第七章 6 小波变换的应用简介

§6小波变换的应用简介
小波在信号消噪中的应用 小波分析与信号的奇异性检测 小波变换在图像处理中的应用 小波变换在电力系统谐波检测中的应用
小波在信号消噪中的应用
降噪原理 阈值的确定 硬阈值和软阈值去噪 降噪实例
降噪原理
在小波分析中，应用最广泛的无疑是信号处理和图像处 理，而在这两个领域中，应用最多的就是信号(图像)的降噪 和压缩。由于在正交小波中，正交基的选取璧传统方法更接 近实际信号本身，所以通过小波变换可以更容易地奋力出噪 声或其他我们不需要的信息，因此在这类应用中小波分析有 着传统方法无可比拟的优势。 降噪和压缩这两种应用有一个共同点在于他们都是尽量 把无用的信息从原始信号中剔除，所以Matlab提供了一条通 用的命令wdencmp，同时处理降噪和压缩。
图6-2
降噪实例
Matlab中用于降噪的函数
自动对信号进行降噪，包括wden，wdencmp
对阈值进行处理的命令，包括thselect,wthrmngr 根据信号噪声强度求得阈值，包括ddencmp，wbpen，wdcmb 直接对分解系数作用阈值的命令，包括wpthcoef， wthcoef， wthresh 估计噪声的命令，包括wnoisest 生成噪声的命令，包括wnoise
降噪原理
降噪准则
•光滑性：在大部分情况下，降噪后的信号应该至少 和原信号具有同等的光滑性； •相似性：降噪后的信号和原信号的方差估计应该是 最坏情况下的方差最小；(Minmax Estimator)
降噪过程
小波分析用于降噪的过程，可细分为如下几段： (1)分解过程：选定一种小波，对信号进行N层小波 (小波包)分解； (2)作用阈值过程：对分解得到的各层系数选择一个 阈值，并对细节系数作用软阈值处理； (3)重建过程：对处理后的系数通过小波(小波包)重 建恢复原始信号。
降噪实例
由此例可看出，使用单纯抑制细节系数的方式(因为求重 建近似信号等于将所有细节的系数抑制到0)，确实可以实现 消除信号噪声的目的，但这种方式过于粗略，因为这样做没 有利用到噪声本身的信息，没有通过噪声本身来确定降噪的 方法，所以作为衡量相似性的标准差仍然很大，而且降噪后 的信号损失了很多原信号的能量成分(6%左右)，这就说明在 降噪的过程中，不光抑制了噪声，也抑制了很多有用的信息 成分。 在小波域中的细节系数若映射到Fourier分析中的频域， 则代表高频系数，如果只对高频系数进新抑制，同样可以达 到降噪的效果。
降噪原理
基本降噪模型
假设一个信号被噪声污染后为 s ( n) ，那么基本的噪声 模型就可以表示为：
s(n) f (n) e(n)
(1)
其中 e( n)为噪声， 为噪声强度。在最简单的情况下可以 假设 e( n)为高斯白噪声，且 1 小波变换的目的就是通过抑制 e(n) 以恢复 f (n)。
图6-1
阈值的确定
基于样本估计的阈值选择 通过例1可以看到，除了Birge-Massart策略确定的阈 值外，其余方法的到的降噪信号太过于光滑，失去了原信 号本身的一些信息，这在以前讲述的降噪准则中，不符合 相似性原则，保留相似性的方法有很多，在数学上有一个 常用的标准就是在最坏情况下方差最小的约束下的样本估 计。 除了前面讲的通过舍去部分系数以外，还有一种方法 就是信号作无偏似然估计，然后根据最坏情况下降噪信号 与原信号方差最小的原则确定一个统一的阈值，然后截去 超过这个阈值的系数。
阈值的确定
• Birge-Massart策略所确定的阈值，阈值通过如下的 规则求得：
(1)给定一个指定的分解层数j，对j+1以及更高层所有系数保留；
(2)对第i层(1≤i≤j)，保留绝对值最大的ni个系数，ni由下式确定：
ni M ( j 2 i )
式中M和 为经验系数。 缺省情况下取 M L(1) ，也就是第一层分解后系数的长度。 一般情况下，M 满足 L(1) M 2 L(1)
降噪实例
例5：通过FFT实现信号降噪
2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 x 10
6
原始信号的频谱
0
50
100
150
200
250
300350400450500图6-4
降噪实例
例5：通过FFT实现信号降噪
原始信号 10 0 -10 10 0 -10 10 0 -10 10 0 -10 0 200 400 600 800 1000 1200 0 200 400 600 800 1000 宽 度 为 50的 低 通 滤 波 器 滤 波 后 的 信 号 1200 0 200 400 600 800 1000 宽 度 为 30的 低 通 滤 波 器 滤 波 后 的 信 号 1200 0 200 400 600 800 1000 宽 度 为 10的 低 通 滤 波 器 滤 波 后 的 信 号 1200
在求得阈值以后，有两种在信号上作用阈值的方法， 一种是令绝对值小于阈值的信号点的值为零，成为硬阈 值，这种方法的缺点是在某些点会产生间断。另一种软 阈值方法是在硬阈值的基础上将边界处向不连续点收缩 到零。这样可以可以有效的避免间断，使得重建信号比 较光滑。
硬阈值和软阈值去噪
例3： 硬阈值和软阈值的图形表示
对于定义在[-1,1]上的直线，定义阈值为0.4，分别作用硬阈值 和软阈值，结果如图6-2所示
作用硬阈值的结果 1 0.8 0.4 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.6 -0.8 -1 -0.8 -0.2 0.2 0.6 作用软阈值的结果
0
-0.4
0
50
100
0
50
100
降噪实例
通过FFT实现信号降噪的具体流程如下：
(1)对原始信号进行Fourier变换，求出其频谱。 (2)根据频谱，对比我们所关心的频谱成分，对不需要的频谱 成分进行抑制。 (3)对变换后的频谱作Fourier逆变换，得到降噪后的信号。
这个过程其实相当于对原信号在一定范围内作滤波， 还原到时域相当于对信号进行卷积运算。 设原始信号为 f (t ) ，降噪后的信号为 g (t ) ，其Fourier 变换形式分别为F ()和G() 。那么这个过程就可以表示为：
降噪实例
例4：通过抑制细节系数实现降噪
原始信号 10 0 -10
0
200
400
600
800
1000
1200
重 建 后 的 第 5层 近 似 信 号 10 0 -10
0
200
400
600
800
1000
1200
通过抑制细节得到的降噪信号 10 0 -10
0
200
400
600
800
1000
1200
图6-3
式中的 为信号的噪声强度， 为经验系数， 必须为 大于1的实数，随着 的增大，降噪后信号的小波系数 系数会变稀疏，重建后的信号也会变的更加光滑。 的
典型值为2。
thr | ci *|
从原始信号确定阈值的函数有ddencmp，wbmpen， wdcbm和wdcbm2，其中自动降噪的命令wdencmp在用 于信号的时候采用的是默认的阈值。
在 f (n) 的分解系数比较稀疏(非零项很少)的情况下，这
种方法的效率很高。这种可以分解为稀疏小波系数的函数 的一个简单例子就是有少数间断点的光滑函数。
阈值的确定
从原始信号确定各级阈值 在小波分析用于降噪的过程中，和信号的步骤就是在 系数上作用阈值。因为阈值的选取直接影响降噪的质量， 所以人们提出了各种理论和经验的模型。但没有一种模型 时通用的，他们都有自己的使用范围。 小波变换中，对各层系数降噪所需的阈值一般是根据 原信号的信号噪声比来取得，从理论模型里这个量用式(1) 中的 来表示，从 s ( n)中提取 的方法有很多种，在假定 噪声为白噪声的情况下(噪声数学期望为0)，一般是用原信 号的小波分解的各层系数的标准差来衡量。
降噪实例
通过抑制细节系数实现降噪 例4：
在一个光滑的信号上加入一个高斯白噪声，使用db4小波对其 作5层分解，观察信号在时间-频率域上的成分。再通过作用阈值抑 制噪声信号，重建信号达到降噪的目的。 在小波分解过程中，每次分解得到的系数比以前更光滑，舍去 的细节信息就存在各层近似系数中。一个简单的思想就是重建第i 层近似系数达到降噪的目的。此例中取第5层近似信号ca作为降噪 后的信号。 但为了保持原信息的相对完整可以有选择地抑制各层的细节系 数，通过抑制后的系数重建信号x2作为降噪信号，达到降噪的目的。 见图6-3。 降噪后的ca信号在原信号的能量成分per1 = 0.9302； 降噪后的x2信号在原信号的能量成分 per2 = 0.9387； 将ca作为降噪信号，其与原信号的标准差 err1 = 48.8734； 将x2作为降噪信号，其与原信号的标准差 err2 = 32.4658。
keepapp = 1
阈值的确定
原始信号 20 0 -20 20 0 -20 20 0 -20 20 0 -20 0 200 400 600 800 1000 1200 0 200 400 600 800 使用缺省阈值降噪后的信号 1000 1200 0 200 400 600 800 用 Birge-Massart阈 值 降 噪 后 的 信 号 1000 1200 0 200 400 600 800 用 penalty阈 值 降 噪 后 的 信 号 1000 1200
阈值的确定
在得到信号的噪声强度以后，我们就可以根据噪声强度 来确定各层的阈值，对噪声强度为 的白噪声，阈值的确定 主要有以下几个数学模型： • 缺省的阈值确定模型，阈值由如下的公式给出
thr 2 log(n)
其中n为信号的长度，在ddencmp命令中，若使用其降噪 功能，求得的阈值就是用这个规则确定的。