单元节点和积分点有什么区别
有限元中单元积分点与节点应力相互转换
有限元中单元积分点与节点应力相互转换摘要：一、有限元基本概念1.有限元方法简介2.单元、节点和积分点二、单元积分点与节点应力转换1.单元积分点应力与节点应力关系2.有限元求解过程简介3.单元类型与节点数目对应力转换的影响三、具体实例1.四节点矩形单元的应力转换2.应力分量的线性方程组3.不需要知道真实积分点坐标的原因四、结论1.有限元中单元积分点与节点应力的相互转换2.应力转换在实际问题中的应用正文：一、有限元基本概念有限元方法是一种求解复杂数学和工程问题的数值分析方法。
通过将问题划分为多个简单的子问题，并使用近似方法解决这些子问题，最终得到问题的近似解。
在有限元中，单元、节点和积分点是基本的概念。
单元是构成有限元模型的基本单元，节点是单元的交点，而积分点则是单元内用于计算应力的点。
二、单元积分点与节点应力转换在有限元中，单元积分点与节点应力之间存在相互转换的关系。
具体来说，通过在单元内选择一个或多个积分点，可以计算出单元内各个节点的应力。
这一过程依赖于单元类型、节点数目以及积分点的位置。
例如，对于四节点矩形单元，通过四个积分点可以计算出四个节点的应力。
有限元求解过程包括建立单元节点力与节点位移关系式、将外载荷等效移置到节点上、在节点上建立力的平衡方程以及通过弹性力学基本方程求解单元的应力和应变。
在这个过程中，单元积分点与节点应力的转换起着关键作用。
三、具体实例以四节点矩形单元为例，该单元有四个节点和四个积分点。
对于一个应力分量（例如σx），单元内任一点（x,y）的应力表达式为：σx = a(x-X1)(y-Y1) + b(x-X2)(y-Y2) + c(x-X3)(y-Y3) + d(x-X4)(y-Y4)。
其中，a、b、c、d 是待求解的系数，X1、Y1、X2、Y2、X3、Y3、X4、Y4 分别为四个节点的坐标。
通过在四个积分点上施加已知应力，可以得到四个关于a、b、c、d 的线性方程。
解这四个方程，即可得到a、b、c、d 的值，从而计算出单元内各个节点的应力。
节点解和单元解
节点解和单元解【原创实用版】目录1.节点解和单元解的定义2.节点解和单元解的联系与区别3.节点解和单元解在实际问题中的应用4.总结正文一、节点解和单元解的定义节点解和单元解都是数值分析中的概念，它们主要应用于有限元分析中。
有限元分析是一种数值分析方法，通过将连续的物理域离散化为有限个单元，从而实现对问题的求解。
节点解是指在有限元分析中，某一特定节点的解。
节点是指构件上的某个点，例如梁上的某个截面。
节点解主要包括节点的位移、应力、应变等物理量。
单元解是指在有限元分析中，某一特定单元的解。
单元是指由节点组成的有限元。
单元解主要包括单元的刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵等物理量。
二、节点解和单元解的联系与区别节点解和单元解之间存在密切的联系，它们都是数值分析中求解问题的中间结果。
节点解是构成单元解的基本元素，而单元解则是节点解的集合。
在有限元分析中，我们首先求解单元的刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵等物理量，然后通过这些物理量求解节点的解，从而得到问题的最终解。
尽管节点解和单元解之间存在联系，但它们也有明显的区别。
节点解关注的是某一特定节点的物理量，而单元解关注的是某一特定单元的物理量。
此外，节点解通常是局部的，而单元解通常是全局的。
三、节点解和单元解在实际问题中的应用节点解和单元解在实际问题中有广泛的应用。
在结构分析中，例如梁、板、壳等结构，我们可以通过求解节点解和单元解，得到结构的位移、应力、应变等物理量，从而判断结构的安全性和稳定性。
在热传导、热膨胀、电磁场等问题中，节点解和单元解同样发挥着重要作用。
四、总结节点解和单元解是数值分析中的基本概念，它们在有限元分析中发挥着重要作用。
通过求解节点解和单元解，我们可以得到实际问题的解，从而判断结构的安全性和稳定性。
ansys关于薄板、厚板、壳单元的特性区别
一、板壳弯曲理论简介1. 板壳分类按板面内特征尺寸与厚度之比划分：当L/h < (5~8) 时为厚板，应采用实体单元。
当(5~8) < L/h < (80~100) 时为薄板，可选2D 实体或壳单元当L/h > (80~100) 时为薄膜，可采用薄膜单元。
壳类结构按曲率半径与壳厚度之比划分：当R/h >= 20 时为薄壳结构，可选择薄壳单元。
当6 < R/h < 20 时为中厚壳结构，选择中厚壳单元。
当R/h <= 6 时为厚壳结构。
上述各式中h 为板壳厚度，L 为平板面内特征尺度，R 为壳体中面的曲率半径。
2. 薄板理论的基本假定薄板所受外力有如下三种情况：①外力为作用于中面内的面内荷载。
弹性力学平面应力问题。
②外力为垂直于中面的侧向荷载。
薄板弯曲问题。
③面内荷载与侧向荷载共同作用。
所谓薄板理论即板的厚度远小于中面的最小尺寸，而挠度又远小于板厚的情况，也称为古典薄板理论。
薄板通常采用Kirchhoff-Love 基本假定：①平行于板中面的各层互不挤压，即σz = 0。
②直法线假定：该假定忽略了剪应力和所引起的剪切变形，且认为板弯曲时沿板厚方向各点的挠度相等。
③中面内各点都无平行于中面的位移。
薄板小挠度理论在板的边界附近、开孔板、复合材料板等情况中，其结果不够精确。
3. 中厚板理论的基本假定考虑横向剪切变形的板理论，一般称为中厚板理论或Reissner（瑞斯纳）理论。
该理论不再采用直法线假定，而是采用直线假定，同时板内各点的挠度不等于中面挠度。
自Reissner 提出考虑横向剪切变形的平板弯曲理论后，又出现了许多精化理论。
但大致分为两类，如Mindlin（明特林）等人的理论和Власов（符拉索夫）等人的理论。
厚板理论是平板弯曲的精确理论，即从3D 弹性力学出发研究弹性曲面的精确表达式。
4. 薄壳理论的基本假定也称为Kirchhoff-Love（克希霍夫-勒夫）假定：①薄壳变形前与中曲面垂直的直线，变形后仍然位于已变形中曲面的垂直线上，且其长度保持不变。
abaqus一次单元和完全积分单元
abaqus是一个用于有限元分析的强大软件。
在使用abaqus进行有限元分析时，用户需要选择合适的单元进行建模和求解。
abaqus中包含了多种类型的单元，其中一次单元和完全积分单元是比较常见且重要的两种类型。
本文将对这两种单元进行介绍和比较，以帮助用户更好地理解它们的特点和适用范围。
一次单元（C3D8）是abaqus中常用的一种典型六面体单元，其具有以下特点：1.1. 六面体单元：一次单元是一个六面体单元，具有8个节点和27个自由度。
它可以用于模拟各种三维结构的应力、应变分布和变形情况。
1.2. 简单高效：一次单元具有结构简单、计算高效的特点，适用于大多数情况下的有限元分析。
1.3. 局限性：但是，一次单元并不适用于所有情况。
在模拟高梯度场、弯曲效应或者非常规加载条件下，一次单元可能无法提供准确的结果。
相对而言，完全积分单元（C3D8I）是对一次单元的改进和扩展，其特点如下：2.1. 对弯曲效应和非线性材料有更好的适用性：完全积分单元具有更好的适用性，尤其是在模拟高梯度场、弯曲效应或者非线性材料的情况下更能提供准确的结果。
2.2. 全积分：完全积分单元是指在有限元积分时采用全积分法，这意味着对于单元内部的应力和应变的计算更加准确。
2.3. 计算量大：由于采用全积分法，完全积分单元的计算量较大，因此在处理大型模型或者需要高精度结果的情况下，需要考虑计算成本和时间。
一次单元和完全积分单元各有其特点和适用范围。
在实际应用中，用户需要根据具体的分析对象和需求来选择合适的单元类型。
对于结构简单、加载条件不太复杂的情况下，一次单元是一个非常合适的选择，它能够在保证计算效率的同时提供较为准确的结果；而对于复杂的加载条件或者非线性材料的模拟，完全积分单元则更能满足精度的要求。
对于有限元分析工程师来说，熟练掌握并灵活运用这两种单元类型是非常重要的。
3. 适用范围的具体案例在工程实践中，一次单元和完全积分单元的选择取决于具体的分析对象和需求。
Ansys显示算法和隐式算法知识完全解读
An sys 显示算法和隐式算法知识完全解读这是 ansys 里面的两种求解方法。
大多数非线性动力学问题一般多是采用显式求解方法， 特别是在求解大型结构的瞬时高度非 线性问题时， 显示求解方法有明显的优越性。
下面先简要对比一下隐式求解法和显示求解法。
动态问题涉及到时间域的数值积分方法问题。
在 80 年代中期以前，人们基本上采用纽曼法 进行时间域的积分。
根据纽曼法，位移、速度和加速度有着如下关系：u(i+1)=u(i)+ △ t*v(i)[(1 — 2p)a(i)+2p*a(i+1)]⑴ v(i+1)=V(i)+A t[(1-2q)a(i)+2qa(i+1)](2) 上面式子中u(i+1),u(i)分别为当前时刻和前一时刻的位移, 一时刻的速度，a(i+1)和a(i)为当前时刻和前一时刻的加速度， 为当前时刻与前一时刻的时问差，符号 * 为乘号。
由式 (1)和式 (2)可知，在纽曼法中任一时 刻的位移、 速度、 加速度都相互关联， 这就使得运动方程的求解变成一系列相互关联的非线性方程的求解， 这个求解过程必须通过迭代和求解联立方程组才能实现。
能出现病态而无确定的解。
隐式求解法最大的优点是它具有无条件稳定性， 任意大。
如果采用中心差分法来进行动态问题的时域积分， 则有如下位移、 速度和加速度关系式：u(i+1)=2u(i)-u(i-1)+a(i)( △ t)A 2(3) v(i+1)=［u(i+1)-u(i-1)］ / 2(△ t) (4)式中 u(i-1) ，为 i-1 时刻的位移。
由式 (3)可以看出，当前时刻的位移只与前一时刻的加速度 和位移有关， 这就意味着当前时刻的位移求解无需迭代过程。
另外， 只要将运动过程中的质 量矩阵和阻尼矩阵对角化， 前一时刻的加速度求解无需解联立方程组， 从而使问题大大简化，这就是所谓的显式求解法。
显式求解法的优点是它既没有收敛性问题，也不需要求解联立方 程组，其缺点是时间步长受到数值积分稳定性的限制，不能超过系统的临界时间步长。
单元节点和积分点有什么区1
单元节点和积分点有什么区别2013-06-14 09:54 4152人阅读评论(0) 收藏举报学过数值积分的应该知道，有限元中的积分点指高斯积分点，因为这些点的收敛性好，精度高。
1. 节点在单元内，采用形函数来表述单元内变量的分布规律。
而节点值是在节点处的对应物理量。
以简单矩形单元的温度为例：四个节点i,j,m,n的温度分别为Ti,Tj,Tm,Tn.则以单元内自然坐标(x,y),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)分别为四个节点，单元内温度分布为：T={Si, Sj, Sm, Sn} {Ti, Tj, Tm, Tn}其中，Si=1/4(1-x)(1-y)，Sj=1/4(1+x)(1-y)] ，Sm=1/4(1+x)(1+y)，Sn=1/4(1-x)(1+y)(单元的形函数我们可以从手册中查到)从而我们知道了温度在单元内的分布。
2. 积分点我们需要对温度在单元内的面积上进行积分时，因为节点的温度显然与x,y无关，我们只需要考虑对形函数积分。
采用Gauss_Legendre多项式计算积分时，我们只需要计算根据特定积分点的值（在自然坐标系下是固定的，可以查手册，这些点也叫高斯点、积分点）并加以权重就可以。
这就把复杂的积分问题变成了简单的代数问题。
因为形函数只与单元有关，所以积分点也只与单元形状有关。
应力一般采用多个积分点的相互插值或外延来计算节点应力。
这只是为了减少误差。
因为在积分点应力比节点具有更高阶的误差。
从理论上说，形函数已知后，用Maple或者Mathematic等软件进行符号积分的话，是可以精确计算出刚度矩阵和质量矩阵，但是这样做的话，对于工程实际应用来说并不合适。
原因：1，费时；2，Mindlin中厚板有剪力锁死问题，有时候需要采用缩聚积分），所以有些书上会把2节点梁单元的刚度阵直接写出来，但是再复杂点的单元，就使用数值积分（Newton-Cotes积分和高斯积分）牛顿-科斯的积分点就是节点，这样得到的质量矩阵是集中质量阵形式个人理解：1.节点作用：构造形函数，节点的多少描述规则形状单元内的应力的近似分布情况，并获取节点上的位移值2.积分点作用：构造规则形状单元与曲边（曲面）单元的转化的变换函数，积分点的选取多少和选取的位置直接关系到这种“映射”的精确程度，刚度矩阵、边界条件的转化都用到了坐标变换的积分关系，一般取高斯积分点能使被积函数计算精度尽量高。
如何正确应用结构中的“结点”与“节点”的区别资料
如何正确应用结构中的“结点”与“节点”的区别“360度”解读如何正确应用“结点”与“节点”【打印文章】近几年，结构领域的部分网络论坛对正确应用“结点”与“节点”这一问题也有些涉及，但还存在不少概念混淆、相互矛盾甚至错误之处，尚未看到较完整的或较有说服力的陈述和论证。
为帮助广大工程师正确应用“结点”与“节点”，浙江大学建筑工程学院陈水福教授专门对此进行研究、分析和对比、论证，并获得了一些较为明确的、新的结论，希望对结构工程专业的规范用词，特别是对相关概念的梳理和理解有所帮助。
主要从结构工程专业的常用或习惯表述、汉语的词语本意以及与国外（英文）相关表述等三个方面解读如何正确了解“结点”与“节点”内在或本质的区别和联系，并且分析了容易引起混淆的原因。
1 结构专业的惯用表述在我国高等学校普遍使用的结构力学教科书中，一般会首先讨论杆件结构的力学模型或计算简图。
在计算简图中，杆件之间的连接通常可简化为两种基本形式：铰结点和刚结点。
在对计算简图作内力分析时，如果截取结构中的一个铰结点或刚结点进行分析，这种分析方法称为结点法。
在杆件结构的位移法计算中，基本未知量取为结点位移，而这里的结点可以是杆件连接点，即刚结点、铰结点等，也可以是支座结点，如连续梁的中间支承点，或杆末端点、杆件截面突变点等。
在连续结构的有限元分析中，首先需要将连续体划分为一系列离散单元的集合体，再对集合体中的各个单元定义有限数目的计算点，从而将无限自由度体系简化为有限自由度体系，这些所定义的计算点就称为“结点”。
显然，这里的结点很大一部分是虚拟的网格（或单元）划分点，并不一定是结构内部的物理连接点，尽管在实际分析中，一般需要对结构的连接处、形状突变处、转角处等部位布置结点。
因此，在结构有限元分析中，针对离散单元所定义的计算点，用的都是“结点”，而非“节点”。
下面再看实际工程结构（如混凝土结构、钢结构）设计与分析时的惯用表述。
在钢筋混凝土结构、钢结构的通用教科书，以及国家通行的《混凝土结构设计规范》、《钢结构设计规范》中，会大量提到诸如梁柱连接节点、桁架节点、节点板、节点构造等术语。
c3d10的积分点
c3d10的积分点C3D10是一种有限元分析中常用的元素类型，用于模拟三维固体结构的行为。
在分析过程中，C3D10的积分点是对结构体积进行离散化处理的关键。
本文将从C3D10的定义、积分点的概念、积分点的位置和数量等方面进行详细阐述。
首先，C3D10是由有限元方法中的网格单元之一，它是指三维空间中的10个节点的一个立方体单元。
这10个节点是构造C3D10单元的基本要素，通过节点间的连接关系构建出类似于立方体形状的单元。
C3D10的节点编号按照一定规则进行排列，通常采用右手螺旋规则进行编号，编号从1到10。
每个节点包含了三个坐标分量，表示其在三维空间中的位置。
而积分点是在有限元分析过程中，用于对C3D10单元内部进行离散化的点。
由于C3D10单元是一个立方体形状，因此在体积上进行积分时，一般会选择将整个单元进行划分，以便进行数值计算。
划分的方法是在单元内部选取一系列的积分点，对于C3D10单元而言，最常见的选择是采用8个积分点或27个积分点。
这些积分点的个数决定了离散化的精度，一般来说，积分点越多，计算结果越准确，但计算量也相应增加。
积分点的位置对于有限元分析的准确性至关重要。
对于C3D10单元而言，积分点的位置应该恰当地分布在整个单元内部，能够尽可能地覆盖整个体积。
一种常见的选择是将积分点均匀地分布在单元的8个顶点附近，这样可以保证对单元的力学性质进行准确的计算。
另一种选择是将积分点均匀地分布在单元的内部，这主要用于计算各个部分的平均应力和应变。
对于C3D10而言，积分点的数量是个关键问题。
一般来说，积分点的数量越多，计算结果越准确，但计算量也相应增加。
对于普通的工程问题，通常只需要采用8个积分点即可满足要求。
但在某些特殊情况下，如计算应力集中区域或模型非线性的情况下，可能需要增加积分点的数量。
这时需要权衡计算精度和计算效率的关系。
总结而言，C3D10的积分点是对立体结构进行离散化处理的关键。
它们的位置和数量决定了有限元分析的精度和计算效率。
全积分和缩减积分的四节点平面实体单元
全积分和缩减积分的四节点平面实体单元随着有限元分析在工程领域的广泛应用，对于实体单元的研究也日益受到重视。
本文将详细介绍全积分和缩减积分的四节点平面实体单元，包括其定义、特点、应用范围以及数学原理等方面的内容，旨在为工程技术人员和研究人员提供参考和借鉴。
一、四节点平面实体单元的定义四节点平面实体单元是指在有限元分析中用来模拟平面结构的一种常见单元类型。
其具体定义如下：1. 四个节点：四节点平面实体单元由四个节点组成，分别为节点1、节点2、节点3和节点4。
2. 平面性质：该单元在平面内部具有变形能力，但在垂直于平面方向上没有变形能力。
二、四节点平面实体单元的特点四节点平面实体单元具有以下特点：1. 简单性：该单元结构简单，易于实现和计算。
2. 适用范围广：适用于各种平面结构的有限元分析。
3. 数学表示简洁：可以通过简单的数学模型描述结构的力学性能。
三、四节点平面实体单元的数学原理四节点平面实体单元的数学原理主要包括以下内容：1. 场问题描述：该单元通过力学场问题描述结构的受力分布和变形情况。
2. 应变能量原理：根据应变能量原理，结合弹性力学理论，推导出该单元的刚度矩阵和节点力的表达式。
3. 离散化处理：通过离散化处理，将实体结构划分为有限个单元，在每个单元内近似求解。
四、全积分和缩减积分在有限元分析中，全积分和缩减积分是两种常用的积分方法，它们分别代表了精确积分和简化积分的思想。
对于四节点平面实体单元，全积分和缩减积分的影响如下：1. 全积分：全积分是指对整个单元内的积分点进行积分，能够得到较为精确的结果，但计算量较大。
2. 缩减积分：缩减积分是将积分点进行适当的简化和选择，以减少计算量和提高计算效率。
五、四节点平面实体单元的应用范围四节点平面实体单元广泛应用于各种平面结构的有限元分析中，包括但不限于以下领域：1. 建筑工程：用于模拟各类建筑结构的受力情况和变形特性。
2. 桥梁工程：用于分析桥梁结构在不同荷载作用下的响应和变形。
网格和单元的基本概念
网格和单元的基本概念前记：首先说明，和一般的有限元或者计算力学的教材不一样，本人也不打算去抄袭别人的著作，下面的连载是一个阶段的学习或者专业感悟集大成，可以说深入浅出，也可以说浅薄之极——如果你认为浅薄，很好，说明我理解透了，也祝贺你理解透了！好了，废话少说，书归正传。
无论是CSD（计算结构力学）、CTD（计算热力学）还是CFD（计算流体动力学）——我们统一称之为工程物理数值计算技术。
支撑这个体系的4大要素就是：材料本构、网格、边界和荷载（荷载问题可以理解为数学物理方程的初值问题），当然，如果把求解技术也看作一个要素，则也可以称之为5大要素。
网格是一门复杂的边缘学科，是几何拓补学和力学的杂交问题，也是支撑数值计算的前提保证。
本番连载不做任何网格理论的探讨（网格理论是纯粹的数学理论），仅限于尽量简单化的应用技术揭秘。
网格出现的思想源于离散化求解思想，离散化把连续求解域离散为若干有限的子区域，分别求解各个子区域的物理变量，各个子区域相邻连续与协调，从而达到整个变量场的协调与连续。
离散网格仅仅是物理量的一个“表征符号”，网格是有形的，但被离散对象既可以是有形的（各类固体），也可以是无形的（热传导、气体），最关键的核心在于网格背后隐藏的数学物理列式，因此，简单点说，看得见的网格离散是形式，而看不见的物理量离散才是本质核心。
对计算结构力学问题，网格剖分主要包含几个内容：杆系单元剖分（梁、杆、索、弹簧等）、二维板壳剖分（曲面或者平面单元）、三维实体剖分（非结构化全六面体网格、四面体网格、金字塔网格、结构化六面体网格、混合网格等），计算热力学和计算流体动力学的网格绝大部分是三维问题。
对于CAE工程师而言，任何复杂问题域最终均直接表现为网格的堆砌，工程师的任务等同于上帝造人的过程，网格是一个机体，承载着灵魂（材料本构、网格、边界和荷载），求解技术则是一个思维过程。
网格基本要素是由最基本的节点（node）、单元线（edge）、单元面（face）、单元体（body）构成，实质上，线、面、体只不过是为了让网格看起来更加直观，在分析求解过程中，线、面、体本质上并没有起多大的作用，数值离散的落脚点在节点（node）上，所有的物理变量均转化为节点变量实现连续和传递。
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单元节点和积分节点的联系和区别 有限元方法的实质：通过变分原理极小值转化为矩阵的极小值（(变分原理)→ (最小势能原理) (虚功原理)变分原理：把一个物理学问题（或其他学科的问题）用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题，就称为该物理问题 （或其他学科的问题）的变分原理。
如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。
1964年，钱伟长教授明确提出了引进拉格朗日乘子（Lagrange multiplier ）把有约束条件的变分原理化为较少（或没有）约束条件的变分原理的方法。
最小势能原理：最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定平衡状态。
举个例子来说，一个小球在曲面上运动，当到达曲面的最低点位置时，系统就会趋向于稳定平衡。
势能最小原理与虚功原理本质上是一致的。
宇宙万物，如果其势能未达到“最小”（局部概念），它总要设法变化到其“相对”最小的势能位置。
举个例子：一个物体置于高山上，它相对于地面来说有正的势能（非最小），因而它总有向地面运动的“能力”（向地面“跃迁”）（其力学本质是其处于一种不稳平衡状态）。
因此，它试图（也只有）向下运动，才能保证其达到一个相对平稳的状态。
λ 最小势能原理是势能驻值原理在线弹性范围里的特殊情况。
对于一般性问题：真实位移状态使结构的势能取驻值（一阶变分为零），在线弹性问题中取最小值。
形象的说，当你在一百米高的钢丝绳上走的时候你总是希望尽早回到地上，但其实只要你不动你也是平衡的，因为驻值也可以是极大值（此时称为随遇平衡）。
而当你在一百米高的大楼里的办公室里时，你并不害怕，因为周围的物体的势能均不比你小，此时驻值取的是极小值而不是最小值。
在有限元的理论中，最小势能原理是在所有满足给定边界条件的位移时，满足平衡微分方程的位移使得势能取得最小值。
公式如下：在江见鲸的有限元就很清晰的介绍了有限元的原理，再参考汪新老师的ppt ，理解就十分透彻。
以下是我在网上搜索到的关于有限元的书，很值得一看。
另外cook 的书也很好，是陈贡发老师介绍的，很值得一看。
1《The Finite Element Method 》O.C.Zienkiewicz ，R.Taylor 著，第五版，三卷本，有中文译本《有限元法》(英)监凯维奇著（第四版中译本1985年出版，上下册，尹泽勇等译，权威著作，有限元研究者必读；第五版译名改成了《有限单元法》，曾攀译，2008年出版~~）2.《Nonlinear Finite Element for Continua and Structures 》T .Belytschko 等著，有中文译本《连续体和结构的非线性有限元》庄茁译，清华大学出版社，固体力学非线性有限元的集大成之作~~：外力对系统作的功势能：W U 21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=∏⎰⎰⎰dS dV dV W U S T V T V T σf u f u εσ3.《Concepts and Applications of Finite Element Analysis》Cook R.D.著，有中文译本《有限元分析的概念和应用》程耿东等译，第一版1981年出版，第二版1989年出版，年代较久远内容很经典~~PS：国内的有限元书籍中，比较全面的是王勖成的《有限单元法》（第三版），该书的第二版叫做《有限单元法基本原理和数值方法》。
把一个物理学问题（或其他学科的问题）用化为求泛函极值（或驻值）的问题，后者就称为该物理问题（或其他学科的问题）的变分原理。
如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。
1964年，钱伟长教授明确提出了引进拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）把有约束条件的变分原理化为较少（或没有）约束条件的变分原理的方法。
日本的鹫津一郎教授、中国科学院院士钱伟长教授和刘高联教授等都是这方面的世界级大师。
变分原理在物理学中尤其是在力学中有广泛应用，如著名的虚功原理、最小位能原理、余能原理和哈密顿原理等。
在当代变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。
在实际应用中，通常很少能求出精确的解析解，因此大多采用近似计算方法。
近似计算方法主要有：李兹法、伽辽金法、康托洛维奇法、屈列弗兹法等。
单元节点和积分节点的联系和区别：在单元内，采用形函数来表述单元内变量的分布规律。
而节点值是在节点处的对应物理量。
以简单矩形单元的温度为例：四个节点i,j,m,n的温度分别为Ti,Tj,Tm,Tn. 则以单元内自然坐标(x,y),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)分别为四个节点，单元内温度分布为：T={Si, Sj, Sm, Sn} {Ti, Tj, Tm, Tn}Si=1/4(1-x)(1-y)Sj=1/4(1+x)(1-y)Sm=1/4(1+x)(1+y)Sn=1/4(1-x)(1+y)单元的形函数我们可以从手册中查到，从而我们知道了温度在单元内的分布。
我们需要对温度在单元内的面积上进行积分时，因为节点的温度显然与x,y 无关，我们只需要考虑对形函数积分。
采用Gauss_Legendre多项式计算积分时，我们只需要计算根据特定积分点的值（在自然坐标系下是固定的，可以查手册，这些点也叫高斯点、积分点）并加以权重就可以。
这就把复杂的积分问题变成了简单的代数问题。
因为形函数只有单元有关，所以积分点也只与单元形状有关。
3.应力一般采用多个积分点的相互插值或外延来计算节点应力。
这只是为了减少误差。
因为在积分点应力比节点具有更高阶的误差。
从理论上说，形函数已知后，用Maple或者Mathematic等软件进行符号积分的话，是可以精确计算出刚度矩阵和质量矩阵，但是这样做的话，对于工程实际应用来说并不合适原因：1，费时；2，Mindlin 中厚板有剪力锁死问题，有时候需要采用缩聚积分），所以有些书上会把2节点梁单元的刚度阵直接写出来。
个人理解：1．单元刚度矩阵K 就是一个积分.积分点是高斯积分点， numberical analasy 关于gauss integral 的数值计算方法的， 直线型：一个高斯积分点, 抛物线型：两个高斯积分点 二位的话，一般只需4个高斯积分点, 三维的，要8个高斯积分点 越高阶，积分节点数越多。
学过数值积分的应该知道，有限元中的积分点指高斯积分点，因为这些点的收敛性好，精度高。
2.节点作用构造形函数，节点的多少描述规则形状单元内的应力的近似分布情况，并获取节点上的位移值2.积分点作用是构造规则形状单元与曲边（曲面）单元的转化的变换函数，积分点的选取多少和选取的位置直接关系到这种“映射”的精确程度，刚度矩阵、边界条件的转化都用到了坐标变换的积分关系，一般取高斯积分点能使被积函数计算精度尽量高。
对于newton-cote 积分点的选取，这种“映射”看起来，节点和积分点是同一个位置或说是同一点，而对于高斯积分点位置与节点是不同的。
故有如下结果：3.由于高斯积分点的这种变换比较高，在方程求解结束，返回积分点上的应力解比较准确2.至于Mindlin 中厚板有剪力锁死问题，采用缩聚积分，也是应为这种坐标的变换关系（可见《有限单元法基本原理和数值方法》G W 力的边界条件只有剪切，采用缩聚积分可以较大降低剪切力的影响，但是也可能引起刚度矩阵的奇异，所以对于中厚板的积分点选取不同一般的方案Reduced Integration如二位四边形单元，应有4个积分点，为减少计算量，缩减为一个积分点，保持有一定的精度，但现在计算机发达，用得比较少对数应变用于塑性变形和大应变。
因为变形太大，我们不能用原来的L0，而增量的方法就很常用。
物体内两质点相距l0，经变形后距离为ln ，则相对线应变被称为工程应变（或叫假象应变、相对应变）：因为l0是一个固定值，实际变形过程中，长度l0需要经过无穷多个中间状态才逐渐变为ln ，总的变形可以近似看作各个阶段相对应变之和： 因为ε反应了物体变形的实际情况，故称为自然应变或对数应变（或称实际应变），在塑性变形中，只有采用对数应变才能得出合理的结果。
（1）工程应变不能表示变形的实际情况，而且变形程度越大，误差越大。
对数应变与工程应变之间的关系：按泰勒级数展开得：只有当变形程度很小时（小于10%），工程应变才近似等于对数应变，变形程度越大，（2）工程应变不能迭加，而对数应变可以迭加。
⎰⎰ΩΩ==e e d t dV e eT V e eT e DB B DB B K，工程应变才近似等于对数应变，变形）工程应变不能迭加，而对数应变可以迭加。
对数应变：3）对数应变为可比应变，工程应变为不可比应变。
设物体由 l 0 拉长一倍后，尺寸变为 2l 0 ，缩短一倍尺寸变为 0.5l 0 ：物体拉长一倍与缩短一倍，物体的变形程度应该是一样的，采用工程应变表示拉压变形程度，数值相差悬殊，失去可比性； 采用对数应变，二者大小相等，符号相反，具有可比性。
工程应变与弹塑性力学的应力张量的相像，但工程应变的剪应变是张量的两倍，相同)(应力张量：应力张量是应力状态的数学表示。
数学上应力为二阶张量，三维空间中需九个分量（三个正应力分量和六个剪应力分量）来确定。
在静力平衡（无力矩）状态下，剪应力关于对角对称，九个量中只有六个独立分量。
) 材料试样在外力作用下，试样的绝对形变量与原尺寸之比。
通常用下式表示：ε=(l-l0)/l0。
ε=+式中,ε为工程应变(简称应变)，l0与l 分别表示试样形变前后的尺寸。
如为拉伸应变，ε>0；压缩应变，ε<0。
上述应变也称为工程应变，也称为柯西应变（Cauchy strain ）。
这种应变，是基于小变形体。
可以理解，在工程上，例如房梁、桥梁等，都主要研究材料的小变形行为；因为大变形就会出现塌陷了。
这种工程材料的小变形也是有一定允许范围的。
比如，楼板，如果我们站在上面，它就开始小变形，如果比较明显了，那是很可怕的了。
所以，这种小变形研究在工程上比较多。
但是，食品中可能涉及更多的是大变形，你想想，我们都把食品咬碎了，那还不是大变形吗。
这个时候，柯西应变就不太好用了。
此时，要采用汉基应变（Hencky strain ），它是一种真实应变。
但如果实际变形较大（超过10％），而在分析中又未打开大变形效应，则此时使用对数应变是有必要的。
（因为柯西应变为非可加应变，对数应变是可加的）。
所以说对数应变是在未打开大变形效应开关的前提下为考虑较大应变而人为设计的一种应变形态。