009.9.
[8] 王来生.《线性代数学习指导》，中国农业大学出版社，2005.10.
[9] 卢刚.面向21世纪课程教材《线性代数（第三版）》，高等教育出版社，2009.3.
指导教师意见：
签名：
年月日
完成期限和采取的主要措施：
2013年6月——2013年8月：查阅并收集与线性变换的对角化问题的文献和资料；
2013年8月——2013年9月： 通过收集的资料，确定论文题目，并勾勒出大体框架，完成开题报告和任务书；
2013年9月——2013年11月：完成初稿；
2013年11月——2014年1月：对论文进行完善并总结；
2014年1月——2014年3月： 形成最终论文，归纳总结研究成果，整理答辩材料，申请答辩。
主要参考文献及资料名称：
[1] 北京大学几何代数研究代数小组，高等代数[M].北京：高等教育出版社，1999.
[2] 徐仲，陆全. 高等代数研究教案[M].西安：西北工业大学出版社，2006.
[3] 丘维声，高等代数：上、下册[M].北京：高等教育出版社，1996.
线性变换的对角化
线性变换的对角化
于是，σ可对角化时，σ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示的 主对角线上的元素δ1,δ2,…,δn，即为σ的全部特征值，αi为σ 属于特征值δi的特征向量.也就是说，V存在一个由σ的特征 向量组成的基.
反之，如果V存在一个由σ的特征向量组成的基，那么σ 在这组基下的矩阵表示为对角矩阵，从而σ是可对角化的.
谢谢聆听
线性变换的对角化
【例6-15】
设V是数域F上的一个3维线性空间，α1,α2,α3是V的一 组基，σ是V上一个线性变换，满足
判断σ是否为可对角化的；如果是可对角化的，求 相应的基及在此基下的矩阵表示.
线性变换的对角化
解σ在基α1,α2,α3的矩阵表示为 方阵A的特征多项式为 因此，σ的特征值为λ1=－1（二重），λ2=3.
线性变换的对角化
定理6-19
设λ1,λ2,…,λs是线性变换σ的s个互不相同的特征 值，βi1,βi2,…,βiri是σ属于特征值λi的线性无关的特征 向量，i=1,2,…,s.那么向量组 β11,β12,…,β1r1;β21,β22,…,β2r2;…;βs1,βs2,…,βsrs 是线性无关的. 事实上，上面的结论与矩阵中的结论对应，就是在给 定的一组基下，n维线性空间上的线性变换和n阶方阵 之间一一对应的体现.
定义6-6′设V是数域F上的一个线性空间，σ是V上 的一个线性变换.如果σ在V的某组基下的矩阵表示为一 个对角矩阵，则称σ是可对角化的.
线性变换的对角化
设线性变换σ是可对角化的，由定义6-6′，存在 V的一组基α1,α2,…,αn，使得σ在这组基下的矩阵表 示为
线性变换的对角化
根据矩阵表示的定义，得到
于是，对应于矩阵可对角化的定理，有下面的定理.
线性变换可对角化的条件及对角化方法
邯郸学院本科毕业论文题目线性变换“可对角化”的条件及“对角化”方法学生苏成杰指导教师张素梅教授年级2006 级专业数学与应用数学二级学院数学系（系、部）邯郸学院数学系2010年5月郑重声明本人的毕业论文是在指导教师张素梅老师的指导下独立撰写完成的．如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督．特此郑重声明．毕业论文作者（签名）：年月日摘要通过从特征值、特征向量、特征子空间、不变子空间、最小多项式、特征多项式以及线性变换矩阵本身的结构特点等七个不同的角度去分析线性变换可对角化的条件，总结出了七个充要条件和四个充分条件．第二部分给出了利用特征向量将线性变换对角化的一般方法并赋予了典型例题加以具体说明，同时又就以上某些条件的等价关系进行了说明．关键词线性变换对角化条件特征值特征向量Linear transformation’s “diagonalizable”conditions and“diagonalization” methods Su Chengjie Directed by Professor. ZhangSumeiAbstract According to the characteristic number, characteristic vector, subspace, invariant subspace, minimal polynomial, characteristic polynomial and the linear transformation matrix itself we get seven different sufficient conditions and four different necessary conditions. The second part of the text will show a common method to diagonalization the linear transformation with characteristic number and characteristic vector and also there will be an example to make it clear and then the construction of the above conditions are discussed on equivalence relation.Key words Linear transformation Diagonalization Condition Characteristic number Characteristic vector目录摘要 (Ⅰ)外文页 (Ⅱ)1 引言 (1)2 线性变换及其矩阵表示 (1)2．1 线性变换的定义 (1)2．2 线性变换矩阵的定义 (1)3 数域P上的n维线性空间V上的线性变换σ可对角化的充要条件 (2)4 数域P上的n维线性空间V上的线性变换σ可对角化的充分条件 (6)5 复数域P上的n维线性空间V上的线性变换σ可对角化的充要条件 (8)6 线性变换对角化方法介绍 (9)7 对各条件之间的联系进行分析和总结 (11)参考文献 (11)致谢 (12)线性变换“可对角化”的条件及“对角化”方法1 引言线性变换是线性空间中的重要研究内容之一，过去我们把对线性变换的研究转化为了对矩阵的研究，这样极大地丰富了线性变换的研究内容，线性变换的对角化问题就是其中一例．值得注意的是，并不是所有的线性变换都可以对角化，因此对线性变换可对角化的条件的研究是十分有价值的．本文从不同的角度分析了线性变换可对角化的条件并给出了相应的结论．2 线性变换及其矩阵表示2.1 线性变换的定义 定义2.1296]1[ 设V 是数域P 上的线性空间，若存在V 上的一个变换σ满足条件（1）)()()(βαβασσσ+=+ V ∈∀βα, （2）αασσk k =)( V P k ∈∀∈∀α, 则称σ为V 的一个线性变换．2.2 线性变换矩阵的定义 定义2.2324]1[ 设n εεε,,,21Λ是数域P 上的n 维线性空间V 上的一组基，σ是V 中的线性变换，基向量的像可以被基线性表出：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=.,,22112222112212211111n nn n n n nn n n a a a a a a a a a εεεεεεεεεεεεΛΛΛΛΛΛΛσσσ 用矩阵来表示就是A εεεεεεεεε),,,(),,,(),,,(212121n n n ΛΛΛ==σσσσ其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a aa a aa a a ΛM M M ΛΛ212222111211A ， 则称A 为线性变换σ在基n ε,,ε,εΛ21下的矩阵．3 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件命题3.1 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件是V 中存在由σ的特征向量组成的一组基．证明 必要性 设线性变换σ在基n εεε,,,21Λ下具有对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n λλλO21A 即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n λλλσOΛΛ212121),,,(),,,(εεεεεε 这就是说n i i i i ,,2,1,Λ==εελσ．因此n εεε,,,21Λ就是σ的n 个线性无关的特征向量．充分性 如果V 中存在由σ的特征向量组成的一组基，显然在这组基下σ的矩阵是对角矩阵，即线性变换σ可以对角化．命题 3.2 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件是V 可以分解成σ的n 个一维不变子空间的直和.引理3.2.1260]2[ 如果ξ是数域P 上的线性空间V 上的线性变换σ的一个特征向量，则ξ生成的子空间)(ξL 是σ的一维不变子空间．引理3.2.2 设σ是数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换，如果W 是σ的一维不变子空间，则W 中任何一个非零向量都是σ的特征向量．证明 设W 是σ的一维不变子空间，任取)(0αα≠∈W ，则α是W 的一组基．因为W 是σ的一维不变子空间所以W ∈ασ，从而αα0k =σ对某个P k ∈0成立，这表明α是σ的特征向量．下面证明命题3.2必要性 设σ可对角化，由命题3.1可知V 中存在由σ的特征向量组成的一组基n ααα,,,21Λ，因此)()()(21n L L L V ααα⊕⊕⊕=Λ．根据引理3.2.1有),,2,1)((n i L i Λ=α是σ的一维不变子空间．由此得线性空间V 可以分解成σ的n 个一维不变子空间的直和．充分性 设V 可以分解成σ的n 个一维不变子空间n W W W ,,,21Λ的直和n W W W V ⊕⊕⊕=Λ21在),,2,1(n i W i Λ=中取一组基i ε,据引理3.2.2得i ε是σ的特征向量．由于和n W W W ⊕⊕⊕Λ21是直和，所以n εεε,,,21Λ是n W W W V ⊕⊕⊕=Λ21的一组基，即线性空间V 中存在由线性变换σ的特征向量组成的一组基，由命题3.1可知线性变换σ可以对角化．命题3.3 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件是σ的所有特征子空间的维数之和等于n ．引理3.3.1251]2[ n 维线性空间V 上的线性变换σ的属于不同特征值m λλλ,,,21Λ的特征向量是线性无关的；线性变换σ的属于不同特征值m λλλ,,,21Λ的线性无关的特征向量组合在一起仍然线性无关．下面证明命题3.3必要性 设线性变换σ的所有不同特征值分别是m λλλ,,,21Λ，),,2,1(m i V i Λ=λ是属于特征值),,2,1(m i i Λ=λ的特征子空间，因为线性变换σ可对角化，由命题3.1知σ有n 个线性无关的特征向量，从而有m V V V V λλλ⊕⊕⊕=Λ21．所以)dim ()dim ()dim ()dim ()dim (2121m m V V V V V V V λλλλλλ+++=⊕⊕⊕=ΛΛ．其中)dim(V 表示线性空间V 的维数，下同．从上面的等式可以看出，线性变换σ的所有特征子空间的维数之和等于线性空间V 的维数n ． 充分性 设线性变换σ的所有特征子空间的维数之和等于线性空间V 的维数n ，即∑===mi n V V i1)dim()dim(λ在m V V V λλλ,,,21Λ中各取一组基，把它们合起来供共有n 个向量．据引理3.3.1它们仍然线性无关，从而它们构成线性空间V 的一组基．换句话说，线性空间V 中存在由线性变换σ的特征向量构成的一组基，由命题3.1知线性变换σ可以对角化．命题3.4 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件是线性变换σ在某一组基下的矩阵A 的最小多项式是P 上互素的一次因式的乘积．引理3.4.1 设A 是一个准对角矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21A A A 并设1A 的最小多项式为1g （x ）,2A 的最小多项式为2g (x )，那么A 的最小多项式为1g （x ）和2g (x )的最小公倍式)](),([21x g x g ．证明 记)](),([)(21x g x g x g =，首先0A A A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)()()(21g g g 因此g(x )能被A 的最小多项式整除，其次，如果0A =)(h ,那么0A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()()(21h h h 所以0A 0A ==)(,)(21h h ，因而)(|)(),(|)(21x h x g x h x g ．并由此得)(|)(x h x g ．这样就证明了g(x )是A 的最小多项式．引理3.4.286]3[ 设n 维线性空间V 上的线性变换σ在某组基下的矩阵A 的最小多项式为)(x g ，它可以分解成一次因式的乘积s r s r r x x x x x x x g )()()()(2121---=Λ则V 可以分解成不变子空间的直和s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21，其中},)(|{V x V i ri i ∈=-=ξ0ξE A ξ，s i ,,2,1Λ=．下证命题3.4根据引理3.4.1，条件的必要性是显然的，现在证明充分性．根据矩阵和线性变换之间的对应关系，定义任意线性变换σ的最小多项式为其对应矩阵A 的最小多项式．设线性变换σ的最小多项式为)(x g ，由)(x g 是数域P 上互素的一次因式的乘积，我们有∏=-=li i a x x g 1)()(由引理3.4.2可得l V V V V ⊕⊕⊕=Λ21其中},)(|{V a V i i ∈=-=ξ0ξE A ξ，这里E 表示单位矩阵．因此把l V V V ,,,21Λ各自的基合起来就是线性空间V 的基，而每个基向量都属于某个),,2,1(n i V i Λ=，因而是线性变换σ的特征向量．换句话说就是线性空间V 中存在由线性变换σ的特征向量构成的一组基，由命题3.1可得线性变换σ可对角化．命题3.5 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件是对于线性变换σ的每个特征值λ都有等式：k r n =--)(A E λ（其中k 是λ的重数，A 表示线性变换σ在某一组基下的矩阵，)(A E -λr 表示矩阵A E -λ的秩，下同）．证明 必要性 设λ是线性变换σ的任一特征值，且其重数为k ,由于σ可以对角化，所以属于特征值λ的线性无关的特征向量有k 个，从而齐次线性方程组0X A E =-)(λ的基础解系中含向量的个数为k ．由参考文献［1］第142页定理8可知齐次线性方程组0X A E =-)(λ的基础解系中含向量的个数为)(A E --λr n所以有k r n =--)(A E λ．充分性 由于对线性变换σ的每个特征根λ有k r n =--)(A E λ (k 是λ的重数)，所以齐次线性方程组0X A E =-)(λ的基础解系中含向量的个数为k ，即属于k 重特征值λ的线性无关的特征向量的个数为k ，从而线性变换σ共有n 个线性无关的特征向量，由命题3.1可知线性变换σ可以对角化．由上面的证明过程可知，条件：对于线性变换σ的每个特征值λ都有k r n =--)(A E λ(k 是λ的重数)也可改为线性变换σ的每个特征值λ的重数等于齐次线性方程组0X A E =-)(λ的基础解系所含向量的个数．或改为如果令r λλλ,,,21Λ是σ的所有不同特征值，则有n r n r i i =--∑=)]([1A E λ．或改为线性变换σ的每个特征值λ的特征子空间的维数等于λ的重数．4 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充分条件命题4.1 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充分条件是σ有n 个不同的特征值．证明 由于属于不同特征值的特征向量是线性无关的，且线性变换σ有n 个不同的特征值，所以线性变换σ有n 个线性无关的特征向量，它们构成V 的一组基，由命题3.1可知线性变换σ可对角化．命题4.2 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充分条件是σ在某组基下的矩阵A 的特征多项式在数域P 内有n 个单根．证明 由于矩阵A 的特征多项式||)(A E -=λλf在数域P 上有n 个单根，从而线性变换σ有n 个不同的特征值，由命题4.1得线性变换σ可对角化．命题4.3 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充分条件是σ在某组基下的矩阵A 为幂等矩阵)(2A A =．引理4.3.1130]3[ 幂等矩阵的特征根只能是0或1．下面证明命题4.3设线性变换σ在某组基下矩阵A 为幂等矩阵，且r r =)(A ,由引理4.3.1知线性变换σ的特征值是0或1，所以矩阵A 相似于对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00110O OA 由于相似矩阵具有相同的秩，所以 )()(0A A r r =)()(0A E A E -=-r r又n r r =+-)()(00A A E ，所以rn r n r r -=-=+-)()()(A E A A E ． 于是齐次线性方程组0X A E =-)(的基础解系所含向量的个数为n )(A E --r =r r n n =--)(．又因为r r =)(A ，故齐次线性方程组0AX X A E =-=-)0(的基础解系所含向量的个数为r n r n -=-)(A ．于是线性变换σ共有n r n r =-+)(个线性无关的特征向量，它们构成V 的一组基，由命题3.1可得线性变换σ可对角化．另外，如果线性变换σ在某一组基下的矩阵A 满足E A =2或)(2P k k ∈=A A ，由以上的证明过程可知线性变σ同样可以对角化．命题4.4 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充分条件是线性变换σ在某组基下矩阵A 为下三角矩阵，且),,2,1,,(n j i j i a a jj ii Λ=≠≠（其中ii a 为主对角线上元素）．证明 因为A 是一个下三角矩阵，所以A 的特征多项式为|λA E -|=∏=-n i ii a1(λ），又由于),,2,1,,(n j i j i a a jj ii Λ=≠≠，从而A 的特征多项式有n 个不同的根),,2,1(n i a ii Λ=，即线性变换σ有n 个不同的特征值，由命题4.1可得线性变换σ可对角化．5 复数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件命题5.1 复数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件是σ在某组基下的矩阵A 的最小多项式无重根．证明 由命题3.4可知σ可对角化的等价条件是σ在某组基下的矩阵A 的最小多项式是P 上互素的一次因式的乘积，而当P 是复数域时这个条件就等价于A 的最小多项式无重根，从而命题成立．另外不难证明如果A 的特征多项式无重根，则线性变换σ可对角化．命题5.2 复数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件是对σ的每个特征值i λ均有m i r r i i ,,2,1,)()(2Λ=-=-A E A E λλ．证明 必要性 因线性变换σ可对角化，故A 的最小多项式)(λf 无重根，即A 的任一特征根i λ只能是)(λf 的单根．于是)(λf 与(i λλ-2)的最大公因式是i λλ-，由最大公因式的性质知，有多项式][)(),(λλλP v u ∈使 EA E A A A A i i ii v f u v f u λλλλλλλλλ-=-+-=-+22))(()()())(()()(．因 0A =)(f ,故 E A E A A i i v λλ-=-2))((．所以r (E A i λ-)≤2)(E A i r λ-但2)(E A i r λ-≤)(E A i r λ-,故有)(E A i r λ-=m i r i ,,2,1,)(2Λ=-E A λ．充分性 由命题5.1知，只需证明A 的最小多项式无重根，用反证法．假设线性变换σ的某个特征根i λ是最小多项式)(λf 的重根，可设)()()(2λλλλg f i -=，因多项式)()(λλλg i -的次数低于)(λf 的次数，故0A E A ≠-)()(g i λ，但0A A E A ==-)()()(2f g i λ所以)(A g 中必存在非零的列向量0X 使0X E A 0X E A =-≠-020)()(i i λλ．这就是说，齐次线性方程组0X E A =-)(i λ与0X E A =-2)(i λ有不同解，故2)()(E A E A i i r r λλ-≠-．这与2)()(E A E A i i r r λλ-=-矛盾．故)(λf 无重根，从而线性变换σ可对角化．6 线性变换对角化方法介绍命题6.162]4[ 设数域P 上的n 维线性空间V 中的线性变换σ有m 个不同的特征值，它们分别为)(,,,21n m m ≤λλλΛ，且其对应有n 个线性无关的特征向量为n ααα,,,21Λ，A 为线性变换σ的矩阵．如果令),,,(21n αααP Λ=则有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n λλλO 211AP P ． 上述命题就是将一个线性变换的矩阵变成一个其主对角线上全为其特征值的对角矩阵的具体方法．例298]6[ 数域P 上的n 维线性空间V 中的线性变换σ在某组基下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=533242111A试将其对角化．解 矩阵A 的特征多项式)6()2(533242111||)(2--=-----=-=λλλλλλλA E f 令 0)6()2()(2=--=λλλf得6,2321===λλλ．所以线性变换σ的特征值为6,2321===λλλ．当2=λ时，由,)2(0X A E =-求得属于特征值2=λ的线性无关的特征向量为T T )1,0,1(,)0,1,1(21=-=αα．当6=λ时，由,)6(0X A E =-求得属于特征值6=λ的线性无关的特征向量为T )3,2,1(3-=α．再令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==310201111),,(321αααP可求得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-4141414143432121211P 则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-6221AP P ．至此已将线性变换对角化，其对角化的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6220A ．从上面的解题过程可以看出，线性变换对角化的过程实际上就是求解特征值与特征向量的过程．换句话说就是求得一组基，使线性变换在这组基下的矩阵为对角矩阵．显然这组基中的每一个向量都是线性变换的特征向量，而对角矩阵主对角线上元素都是其对应特征值．从而不难理解线性变换的矩阵对角化后并没有改变线性变换本身，它只是在另一组基下的矩阵．7 对各条件之间的联系进行分析和总结通过对以上各种条件进行分析和总结可以看出，线性变换可对角化的条件虽然有很多，但从本质上说它们其实是一致的．例如，线性变换σ可对角化的充要条件“σ有n 个线性无关的特征向量”与“线性空间V 上的线性变换σ的所有特征子空间的维数之和等于n ”其实就是同一问题的不同表述：有“线性变换σ有n 个线性无关的特征向量”就必然有“线性变换σ的所有特征子空间的维数之和等于n ”．反过来，如果“线性变换σ的所有特征子空间的维数之和等于n ”则必有“σ有n 个线性无关的特征向量”．所以，抓住问题的本质有助于真正理解和掌握线性变换可对角化的条件及对角化方法．参考文献：[1] 王萼芳 ，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2005[2] 丘维声.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2001[3] 钱芳华. 高等代数方法选讲[M].桂林：广西师范大学出版社，1991[4] 程云鹏 .矩阵论[M].西安：西北工业大学出版社，2001[5] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2005[6] 唐忠明.高等代数[M].南京:南京大学出版社，2000[7] Y.Q.Guo,K.P.Shum and G.T.Xu.Linear Algebra[M].Beijing:Science Press ，2008致谢在此篇毕业论文划上句号之际，我郑重地向我的指导教师张素梅老师表示我最诚挚的感谢！衷心地感谢她的关心、指导和教诲．在张老师的精心引导下，几经修改和完善我终于完成了毕业论文，从她身上我获得了太多的文化和知识，更汲取了诸多纯朴而伟大的高尚品德．我在撰写毕业论文期间的工作自始至终都是在张老师的全面、具体指导下进行的．老师渊博的学识、民主而严谨的作风，使我受益匪浅．张老师谦逊的学术作风和高尚的人格品德将永远激励我前行!最后还要感谢我的同学和朋友四年来对我的关心和帮助．。
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目录摘要 (1)Abstract (2)引言 (3)1 线性变换 (4)1.1 线性变换的定义 (4)1.1.1 线性变换的概念 (4)1.1.2 线性变换的矩阵及矩阵表示 (4)1.2 矩阵的相似对角化问题 (5)1.2.1 相似对角化问题 (5)1.2.2 矩阵的特征值与特征向量 (5)2 线性变换的对角化 (7)2.1 线性变换的对角化 (7)2.1.1 线性对角化的提出 (7)2.1.2 线性对角化的定义 (7)2.2 线性变换的特征值与特征向量 (7)2.2.1 线性变换的特征值与特征向量的概念 (7)2.2.2 线性变换的特征多项式 (7)2.3 线性变换对角化与矩阵对角化之间的联系 (8)2.3.1 特征值与特征向量的联系 (8)2.3.2 线性变换对角化与矩阵相似对角化之间的关系 (9)2.3.3 线性变换可对角化的充要条件及推论 (9)2.3.4 求线性变换对角化的方法和步骤 (10)3 线性对角化问题的相关题目 (14)总结 (16)参考文献 (17)致谢 (18)摘要线性变换是贯穿高等代数的重要内容之一，其研究价值不言而喻。
本文尝试通过探讨矩阵对角化的知识点类比线性变换对角化的知识点，再通过矩阵的特征值与特征向量，以线性对角化问题为主要线索，着手研究线性变换特征值与特征向量的求解步骤以及线性对角化的基本条件，并且总结说明线性变换的对角化与矩阵对角化的联系，更进一步的，加深了解矩阵对角化与线性对角化的内容及要点。
关键词：线性变换的对角化问题；矩阵；特征值；特征向量Linear transformation is an important part of higher algebra through its research value is self-evident. This paper attempts to explore the matrix diagonalization by knowledge points of analog linear transformation diagonalization knowledge, and through the eigenvalues and eigenvectors of the matrix, linear diagonalization problem as the main clue, started studying linear transformations eigenvalues and eigenvectors steps to solve the basic conditions and linear keratosis, and summary description of the linear transformation matrix diagonalization diagonalization with links to further deepen understanding of linear matrix diagonalization diagonalization content and points.Keywords: Changing existing diagonalization；Matrix；Eigenvalues；Eigenvectors线性变换的对角化问题作为重要的数学课程，在高等代数的地位不言而喻，高等代数是数学与应用数学专业最主要的基础课之一，它在初等代数的基础上对研究对象进行进一步的扩充，并引进了许多新的概念以及与通常情况很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。
在线性变换的对角化问题中，本文提出矩阵相似对角化问题，给出矩阵的特征值与特征向量等概念，在此之后总结它们与矩阵特征值和特征向量之间的关系,并把线性变换与矩阵对角化问题之间的密切关系探究清楚。
充分应用探究的结论，最后使我们通透掌握线性变换的对角化与矩阵相似对角化的内在联系与区别。
尝试将整个内容贯穿在一条主线，以分析线性变换和矩阵的特征值、特征向量与特征多项式为重点，总结说明在这几方面的联系，并且归纳求解线性变换特征值与特征向量的方法步骤，使整个内容清晰简洁，做到一目了然。
将线性变换的对角化与矩阵对角化之间的关系梳理更加清晰，易于掌握与通透理解。
1 线性变换1.1 线性变换的定义 1.1.1 线性变换的概念定义1 设V 是数域F 上的线性空间，σ是V 到自身的一个映射，即对于V 中的任意元素x 均存在唯一的V y ∈与之对应，则称σ为V 的一个变换或算子，记为y x =σ,称y 为x 在变换σ下的象，x 为y 的原象。
若变换σ还满足)()()(x l x k ly kx σσσ+=+ F l k V y x ∈∈∀,,,称σ为V 的线性变换。
1.1.2 线性变换的矩阵及矩阵表示定义2 设V 是数域F 上一个n 维向量空间，令σ是V 的一个线性变换。
取定V 的一个基n ααα,,,21 ， 令,)(12211111n n a a a αααασ+++= ,)(22221122n n a a a αααασ+++=.)(2211n nn n n n a a a αααασ+++=这里n j i a ij ,,1,, =就是)(j ασ关于基n ααα,,,21 的坐标。
令n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a aa a a A212222111211 那么这个n 阶矩阵A 叫做线性变换σ关于基{n ααα,,,21 }的矩阵。
矩阵A 的第j 列的元素就是)(j ασ关于基{n ααα,,,21 }的坐标。
1.2 矩阵的相似对角化问题 1.2.1 相似对角化问题1 对角矩阵设A 是数域F 上的矩阵，形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n A λλλ 00000021 的矩阵，我们把A 叫做对角矩阵。
2 相似矩阵对于n 阶方阵A 和B , 若有可逆矩阵T 使得B AT T =-1,则称A 相似于B , 记作B A ~，T 称为由A 到B 的相似矩阵。
3.矩阵相似对角化定义3 设A 是数域F 上一个n 阶矩阵。
如果存在数域F 上一个n 阶可逆矩阵T 使得AT T 1-为对角矩阵，那么矩阵A 可对角化。
1.2.2 矩阵的特征值与特征向量定义4 设A 是一个n 阶方阵，λ是一个数，如果方程XAX λ=存在非零解向量，则称λ为A 的一个特征值，相应的非零解向量X 称为属于特征值λ的特征向量。
如果n n x x x X ααα+++= 2211是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量，那么我们有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x x x x A 2121λ 即i i x Ax λ=，其中n i ,,2,1 =。
定义5 设)(ij a A =是数域F 上的n 阶矩阵，λ是参数，A 的特征矩阵A I -λ的行列式()nnn n nn a a a a a a a a a A I ---------=-λλλλ212222111211det 称为矩阵A 的特征多项式。
它是数域F 上的一个n 次多项式，记为()λϕ。
()λϕ的根(或零点) 0λ称为A 的特征值（根），而相应于方程组的非零解向量()T n ξξξ,,,21 称为A 的属于特征值0λ的特征向量。
2 线性变换的对角化 2.1 线性变换的对角化 2.1.1 线性对角化的提出设V 是数域F 上的n 维线性空间（记为n V ），σ是线性空间V 的一个线性变换，任取V 的一组基{}n ααα,...,,21，设σ在这组基下的矩阵为A 。
那能否找到V 的一组基，使得σ在这组基下的矩阵是一个对角阵呢？接下来，我们就来寻找这组基，由此引出线性变换对角化的问题。
假设这组基存在，我们不妨把它设为{},...,21n εεε，，使得()()()F d d d d diag D D i n n n ∈==,...,,,,...,,,...,,212121εεεεεεσn i d i i i ,...,2,1,==εσε则，可见i ε，i d 满足方程∂=∂d σ，即满足线性对角化。
2.1.2 线性对角化的定义定义1 设σ是n 维线性空间V 的一个线性变换，如果存在V 的一个基，使σ在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称线性变换σ可对角化。
2.2 线性变换的特征值与特征向量 2.2.1 线性变换的特征值与特征向量的概念定义2 设σ是数域F 上线性空间V 的一个线性变换，如果对于数域F 中的任一数λ，存在一个非零向量ξ，使得 λξξσ=)(则λ称为σ的一个特征值，而ξ称为σ属于特征值λ的一个特征向量。
2.2.2 线性变换的特征多项式定义3 设σ是数域F 上的一个线性变换，A 是F 上的n 阶矩阵，λ是一个数，线性变换σ关于矩阵E A λ-的行列式nnn n nn a a a a a a a a a E A ---------=-λλλλ212222111211称为线性变换σ的特征多项式，这是数域F 上的一个n 次多项式。
2.3 线性变换对角化与矩阵对角化之间的联系 2.3.1 特征值与特征向量的联系定理[5] 设V 是数域F 上一个线性空间, σ是V 的一个线性变换，σ在V 的一个基{}n ααα,...,,21下的矩阵为A ，如果0,≠∈ξλK ，那么：⑴λ是σ的特征值⇔λ是矩阵A 的特征值；⑵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n x x x 2121),,,(αααξ是σ的属于特征值λ的特征向量⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量。
证明：由假设A n n ),,,())(,),(),((2121αααασασασ =，及⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n x x x 2121),,,(αααξX n ),,,(21ααα =又)(ξσ在基),,,(21n ααα 下的坐标为AX 。
λξξσ=)(表明)(ξσ在基),,,(21n ααα 下的坐标为X λ。
因此，当λ是σ的特征值时，AX =X λ。
联系：由于,0≠ξ故X 是非零向量，这说明λ是矩阵A 的特征值。
X 是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量。
如果λ是矩阵A 的特征值，而T n x x x X ),,,(21 =是A 的属于λ的特征向量，那么AX =X λ。
且0≠X ，即)(ξσ与λξ在基),,,(21n ααα 下的坐标是一样的。
所以λξξσ=)(。
又02211≠+++=n n x x x αααξ，所以λ是σ的特征值，而ξ是σ的属于特征值λ的特征向量。
线性变换σ在数域F 中某一组基下的矩阵是A ，如果0λ是线性变换σ的特征值，那么0λ一定是矩阵A 的特征多项式的一个根；反过来，如果0λ是矩阵A 的特征多项式在数域P 中的一个根，即00=-E A λ，那么0λ就是线性变换σ的一个特征值。