2014年江西高考数学(文科)真题及答案
【推荐】2014年江西省高考数学试卷(文科)
2014年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）若复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），则||=（）A．1 B．2 C．D．B）2．（5分）设全集为R，集合A={|2﹣9＜0}，B={|﹣1＜≤5}，则A∩（∁R=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）3．（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1 D．25．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．6．（5分）下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“a2+b+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意∈R，有2≥0”的否定是“存在∈R，有2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β7．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1C．智商D．阅读量8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．119．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）在同一直角坐标系中，函数y=a2﹣+与y=a23﹣2a2++a（a∈R）的图象不可能的是（）A． B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）若曲线y=ln上点P处的切线平行与直线2﹣y+1=0，则点P的坐标是．12．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，若向量=3﹣2，则||= ．13．（5分）在等差数列{an }中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为．14．（5分）设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于 ．15．（5分），y ∈R ，若||+|y|+|﹣1|+|y ﹣1|≤2，则+y 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f （）=（a+2cos 2）cos （2+θ）为奇函数，且f （）=0，其中a ∈R ，θ∈（0，π）．（1）求a ，θ的值；（2）若f （）=﹣，α∈（，π），求sin （α+）的值． 17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）证明：对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．18．（12分）已知函数f （）=（42+4a+a 2），其中a ＜0．（1）当a=﹣4时，求f （）的单调递增区间；（2）若f （）在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1，（1）求证：A 1C ⊥CC 1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA 1为何值时，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．20．（13分）如图，已知抛物线C：2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．21．（14分）将连续正整数1，2，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率．（1）求p（100）；（2）当n≤2014时，求F（n）的表达式；（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h （n）=f（n）﹣g（n），S={n|h（n）=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值．2014年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）若复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），则||=（）A．1 B．2 C．D．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则、虚数单位i的幂运算性质，求出，可得||．【解答】解：∵复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），∴===1+i，∴||==，故选：C．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．B）2．（5分）设全集为R，集合A={|2﹣9＜0}，B={|﹣1＜≤5}，则A∩（∁R=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）B，再根据两个集合的交集的定义，求得A∩【分析】根据补集的定义求得∁RB）．（∁RB={|【解答】解：∵集合A={|2﹣9＜0}={|﹣3＜＜3}，B={|﹣1＜≤5}，∴∁R≤﹣1，或＞5}，B）={|﹣3＜≤﹣1}，则A∩（∁R故选：C．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．3．（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A．B．C．D．【分析】本题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数n，再由公式求出概率得到答案【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是=，故选：B．【点评】本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式是本题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点．4．（5分）已知函数f（）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1 D．2【分析】根据条件代入计算即可．【解答】解：∵f[f（﹣1）]=1，∴f[f（﹣1）]=f（2﹣（﹣1））=f（2）=a•22=4a=1∴．故选：A．【点评】本题主要考查了求函数值的问题，关键是分清需要代入到那一个解析式中，属于基础题．5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．【分析】根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．【解答】解：∵3a=2b，∴b=，根据正弦定理可得===，故选：D．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．6．（5分）下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“a2+b+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意∈R，有2≥0”的否定是“存在∈R，有2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β【分析】本题先用不等式的知识对选项A、B中命题的条件进行等价分析，得出它们的充要条件，再判断相应命题的真假；对选项以中的命题否定加以研究，判断其真假，在考虑全称量词的同时，要否定命题的结论；对选项D利用立体几何的位置关系，得出命题的真假，可知本题的正确答案．【解答】解：A、若a，b，c∈R，当“a2+b+c≥0”对于任意的恒成立时，则有：①当a=0时，要使a2+b+c≥0恒成立，需要b=0，c≥0，此时b2﹣4ac=0，符合b2﹣4ac≤0；②当a≠0时，要使a2+b+c≥0恒成立，必须a＞0且b2﹣4ac≤0．∴若a，b，c∈R，“a2+b+c≥0”是“b2﹣4ac≤0”充分不必要条件，“b2﹣4ac ≤0”是“a2+b+c≥0”的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件．故A错误；B、当ab2＞cb2时，b2≠0，且a＞c，∴“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分条件．反之，当a＞c时，若b=0，则ab2=cb2，不等式ab2＞cb2不成立．∴“a＞c”是“ab2＞cb2”的必要不充分条件．故B错误；C、结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，命题“对任意∈R，有2≥0”的否定应该是“存在∈R，有2＜0”．故C错误；D、命题“l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β．”是两个平面平行的一个判定定理．故D正确．故选：D．【点评】本题考查了命题、充要条件的知识，考查到了不等式、立体几何知识，有一定容量，总体难度不大，属于基础题．7．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1C ．智商D ．阅读量 【分析】根据表中数据，利用公式，求出2，即可得出结论．【解答】解：表1：2=≈0.009；表2：2=≈1.769； 表3：2=≈1.3；表4：2=≈23.48，∴阅读量与性别有关联的可能性最大，故选：D．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S＞1时，终止循环；再根据S的值求出终止循环时的i值即可．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=0S=lg3，不满足条件1＜S，执行循环体，i=3，S=lg3+lg=lg5，不满足条件1＜S，执行循环体，i=5，S=lg5+lg=lg7，不满足条件1＜S，执行循环体，i=7，S=lg5+lg=lg9，不满足条件1＜S，执行循环体，i=9，S=lg9+lg=lg11，满足条件1＜S，跳出循环，输出i的值为9．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．9．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，求出A的坐标，利用右焦点F（4，0），|FA|=4，可求a，b，即可得出双曲线的方程．【解答】解：由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，令=a，则y=b，即A（a，b），∵右焦点F（4，0），|FA|=4，∴（a﹣4）2+b2=16，∵a2+b2=16，∴a=2，b=2，∴双曲线C的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）在同一直角坐标系中，函数y=a2﹣+与y=a23﹣2a2++a（a∈R）的图象不可能的是（）A． B．C．D ．【分析】讨论a 的值，当a=0时，知D 可能，当a ≠0时，求出函数a 2﹣+的对称轴=，利用求导函数求出函数y=a 23﹣2a 2++a 的极值点为=与=，比较对称轴与两极值点之间的关系，知对称轴介于两极值点之间，从而得到不符合题意的选项．【解答】解：当a=0时，函数y=a 2﹣+的图象是第二，四象限的角平分线， 而函数y=a 23﹣2a 2++a 的图象是第一，三象限的角平分线，故D 符合要求； 当a ≠0时，函数y=a 2﹣+图象的对称轴方程为直线=， 由y=a 23﹣2a 2++a 可得：y ′=3a 22﹣4a+1，令y ′=0，则1=，2=，即1=和2=为函数y=a 23﹣2a 2++a 的两个极值点，对称轴=介于1=和2=两个极值点之间， 故A 、C 符合要求，B 不符合，故选：B ．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中熟练掌握二次函数的图象和性质，三次函数的极值点等知识点是解答的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）若曲线y=ln 上点P 处的切线平行与直线2﹣y+1=0，则点P 的坐标是 （e ，e ） ．【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为f ′（）=ln+=1+ln ，直线2﹣y+1=0的斜率=2，∵曲线y=ln 上点P 处的切线平行与直线2﹣y+1=0，∴f ′（）=1+ln=2，即ln=1，解得=e ，此时y=elne=e ，故点P 的坐标是（e ，e ），故答案为：（e ，e ）．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及直线平行的性质，要求熟练掌握导数的几何意义．12．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cos α=，若向量=3﹣2，则||= 3 ．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求出的值，从而得到||的值． 【解答】解：=9=9， ∴||=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．13．（5分）在等差数列{a n }中，a 1=7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n=8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为 （﹣1，﹣） ．【分析】根据题意当且仅当n=8时S n 取得最大值，得到S 7＜S 8，S 9＜S 8，联立得不等式方程组，求解得d 的取值范围．【解答】解：∵S n =7n+，当且仅当n=8时S n 取得最大值，∴，即，解得：，综上：d 的取值范围为（﹣1，﹣）．【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，解不等式方程组，属于中档题．14．（5分）设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于 ．【分析】根据条件分别求出A ，B ，D 的坐标，利用AD ⊥F 1B ，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：连接AF 1，∵OD ∥AB ，O 为F 1F 2的中点，∴D 为BF 1的中点，又AD ⊥BF 1，∴|AF 1|=|AB|．∴|AF 1|=2|AF 2|．设|AF2|=n ，则|AF 1|=2n ，|F 1F 2|=n ，∴e=====．【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大．为了方便，可以先确定一个参数的值．15．（5分），y∈R，若||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|≤2，则+y的取值范围为[0，2] ．【分析】根据绝对值的意义，||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|的最小值为2，再根据条件可得只有||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|=2，此时，0≤≤1，0≤y≤1，从而求得+y 的范围．【解答】解：根据绝对值的意义可得||+|﹣1|表示数轴上的对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；|y|+|y﹣1|表示数轴上的y对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；故||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|的最小值为2．再根据||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|≤2，可得只有||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|=2，此时，0≤≤1，0≤y≤1，∴0≤+y≤2，故答案为：[0，2]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（）=（a+2cos2）cos（2+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．【分析】（1）把=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sin α，cos α，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．【解答】解：（1）f （）=﹣（a+1）sin θ=0， ∵θ∈（0，π）．∴sin θ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f （）为奇函数，∴f （0）=（a+2）cos θ=0，∴cos θ=0，θ=．（2）由（1）知f （）=（﹣1+2cos 2）cos （2+）=cos2•（﹣sin2）=﹣， ∴f （）=﹣sin α=﹣，∴sin α=， ∵α∈（，π）， ∴cos α==﹣， ∴sin （α+）=sin αcos +cos αsin =．【点评】本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）证明：对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．【分析】（1）利用“当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1；当n=1时，a 1=S 1”即可得出；（2）对任意的n ＞1，假设都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．利用等比数列的定义可得，即（3n ﹣2）2=1×（3m ﹣2），解出m 为正整数即可．【解答】（1）解：∵S n =，n ∈N *． ∴当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣=3n ﹣2，（*）当n=1时，a 1=S 1==1． 因此当n=1时，（*）也成立．∴数列{a n }的通项公式a n =3n ﹣2．（2）证明：对任意的n ＞1，假设都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 则，∴（3n ﹣2）2=1×（3m ﹣2），化为m=3n 2﹣4n+2，∵n ＞1，∴m=3n 2﹣4n+2=＞1，因此对任意的n ＞1，都存在m=3n 2﹣4n+2∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了反证法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．18．（12分）已知函数f （）=（42+4a+a 2），其中a ＜0．（1）当a=﹣4时，求f （）的单调递增区间；（2）若f （）在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．【分析】（1）当a=﹣4时，先求导，在根据导数求出f （）的单调递增区间；（2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数的值．【解答】解；（1）当a=﹣4时，f（）=（42+4a+a2），∴f（）=（42﹣16+16），∴f′（）=（8﹣16）+（42﹣16+16）=2（）=，∵f′（）＞0，≥0，∴52﹣12+4＞0，解得，0≤＜，或＞2，∴当a=﹣4时，f（）的单调递增区间为[0，）和（2，+∞）；（2）∵f（）=（42+4a+a2），∴；令f′（）=0．解得，当f′（）＞0时，∈（0，）或，此时f（）单调递增，当f′（）＜0时，∈（），此时f（）单调递减，①当≥4，即a≤﹣40，f（）在区间[1，4]为增函数，由f（1）=8，解得a=﹣2，不符合舍去②当﹣≤1，即﹣2≤a＜0时，f（）在区间[1，4]为增函数，由f（1）=8，解得a=﹣2，不符合舍去③当﹣≤1，≥4即﹣10≤a≤﹣8时，f（）在区间[1，4]为减函数，由f （4）=8，解得a=﹣10，④当，即﹣40＜a＜﹣10时，由f（1）=8或f（4）=8，解得，a=﹣2，或a=﹣6，a=﹣10，不符合舍去，⑤当，即﹣8＜a＜﹣2时，由f（）=8，无解．综上所述，a=﹣10．【点评】本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学生的能力要求较高，属于难题19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1，（1）求证：A 1C ⊥CC 1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA 1为何值时，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．【分析】（1）通过证明直线CC 1与平面BA 1C 垂直，即可证明A 1C ⊥CC 1；（2）作AO ⊥BC 于O ，连结A 1O ，说明∠AA 1O=90°，设A 1A=h ，求出A 1O 的表达式，以及三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积V 的表达式，利用二次函数的最值，求最大值．【解答】解：（1）∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∴A 1A ∥CC 1∥BB 1，∵AA 1⊥BC ，∴CC 1⊥BC ，∵A 1B ⊥BB 1，∴A 1B ⊥CC 1，∵BC ∩BA 1=B ，∴CC 1⊥平面BA 1C ，A 1C ⊂平面BA 1C∴A 1C ⊥CC 1；（2）作AO ⊥BC 于O ，连结A 1O ，由（1）可知∠AA 1O=90°，∵AB=2，AC=，BC=，∴AB ⊥AC ，∴AO=，设A 1A=h ，A 1O==， ∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积V===，当h 2=，即h=时，即AA 1=时棱柱的体积最大， 最大值为：．【点评】本题考查空间直线与平面垂直的判定与应用，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间想象能力．20．（13分）如图，已知抛物线C ：2=4y ，过点M （0，2）任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．（1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含轴），与直线y=2相交于点N 1，与（1）中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值，并求此定值．【分析】（1）设AB 的方程为y=+2，代入2=4y ，整理得2﹣4﹣8=0，设A （1，y 1），B （2，y 2），则有：12=﹣8，由直线AO 的方程y=与BD 的方程=2联立即可求得交点D 的坐标为，利用12=﹣8，即可求得D 点在定直线y=﹣2（≠0）上；（2）依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y=a+b （a ≠0），代入2=4y ，由△=0化简整理得b=﹣a 2，故切线l 的方程可写成y=a ﹣a 2．分别令y=2、y=﹣2得N 1、N 2的坐标为N 1（+a ，2）、N 2（﹣+a ，﹣2），从而可证|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值8．【解答】（1）证明：依题意，可设AB 的方程为y=+2，代入2=4y ，得2=4（+2），即2﹣4﹣8=0，设A （1，y 1），B （2，y 2），则有：12=﹣8，直线AO 的方程为y=；BD 的方程为=2．解得交点D 的坐标为．注意到12=﹣8及=4y 1，则有y===﹣2，因此D 点在定直线y=﹣2（≠0）上．（2）证明：依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y=a+b （a ≠0），代入2=4y 得2=4（a+b ），即2﹣4a ﹣4b=0，由△=0得（4a ）2+16b=0，化简整理得b=﹣a 2．故切线l 的方程可写成y=a ﹣a 2．分别令y=2、y=﹣2得N 1、N 2的坐标为N 1（+a ，2）、N 2（﹣+a ，﹣2），则|MN 2|2﹣|MN 1|2=+42﹣=8，即|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值8．【点评】本题考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题．21．（14分）将连续正整数1，2，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率．（1）求p（100）；（2）当n≤2014时，求F（n）的表达式；（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h （n）=f（n）﹣g（n），S={n|h（n）=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值．【分析】（1）根据题意，首先分析n=100时，这个数的位数，进而可得其中0的个数，有等可能事件的概率公式，计算可得答案；（2）分1≤n≤9，10≤n≤99，100≤n≤999，1000≤n≤2014，四种情况讨论这个数的组成情况，综合即可得F（n）；（3）根据题意，分情况求出当n∈S时p（n）的表达式，比较其最大值的大小，即可得答案．【解答】解：（1）当n=100时，F（100）=9+90×2+3=192，即这个数中共有192个数字，其中数字0的个数为11，则恰好取到0的概率为P（100）=；（2）当1≤n≤9时，这个数有1位数组成，F（n）=n，当10≤n≤99时，这个数有9个1位数组成，n﹣9个两位数组成，则F（n）=2n﹣9，当100≤n≤999时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，n﹣99个三位数组成，F（n）=3n﹣108，当1000≤n≤2014时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成，n﹣999个四位数组成，F（n）=4n﹣1107，F（n）=；（3）当n=b（1≤b≤9，b∈N*）时，g（n）=0，当n=10+b（1≤≤9，0≤b≤9，∈N*，b∈N*）时，g（n）=：当n=100时，g（n）=11，即g（n）=，同理有f（n）=，由h（n）=f（n）﹣g（n）=1，可知n=9、19、29、39、49、59、69、79、89、90，所以当n≤100时，S={9，19、29，39，49，59，69，79，89，90}；当n=9时，P（9）=0，当n=90时，P（90）==，当n=10+9（1≤≤8，∈N*）时，p（n）===，由y=关于单调递增，故当n=10+9（1≤≤8，∈N*）时，P（n）的最大值为P（89）=，又＜，所以当n∈S时，P（n）的最大值为．【点评】本题考查合情推理的应用，关键在于正确理解题意，进而分析推理．。
2014年全国高考文科数学试题及答案-江西卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若复数z 满足(1)2z i i +=（i 为虚数单位），则||z =（ ）.1A .2B C D 【答案】C【解析】：设Z=a+bi 则(a+bi)( 1+i)=2i ¦ (a-b)( a+b)i=2i a-b=0 a+b=2 解得 a=1 b=1Z=1+1i Z =i 11+=22.设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R AC B =( ).(3,0)A - .(3,1)B -- .(3,1]C -- .(3,3)D -【答案】C【解析】 {|33},{|15}A x x B x x =-<<=-<≤，所以{}()31R A C B x x =-<<-3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）1.18A 1.9B 1.6C 1.12D 【答案】B【解析】点数之和为5的基本事件有：（1,4）（4,1）（2,3）（3,2），所以概率为364=914. 已知函数2,0()()2,0x x a x f x a R x -⎧⋅≥=∈⎨<⎩，若[(1)]1f f -=，则=a （ ）1.4A 1.2B .1C .2D【答案】A【解析】(1)2f -=，(2)4f a =，所以[(1)]41f f a -==解得14a =5. 在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则2222sin sin sin B AA-的值为（ ）1.9A -1.3B .1C 7.2D 【答案】D【解析】222222222sin sin 2372121sin 22B A b a b A a a --⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6.下列叙述中正确的是（ ）.A 若,,a b c R ∈，则2"0"ax bx c ++≥的充分条件是2"40"b ac -≤ .B 若,,a b c R ∈，则22""ab cb >的充要条件是""a c >.C 命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x ≥” .D l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ【答案】D【解析】当0a ≠时，A 是正确的；当0b =时，B 是错误的；命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x <”，所以C 是错误的。
2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(江西卷带解析) 答案解析
2014年全国普通高等学校招生统一考试文科（江西卷）数学答案解析1、【答案】C【解析】试题分析：因为，所以因此考点：复数的模2、【答案】C【解析】试题分析：因为所以考点：集合的运算3、【答案】B【解析】试题分析：掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）这四种，因此所求概率为，选B.考点：古典概型概率4、【答案】A【解析】试题分析：因为所以考点：分段函数5、【答案】D【解析】试题分析：由正弦定理得：，又，所以选D.考点：正弦定理6、【答案】D【解析】试题分析：当时，推不出，错，当时，推不出，错，命题“对任意，有”的否定是“存在，有”，C错，因为与同一直线垂直的两平面平行，所以D正确.考点：充要关系7、【答案】D【解析】试题分析：根据公式分别计算得：A.， B. C. D. ，选项D的值最大，所以与性别有关联的可能性最大为D.考点：关联判断8、【答案】B【解析】试题分析：第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：第五次循环：结束循环，输出选B.考点：循环结构流程图9、【答案】A【解析】试题分析：因为的渐近线为，所以或因此OA=c=4,从而三角形OAC为正三角形，即双曲线的方程为.考点：双曲线的渐近线10、【答案】B【解析】试题分析：当时，两函数图像为D所示，当时，由得：或，的对称轴为.当时，由知B不对. 当时，由知A,C正确.考点：利用导数研究函数图像11、【答案】【解析】试题分析：因为，设切点，则又考点：利用导数求切点12、【答案】3【解析】试题分析：因为所以考点：向量数量积13、【答案】【解析】试题分析：由题意得：，所以，即考点：等差数列性质14、【答案】【解析】试题分析：因为平行于，所以为中点，又，所以设则因此考点：椭圆的离心率15、【答案】【解析】试题分析：因为，当且仅当取等号，所以，又，所以，因此的取值范围为.考点：含绝对值不等式的性质16、【答案】(1),(2)【解析】试题分析：(1)根据奇偶性定义，可得等量关系：即，因为所以又所以因为，所以(2)由（1）得：所以由，得又，所以因此试题解析：（1）因为函数为奇函数，所以即，因为所以又所以因为，所以（2）由（1）得：所以由，得又，所以因此考点：函数奇偶性，同角三角函数关系，二倍角公式17、【答案】（1）（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）由和项求通项，主要根据进行求解. 因为所以当时又时，所以（2）证明存在性问题，实质是确定要使得成等比数列，只需要，即.而此时，且所以对任意，都有，使得成等比数列.试题解析：（1）因为所以当时又时，所以（2）要使得成等比数列，只需要，即.而此时，且所以对任意，都有，使得成等比数列.考点：由和项求通项，等比数列18、【答案】（1）和，（2）【解析】试题分析：（1）利用导数求函数单调区间，首先确定定义域：然后对函数求导，在定义域内求导函数的零点：，当时，，由得或，列表分析得单调增区间：和，（2）已知函数最值，求参数，解题思路还是从求最值出发.由（1）知，，所以导函数的零点为或，列表分析可得：函数增区间为和，减区间为.由于所以，当时，，（舍），当时，由于所以且解得或(舍)，当时，在上单调递减，满足题意，综上.试题解析：（1）定义域：而，当时，，由得或，列表：所以单调增区间为：和，（2）由（1）知，，所以导函数的零点为或，列表分析可得：函数增区间为和，减区间为.由于所以，当时，，（舍），当时，由于所以且解得或(舍)，当时，在上单调递减，满足题意，综上.考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求函数最值19、【答案】（1）详见解析，（2）时，体积取到最大值【解析】试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直判定及性质定理进行多次转化证明. 由知,又,故平面即,又，所以（2）研究三棱柱体积，关键明确底面上的高，本题由（1）知：平面因此将三棱柱体积转化为等高同底的三棱锥体积（三倍关系），而三棱锥体积又等于三棱锥体积，三棱锥体积等于，设不难计算三棱柱的体积为，故当时，即时，体积取到最大值试题解析：（1）证明：由知,又,故平面即,又，所以（2）设在中同理在中,，所以从而三棱柱的体积为因故当时，即时，体积取到最大值考点：线面垂直判定与性质定理，三棱柱的体积20、【答案】（1）详见解析，（2）8.【解析】试题分析：（1）证明动点在定直线上，实质是求动点的轨迹方程，本题解题思路为根据条件求出动点的坐标，进而探求动点轨迹：依题意可设AB方程为，代入，得，即.设，则有：，直线AO的方程为；BD的方程为；解得交点D的坐标为，注意到及，则有，因此D 点在定直线上.（2）本题以算代征，从切线方程出发，分别表示出的坐标，再化简.设切线的方程为，代入得，即，由得，化简整理得，故切线的方程可写为，分别令得的坐标为，则，即为定值8.试题解析：（1）解：依题意可设AB方程为，代入，得，即.设，则有：，直线AO的方程为；BD的方程为；解得交点D的坐标为，注意到及，则有，因此D点在定直线上.（2）依题设，切线的斜率存在且不等于零，设切线的方程为，代入得，即，由得，化简整理得，故切线的方程可写为，分别令得的坐标为，则，即为定值8.考点：曲线的交点，曲线的切线方程21、【答案】（1）（2）（3）【解析】试题分析：（1）解概率应用题，关键要正确理解事件. 当时，这个数中有9个一位数，90个二位数，一个三位数，总共有192个数字，其中数字0的个数为9+2=11，所以恰好取到0的概率为（2）按（1）的思路，可分类写出的表达式：，（3）同（1）的思路，分一位数，二位数，三位数进行讨论即可，当当当即同理有由可知，当时，当时，，当时，由关于k单调递增，故当，最大值为又，所以当时，最大值为试题解析：（1）解：当时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为（2）（3）当当当即同理有由可知所以当时，,当时，当时，，当时，由关于k单调递增，故当，最大值为又，所以当时，最大值为考点：古典概型概率。
2014年高考文科数学江西卷
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页,满分150分,考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上,考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回. 参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(1i)2i z +=（i 为虚数单位）,则||z =( )A .1B .2CD2.设全集为R ,集合2{|90}A x x =-＜,{|15}B x x =-＜≤,则R ()A B =I ð( )A .(3,0)-B .(3,1)--C .(3,1]--D .(3,3)- 3.掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于( )A .118B .19C .16 D .1124.已知函数2,0,()2,0,x x a x f x x -⎧=⎨⎩g ≥＜()a ∈R ,若[(1)]1f f -=,则a =( ) A .14 B .12C .1D .2 5.在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若32a b =,则2222sin sin sin B AA-的值为( )A .19- B .13C .1D .726.下列叙述中正确的是( )A .若a ,b ,c ∈R ,则“20ax bx c ++≥”的充分条件是“240b ac -≤”B .若a ,b ,c ∈R ,则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C .命题“对任意x ∈R ,有20x ≥”的否定是“存在x ∈R ,有20x ≥”D .l 是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l α⊥,l β⊥,则αβP7.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查了52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是 ( )A .成绩B .视力C .智商D .阅读量8.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为 ( )A .7B .9C .10D .119.过双曲线C ：22221x y a b-=的右顶点作x 轴的垂线,与C 的一条渐近线相交于点A .若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ,O 两点（O 为坐标原点）,则双曲线C 的方程为( )A .221412x y -=B .22179x y -= C .22188x y -=D .221124x y -= 10.在同一直角坐标系中,函数22ay ax x =-+与2322y a x ax x a =-++()a ∈R 的图象不可．．能．的是( )A .B .C .D .-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效-------------姓名________________ 准考证号_____________第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上作答,答案无效.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.若曲线ln y x x =上点P 处的切线平行于直线210x y -+=，则点P 的坐标是 .12.已知单位向量e 1,e 2的夹角为α,且1cos 3α=,若向量a 3=e 12-e 2,则|a |= .13.在等差数列{}n a 中,17a =,公差为d ,前n 项和为n S ,当且仅当8n =时n S 取得最大值,则d 的取值范围为 .14.设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点为1F ,2F ,过2F 作x 轴的垂线与C 相交于A B ，两点,1F B 与y 轴相交于点D ,若1AD F B ⊥,则椭圆C 的离心率等于 .15.x ,y ∈R ,若|||||1||1|2x y x y ++-+-≤,则x y +的取值范围为 . 三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数2()(2cos )cos(2)f x a x x θ=++为奇函数,且π()04f =,其中a ∈R ,()0πθ∈，.（Ⅰ）求a ,θ的值； （Ⅱ）若2()45f α=-,π(π)2α∈，,求πsin()3α+的值.17.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和232n n nS -=,*n ∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意1n >,都有m *∈N ,使得1a ,n a ,m a 成等比数列.18.（本小题满分12分）已知函数22()(44f x x ax a =++其中0a <. （Ⅰ）当4a =-时,求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若()f x 在区间[1,4]上的最小值为8,求a 的值.19.（本小题满分12分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,1AA BC ⊥,11A B BB ⊥. （Ⅰ）求证：111AC CC ⊥；（Ⅱ）若2AB =,AC =BC =问1AA 为何值时,三棱柱111ABC A B C -体积最大,并求此最大值.20.（本小题满分13分）如图,已知抛物线C ：24x y =,过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于A ,B 两点,过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）. （Ⅰ）证明：动点D 在定直线上；（Ⅱ）作C 的任意一条切线l （不含x 轴）,与直线2y =相交于点1N ,与（Ⅰ）中的定直线相交于点2N .证明：2221||||MN MN -为定值,并求此定值.21.（本小题满分14分）将连续正整数1,2,⋅⋅⋅,n *()n ∈N 从小到大排列构成一个数123n L ,()F n 为这个数的位数（如12n =时,此数为123456789101112,共有15个数字,(12)15f =）,现从这个数中随机取一个数字,()p n 为恰好取到0的概率. （Ⅰ）求(100)p ；（Ⅱ）当2014n ≤时,求()F n 的表达式.（Ⅲ）令()g n 为这个数中数字0的个数,()f n 为这个数中数字9的个数,()()h n f n =()g n -,*{|()1,100,}S n h n n n ==∈N ≤,求当n S ∈时()p n 的最大值.。
2014年江西省高考数学试卷（文科）（含解析版）
2014年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. （5分）若复数z 满足z （1+i ） =2i （i 为虚数单位），贝l]|z|=（ ）A. 1B. 2C. >/2D.而2. （5 分）设全集为 R,集合 A=（x|x 2 - 9<0）, B={x| - 1V x W5},则 AC （[r B ）=（ ）A. （ - 3, 0） B, （ - 3, - 1） C. （ - 3, - 1] D. （ - 3, 3）3. （5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）42A.B. XC.1_ D.189*6124. (5 分)已知函数f （X ）=<(a£R),若 f[f ( - 1) ]=1,则 a=.2"，x<0()A. LB. 1C.1D. 25. （5分）在^ABC 中，内角A, B, C 所对的边分别是a, b, c,若3a=2b,则2sin2B-sin2A 的值为（）si n 2 AA. - LB. -LC. 1D. L9 326. （5分）下列叙述中正确的是（ ）A. 若 a, b, cCR,贝U"ax2+bx+cN0”的充分条件是W - 4acW0”B. 若 a, b, cGR,贝!!,,ab 2>cb 2w 的充要条件是"a>c ”C. 命题“对任意xCR,有x 2^0"的否定是“存在x£R,有x2N0”D. I 是一条直线，a, B 是两个不同的平面，若ILa, l±p,则a〃87. （5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了 52名中学生，得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）表1成绩性别不及格及格总计男61420女102232总计163652表2表3视力性别好差总计男41620女122032总计163652表4智商性别偏高正常总计男81220女82432总计163652A.成绩B.视力C.智商D.阅读量阅读量性别丰富不丰富总计男14620女23032总计1636528. (5分)阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A. 7B. 9C. 10D. 112 29.（5分）过双曲线C ： &-的右顶点做x 轴的垂线，与C 的一条渐近线2 1 2a b相交于点A,若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,。
2014年高考文科数学江西卷-答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】∵复数z 满足(1i)2i z +=（i 为虚数单位），2i 2i(1i)==1i 1i (1i)(1i)z -=+++-∴||z =∴(){|R A B x =-【提示】根据补集的定义求得RB ，再根据两个集合的交集的定义，求得()R A B .1=.ilgi 2+++【解析】由题意，4c =，双曲线的一条渐近线方程为by x a=，令x a =，则y b =，即(,)A a b ，∵右焦点(4,0)F ，||4FA =，22(4)16a b -+=∴，2216a b +=∵，2a b ==，∴∴双曲线C 的方程为221x y -=.【解析】当0a =时，函数22ay ax x -=+的图象是第二，四象限的角平分线，而函数2322y a x ax x a -=++的图象是第一，三象限的角平分线，故D 符合要求；当0a ≠时，函数22ay ax x -=+图象的对称轴方程为直线12x a =，由2322y a x a x x a -=++可得：22341y a x ax -'=+，令0y '=，则113x a =，21x a=，即113x a =和21x a =为函数2322y a x ax x a -=++的两个极值点，对称轴12x a =介于113x a =和21x a=两个极值点之间，第Ⅱ卷【答案】3【解析】22211229124912a e e e e =-+=-||3a =【提示】由条件利用两个向量的数量积的定义求出2a 的值，从而得到||a 的值11AD F B k =-，即22b c c-=---，解得33c -⨯==(0,π)θ∈∵，sin 0θ≠∴1a +∴=0，即1a =-.()f x ∵为奇函数，(0)(2)cos 0f a θ=+=∴，πcos 02θθ==∴， （Ⅱ）由（Ⅰ）知2π1()(2cos )cos(2)cos2(sin 2)sin 422f x x x x x x =++=-=--1，12sin 425f αα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∴，45α=∴sin ， π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∵，3cos 5α==-∴，πππsin sin cos cos sin 333ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∴【提示】（Ⅰ）把π4x =代入函数解析式可求得a 的值，进而根据函数为奇函数推断出(0)0f =，进而求得cosθ，则θ的值可得.（Ⅱ）利用245f α⎛⎫=- ⎪⎝⎭和函数的解析式可求得sin 2α，进而求得cos 2α，进而利用二倍角公式分别求得sin α，cos所以对任意1n >，都有m N *∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列.【提示】（Ⅰ）利用“当2n ≥时，1n n n a S S -=-；当1n =时，11a S =”即可得出；（Ⅱ）对任意的1n >，假设都存在*m N ∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列，利用等比数列的定义可得21n m a a a =，即()23232n m --=，解出m 为正整数即可4a =-()f x1BCA B C =1BCA ⊥面1CC ∥11AC BC B AC -=117sin 2x B AC BAC -∠， 111ABC A B C -的体积11122A BCx S l S AA -==△2636)+77-90，设的表达式，利用二次函数的最值，求最大值【提示】（Ⅰ）设AB 的方程为2y kx =+，代入2=4y x ，整理得24-8=0x kx -，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有：128x x =-，直线AO 的方程为11y y x x =与BD 的方程为2x x =，联立即可求得交点D 的坐标为2121=x x y x y x =⎧⎪⎨⎪⎩，利用128x x =-，即可求得D 点在定直线2y =-上；（Ⅱ）当19n ≤≤时，这个数有1位数组成，()9F n =，当1099n ≤≤时，这个数有9个1位数组成，9n﹣个两位数组成，则()29F n n =-， 当100999n ≤≤时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，99n﹣个三位数组成，()3108F n n =-， 当10002014n ≤≤时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成，999n -个四位数()41107F n n =-【提示】（Ⅰ）根据题意，首先分析100n =时，这个数的位数，进而可得其中0的个数，有等可能事件的概率公式，计算可得答案；（Ⅱ）分19109910099910002014n n n n ≤≤≤≤≤≤≤≤，，，，四种情况讨论这个数的组成情况，综合即可得 ()F n ；（3）根据题意，分情况求出当n S ∈时()P n 的表达式，比较其最大值的大小，即可得答案． 【考点】排列、组合的实际应用。
2014年江西卷文科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理科数学本试卷共21题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题）一、单选题1．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．1B ．2CD ．2．设全集为，集合2{|90},{|15}A x x B x x =−<=−<≤，则（ ）A ．(3,0)−B ．(3,1]−−C ．(3,1)−−D ．(3,3)−3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ） A ．118B ．19C ．16D ．1124．已知函数f (x )＝2,02,0x x a x x −⎧⋅≥⎨<⎩ (a ∈R)，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A ．14B ．12C ．1D ．25．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若32a b =，则2222sin sin sin B AA−的值为（ ） A ．19B ．13C ．1D ．726．下列叙述中正确的是( )A ．若,,a b c ∈R ，则“20ax bx c ++≥”的充分条件是“240b ac −≤”B ．若,,a b c ∈R ，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C ．命题“对任意x ∈R ，有20x ≥”的否定是“存在x ∈R ，有20x ≥”D ．l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ7．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ） 表123表48．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B.9 C.10 D．119．过双曲线22221x yCa b−=：的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A O O、两点（为坐标原点），，则双曲线C的方程为（）A．221412x y−=B．22179x y−=C．22188x y−=D．221124x y−=10．在同一直角坐标系中，函数()223222ay ax x y a x ax x a a R 与=−+=−++∈的图像不可能的是（ ） A ． B ． C ． D ．第II 卷（非选择题）二、填空题11．若曲线ln y x x P =上点处的切线平行于直线210,x y P −+=则点的坐标是_______. 12．已知单位向量12121,,cos ,32,3e e a e e a αα==−=的夹角为且若向量则_______. 13．13．在等差数列{}n a 中， 17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取最大值，则d 的取值范围_________.14．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点为12F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于A B ，两点，1F B 与y 轴交于点D ，若1AD F B ⊥，则椭圆C 的离心率等于________.15．x y R ∈，，若112x y x y ++−+−≤，则x y +的取值范围为__________.三、解答题16．已知函数()()()22cos cos 2f x a x x θ=++为奇函数，且04f π⎛⎫=⎪⎝⎭，其中()0a R θπ∈∈，，. （1）求a θ，的值； （2）若2452f απαπ⎛⎫⎛⎫=−∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，求sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17．已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2−n 2，n ∈N ∗.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对任意n >1，都有m ∈N ∗，使得a 1，a n ，a m 成等比数列.18．已知函数22()(44f x x ax a =++，其中0a <. （1）当4a =−时，求()f x 的单调递增区间; （2）若()f x 在区间[1,4]上的最小值为8，求a 的值.19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1，（1）求证：A 1C ⊥CC 1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA 1为何值时，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．20．如图，已知抛物线2:4C x y =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）.(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||MN MN −为定值，并求此定值.21．将连续正整数1,2,,(*)n n N ∈从小到大排列构成一个数123n ，()F n 为这个数的位数（如12n =时，此数为123456789101112，共有15个数字，(12)15f =），现从这个数中随机取一个数字，()p n 为恰好取到0的概率. （1）求(100)p ；（2）当2014n ≤时，求()F n 的表达式；（3）令()g n 为这个数中数字0的个数，()f n 为这个数中数字9的个数，()()()h n f n g n =−，{|()1,100,*}S n h n n n N ==≤∈，求当n S ∈时()p n 的最大值.2014年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)文科数学(参考答案)1．C【解析】试题分析：因为(1)2z i i +=，所以22(1)1,12i i i z i i −===++因此1z i =+=2．B【解析】试题分析：由题首先计算集合B 的补集然后与集合A 取交集即可． 由题A=（-3,3）,{1R C B x =≤−或5}x >，(]3,1R A C B ⋂=−，故选B ．3．B【详解】试题分析：掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）这四种，因此所求概率为，选B ．4．A【详解】由题意，函数()2,02,0x x a x f x x −⎧⋅≥=⎨<⎩，则()(1)122f −−−==， 则()2(1)(2)241f f f a a −==⋅==，所以14a =，故选A. 5．D【详解】由正弦定理有22222222sin sin 221sin B A b a b A a a −−⎛⎫==− ⎪⎝⎭.又3322b a b a =⇒=, 故297212142b a ⎛⎫−=⨯−= ⎪⎝⎭.故选：D6．D【解析】试题分析：当0a <时，2"40"b ac −≤推不出2"0"ax bx c ++≥，A 错，当0b =时，""a c >推不出22""ab cb >，B 错，命题“对任意x ∈R ，有20x ≥”的否定是“存在x ∈R ，有20x <”，C 错，因为与同一直线垂直的两平面平行，所以D 正确. 7．D 【详解】根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++分别计算得：A.2252(6221014):0.00916363220A K ⨯−⨯=≈⨯⨯⨯;2252(4201216): 1.76916363220B K ⨯−⨯=≈⨯⨯⨯;2252(824812): 1.316363220C K ⨯−⨯=≈⨯⨯⨯;2252(143062):23.4816363220D K ⨯−⨯=≈⨯⨯⨯选项D 的值最大，所以与性别有关联的可能性最大,故选D. 8．B 【解析】试题分析：第一次循环：11,lg ,3i S ==第二次循环：1313,lglg lg ,355i S ==+= 第三次循环：1515,lg lg lg ,577i S ==+=第四次循环：1717,lg lg lg ,799i S ==+=第五次循环：1919,lg lg lg 1,91111i S ==+=<−结束循环，输出9.i =选B.9．A 【详解】 可得渐近线方程为，将x=a 代入求得．由条件知，半焦距,所以由得，．又因,所以解得，．双曲线C 的方程为221412x y −=故选A ．10．B 【解析】试题分析：当0a =时，两函数图像为D 所示，当0a ≠时，由223410y a x ax =−+='得：1x a=或13=x a ，22ay ax x =−+的对称轴为12x a =.当0a <时，由11123a a a <<知B 不对. 当0a >时，由11123a a a >>知A,C 正确. 11．(,)e e【解析】试题分析：因为ln 1y x '=+，设切点(,)a b ，则ln 12,,k a a e =+==又ln ,b a a e ==(,).P e e 考点：利用导数求切点12．3【解析】试题分析：因为()22221211221||329124912cos 413129,3a e e e e e e α=−=−⋅+=−⨯+=−⨯=所以 3.a = 13．71,8⎛⎫−−⎪⎝⎭【解析】试题分析：由题意得： 890,0a a ><，所以770,780d d +>+<，即71.8d −<<− 14【解析】试题分析：因为OD 平行于2F B ，所以D 为1F B 中点，又1AD F B ⊥，所以122,AF AB AF ==设2,AF m =则1122,,AF m F F ==因此121222F F c c e a a AF AF =====+15．[0,2] 【解析】试题分析：因为1(1)1,1(1)1x x x x y y y y +−≥−−=+−≥−−=，当且仅当01,01x y ≤≤≤≤取等号，所以112x y x y ++−+−≥，又112x y x y ++−+−≤，所以01,01x y ≤≤≤≤，因此x y +的取值范围为[0,2].16．(1)1,2a πθ=−=,(2)410− 【解析】试题解析：（1）因为函数()()()22cos cos 2f x a x x θ=++为奇函数，所以()(),f x f x −=−即()()()()222cos cos 22cos cos 2a x x a x x θθ+−+=−++，因为,x R ∈所以()()cos 2cos 2,cos 2cos 0,cos 0.x x x θθθθ−+=−+==又()0,，θπ∈所以.2πθ=因为04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以22cos cos 0, 1.422a a πππ⎛⎫⎛⎫++==− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）得：()()2112cos cos 2cos 2(sin 2)sin 4,22f x x x x x x π⎛⎫=−++=−=− ⎪⎝⎭所以由245f α⎛⎫=− ⎪⎝⎭，得124sin ,sin ,255αα−=−=又2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以3cos ,5α=−因此sin sin cos sin cos 333πππααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭4.10− 17．（1）a n =3n −2,（2）详见解析. 【解析】试题解析：（1）因为S n =3n 2−n 2，所以当n ≥2时a n =S n −S n−1=3n −2,又n =1时，a n =S 1=1=3×1−2,所以a n =3n −2,（2）要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a n 2=a 1a m ，即(3n −2)2=1×(3m −2),m =3n 2−4n +2.而此时m ∈N ∗，且m >n,所以对任意n >1，都有m ∈N ∗，使得a 1，a n ，a m 成等比数列. 考点：由和项求通项，等比数列18．（1）2(0,)5和(2,)+∞，（2）10.− 【解析】 试题解析：（1）定义域：[0,),+∞而2222()(84f x x a =+=='，当4a =−时，()f x '=，由()0f x '=得25x =或2x =，列表：所以单调增区间为：2(0,)5和(2,)+∞，（2）由（1）知，2222()(84f x x a =+=='，所以导函数的零点为10ax =−或2a x =−，列表分析可得：函数增区间为(0,)10a −和(,)2a −+∞，减区间为(,)102a a−−.由于()0,2a f −=所以[1,4]2a −∉，当012a<−<时，2min ()(1)448,2f x f a a a ==++==−±（舍），当42a −>时，{}min ()min (1),(4),f x f f =由于(1)8,f ≠所以2(4)2(6416)8,f a a =++=且(4)(1),f f <解得10a =−或6a =−(舍)，当10a =−时，()f x 在(1,4)上单调递减，满足题意，综上10a =−.19．（1）见解析（2）当h 2=，即h=时，即AA 1=时棱柱的体积最大，最大值为：．【解析】（1）通过证明直线CC 1与平面BA 1C 垂直，即可证明A 1C ⊥CC 1；（2）作AO ⊥B 于O ，连结A 1O ，说明∠AA 1O=90°，设A 1A=h ，求出A 1O 的表达式，以及三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积V 的表达式，利用二次函数的最值，求最大值． 解：（1）∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中， ∴A 1A ∥CC 1∥BB 1，∵AA 1⊥BC ，∴CC 1⊥BC ， ∵A 1B ⊥BB 1，∴A 1B ⊥CC 1， ∵BC∩BA 1=B ，∴CC 1⊥平面BA 1C ，A 1C ⊂平面BA 1C ∴A 1C ⊥CC 1；（2）作AO ⊥B 于O ，连结A 1O ，由（1）可知∠AA 1O=90°，∵AB=2，AC=，BC=，∴AB ⊥AC ，∴AO=，设A 1A=h ，A 1O==，∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积V===，当h 2=，即h=时，即AA 1=时棱柱的体积最大，最大值为：．20．（1）详见解析，（2）8. 【解析】试题解析：（1）依题意可设AB 的方程为2y kx =+，代人24x y =，得()242x kx =+，即2480x kx −−=，设()()1122,,,A x y B x y ，则有128x x =−， 直线AO 的方程为11,y y x BD x =的方程为2x x =，解得交点D 的坐标为1221,y x x x ⎛⎫⎪⎝⎭， 注意到128x x =−及2114x y =，则有1121211824y x x y y x y −===−， 因此D 点在定直线2y =−上()0x ≠． （2）依题意,切线l 的斜率存在且不等于0．设切线l 的方程为()0y ax b a =+≠，代人24x y =得，即2440x ax b −−=．由0∆=得()24160a b +=，化简整理得2b a =−．故切线l 的方程可写为2y ax a =−． 分别令2,2y y ==−，得12,N N 的坐标为1222,2,,2N a N a a a ⎛⎫⎛⎫+−+−⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则22222212248MN MN a a a a ⎛⎫⎛⎫−=−+−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2221MN MN −为定值8． 21．（1）11(100);192p =（2）（3）1.19【解析】 试题解析：（1）解：当100n =时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为11(100);192p =（2）（3）当*(19,),()0;n b b b N g n =≤≤∈=当*10,(19,09,,),(),n k b k b k N b N g n k =+≤≤≤≤∈∈=当1000,()11;n g n ==即**0,,19,,(){,10,19,09,,,11,100n b b b N g n k n k b k b k N b N n =≤≤∈==+≤≤≤≤∈∈=同理有由()()()1,h n f n g n =−=可知9,19,29,39,49,59,69,79,89,90,n =所以当100n ≤时，{}9,19,29,39,49,59,69,79,89,90S =,当9n =时，(9)0,P =当90n =时，(90)91(90)(90)17119g P F ===，当*109(18,)n k k k N =+≤≤∈时，()(),()29209g n k k P n F n n k ===−+由,209ky k =+关于k 单调递增，故当*109(18,)n k k k N =+≤≤∈，()P n 最大值为8(89).169P =又8116919<，所以当n S ∈时，()P n 最大值为1.19。
2014年江西高考文科数学试题含答案（Word版）
答案 C
解析 A = {x | −3 < x < 3}, B = {x | −1 < x ≤ 5} ，所 A I (CRB) = {x − 3 < x < −1}
3．掷两 均匀的骰子，则点数之和为 5 的概率等于
A. 1
B. 1
18
9
答案 B
C. 1 D. 1
6
12
解析 点数之和为 5 的基本
件有
令,4
y'
=
0,Leabharlann x1=1 3a
,
x2
=
1 a
.所
对
轴
x
=
1 2a
介于两个极值点
x1
=
1 3a
,
x2
=
1 a
，之间，所
B
是错误的 所 选择 B
填空 本大 共 5 小 ， 小 5 ，共 以5 .
令令.若曲线 y = x ln x 点P 处的 线平行于直线 2x − y +1 = 0,则点P 的坐标是_______.
=
r 3e1
−
r 2e2
,
则
|
r a
|=
_______.
解析
v a
2
=
v a
2
=
(
r 3e1
−
r 2e2
)2
=
(
r 3e1
)2
+
(
r 2e2
)2
−
r 12e1
⋅
r e2
=
9
+
4
−12 cosα
=
9
解得 a = 3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2014年江西高考数学（文科）真题及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若复数z 满足(1)2z i i +=（为虚数单位），则||z =（ ）.1A .2B C D 2.设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R A C B =( ).(3,0)A - .(3,1)B -- .(3,1]C -- .(3,3)D -3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）1.18A 1.9B 1.6C 1.12D 4. 已知函数2,0()()2,0x xa x f x a R x -⎧⋅≥=∈⎨<⎩，若[(1)]1f f -=，则=a （ ） 1.4A 1.2B .1C .2D 5.在在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若35a b =，则2222sin sin sin B A A-的值为（ ）1.9A - 1.3B .1C 7.2D 6.下列叙述中正确的是（ ）.A 若,,a b c R ∈，则2"0"ax bx c ++≥的充分条件是2"40"b ac -≤ .B 若,,a b c R ∈，则22""ab cb >的充要条件是""a c >.C 命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x ≥”.D 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ7.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）8. 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）A.7B.9C.10D.119.过双曲线12222=-by a x C ：的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过为坐标原点），两点（、O O A 则双曲线C 的方程为（ ）A.112422=-y xB.19722=-y xC.18822=-y xD.141222=-y x 10. 在同一直角坐标系中，函数22322()2ay ax x y a x ax x a a R =-+=-++∈与的图像不可能．．．的是（ ）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若曲线ln y x x P =上点处的切线平行于直线210,x y P -+=则点的坐标是_______.12.已知单位向量12121,,cos ,32,||3e e a e e a αα==-=的夹角为且若向量则_______.13. 在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取得最大值，则d 的取值范围为_________.14. 设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点为12F F ，，过2F 作x 轴的垂线与C 交于A B，两点，1F B 与y 轴交于点D ，若1AD F B ⊥，则椭圆C 的离心率等于________. 15.R y x ∈，，若211≤-+-++y x y x ，则y x +的取值范围为__________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，其中()πθ，，0∈∈R a . （1）求θ，a 的值；（2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππαα，，2524f ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πα的值.17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈-=N n nn S n ，232. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对任意1>n ，都有*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列.18.（本小题满分12分）已知函数x a ax x x f )44()(22++=，其中0<a . （1）当4-=a 时，求)(x f 的单调递增区间; （2）若)(x f 在区间]4,1[上的最小值为8，求a 的值.19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，111,BB B A BC AA ⊥⊥. （1）求证：111CC C A ⊥；（2）若7,3,2===BC AC AB ，问1AA 为何值时，三棱柱111C B A ABC -体积最大，并求此最大值。
20.（本小题满分13分 ）如图，已知抛物线2:4C x y =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）. （1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线（不含x 轴）与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||||MN MN -为定值，并求此定值.21.（本小题满分14分）将连续正整数1,2,,(*)n n N ∈从小到大排列构成一个数123n ，()F n 为这个数的位数（如12n =时，此数为123456789101112，共有15个数字，(12)15f =），现从这个数中随机取一个数字，()p n 为恰好取到0的概率. （1）求(100)p ；（2）当2014n ≤时，求()F n 的表达式；（3）令()g n 为这个数字0的个数，()f n 为这个数中数字9的个数，()()()h n f n g n =-，{|()1,100,*}S n h n n n N ==≤∈，求当n S ∈时()p n 的最大值.参考答案一、选择题1.C2.C3.B4.A5.D6.D7.D8.B9.A 10.B 二、填空题11.（e,e ） 12.3 13.71,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭15.[]0,2 三、解答题16.（本小题满分12分）解： （1）因为()f x =()()22cos cos 2a x x θ++是奇函数，而y 1=a+2cos 2x 为偶函数，所以 y 1=()cos 2x θ+ 为奇函数，又()0,θπ∈，得.2πθ=所以()f x =2sin 22cos x x a -⋅+（）由04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，得 -（a+1）=0，即 1.a =-（2）由（1）得：()1sin 4,2f x x =-因为12sin 425f αα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，得4sin ,5α=又2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以3cos ,5α=-因此sin sin cos cos sin 333πππααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭ 17. （本小题满分12分）（1）解：由232n n nS -=，所以 a 111S ==，当2n ≥时132n n n a S S n -=-=-所以数列n a 的通项公式为32,n a n =-（2）证明：要使得m n a a a ，，1成等比数列，只需要21n m a a a =，即22(32)1(32),342n m m n n -=-=-+即.而此时*∈N m ，且,m n >所以对任意1>n ，都存在*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列. 18. （本小题满分12分） 解：（1）当4-=a 时，由()f x'=，得25x =或2x =，由()0f x '>得2x (0,)5∈或x (2,)∈+∞，故函数f （x ）的单调递增区间为2(0,)5和(2,)+∞ （2）因为()f x '=，a<0，由()=0f x ' 得10a x =-或2ax =- 当x ∈(0,)10a-时，()f x 单调递增，当x ∈(,)102aa--时，()f x 单调递减，当x ∈(,)2a-+∞时，()f x 单调递增，易知()f x =（2x+a ）0≥，且()0,2af -= ①当12a-≤时，即-2≤a<0时，()f x 在[1,4]上的最小值为(1)f ，由(1)f =4+4a+a 2=8，得a=±均不符合题意②当142a<-≤时，即-8a 2≤<-时，()f x 在[1,4]上的最小值为()0,2af -=不符合题意③当42a->时，即a 8<-时，()f x 在[1,4]上的最小值可能在x=1或x=4上取得，而(1)8,f ≠由2(4)2(6416)8,f a a =++=得10a =-或6a =-(舍去)，当10a =-时，()f x 在(1,4)上单调递减，()f x 在[1,4]上的最小值为(4)8,f =符合题意。
综上有，a=-1019.（本小题满分12分）（1）证明：由1AA BC ⊥知1BB BC ⊥,又11BB A B ⊥,故1BB ⊥平面1,BCA 即11BB A C ⊥,又11//BB CC ，所以11.A C CC ⊥（2）解法一：设1,AA x =在11Rt A BB ∆中1A B ==同理1A C ==在1A BC ∆中, 222111111cos 2A B A C BC BA C BA C A B A C +-∠==∠=⋅11111sin 2A BCS A B A C BA C ∆=∠=从而三棱柱111ABC A B C -的体积为11133A BC V BB S ∆=⨯⨯===故当x ==1AA =V解法二：过1A 作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD ，由1AA BC ⊥，A 1D BC ⊥,故BC ⊥平面1AA D ，BC ⊥AD 又90BAC ∠=︒,所以1122ABC S AD BC AB AC AD ∆=⋅=⋅=得,设1AA =x ，在Rt 1AA D ∆中，111111111=2-S l=A BC A BCA D S A D BC ABC ABC V S AA ∆∆=⋅==⋅⋅直从而三棱柱的体积因==故当x==即1AA=体积V取到最20. （本小题满分13分）（1）解：依题意可设AB方程为2y kx=+，代入24x y=，得24(2)x kx=+，即2480x kx--=.设1122(,),(,)A x yB x y，则有：128x x=-，直线AO的方程为11yy xx=；BD的方程为2x x=；解得交点D的坐标为2121x xy xyx=⎧⎪⎨=⎪⎩注意到128x x=-及2114x y=，则有1121211824y x x yyx y-===-，因此D点在定直线2y=-上(0)x≠.（2）依题设，切线的斜率存在且不等于0，设切线的方程为(0)y ax b a=+≠，代入24x y=得24()x ax b=+，即2440x ax b--=，由0∆=得2(4)160a b+=，化简整理得2b a=-，故切线的方程可写为2y ax a=-，分别令2,2y y==-得12,N N的坐标为1222(,2),(,2)N a N aa a+-+-，则222222122()4()8MN MN a aa a-=-+-+=，即2221MN MN-为定值8.21.（本小题满分14分）解：（1）当100n=时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为11(100);192p=（2）,1929,1099()3108,10099941107,10002014n nn nF nn nn n≤≤⎧⎪-≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩（3）当*(19,),()0;n b b b N g n=≤≤∈=当*10,(19,09,,),(),n k b k b k N b N g n k=+≤≤≤≤∈∈=当1000,()11;n g n ==即**0,,19,,(),10,19,09,,,11,100n b b b N g n k n k b k b k N b N n ⎧=≤≤∈⎪==+≤≤≤≤∈∈⎨⎪=⎩同理有*0,18,101,18,09,,,()80,899820,99,100n k n k b k b k N b N f n n n n ≤≤⎧⎪=+-≤≤≤≤∈∈⎪=⎨-≤≤⎪⎪=⎩由()()()1,h n f n g n =-=可知9,19,29,39,49,59,69,79,89,90,n =所以当100n ≤时，{9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}S =, 当9n =时，(9)0,P = 当90n =时，(90)91(90)(90)17119g P F ===，当*109(18,)n k k k N =+≤≤∈时，()(),()29209g n k k P n F n n k ===-+由,209ky k =+关于k 单调递增，故当*109(18,)n k k k N =+≤≤∈，()P n 最大值为8(89).169P =又8116919<，所以当n S ∈时，()P n 最大值为1.19。