金新学案 北师大高中数学选修22检测：第四章 定积分 2 含答案
最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测卷(包含答案解析)(2)
一、选择题1．12201x dx -=⎰（ ）A ．12πB ．3128π+ C ．368π+ D ．364π+2．给出以下命题： （1）若()0haf x dx >⎰，则()0f x >；（2）20|sin |4x dx π=⎰；（3）()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则：()()aa TTf x dx f x dx +=⎰⎰其中正确命题的个数为（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．43．对于函数()sin x f x x =， 30,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 在区间()0,π是单调函数 B ．函数()f x 只有1个极值点 C ．函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭有极大值 D ．函数()f x 有最小值，而无最大值 4．3204x dx -=⎰（ ）A ．213 B ．223 C ．233 D ．2535．一物体在力(单位:N)的作用下沿与力相同的方向,从x=0处运动到(单位:)处,则力做的功为( )．A ．44B ．46C ．48D ．506．曲线22,y x y x ==所围成图形的面积是（ ） A ．1B ．13C ．12D ．237．121(1)x x dx --=⎰（ ）A ．1π+B ．1π-C ．πD ．2π 8．图中阴影部分的面积用定积分表示为（ ）A ．12d xx ⎰B ．()121d xx -⎰C ．()1021d xx +⎰D ．()112d xx -⎰9．若2221111,,,xa e dxb xdxc dx x ===⎰⎰⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<10．1201(1))x x dx ⎰--=（ ） A ．22π+B ．12π+ C ．122π-D ．142π- 11．计算()122x x dx -⎰的结果为（ ）A ．0B ．1C ．23D ．5312．由曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为( ) A ．172ln 22- B ．152ln 22- C ．15+2ln 22D ．17+2ln 22二、填空题13．已知函数()[)[)[]3,2,22,2,cos ,,2x x f x x x x x πππ⎧∈-⎪=∈⎨⎪∈⎩则()22f x dx π-=⎰___________14．直线x ＝0、直线y ＝e +1与曲线y ＝e x +1围成的图形的面积为_____．15．若112lim 22n nn n n t t +-→+∞-=+ ，则实数t 的取值范围是_____________.16．计算)2204(2)x x dx --⎰=_____．17．已知函数()()()22ln 1,0ln 1,0x x x x f x x x x x ⎧++≥⎪=⎨--+<⎪⎩，若()()()21f a f a f -+≤，则实数a 的取值范围是___________．18．由曲线22y x =+与3y x =，1x =，2x =所围成的平面图形的面积为________________.19．计算由曲线22,4y x y x ==-所围成的封闭图形的面积S =__________． 20．计算()2224x x dx -+-⎰得__________．三、解答题21．已知函数()f x 为一次函数，若函数()f x 的图象过点()0,2，且()28f x dx =⎰.（1）求函数()f x 的表达式.（2）若函数()22g x x =+，求函数()f x 与()g x 的图象围成图形的面积.22．已知函数21()ln (1)12f x x ax a x =-+-+． （1）当1a =时，）求函数()f x 在2x =处的切线方程； （2）求函数()f x 在[]1,2x ∈时的最大值．23．已知2()2ln ,(0,]f x ax x x e =-∈ 其中e 是自然对数的底 . (1)若()f x 在1x = 处取得极值,求a 的值； (2)求()f x 的单调区间； 24．计算下列定积分. （1）1211e dx x +-⎰； （2）342x dx -+⎰.25．设是二次函数，方程有两个相等的实根，且()22f x x =+'（1）求()y f x =的表达式；（2）求()y f x =的图像与两坐标轴所围成图形的面积 26．已知函数()ln mf x x x=+()m R ∈. （1）若函数()f x 的图象与直线240x y +-=相切，求m 的值； （2）求()f x 在区间[]1,2上的最小值；（3）若函数()f x 有两个不同的零点1x ， 2x ，试求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】令21y x =-，则()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，则该积分表示该半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，求出面积即可. 【详解】解：令21y x =-，则()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，12201x dx -⎰表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，如图：故12201131311222612OAB BOCx dx SS ππ-=+=⨯⨯⨯=+扇形. 故选：B. 【点睛】本题考查定积分的几何意义，属基础题.2．B解析：B 【分析】(1)根据微积分基本定理,得出()()()0haf x dx F h F a =->⎰,可以看到与()f x 正负无关.(2)注意到sin x 在[]0,2π的取值符号不同,根据微积分基本运算性质,化为220|sin ||sin ||sin |x dx x dx x dx ππππ=+⎰⎰⎰求解判断即可.(3)根据微积分基本定理,两边分别求解,再结合()()F a T F a +=,()()0F T F =判定. 【详解】 (1)由()()()0haf x dx F h F a =->⎰,得()()F h F a >,未必()0f x >.(1)错误.(2)()22200|sin ||sin ||sin |sin sin x dx x dx x dx xdx x dx πππππππ=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰()()20cos |cos |11114x x πππ=-+=--+--=,(2)正确.(3)()()0()0af x dx F a F =-⎰,()()()()()0a TTf x dx F a T F T F a F +=+-=-⎰；故()()aa T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；(3)正确.所以正确命题的个数为2, 故选：B. 【点睛】本题主要考查了命题真假的判定与定积分的计算,属于中档题.3．C解析：C【解析】函数()sin x f x x =，可得函数()2cos sin 'x x x f x x -= ，当02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，由三角函数线可知， tan x x <，即不等式cos sin 0x x x -<成立，可得02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()'0f x < ，函数是减函数．当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， cos sin 0x x x -<，函数是减函数．函数在2x π= 时连续，所以函数()()sin 0,xf x x xπ=∈，的单调区间为()0π，，又当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， cos sin 0x x x ->，即()'0f x >，则函数在x π=时取得极小值，所以函数()f x 有最小值，而无最大值，据此可知选项C 错误，故选C. 点睛：对于①针对函数()sin x f x x =的性质，当02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，由三角函数线可知， tan x x <；利用商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式，求出函数的导数()2cos sin 'x x xf x x -=，然后根据导函数的符号确定函数的单调性和函数的极值即可得到结论．4．C解析：C【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示,可知()()323222002882344489128333x dx x dx x dx ⎛⎫-=-+-=-+--+=⎪⎝⎭⎰⎰⎰．考点：定积分的几何意义．5．B解析：B 【解析】由定积分的物理意义，得，即力做的功为46．考点:定积分的物理意义．6．B解析：B 【分析】由题意，可作出两个函数y x =与2yx 的图象，先求出两函数图象交点A 的坐标，根据图象确定出被积函数2 x x -与积分区间[0，1]，计算出定积分的值即可. 【详解】 作出如图的图象联立22 y x y x ⎧=⎨=⎩解得0 0x y =⎧⎨=⎩或1 1x y =⎧⎨=⎩，即点()11A ，，所求面积为)13231202121133333S x dx x x ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭⎰， 故选B. 【点睛】本题考点是定积分在求面积中的应用，考查了作图的能力及利用积分求面积，解题的关键是确定出被积函数与积分区间，熟练掌握积分的运算.7．D解析：D 【解析】因1112111111]|2x dx x ----=+=⎰，故设sin ,[,]22x ππθθ=∈-，则12221221cos 21cos sin cos (2)2sin 2|442d d d ππππππππθπθθθθθπθ-----+====⨯+=⎰⎰⎰，应选答案D 。
北师大数学选修22配套作业：第四章 定积分 §2 含解析
第4章 §2 微积分基本定理A 级 基础巩固一、选择题1．(2019·景德镇市高二质检)若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则正实数a 为( A )A.49B.59 C.43D.53[解析] 由题意知，⎠⎛0a x d x ＝a 2，∵(23x 32 )′＝x 12 ，∴⎠⎛0a x d x ＝23x 32|a 0＝23a 32 ， ∴23a 32 ＝a 2，∴a ＝49. 2．若⎠⎛12(2ax ＋a ＋1)d x ＝5，则a ＝( A )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ⎠⎛12(2ax ＋a ＋1)d x ＝(ax 2＋ax ＋x )|21＝4a ＋1＝5，∴a ＝1，故选A.3．(2018·玉溪模拟)由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，x ＝3及x 轴所围成的曲边四边形的面积为( C )A.116B.92C.12＋ln3 D ．4－ln3[解析] 由xy ＝1得y ＝1x，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝1x得x D ＝1，所以曲边四边形的面积为：⎠⎛01x d x ＋⎠⎛031xd x ＝12x 2|10＋ln x |31＝12＋ln3，故选C. 4．函数F (x )＝⎠⎛0x cos t d t 的导数是( A )A ．f ′(x )＝cos xB ．f ′(x )＝sin xC ．f ′(x )＝－cos xD ．f ′(x )＝－sin x[解析] F (x )＝⎠⎛0x cos t d t ＝sin t | x 0＝sin x －sin0＝sin x .所以f ′(x )＝cos x ，故应选A.5．(2019·昆明高二检测)若直线l 1：x ＋ay －1＝0与l 2：4x －2y ＋3＝0垂直，则积分⎠⎛－a a(x 3＋sin x －5)d x 的值为( D )A ．6＋2sin 2B ．－6－2cos 2C ．20D ．－20[解析] 由l 1⊥l 2得4－2a ＝0即a ＝2，∴原式＝⎠⎛－22 (x 3＋sin x －5)d x ＝⎠⎛－22 (x 3＋sin x )d x ＋⎠⎛－22(－5)d x ＝0－20＝－20.6．⎠⎛03π⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2d θ的值为( D )A ．－32 B ．－12C ．12D ．32[解析] ∵1－2sin 2θ2＝cos θ，∴⎠⎛03π⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2d θ＝⎠⎛03πcos θd θ ＝sin θ⎪⎪π30＝32，故应选D. 二、填空题7．设y ＝f (x )为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分⎠⎛01f (x )d x ，产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )，再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得积分⎠⎛01f (x )d x 的近似值为N 1N .[解析] 因为0≤f (x )≤1，且由定积分的定义知：⎠⎛01f (x )d x 是由直线x ＝0，x ＝1及曲线y ＝f (x )与x 轴围成图形的面积． 又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形的面积为1，且共有N 个数对，即N 个点．而满足y i ≤f (x i )的有N 1个点，即在函数f (x )的图像上及图像下方有N 1个点，所以用几何概型的概率公式得：f (x )在x ＝0到x ＝1上与x 轴围成的面积为N 1N ×1＝N 1N ，即⎠⎛01f (x )d x ＝N 1N .8．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛－11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝－1或13. [解析] 由已知F (x )＝x 3＋x 2＋x ，F (1)＝3，F (－1)＝－1， ∴⎠⎛－11f (x )d x ＝F (1)－F (－1)＝4， ∴2f (a )＝4，∴f (a )＝2.即3a 2＋2a ＋1＝2.解得a ＝－1或13.三、解答题9．计算下列定积分： (1)⎠⎛2(4－2x )(4－x 2)d x;(2)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x .[解析] (1)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ＝⎠⎛02(16－8x －4x 2＋2x 3)d x＝⎝⎛⎭⎫16x －4x 2－43x 3＋12x 4| 20＝32－16－323＋8＝403. (2)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x ＋2－3x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x －3ln x | 21＝72－3ln2. 10．(2019·泉州模拟)已知f (x )＝(kx ＋b )e x 且曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝e(x －1)．(1)求k 与b 的值； (2)求⎠⎛01x ·e x d x .[解析] (1)∵f (x )＝(kx ＋b )e x ，∴f ′(x )＝(kx ＋k ＋b )e x ，∴f ′(1)＝e ，f (1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧(2k ＋b )e ＝e (k ＋b )e ＝0解得k ＝1，b ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝(x －1)e x ，f ′(x )＝x e x ， ∴⎠⎛01(x e x )d x ＝(x －1)e x |10＝0＋1＝1.B 级 素养提升一、选择题1．(2019·岳阳高二检测)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( B )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1[解析] S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝x 33|21＝73. S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x |21＝ln2－ln1＝ln2. S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)．∵e>2.7，∴S 3>3>S 1>S 2.故选B.2．定义在R 上的可导函数y ＝f (x )，如果存在x 0∈[a ，b ]，使得f (x 0)＝⎠⎛abf (x )d x b －a成立，则称x 0为函数f (x )在区间[a ，b ]上的“平均值点”，那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2,2]上“平均值点”的个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由已知得：f (x 0)＝⎠⎛－22(x 3－3x )d x4＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫14x 4－32x 22－24＝0，即x 30－3x 0＝0，解得：x 0＝0或x 0＝±3，∴f (x )的平均值点有3个，故选C.二、填空题3． (x ＋cos x )d x ＝2.[解析]＝2.4.由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为14.[解析] 由⎩⎨⎧y ＝x 2y ＝t2x >0得，x ＝t ，故S ＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x＝(t 2x －13x 3)|t 0＋(13x 3－t 2x )|1t＝43t 3－t 2＋13， 令S ′＝4t 2－2t ＝0，∵0<t <1，∴t ＝12，易知当t ＝12时，S min ＝14.三、解答题5．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值．[解析] ∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2.① 又∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ，取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ，则f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－2③解①②③得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.6．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．[解析] 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛1(x －x 2)d x ＝(x 22－x 33)|10＝12－13＝16. 抛物线y ＝x －x 2与直线y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ，所以S2＝⎠⎛01－k (x －x 2－kx )d x ＝(1－k 2x 2－x 33)|1－k 0＝16(1－k )3， 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12.于是k ＝1－312＝1－342. C 级 能力拔高设f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)若直线x ＝－t (0<t <1)把y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值． [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ，又已知f ′(x )＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2， 所以f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根． 所以判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意有⎠⎜⎛－1－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛－t0(x 2＋2x ＋1)d x ，所以⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x |－t －1＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x |0－t即－13＋t2－t＋13＝13t3－t2＋t.3t所以2t3－6t2＋6t－1＝0，所以2(t－1)3＝－1，所以t＝1－1.32。
(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(含答案解析)(2)
一、选择题1．在1100x y x y ==-=,,,围成的正方形中随机投掷10000个点，则落入曲线20x y -=,1y =和y 轴围成的区域的点的个数的估计值为（ ）A ．5000B ．6667C ．7500D ．78542．已知)221a ex dx π-=⎰，若()201620121ax b b x b x -=++ 20162016b x ++（x R ∈），则12222b b + 201620162b ++的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．e3．设若20lg ,0()3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，((1))1f f =，则a 的值是( ) A ．-1 B ．2 C ．1 D ．-24．等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为3230S x dx =⎰，则公比q 的值是（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12-5．曲线22,y x y x ==所围成图形的面积是（ ） A ．1B ．13C ．12D ．236．曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =围成的封闭图形的面积是AB ．2C ．π23-D π37．设曲线e xy x =-及直线0y =所围成的封闭图形为区域D ,不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定的区域为E ,在区域E 内随机取一点,则该点落在区域D 内的概率为A ．2e 2e 14e--B ．2e 2e 4e-C ．2e e 14e--D ．2e 14e-8．由直线y= x - 4，曲线y =x 轴所围成的图形面积为（ ）A ．15B ．13C ．252D ．4039．函数0()(4)xf x t t dt =-⎰在[1,5]-上（ ）A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值323-C ．最小值323-，无最大值 D ．既无最大值，也无最小值10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．2311．已知11em dx x=⎰，函数()f x 的导数()()()f x a x m x a '=++，若()f x 在x a =-处取得极大值，则a 的取值范围是（ ） A ．1a < B ．10a -<< C ．1a >或0a < D ．01a <<或0a <12．已知t ＞0，若（2x ﹣2）dx=8，则t=（ ） A ．1B ．﹣2C ．﹣2或4D ．4二、填空题13．定积分121x x dx -⎰-=______.14．如图所示，直线y kx =分抛物线2y x x 与x 轴所围图形为面积相等的两部分，则k的值为__________．15．由曲线2y x=与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的面积为__________． 16．已知曲线y x =2y x =-，与x 轴所围成的图形的面积为S ，则S =__________．17．已知函数()323232t f x x x x t =-++在区间()0,∞+上既有极大值又有极小值，则实数t 的取值范围是__________．18．已知函数2()2ln f x x x =-，若方程()0f x m +=在1[,]e e 内有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围是__________． 19．如图，两曲线2y x =，2yx 围成图面积__________．20．()402sin cos x a x dx π-=⎰，则实数a =____________. 三、解答题21．设函数()()3223168f x x a x ax =-+++，其中a R ∈，已知()f x 在3x =处取得极值. （1）求()f x 在点()()1,1A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间.22．已知函数()32f x x ax =+图像上一点()1,P b 的切线斜率为3-，()()()3261302t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[]1,4x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围. 23．计算下列定积分. （1）1211e dx x +-⎰； （2）342x dx -+⎰.24．梯形ABCD 顶点B 、C 在以AD 为直径的圆上，AD =2米，(1)如图1，若电热丝由AB ，BC ，CD 这三部分组成，在AB ，CD 上每米可辐射1单位热量，在BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大，并求总热量的最大值；(2)如图2，若电热丝由弧,AB CD 和弦BC 这三部分组成，在弧,AB CD 上每米可辐射1单位热量，在弦BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．25．为了净化广州水系，拟在小清河建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200 m 2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m ，如果池外壁建造单价为400元/m 2，中间两条隔墙建造单价为248元/m 2，池底建造单价为80元/m 2(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y (元)与x 的函数关系式，并指出定义域；(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低，并求最低造价．26．已知函数()121f x x x a =+--+ （1）当0a =时，解不等式()0f x ≥；（2）若二次函数2814y x x =-+-的图象在函数()y f x = 的图象下方，求a 的取值范围·【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】应用微积分基本定理求出对应的原函数，再由定积分定义求出空白区域面积，由正方形面积减去空白区域面积即可求出阴影部分面积，结合几何概型可推导出对应区域内的点的个数 【详解】由微积分基本定理可求出2yx 的原函数为()313F x x =，空白区域面积为31101133S x ==，故阴影部分面积212133S =-=，由几何概型可知，落入阴影部分的点数估计值为21000066673⨯≈ 故选：B 【点睛】本题考查定积分与微积分的基本定理，几何概型，属于基础题2．A解析：A 【解析】因为22x -表示的是以原点为圆心、半径为2的上半圆的面积，即22πx -=，222221e d (e )|02x x x --==⎰，所以)221e d 2a x x π-==⎰，则()2016201212x b b x b x -=++ 20162016b x ++，令0x =，得01b =，令12x =，得1202022b b b =++ 201620162b ++，则12222b b + 2016201612b ++=-；故选A. 点睛：在处理二项展开式的系数问题要注意两个问题：一是要正确区分二项式系数和各项系数；二要根据具体问题合理赋值（常用赋值是1、-1、0）.3．C解析：C 【详解】233003|aat dt t a ==⎰，33(1)lg10,(0),1, 1.f f a a a ===∴==故选：C4．C解析：C 【分析】先由微积分基本定理得到327S =，再由等比数列的求和公式以及通项公式，即可求出结果. 【详解】23312333133|2727003S x dx x a a a =⎰=⋅=∴++=，，即333227a a a q q ++=，解得1q =或1-2q =．【点睛】本题主要考查定积分的就算，以及等比数列的公比，熟记微积分基本定理，以及等比数列的通项公式及前n 项和公式即可，属于常考题型.5．B解析：B 【分析】由题意，可作出两个函数y x =与2yx 的图象，先求出两函数图象交点A 的坐标，根据图象确定出被积函数2 x x -与积分区间[0，1]，计算出定积分的值即可. 【详解】 作出如图的图象联立22 y x y x ⎧=⎨=⎩解得0 0x y =⎧⎨=⎩或1 1x y =⎧⎨=⎩，即点()11A ，， 所求面积为)13231202121133333S x x dx x x ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭⎰， 故选B. 【点睛】本题考点是定积分在求面积中的应用，考查了作图的能力及利用积分求面积，解题的关键是确定出被积函数与积分区间，熟练掌握积分的运算.6．D解析：D 【解析】曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =的两个交点坐标分别为(π6,12),(5π6,12), 则封闭图形的面积为5π5π66ππ6611πsin cos |3223x dx x x ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 本题选择D 选项.点睛：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加． (2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则()()0aaf x dx a ->⎰ ＝0.7．D解析：D 【详解】曲线e x y x =-及直线0y =所围成封闭图形的面积()1211112x x S e x dx e x -⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭⎰阴影=1e e --;而不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定区域的面积22 4.S =⨯=所以该点落在区域D 内的概率1S 4S e e P --==阴影=2e 14e-.故选D. 【方法点睛】本题题主要考查定积分的几何意义及“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.8．D解析：D 【详解】根据题意，画出如图所示：由直线4y x =-，，曲线y =x轴所围成的面积为：42881404)4)423x dx x x +⎰+=+-+=.故选D.9．B解析：B 【分析】根据定积分的运算，可得321()23f x x x =-，再利用导数求得()f x 的单调性和极值，检验端点值，即可得答案. 【详解】由题意，函数3232011()(4)2233xxf x t t dt t t x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰，则2()4(4)f x x x x x '=-=-，当[1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(0,4)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(4,5]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； 又由7(1)3f -=-，(0)0f =，32(4)3f =-，25(5)3f =-， 所以函数()f x 的最大值为0，最小值为323-. 故选：B . 【点睛】本题考查定积分的运算，利用导数求函数的最值问题，考查分析理解，求值化简的能力，属中档题.10．D解析：D 【分析】根据三视图可得到该几何体的直观图，进而可求出该几何体的体积. 【详解】根据三视图可知该几何体为四棱锥E ABCD -，四边形ABCD 是边长为1的正方形，BE ⊥平面ABCD ，2BE =，则四棱锥E ABCD -的体积为1233ABCD V S BE =⋅=. 故选D.【点睛】本题考查了三视图，考查了四锥体的体积的计算，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.11．C解析：C 【分析】利用积分求解出1m =；根据a 的符号和a -与1-之间的大小关系，结合二次函数确定导函数的符号，得到()f x 的单调性，符合在x a =-处()f x 左增右减时的a 的取值范围是满足题意的，从而得到所求范围. 【详解】11ln ln ln111ee dx x e x ==-=⎰，即1m = 则()()()1f x a x x a '=++当0a =或1a =时，()f x 不存在极值，不合题意 当0a <时(),1x ∈-∞-或(),x a ∈-+∞时，()0f x '<，此时()f x 单调递减 ()1,x a ∈--时，()0f x '>，此时()f x 单调递增则()f x 在x a =-处取得极大值，满足题意 当01a <<时(),1x ∈-∞-或(),x a ∈-+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增()1,x a ∈--时，()0f x '<，此时()f x 单调递减则()f x 在x a =-处取得极小值，不满足题意 当1a >时(),x a ∈-∞-或()1,x ∈-+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增 (),1x a ∈--时，()0f x '<，此时()f x 单调递减则()f x 在x a =-处取得极大值，满足题意 综上所述：1a >或0a < 【点睛】本题考查根据函数的极值点和极值求解参数的取值范围问题，关键是能够根据二次函数根的分布情况确定二次函数的图象，从而得到导函数的符号，确定原函数的单调性.12．D解析：D 【解析】∵（x 2﹣2x ）′=2x ﹣2，∴若20(22)(2)0tt x dx x x -=-⎰ =t 2﹣2t=8，又t ＞0，解得t=4．选D.二、填空题13．1【分析】将定积分根据绝对值里的正负分为两部分利用定积分公式计算得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了定积分的计算意在考查学生的计算能力和转化能力解析：1 【分析】将定积分根据绝对值里的正负分为两部分，利用定积分公式计算得到答案. 【详解】()()112223203211010111113232x x dx x x dx x x dx x x x x ---⎛⎫⎛⎫⎰-=⎰--⎰-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭51166⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. 故答案为：1. 【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.14．【分析】根据题意求出直线与抛物线的交点横坐标再根据定积分求两部分的面积列出等式求解即可【详解】联立或由图易得由题设得即即化简得解得故答案为：【点睛】本题主要考查了定积分的运用需要根据题意求到交界处的解析：1【分析】根据题意求出直线与抛物线的交点横坐标,再根据定积分求两部分的面积,列出等式求解即可. 【详解】联立2y x x y kx⎧=-⇒⎨=⎩ 0x =或1x k =-.由图易得1,11x k k由题设得()()11220012k x x kx dx x x dx ---=-⎰⎰, 即232123*********||232223k x x kx x x -⎛⎫⎛⎫--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即()()()232111*********k k k k -----= 化简得()3112k -=. 解得3412k =-. 故答案为：3412-【点睛】 本题主要考查了定积分的运用,需要根据题意求到交界处的点横坐标,再根据定积分的几何意义列式求解即可.属于中档题.15．【分析】转化为定积分求解【详解】如图：曲线与直线及所围成的封闭图形的为曲边形因为曲线与直线及的交点分别为且所以由曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为【点睛】本题考查定积分的意义及计算 解析：12ln 22-【分析】转化为定积分求解.【详解】如图：, 曲线2y x=与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的为曲边形ABC , 因为ABC ABCD ACD S S S =- , 曲线2y x=与直线1y =x -及1x =的交点分别为(1,2)，(2,1) 且212ABCD S dx x =⎰，21(1)ACD S x dx =-⎰， 所以，()22222111121(1)2ln 2ABC S dx x dx x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭⎰⎰ ()221112ln 22ln122112ln 2222⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⨯--⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 由曲线2y x =与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的面积为12ln 22-. 【点睛】本题考查定积分的意义及计算. 16．【解析】由题意得曲线与轴所围成的图形的面积为： 解析：76【解析】由题意得，曲线,2y x y x ==-与x 轴所围成的图形的面积为： 231222010121237(2)|(2)|232326S xdx x dx x x x =+-=+-=+-=⎰. 17．【解析】由题意可得在有两个不等根即在有两个不等根所以解得填 解析：90,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】2()32f x tx x -'=+，由题意可得()0f x '=在()0,+∞有两个不等根，即2320tx x -+=在()0,+∞有两个不等根，所以302980t t ⎧>⎪⎨⎪∆=->⎩，解得908t <<，填90,8⎛⎫ ⎪⎝⎭ 18．【解析】当时在为增函数当时在为减函数当时有极大值也为最大值又因此本题正确答案是:解析：21(1,2]e +． 【解析】 2(1)(1)'()x x f x x-+=, ∴当1[,1)x e∈时, '()0f x >,()f x 在1[,1)e 为增函数, 当(1,)x e ∈时, '()0f x <,()f x 在(1,)e 为减函数,∴当1x =时, ()f x 有极大值,也为最大值, (1)1f =-,又2211()2,()2f f e e e e=--=-, 2121m e --≤-<-, 2112m e ∴<≤+. 因此，本题正确答案是: 21(1,2]e +. 19．【解析】试题分析：作出如图的图象联立解得或即点所求面积为：考点：定积分解析：13【解析】试题分析：作出如图的图象，联立，解得或，即点，所求面积为： .考点：定积分.20．【分析】直接根据定积分的运算法则再分别计算定积分解得的值【详解】根据定积分的运算法则所以解得故答案为【点睛】本题主要考查了定积分的求解涉及正弦函数和余弦函数的定积分和积分运算法则的应用属于基础题 2【分析】直接根据定积分的运算法则，()444000 sin cos sin cos πππx a x dx xdx a xdx -=-⎰⎰⎰，再分别计算定积分，解得a 的值．【详解】根据定积分的运算法则，()444000 sin cos sin cos πππx a x dx xdx a xdx -=-⎰⎰⎰4400222sin 1222cosxa x a ππ=--⋅=--=- 所以210=，解得2a = 2【点睛】本题主要考查了定积分的求解，涉及正弦函数和余弦函数的定积分和积分运算法则的应用，属于基础题．三、解答题21．(1)16y =；(2)单调增区间为：()(),1,3,-∞+∞；单调递减区间为：()1,3.【解析】试题分析：(1)由题意首先求得3a =，然后利用导函数与原函数切线的关系可得()f x 在点()()1,1A f 处的切线方程是16y =；(2)结合(1)中求得的函数解析式结合导函数的符号可得函数的单调增区间为：()(),1,3,-∞+∞；单调递减区间为：()1,3.试题（1） ∵()()3223168f x x a x ax =-+++， ∴()()26616f x x a x a =+'-+. ∵()f x 在3x =处取得极值，∴()()36961360f a a =⨯-+⨯+='，解得 3a =. ∴()262418f x x x =-+'，()1624180f =-+='，又()116f =. ∴()f x 在点()()1,1A f 处的切线方程为：16y =.（2）由（1)可得()262418f x x x =-+' ()()631x x =--. 令()0f x '=，得1x =或3x =.当x 发生变化时，则()f x 与()f x '的变化情况如表，由上表可知，()f x 的单调增区间为：()(),1,3,-∞+∞；单调递减区间为：()1,3. 22．(Ⅰ)3a=-,2b =-；(Ⅱ)[]4,16-；(Ⅲ)1234t ≤≤ 【解析】试题分析：(Ⅰ)由导函数研究原函数切线的方法得到关于实数a,b 的方程组，求解方程组可得3a =-,2b =-；(Ⅱ)将不等式恒成立的问题分类讨论可得实数t 的取值范围是1234t ≤≤+ 试题（Ⅰ）()232f x x ax '=+ ∴()1323f a =+=-' ∴3a =- ∴()323f x x x =-因为()113f b =-= ∴2b =- （Ⅱ）由（Ⅰ）得()323f x x x =- ∴()236f x x x '=- 令()0f x '= 解得120,2x x ==()()()()14,00,24,416f f f f -=-==-=∴()f x 的值域是[]4,16-（Ⅲ）因为[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立∴()22160tx t x -++≥在[]1,4上恒成立，令()()2216h x tx t x =-++ 对称轴为1t x t +=因为0t >∴11t x t +=> ∴()21441240t t t t +⎧<⎪⎨⎪∆=+-≤⎩或()()144168160t t h t t +⎧≥⎪⎨⎪=-++≥⎩ 解得：t 的取值范围为1234t ≤≤+. 23．（1）1；（2）292 【分析】（1）直接根据微积分基本定理，即可得到本题答案；（2）由题，得323442|2|(2)(2)x dx x dx x dx ----+=--++⎰⎰⎰，再根据微积分基本定理，即可得到本题答案.【详解】（1）11221ln(1)ln ln111e e dx x e x ++=-=-=-⎰； （2）323442|2|(2)(2)x dx x dx x dx ----+=--++⎰⎰⎰222112242232x x x x -⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪-⎝⎝⎭-⎭ 2529222=+=. 【点睛】 本题主要考查利用微积分基本定理求定积分.24．（1）应设计BC 长为74米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为92单位．（2）应设计BC 长为3米，电热丝辐射的总热量最大．【解析】试题分析：（1）取角为自变量: 设∠AOB ＝θ，分别表示AB ，BC ，CD,根据题意得函数4cos θ+4 sin 2θ,利用二倍角余弦公式得关于sin 2θ二次函数 ,根据二次函数对称轴与定义区间位置关系求最值（2）取角为自变量: 设∠AOB ＝θ，利用弧长公式表示,AB CD ,得函数2θ＋4cos θ,利用导数求函数单调性,并确定最值试题解：(1)设∠AOB ＝θ，θ∈(0，)则AB ＝2sin ，BC ＝2cos θ，总热量单位f(θ) ＝4cosθ+4 sin＝－8(sin)2＋4 sin＋4，当sin＝，此时BC＝2cosθ＝ (米)，总热量最大 (单位) ．答：应设计BC长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为单位． (2)总热量单位g(θ)＝2θ＋4cosθ，θ∈(0，)令g'(θ)＝0，即2－4sinθ＝0，θ＝，增区间（0，），减区间（，）当θ＝，g(θ)最大，此时BC＝2cosθ＝ (米)答：应设计BC长为米，电热丝辐射的总热量最大．25．(1) y＝800x＋259200x＋16 000，252≤x≤16.(2) 当长为16 m，宽为12.5 m时，总造价y最低，为45 000元．【解析】试题分析：（1）先求面积，再乘以对应价格，求和得总造价，根据长、宽都不能超过16 m要求确定定义域（2）利用导数可得函数为定义域上单调减函数，再根据单调性求最小值试题解：(1)矩形平面图的两边长分别为x m， m，根据题意，得解得≤x≤16.y＝×400＋×248＋16 000＝800x＋＋16 000，≤x≤16.(2)y′＝800－，当≤x≤16时，y′＜0，函数在上为减函数，所以当长为16 m，宽为12.5 m时，总造价y最低，为45 000元．26．（1）1{x|x3}3≤≤；（2）13a4>．【解析】【分析】()1a0=时，将不等式移项平方分解因式可解得；()2根据题意，只需要考虑x1>时，两函数的图象位置关系，利用抛物线的切线与抛物线的位置关系做．【详解】() 1当a 0=时，不等式()f x 0≥化为：x 12x 10+--≥， 移项得x 12x 1+≥-，平方分解因式得()()3x 1x 30--≤， 解得1x 33≤≤，解集为1{x |x 3}3≤≤． ()2化简得()x 3a,x 1f x 3x 1a,1x 1x 3a,x 1-+≤-⎧⎪=-+-<≤⎨⎪-++>⎩，根据题意，只需要考虑x 1>时，两函数的图象位置关系，当x 1>时，()f x x 3a =-++，由2y x 8x 14=-+-得y'2x 8=-+，设二次函数与直线y x 3a =-++的切点为()00x ,y ，则02x 81-+=-，解得09x 2=，所以07y 4=， 代入()f x x 3a =-++，解得13a 4=， 所以a 的取值范围是13a 4>． 【点睛】 本题主要考查了含绝对值不等式的解法，以及导数的几何意义的应用问题，其中解答中熟记含绝对值不等式的求解方法，合理分类是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题．。
(北师大版)北京市高中数学选修2-2第四章《定积分》检测(包含答案解析)
一、选择题1．已知71()x x +展开式中，5x 的系数为a ，则62axdx =⎰（ ）A ．10B ．11C ．12D ．132．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为（） A ．16B ．36C ．13D ．233．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A ．22B ．42C ．2D ．44．三棱锥D ABC -及其正视图和侧视图如图所示，且顶点,,,A B C D 均在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．32πB ．36πC ．128πD ．144π5．由23y x =-和2y x =围成的封闭图形的面积是（ ） A ．23 B ．923- C ．323 D ．3536．已知函数f(x)=x 2+1的定义域为[a,b](a<b),值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 7．已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．14 B ．12C ．1D ．2 8．一物体在力(单位:N)的作用下沿与力相同的方向,从x=0处运动到(单位:)处,则力做的功为( )．A ．44B ．46C ．48D ．509．使函数()322912f x x x x a =-+-图象与x 轴恰有两个不同的交点，则实数a 可能的取值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．210．由直线,1y x y x ==-+，及ｘ轴所围成平面图形的面积为 （ ） A ．()101y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰B ．()1201x x dx ⎡⎤-+-⎣⎦⎰C ．()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰D ．()101x x dx ⎡⎤--+⎣⎦⎰11．曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =围成的封闭图形的面积是 A ．3B ．23-C ．π23-D ．π33-12．等比数列{}n a 中，39a =前三项和为32303S x dx =⎰，则公比的值是（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．-1或12-二、填空题13．若2211S x dx =⎰，2211S dx x=⎰，231x S e dx =⎰，则1S ，2S ，3S 的大小关系为___．14．已知0a >，6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为15，则()0224a x x x dx -++-=⎰______.15．()2208x x dx --=⎰______.16．质点运动的速度()2183/v t t m s =-，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是______. 17．由曲线2y x=与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的面积为__________． 18．在直线0x =，1x =，0y =，1y e =+围成的区域内撒一粒豆子，则落入0x =，1y e =+，e 1x y =+围成的区域内的概率为__________．19．曲线2y x =与直线230x y --=所围成的平面图形的面积为________. 20．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为____________．三、解答题21．设函数()()3223168f x x a x ax =-+++，其中a R ∈，已知()f x 在3x =处取得极值.（1）求()f x 在点()()1,1A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间. 22．已知函数1ln(1)()x f x x++=（1）求函数的定义域；（2）判定函数()f x 在(1,0)-的单调性，并证明你的结论； （3）若当0x >时，()1kf x x >+恒成立，求正整数k 的最大值. 23．已知函数()1x f x e ex =--，其中e 为自然对数的底数，函数()(2)g x e x =-. （1）求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；（2）若函数(),,()(),f x x m F x g x x m ≤⎧=⎨>⎩的值域为R ，求实数m 的取值范围. 24．已知函数()xe f x x=.（1）若曲线()y f x =与直线y kx =相切于点P ，求点P 的坐标； （2）当a e ≤时，证明：当()0,x ∈+∞时，()()ln f x a x x ≥-.25．在曲线2(0)y x x =≥上某一点A 处作一切线与曲线及坐标轴所围成图形的面积为112， 试求：（1）点A 的坐标； （2）过切点A 的切线方程. 26．利用定积分的定义，计算221(2)d x x x -+⎰的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用二项式的通项公式求得7a =，从而求得762xdx ⎰的值.【详解】在71()x x +展开式中，得二项式的通项公式7721771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 令725r -=，解得1r =，所以5x 的系数为177C =，即7a =.所以7267662213axdx xdx x ===⎰⎰.故选：D【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求定积分的值，属于中档题．2．C解析：C 【分析】先计算图像交点，再利用定积分计算面积. 【详解】 如图所示：由2y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩0,0,x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩， 根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为)13023210211d 333x x x x x ⎛⎫⎰=-= ⎪⎝⎭.故答案选C 【点睛】本题考查定积分的应用，考查运算求解能力3．D解析：D 【解析】直线4y x =与曲线3y x =的交点坐标为(0,0)和(2,8)， 故直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)2|8444S x x dx x x ⎛⎫=⎰-=-=-= ⎪⎝⎭．故选D ．4．A解析：A 【解析】由三视图可得：DC ⊥平面ABC 且底面ABC 为正三角形，如图所示，取AC 中点F ，连BF ，则BF AC ⊥，在Rt BCF 中，2BF =，2CF =，4BC =， 在Rt BCD 中，4CD =，所以42BD =，设球心到平面ABC 的距离为d ，因为DC ⊥平面ABC ，且底面ABC 为正三角形，所以2d =，因为ABC 的外接圆的半径为2，所以由勾股定理可得22228R d =+=，则该三棱锥外接球的半径22R =，所以三棱锥外接球的表面积是2432R ππ=，故选A ．点睛：本题考查几何体的三视图，线面垂直的定义，以及几何体外接球问题，由三视图正确还原几何体、以及判断几何体位置关系是解题关键；由三视图画出几何体的直观图，由三视图判断出DC ⊥平面ABC 、求出ABC 的外接圆的半径，列出方程求出三棱锥外接球的半径，由球的表面积公式求出答案.5．C解析：C 【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示，所以围成的面积为()13122333232333x x x dx x x --⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭⎰.考点：定积分.6．C解析：C 【解析】 由函数的图像可知，需满足或，所以点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是边长为2的正方形，其面积为4.7．A解析：A 【解析】试题分析：由1(1)1x f x x e ++=-+知()2x f x x e =-+，则()1(0)2x f x e f ''=+⇒=，而(0)1f =-，即切点坐标为()0,1-，切线斜率(0=2k f '=），则切线()():12021l y x y x --=-⇒=-，切线l 与坐标轴的交点分别为1,02⎛⎫⎪⎝⎭和()0,1-，则切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为1111224S =⋅⋅-= 考点：函数在某点处的切线8．B解析：B 【解析】由定积分的物理意义，得，即力做的功为46．考点:定积分的物理意义．9．C解析：C 【解析】f ′(x )=6x 2−18x +12，令f ′(x )=0得x 2−3x +2=0，解得x =1，或x =2. ∴当x <1或x >2时,f ′(x )>0，当1<x <2时,f ′(x )<0，∴f (x )在(−∞,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增， ∴当x =1时,f (x )取得极大值f (1)=5−a ， 当x =2时,f (x )取得极小值f (2)=4−a ，∵f (x )只有两个零点，∴5−a =0或4−a =0，即a =5或a =4. 本题选择C 选项.10．C解析：C 【解析】如图，由直线y=x ，y=−x+1，及x 轴围成平面图形是红色的部分，它和图中蓝色部分的面积相同，∵蓝色部分的面积()121S x x dx ⎡⎤=--⎣⎦⎰，即()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰.本题选择C 选项.11．D解析：D 【解析】曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =的两个交点坐标分别为(π6,12),(5π6,12), 则封闭图形的面积为5π5π66ππ6611πsin cos |3223x dx x x ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰本题选择D 选项.点睛：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加． (2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则()()0aaf x dx a ->⎰ ＝0.12．C解析：C 【解析】由题意得3330|27S x ==． ①当q ≠1时，则有313231(1)2719a q S q a a q ⎧-==⎪-⎨⎪==⎩，解得12q =-或1q =（舍去）．②当q ＝1时，a 3＝a 2＝a 1＝9，故S 3＝27，符合题意． 综上12q =-或1q =．选C ． 点睛：在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对1q =与1q ≠分类讨论，防止因忽略1q = 这一特殊情况而导致解题失误．二、填空题13．【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分再比较它们的大小即可【详解】故答案为：【点睛】本小题主要考查定积分的计算不等式的大小比较等基础知识考查运算求解能力属于中档题 解析：213S S S <<【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可． 【详解】22321111733S x dx x ===⎰ 2221112S dx lnx ln x===⎰222311|x x S e dx e e e ===-⎰ 2723ln e e <<- 213S S S ∴<<故答案为：213S S S << 【点睛】本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．14．【分析】利用二项式展开式的通项公式求出再利用定积分的运算性质和几何意义去求即得【详解】二项式展开式的通项为展开式的常数项为15令故答案为：【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式考查微积分基本定理 136π- 【分析】利用二项式展开式的通项公式求出a ，再利用定积分的运算性质和几何意义去求即得.【详解】二项式6x ⎫-⎪⎭展开式的通项为()()626136631r rrrrrr r x a C xT C --+---==.6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为15， ∴令330,22rr -=∴=，()262261=15a C -∴-，4=1a ∴，0,1a a>∴=.((0221a x x dx x x dx --∴+=++⎰⎰2322111001111121132226x dx xdx x x π---=++=++⨯⨯⨯--⎰⎰()()3232110101323π⎡⎤⎡⎤=--+--⎣⎦⎣⎦11132336ππ=-+=+-. 136π+-. 【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式，考查微积分基本定理.15．【分析】由定积分性质可知而可利用几何意义求解【详解】令即由几何意义可知：表示在第一象限部分的一半与直角边长为2的等腰三角形的面积和所以因此故答案为：【点睛】本题主要考查了定积分的性质计算特别是定积分解析：π【分析】 由定积分性质可知)2x dx =⎰20xdx -⎰⎰，而0⎰可利用几何意义求解. 【详解】)2x dx =⎰2xdx -⎰⎰22001|2x =-⎰2=-⎰令(0)y y =≥，即228(0)x y y +=≥，由几何意义可知：⎰表示228(0)x y y +=≥在第一象限部分的一半与直角边长为2的等腰三角形的面积和，所以02π=+⎰，因此)222x dx ππ=+-=⎰，故答案为：π 【点睛】本题主要考查了定积分的性质，计算，特别是定积分的几何意义是解题关键，属于中档题.16．108m 【分析】令速度为0求出t 的值0和6求出速度函数在上的定积分即可【详解】由得或当时质点运动的路程为故答案为：108m 【点睛】本题主要考查了定积分定积分在物理中的应用属于中档题解析：108m. 【分析】令速度为0求出t 的值 0和6，求出速度函数在[0,6]上的定积分即可. 【详解】由21830t t -=，得0t =或6t =，当[0,6]t ∈时，质点运动的路程为()()662233201839696108S t t dt t t=-=-=-+⨯=⎰，故答案为：108m 【点睛】本题主要考查了定积分，定积分在物理中的应用，属于中档题.17．【分析】转化为定积分求解【详解】如图：曲线与直线及所围成的封闭图形的为曲边形因为曲线与直线及的交点分别为且所以由曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为【点睛】本题考查定积分的意义及计算 解析：12ln 22-【分析】 转化为定积分求解. 【详解】 如图：,曲线2y x=与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的为曲边形ABC , 因为ABC ABCD ACD S S S =- , 曲线2y x=与直线1y =x -及1x =的交点分别为(1,2)，(2,1) 且212ABCD S dx x =⎰，21(1)ACD S x dx =-⎰，所以，()22222111121(1)2ln 2ABCS dx x dx x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭⎰⎰ ()221112ln 22ln122112ln 2222⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⨯--⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由曲线2y x =与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的面积为12ln 22-. 【点睛】本题考查定积分的意义及计算.18．【解析】由题意直线所围成的区域为一个长为高为的矩形所以其的面积为又由解得所以由所围成的区域的面积为所以概率为 解析：11e + 【解析】由题意，直线0,1,0,1x x y y e ====+所围成的区域为一个长为1，高为1e +的矩形，所以其的面积为1(1)1S e e =⨯+=+，又由11xy e y e =+⎧⎨=+⎩，解得11x y e =⎧⎨=+⎩， 所以由0,1,1x x y e y e ==+=+所围成的区域的面积为111100(11)()()|1xx x S e e dx e e dx ex e =+--=-=-=⎰⎰，所以概率为111S P S e ==+. 19．【解析】试题分析：联立交点所以围成的图形为直线的左上方和曲线所围成的区域面积为考点：1定积分的应用---求曲边梯形的面积；2微积分基本定理【方法点晴】求曲边梯形的步骤：①画出草图在直角坐标系中画出直 解析：323【解析】 试题分析：联立2{230y x x y =--=,交点(1,1)A -,(9,3)B ,所以围成的图形为直线的左上方和曲线所围成的区域,面积为322332111132(23)(3)|(399)(13)333S y y dy y y y --=+-=+-=+---+=⎰.考点：1.定积分的应用---求曲边梯形的面积；2.微积分基本定理.【方法点晴】求曲边梯形的步骤：①画出草图，在直角坐标系中画出直线或曲线的大致图象；②联立方程，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示为若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案.由于本题中，若对x 进行定积分，2,y x y x ==±，有些麻烦，这里就转化为对y 进行定积分，要容易很多.20．【解析】【分析】确定被积函数与被积区间利用用定积分表示面积即可求得结论【详解】曲线y=sinx 与直线x=0x=π4y=0所围成的封闭图形的面积为0π4sinxdx=-cosx|0π4=1-22故答案 解析：【解析】 【分析】确定被积函数与被积区间,利用用定积分表示面积,即可求得结论. 【详解】 曲线与直线所围成的封闭图形的面积为，故答案为.【点睛】本题主要考查利用定积分求面积，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.三、解答题21．(1)16y =；(2)单调增区间为：()(),1,3,-∞+∞；单调递减区间为：()1,3. 【解析】 试题分析：(1)由题意首先求得3a =，然后利用导函数与原函数切线的关系可得()f x 在点()()1,1A f 处的切线方程是16y =；(2)结合(1)中求得的函数解析式结合导函数的符号可得函数的单调增区间为：()(),1,3,-∞+∞；单调递减区间为：()1,3.试题（1） ∵()()3223168f x x a x ax =-+++，∴()()26616f x x a x a =+'-+.∵()f x 在3x =处取得极值，∴()()36961360f a a =⨯-+⨯+='，解得 3a =.∴()262418f x x x =-+'，()1624180f =-+='，又()116f =.∴()f x 在点()()1,1A f 处的切线方程为：16y =. （2）由（1)可得()262418f x x x =-+' ()()631x x =--.令()0f x '=，得1x =或3x =.当x 发生变化时，则()f x 与()f x '的变化情况如表，由上表可知，()f x 的单调增区间为：()(),1,3,-∞+∞；单调递减区间为：()1,3. 22．（1）(1,0)(0,)-+∞ （2）减函数 （3）3【解析】 试题分析：(1)结合函数的解析式可得函数的定义域为()()1,00,-⋃+∞ ；(2)对函数 求导，结合题意和导函数的解析式可得()f x '＝－21x ()111ln x x ⎡⎤++⎢⎥+⎣⎦<0，所以函数f (x )在区间(-1,0)上是减函数.(3)首先由不等式的性质可得k 的最大值不大于３，然后结合导函数的性质可得3k =满足题意，即正整数k 的最大值是3. 试题解：(Ⅰ)函数的定义域为 (Ⅱ)＝21x ＝－设()()()()()221111,01111x g x ln x g x x x x x =++=-+=+++'<+, 故g (x )在(-1,0)上是减函数,而g (x )>g (0)=1>0, 故()f x '＝－21x ()111ln x x ⎡⎤++⎢⎥+⎣⎦<0， 所以函数f (x )在区间(-1,0)上是减函数. （III ）当ｘ>０时，f （ｘ）＞1kx +恒成立, 令ｘ＝１有ｋ＜２[]12ln + 又k 为正整数．∴k 的最大值不大于３． 下面证明当ｋ＝３时，f （ｘ）＞1kx +（ｘ＞０）恒成立． 即证当ｘ>０时，()1x + ()1ln x +＋１－２ｘ＞０恒成立． 令ｇ（ｘ）＝()1x + ()1ln x +＋１－２ｘ，则()g x '＝()1ln x +－１， 当ｘ>ｅ－１时，()g x '＞０；当０＜ｘ＜ｅ－１时，()g x '＜０． ∴当ｘ＝ｅ－１时，ｇ（ｘ）取得最小值ｇ(e －1)＝３－ｅ＞０． ∴当ｘ>０时，()1x + ()1ln x +＋１－２ｘ＞０恒成立． 因此正整数k 的最大值为3．23．(1)单调增区间为(ln 2,)+∞，单调减区间为(,ln 2)-∞.(2)1[0,]2e -. 【解析】试题分析：(1)求出函数的导数()2xh x e '=-,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)函数的导数,通过讨论m 的范围得到函数的值域,从而确定m 的具体范围即可. 试题（1）()()()()21,2xxh x f x g x e x h x e =-=--=-'.由()0h x '>得ln2x >，由()0h x '<得ln2x <.所以函数()h x 的单调增区间为()ln2,+∞，单调减区间为(),ln2-∞.（2）()xf x e e '=-.当1x <时，()0f x '<，所以()f x 在区间(),1-∞上单调递减； 当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,+∞上单调递增.1° 当1m ≤时，()f x 在(],m -∞上单调递减，值域为)1,m e em ⎡--+∞⎣，()()2g x e x =-在(),m +∞上单调递减，值域为()(),2e m -∞-，因为()F x 的值域为R ，所以()12me em e m --≤-，即210m e m --≤.（*）由（1）可知当0m <时，()()2100mh m e m h =-->=，故（*）不成立.因为()h m 在()0,ln2上单调递减，在()ln2,1上单调递增，且()()00,130h h e ==-<， 所以当01m ≤≤时，()0h m ≤恒成立，因此01m ≤≤.2° 当1m >时，()f x 在(),1-∞上单调递减，在(]1,m 上单调递增，所以函数()1xf x e ex =--在(],m -∞上的值域为())1,f ⎡+∞⎣，即[)1,-+∞.()()2g x e x =-在（m ，＋∞）上单调递减，值域为()(),2e m -∞-.因为()F x 的值域为R ，所以()12e m -≤-，即112m e <≤-. 综合1°，2°可知，实数m 的取值范围是10,2e ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦. 24．（1）22,2e P ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）设点P 的坐标为()00,P x y ，()()21x e x f x x='-，由题意列出方程组，能求出点P 的坐标．（2）设函数()()()ln g x f x a x x =--，()()()21xe ax x g x x '--=，设()xh x e ax =-，()0,x ∈+∞，则()x h x e a '=-，由此利用分类讨论和导数性质即能证明.试题（1）设点P 的坐标为()00,P x y ，()()21x e x f x x='-，由题意知()0002001{x x e x kxe kx x -==，解得02x =，所以02002x e e y x ==，从而点P 的坐标为22,2e P ⎛⎫⎪⎝⎭.（2）设函数()()()()ln ln xe g xf x a x x a x x x=--=--，()()()()21,0,xe ax x g x x x--∈'=+∞，设()xh x e ax =-，()0,x ∈+∞，则()xh x e a '=-，当1a ≤时，因为0x >，所以1x e >，所以()0xh x e a ='->，所以()h x 在区间()0,+∞上单调递增，所以()()010h x h >=>； 当1a e <≤时，令()0h x '=，则ln x a =，所以()()0,ln ,0x a h x '∈<；()ln ,x a ∈+∞，()0h x '>. 所以()()()ln 1ln 0h x h a a a ≥=-≥， 由①②可知：()0,x ∈+∞时，有()0h x ≥，所以()g x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，()()1g x g =极小， 所以()()min 10g x g e a ==-≥，从而有当()0,x ∈+∞时，()()ln f x a x x ≥-. 点睛：导数在不等式问题中的应用问题的常见类型及解题策略(1)利用导数证明不等式。
新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(包含答案解析)(2)
一、选择题1．12201x dx -=⎰（ ）A ．12πB ．3128π+ C ．368π+ D ．364π+2．设113a x dx -=⎰，1121b x dx =-⎰，130c x dx =⎰则a ，b ，c 的大小关系( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．b>c>a3．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1B ．23C ．43D ．24．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝2π所围成的平面区域的面积为( ) A ．π20⎰(sin x －cos x )d xB ．2π40⎰(sin x －cos x )d xC ．π20⎰(cos x －sin x )d xD ．2π40⎰(cos x －sin x )d x5．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴，则k =（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．16．已知1a xdx =⎰， 12b x dx =⎰， 1c xdx =⎰，则a ， b ， c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<7．设函数()f x 是R 上的奇函数， ()()f x f x π+=-，当02x π≤≤时，()cos 1f x x =-，则22x ππ-≤≤时， ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（ ）A ．48π-B ．24π-C ．2π-D ．36π-8．由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为（ ） A ．52 B ．4 C ．2 D ．929．曲线与两坐标轴所围成图形的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．14 B ．12C ．1D ．2 11．定义{},,min ,,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设31()min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积（ ）A ．12ln 26+ B ．12ln 24+ C ．1ln 24+ D ．1ln 26+ 12．若2221111,,,xa e dxb xdxc dx x ===⎰⎰⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<二、填空题13．02114edx x dx x-+-=⎰⎰______________.14．计算)2204(2)x x dx --⎰=_____．15．在平面直角坐标系中，角α的始边落在x 轴的非负半轴，终边上有一点是(3-，若[)0,2απ∈，则cos xdx αα-=⎰______．16．由曲线sin .cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形的面积是______.17．由3x π=-，3x π=，0y =，cos y x =四条曲线所围成的封闭图形的面积为__________．18．已知函数()()()22ln 1,0ln 1,0x x x x f x x x x x ⎧++≥⎪=⎨--+<⎪⎩，若()()()21f a f a f -+≤，则实数a 的取值范围是___________． 19．由直线2y x =+与曲线2y x 围成的封闭图形的面积是__________．20．定积分211(2)x dx x+⎰的值为_____ ．三、解答题21．已知函数1ln(1)()x f x x++=（1）求函数的定义域；（2）判定函数()f x 在(1,0)-的单调性，并证明你的结论； （3）若当0x >时，()1kf x x >+恒成立，求正整数k 的最大值. 22．已知函数()221y f x x x ==-++和()1y g x x ==-，求：由()y f x =和()y g x =围成区域的面积.23．已知函数()xe f x x=.（1）若曲线()y f x =与直线y kx =相切于点P ，求点P 的坐标； （2）当a e ≤时，证明：当()0,x ∈+∞时，()()ln f x a x x ≥-. 24．已知曲线sin y x =和直线0,x x π==及0y =所围成图形的面积为0S . (1)求0S .(2)求所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积.25．已知()[](]22122f x 1x 24x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，，，，，求k 的值，使()3k40f x dx 3=⎰. 26．已知21()cos cos 2f x x x x =-+ . （Ⅰ）写出()f x 的最小正周期T ； （Ⅱ）求由555()(0),0(0),(10),666y f x x y x x y πππ=≤≤=≤≤=-≤≤ 以及10(0)2x y =-≤≤ 围成的平面图形的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】令y =()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，则该积分表示该半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，求出面积即可. 【详解】解：令y =()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，12201x dx -⎰表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，如图：故12201131311222612OAB BOCx dx SS ππ-=+=⨯⨯⨯=+扇形. 故选：B. 【点睛】本题考查定积分的几何意义，属基础题.2．A解析：A 【解析】借助定积分的计算公式可算得1121330033|22a x dx x -===⎰，1131220022111|1333b x dx x =-=-=-=⎰，13410011|44c x dx x ===⎰，所以a b c >>，应选答案A 。
新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(含答案解析)(4)
一、选择题1．给出以下命题： （1）若()0haf x dx >⎰，则()0f x >；（2）20|sin |4x dx π=⎰；（3）()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则：()()aa TTf x dx f x dx +=⎰⎰其中正确命题的个数为（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．42．定积分= A ．B ．C ．D ．3．若函数()32nxf x x x =++在点()1,6M 处切线的斜率为33ln3+，则n 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．34．已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为：A ．2π5B ．32C ．43D ．π25．一物体在力(单位:N)的作用下沿与力相同的方向,从x=0处运动到(单位:)处,则力做的功为( )．A ．44B ．46C ．48D ．50 6．())122011d x x x --⎰的值是（ ）A ．π143- B ．π14- C ．π123- D ．π12-7．由直线,1y x y x ==-+，及ｘ轴所围成平面图形的面积为 （ ）A ．()101y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰B ．()1201x x dx ⎡⎤-+-⎣⎦⎰C ．()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰D ．()101x x dx ⎡⎤--+⎣⎦⎰8．计算()122x x dx -⎰的结果为（ ）A ．0B ．1C ．23D ．539．已知11em dx x=⎰，函数()f x 的导数()()()f x a x m x a '=++，若()f x 在x a =-处取得极大值，则a 的取值范围是（ ） A ．1a < B ．10a -<< C ．1a >或0a < D ．01a <<或0a <10．由曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为( ) A ．172ln 22- B ．152ln 22- C ．15+2ln 22D ．17+2ln 2211．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′π()6，则f π()3-与f π()3的大小关系是( ) A ．f π()3-＝f π()3B ．f π()3-＞f π()3 C ．f π()3-＜f π()3D ．不确定12．已知t ＞0，若（2x ﹣2）dx=8，则t=（ ） A ．1B ．﹣2C ．﹣2或4D ．4二、填空题13．直线x ＝0、直线y ＝e +1与曲线y ＝e x +1围成的图形的面积为_____． 14．由曲线2y x=，直线y =2x ，x =2所围成的封闭的图形面积为______． 15．424(16)x x dx --=⎰__________．16．曲线()sin 0πy x x =≤≤与x 轴围成的封闭区域的面积为__________．17．定积分12(1)x x dx -=⎰______________.18．曲线2y x =与直线230x y --=所围成的平面图形的面积为________.19．2(1)x dx -=⎰________.20．若，则的值是__________．三、解答题21．已知函数()1x f x e ex =--，其中e 为自然对数的底数，函数()(2)g x e x =-. （1）求函数()()()h x f x g x =-的单调区间； （2）若函数(),,()(),f x x m F x g x x m≤⎧=⎨>⎩的值域为R ，求实数m 的取值范围.22．如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD 及其矩形附属设施EFGH ，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为O ，半径为R ，矩形的一边AB 在直径上，点C 、D 、G 、H 在圆周上，E 、F 在边CD 上，且3BOG π∠=，设BOC θ∠=．（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为()f θ，求()f θ的表达式； （2）怎样设计才能符合园林局的要求？23．计算下列各式的值． （1） ()0sin cos d x x x π-⎰；（2）2132d x x x +-⎰．24．已知函数1211()(1)x f x adt x t+=++⎰()1x >-. （1）若()f x 在1x =处有极值，问是否存在实数m ，使得不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]1,1t ∈-恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.()2.71828e =；（2）若1a =，设2()()(1)F x f x x x =-+-. ①求证：当0x >时，()0F x <； ②设*111()12(1)n a n N n n n n =++⋅⋅⋅+∈++++，求证：ln 2n a > 25．求曲线6y x =-和8y x =y ＝0围成图形的面积．26．利用定积分的定义，计算221(2)d x x x -+⎰的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】(1)根据微积分基本定理,得出()()()0haf x dx F h F a =->⎰,可以看到与()f x 正负无关.(2)注意到sin x 在[]0,2π的取值符号不同,根据微积分基本运算性质,化为220|sin ||sin ||sin |x dx x dx x dx ππππ=+⎰⎰⎰求解判断即可.(3)根据微积分基本定理,两边分别求解,再结合()()F a T F a +=,()()0F T F =判定. 【详解】 (1)由()()()0haf x dx F h F a =->⎰,得()()F h F a >,未必()0f x >.(1)错误.(2)()22200|sin ||sin ||sin |sin sin x dx x dx x dx xdx x dx πππππππ=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰()()20cos |cos |11114x x πππ=-+=--+--=,(2)正确.(3)()()0()0af x dx F a F =-⎰,()()()()()0a TTf x dx F a T F T F a F +=+-=-⎰；故()()aa T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；(3)正确.所以正确命题的个数为2, 故选：B. 【点睛】本题主要考查了命题真假的判定与定积分的计算,属于中档题.2．B解析：B【解析】 由题意得，故选B.3．A解析：A【解析】由题意，得()13ln32n x f x nx-=++'， ()13ln3233ln3f n =++=+'，所以1n =；故选A.4．C解析：C 【解析】试题分析：由图像可知函数解析式为()21f x x =-+∴由定积分的几何意义可知面积()12311111141|113333S x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=---=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 考点：定积分及其几何意义5．B解析：B 【解析】由定积分的物理意义，得，即力做的功为46．考点:定积分的物理意义．6．A解析：A 【详解】因为定积分()()111222200011d 11)(x d x x x x dx x ⎫⎫--=---⎪⎪⎭⎭⎰⎰⎰，结合定积分的几何意义可知,原式等于圆心为（1,1），半径为1的四分之一个圆的面积减去13得到，即为143-π，选A. 7．C解析：C 【解析】如图，由直线y=x ，y=−x+1，及x 轴围成平面图形是红色的部分，它和图中蓝色部分的面积相同，∵蓝色部分的面积()121S x x dx ⎡⎤=--⎣⎦⎰，即()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰.本题选择C 选项.8．C解析：C 【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限后作差得答案. 【详解】122312300112(2)()|11333x x dx x x -=-=-⨯=⎰， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关定积分的运算求解问题，属于简单题目.9．C解析：C 【分析】利用积分求解出1m =；根据a 的符号和a -与1-之间的大小关系，结合二次函数确定导函数的符号，得到()f x 的单调性，符合在x a =-处()f x 左增右减时的a 的取值范围是满足题意的，从而得到所求范围. 【详解】11ln ln ln111ee dx x e x ==-=⎰，即1m = 则()()()1f x a x x a '=++当0a =或1a =时，()f x 不存在极值，不合题意 当0a <时(),1x ∈-∞-或(),x a ∈-+∞时，()0f x '<，此时()f x 单调递减 ()1,x a ∈--时，()0f x '>，此时()f x 单调递增则()f x 在x a =-处取得极大值，满足题意 当01a <<时(),1x ∈-∞-或(),x a ∈-+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增()1,x a ∈--时，()0f x '<，此时()f x 单调递减则()f x 在x a =-处取得极小值，不满足题意 当1a >时(),x a ∈-∞-或()1,x ∈-+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增 (),1x a ∈--时，()0f x '<，此时()f x 单调递减则()f x 在x a =-处取得极大值，满足题意 综上所述：1a >或0a < 【点睛】本题考查根据函数的极值点和极值求解参数的取值范围问题，关键是能够根据二次函数根的分布情况确定二次函数的图象，从而得到导函数的符号，确定原函数的单调性.10．B解析：B 【解析】 【分析】联立方程组，确定被积区间和被积函数，得出曲边形的面积2121(4)S x dx x=-⎰，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，联立方程组41y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12x =，所以曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为 22222112211115(4)(2ln )|(22ln 2)[2()ln ]2ln 2222S x dx x x x =-=-=⨯--⨯-=-⎰， 故选B ． 【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积，其中解答中根据题意求解交点的坐标，确定被积分区间和被积函数，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】依题意得f′(x)＝－sin x ＋2f′π()6 ，所以f′π()6＝－sin π()6＋2f′π()6，f′π()6＝，f′(x)＝－sin x ＋1，因为当x ∈ππ(,)22-时，f′(x)＞0，所以f(x)＝cos x ＋x 在ππ(,)22-上是增函数，所以f π3⎛⎫-⎪⎝⎭＜f π3⎛⎫⎪⎝⎭,选C. 12．D解析：D 【解析】∵（x 2﹣2x ）′=2x ﹣2，∴若2(22)(2)tt x dx x x -=-⎰=t 2﹣2t=8，又t ＞0，解得t=4．选D.二、填空题13．1【分析】如图所示：计算交点为计算积分得到面积【详解】依题意令e+1＝ex+1得x ＝1所以直线x ＝0y ＝e+1与曲线y ＝ex+1围成的区域的面积为S 故答案为：1【点睛】本题考查了利用积分求面积意在考解析：1 【分析】如图所示：计算交点为()1,1e +计算积分()()111xe e dx ⎡⎤+-+⎣⎦⎰得到面积.【详解】依题意，令e +1＝e x +1，得x ＝1，所以直线x ＝0，y ＝e +1与曲线y ＝e x +1围成的区域的面积为S ()()()1111110xx x e e dx e e dx ex e ⎡⎤=⎰+-+=⎰-=-=⎣⎦ 故答案为：1【点睛】本题考查了利用积分求面积，意在考查学生的计算能力.14．3-2ln2【分析】求出曲线直线y=2x 的交点坐标根据定积分的几何意义列式即可求解【详解】依题意联立方程组解得所以封闭的图形面积为=（x2-2lnx ）=3-2ln2故答案为：3-2n2【点睛】本题考解析：3-2ln2 【分析】 求出曲线2y x=，直线y=2x 的交点坐标，根据定积分的几何意义列式，即可求解． 【详解】依题意，联立方程组22y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩， 所以封闭的图形面积为212(2)x dx x -⎰=（x 2-2lnx ）21=3-2ln2．故答案为：3-2n2．【点睛】本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，其中解答中确定定积分式，准确运算是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及计算能力，属于基础题．15．【分析】由题原式等于利用积分的几何意义分别求得其定积分可得答案【详解】由题表示的几何意义为：以（00）为圆心4为半径的圆在第一第二象限的面积所以=所以故答案为【点睛】本题考查了定积分熟悉理解定积分的 解析：8π【分析】由题，原式等于4424416x dx xdx ---+⎰，利用积分的几何意义分别求得其定积分，可得答案.【详解】由题44422444(16)16x x dx x dx xdx ----=-+⎰⎰2416x dx --表示的几何意义为：以（0,0）为圆心，4为半径的圆在第一第二象限的面积，所以42416x dx --=21482ππ⨯= ，440xdx -=⎰所以44)8x dx π-=⎰故答案为8π 【点睛】本题考查了定积分，熟悉理解定积分的几何意义是解题的关键，属于中档题.16．2【解析】与轴所围成的封闭区域的面积故答案为2解析：2 【解析】sin (0π)y x x =≤≤与x 轴所围成的封闭区域的面积ππsin d cos cos πcos020S x x x==-=-+=⎰，故答案为2.17．【解析】函数表示以为圆心为半径的单位圆位于第一象限的部分则由微积分基本定理可得：则： 解析：24π-【解析】函数)01y x =≤≤表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆位于第一象限的部分，则4π=⎰，由微积分基本定理可得：()1210011|22x dx x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭⎰，则：)112424x dx ππ-=-=⎰. 18．【解析】试题分析：联立交点所以围成的图形为直线的左上方和曲线所围成的区域面积为考点：1定积分的应用---求曲边梯形的面积；2微积分基本定理【方法点晴】求曲边梯形的步骤：①画出草图在直角坐标系中画出直 解析：323【解析】 试题分析：联立2{230y x x y =--=,交点(1,1)A -,(9,3)B ,所以围成的图形为直线的左上方和曲线所围成的区域,面积为322332111132(23)(3)|(399)(13)333S y y dy y y y --=+-=+-=+---+=⎰.考点：1.定积分的应用---求曲边梯形的面积；2.微积分基本定理.【方法点晴】求曲边梯形的步骤：①画出草图，在直角坐标系中画出直线或曲线的大致图象；②联立方程，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示为若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案.由于本题中，若对x 进行定积分，2,y x y x ==±，有些麻烦，这里就转化为对y 进行定积分，要容易很多.19．【详解】试题分析：考点：定积分的计算【名师点睛】本题主要考查定积分的计算意在考查学生的运算求解能力属于容易题定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解解析：. 【详解】试题分析：222001(1)02x dx x x ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭⎰. 考点：定积分的计算. 【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.20．2【解析】试题分析：∵易得故答案为考点：定积分的计算解析：2 【解析】 试题分析：∵，易得，故答案为.考点：定积分的计算.三、解答题21．(1)单调增区间为(ln 2,)+∞，单调减区间为(,ln 2)-∞.(2)1[0,]2e -. 【解析】试题分析：(1)求出函数的导数()2xh x e '=-,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)函数的导数,通过讨论m 的范围得到函数的值域,从而确定m 的具体范围即可. 试题（1）()()()()21,2xxh x f x g x e x h x e =-=--=-'.由()0h x '>得ln2x >，由()0h x '<得ln2x <.所以函数()h x 的单调增区间为()ln2,+∞，单调减区间为(),ln2-∞. （2）()xf x e e '=-.当1x <时，()0f x '<，所以()f x 在区间(),1-∞上单调递减； 当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,+∞上单调递增.1° 当1m ≤时，()f x 在(],m -∞上单调递减，值域为)1,me em ⎡--+∞⎣，()()2g x e x =-在(),m +∞上单调递减，值域为()(),2e m -∞-，因为()F x 的值域为R ，所以()12me em e m --≤-，即210m e m --≤.（*）由（1）可知当0m <时，()()2100mh m e m h =-->=，故（*）不成立.因为()h m 在()0,ln2上单调递减，在()ln2,1上单调递增，且()()00,130h h e ==-<， 所以当01m ≤≤时，()0h m ≤恒成立，因此01m ≤≤.2° 当1m >时，()f x 在(),1-∞上单调递减，在(]1,m 上单调递增，所以函数()1xf x e ex =--在(],m -∞上的值域为())1,f ⎡+∞⎣，即[)1,-+∞.()()2g x e x =-在（m ，＋∞）上单调递减，值域为()(),2e m -∞-.因为()F x 的值域为R ，所以()12e m -≤-，即112m e <≤-. 综合1°，2°可知，实数m 的取值范围是10,2e ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦.22．（1）2()(2sin cos sin (0,)23f R πθθθθθ=-+∈（2）cos θ=【解析】试题分析：（1）根据直角三角形求两个矩形的长与宽，再根据矩形面积公式可得函数解析式，最后根据实际意义确定定义域（2）利用导数求函数最值，求导解得零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调性，进而得函数最值 试题（1）由题意，2cos AB R θ=，sin BC R θ=，且HOG 为等边三角形，所以，HG R =，sin 2EH R R θ=-， ()=ABCD EFGH f S S θ+2cos sin sin R R R R R θθθ⎫=⋅+-⎪⎪⎝⎭2(2sin cos sin R θθθ=-，03πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，． （2）要符合园林局的要求，只要()fθ最小，由（1）知，()()22222'(2cos 2sin cos =4cos cos 2f R R θθθθθθ=----）令()'0f θ=，即24cos cos 2=0θθ--，解得cos =8θ或1cos =8θ（舍去），令00cos =083，πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 当00θθ∈（，）时，()()'0,f fθθ<是单调减函数， 当03πθθ∈（，）时，()()'0,f fθθ>是单调增函数，所以当0=θθ时，()fθ取得最小值.答：当θ满足cos θ时，符合园林局要求. 23．（1） 2；（2） π 【分析】（1）由题得()0sin cos d (cos sin )|x x x x x ππ-=--⎰，计算即得解；（2）如图，先求出扇形ACB 的面积，再利用定积分的几何意义求解即可. 【详解】 （1）由题得()00sin cos d (cos sin )|(cos sin )(cos0sin 0)x x x x x ππππ-=--=-----⎰ =10102-++=；（2）令22(1)4(13,0)y x y x y =∴-+=≤≤≥，因为1x ⎰等于1,3,x x x ==轴和曲线ADB 所围成的曲边梯形的面积，如图扇形ACB ， 扇形ACB 的面积为212=4ππ⨯⨯，所以1x π=⎰.【点睛】本题主要考查定积分的计算，考查圆的方程的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.24．（1）存在，22m -≤≤；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【分析】（1）根据微积分基本定理求得()f x ，由()10f '=，求得参数a ；利用导数求函数的在区间上的最值，结合一次不等式在区间上恒成立问题，即可求得参数m 的范围； （2）①求得()F x '，利用导数求得()F x 的单调性，即可容易证明； ②由①中所求，可得12ln()11k k k +>++，利用对数运算，即可证明. 【详解】由题可知2()ln(1)(1)f x a x x =+++，∴()221af x x x '=+++. （1）由()01f '=，可得2202a++=，8a =-. 又当8a =-时，()()()2311x x f x x +'-=+，故()f x 在区间()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增. 故函数()f x 在1x =处取得极值，所以8a =-. ∵11e <-，82(1)(3)()2211x x f x x x x --+'=++=++. ∴()0f x '>，当[]1,x e e ∈-时，由上述讨论可知，()f x 单调递增， 故2min ()(1)8f x f e e =-=-+不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]1,1t ∈-恒成立， 即：22222min 14()148m tm e f x m tm e e ++-≤⇔++-≤-+，即：260m tm +-≤对[]1,1t ∈-恒成立，令2()6g t m mt =+-，(1)0g ⇒-≤，(1)0g ≤即260m m --≤，且260m m +-≤，整理得()()320m m -+≤，且()()320m m +-≤， 解得：22m -≤≤，即为所求.（2）①∵2()()(1)ln(1)F x f x x x x x =-+-=+-，∴()1xF x x-'=+ 当0x >时，()0F x '<，∴()F x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0F x F ∴<=即证.②由①可得：ln(1)(0)x x x +<> 令：11x k =+，得11ln(1)11k k +<++，即：12ln()11k k k +>++ ∴1112322ln ln ln 12(1)1221n n n n n n n n n n +++++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅++++++++=ln 2 即证. 【点睛】本题考查由极值点求参数值，利用导数由恒成立问题求参数范围，以及利用导数证明不等式以及数列问题，属压轴题. 25．403. 【分析】首先由定积分的几何意义用定积分表示曲线围成图形的面积，然后计算定积分即可得结果. 【详解】如图，作出直线6y x =-，曲线8y x =，则所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组68y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩得24x y =⎧⎨=⎩，则直线6y x =-与曲线8y x =(2,4)， 又直线6y x =-与x 轴的交点坐标为(6,0)，因此，所求图形的面积36226202021221(6)d |(6)|32S S S x x x x x x +=+-=+-=⎰⎰ 2216111640[(666)(622)]832233=+⨯-⨯-⨯-⨯=+=. 【点睛】该题考查的是有关求曲线围成的图形的面积的问题，涉及到的知识点有定积分的几何意义，注意在不同的积分区间上的被积函数是不同的，属于简单题目.26．由直线1x =，2x =，0y =与曲线2()2f x x x =-+所围成的曲边梯形的面积． 【分析】利用定积分的定义在区间[]1,2进行分割，后近似代替、作和，取极限，可得()2212xx dx -+⎰的值，与其表示的几何意义.【详解】解：令()22f x x x =-+．（1）分割：在区间[]1,2上等间隔地插入1n -个分点，将它等分成n 个小区间()1,1,2,,n i n i i n nn +-+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其长度为11n i n i x n n n++-∆=-=． （2）近似代替、作和：取()11,2,,i ii n nξ=+=，则2111(1)121nn n i i i i i S f x n n n n==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅∆=-+++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑()()()()()2223212122122n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤=-+++++++++++⎣⎦⎣⎦()()()()()32221411211212662n n n n n n n n n nn ⎡⎤++++++=--+⋅⎢⎥⎣⎦11111112412336n n n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（3）取极限：()221111111122lim lim 24123363n n n xx dx S n n n n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+==-+++++++= ⎪⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰．()221223x x dx -+=⎰的几何意义：由直线1x =，2x =，0y =与曲线()22f x x x =-+所围成的曲边梯形的面积． 【点睛】本题主要考查利用定积分的定义求定积分,并求其几何意义，属于中档题型.。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测卷(含答案解析)(2)
一、选择题1．已知函数22(1),10()1,01x x f x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩则11()d f x x -=⎰（ ） A ．3812π- B ．4312π+ C ．44π+ D ．4312π-+ 2．给出以下命题： （1）若()0haf x dx >⎰，则()0f x >；（2）20|sin |4x dx π=⎰；（3）()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则：()()aa TTf x dx f x dx +=⎰⎰其中正确命题的个数为（ ）． A ．1 B ．2C ．3D ．43．已知()22214a x ex dx π-=--⎰，若()201620121ax b b x b x -=++ 20162016b x ++（x R ∈），则12222b b + 201620162b ++的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．e4．已知函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是（ ） A ．12m ≥B ．12m < C ．1m ≥ D ．1m < 5．若函数()31f x x ax x =++在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是( ) A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．13,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．13,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 6．若正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心）的侧棱长为3，侧面与底面所成的角是45︒，则该正四棱锥的体积是（ ） A ．23B ．43C ．223D ．4237．曲线与两坐标轴所围成图形的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．8．使函数()322912f x x x x a =-+-图象与x 轴恰有两个不同的交点，则实数a 可能的取值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．29．设函数2e ,10()1,01x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，计算11()d f x x -⎰的值为（ ） A ．1e πe 4-+ B ．e 1πe 4-+ C ．e 12πe 4-+D ．e 1πe 2-+ 10．20sin xdx π=⎰（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．011．120(1(1))x x dx ⎰---=（ ） A ．22π+B ．12π+ C ．122π-D ．142π- 12．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′π()6，则f π()3-与f π()3的大小关系是( ) A ．f π()3-＝f π()3B ．f π()3-＞f π()3 C ．f π()3-＜f π()3D ．不确定二、填空题13．2322(4)x x dx -+-=⎰___________14．若2211S x dx =⎰，2211S dx x=⎰，231xS e dx =⎰，则1S ，2S ，3S 的大小关系为___． 15．直线x ＝0、直线y ＝e +1与曲线y ＝e x +1围成的图形的面积为_____．16．()222sin 4x x dx -+-=⎰______.17．已知函数()()()22ln 1,0ln 1,0x x x x f x x x x x ⎧++≥⎪=⎨--+<⎪⎩，若()()()21f a f a f -+≤，则实数a 的取值范围是___________． 18．如图，两曲线2y x =，2yx 围成图面积__________．19．定积分11d ex x ⎰的值为____________________. 20．定积分120124x x dx π⎫--⎪⎭⎰的值______. 三、解答题21．设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1、S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值． 22．已知函数()ln 3mf x x x x=++. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意的[]0,2m ∈，不等式()()1f x k x ≤+，对[]1,x e ∈恒成立，求实数k 的取值范围.23．已知2()2ln ,(0,]f x ax x x e =-∈ 其中e 是自然对数的底 . (1)若()f x 在1x = 处取得极值,求a 的值； (2)求()f x 的单调区间；24．如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD 及其矩形附属设施EFGH ，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为O ，半径为R ，矩形的一边AB 在直径上，点C 、D 、G 、H 在圆周上，E 、F 在边CD 上，且3BOG π∠=，设BOC θ∠=．（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为()f θ，求()f θ的表达式； （2）怎样设计才能符合园林局的要求？25．已知函数f （x ）=x 3-3ax+e ，g （x ）=1-lnx ，其中e 为自然对数的底数.（I ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线l ：x+2y=0垂直，求实数a 的值； （II ）设函数F （x ）=-x[g （x ）+12x-2]，若F （x ）在区间（m,m+1）（m ∈Z ）内存在唯一的极值点，求m 的值；（III ）用max{m ，n}表示m ，n 中的较大者，记函数h （x ）=max{f （x ），g （x ）}（x>0）. 若函数h （x ）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a 的取值范围. 26．由定积分的性质和几何意义，求出下列各式的值：（1）a-⎰；（2）)10x dx ⎰.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据积分的性质将所求积分化为()211x dx -++⎰⎰，根据微积分基本定理和定积分的求法可求得结果. 【详解】()()22321100011112100101111333x dx x x dx x x x --+=++=++=++-++=---⎰⎰，0⎰表示以原点为圆心，1为半径的圆在第一象限中的部分的面积，4π∴=⎰，()()121114313412f x dx x dx ππ--+∴=++=+=⎰⎰⎰. 故选：B . 【点睛】本题考查积分的求解问题，涉及到积分的性质、微积分基本定理和定积分的求解等知识，属于基础题.2．B解析：B 【分析】(1)根据微积分基本定理,得出()()()0haf x dx F h F a =->⎰,可以看到与()f x 正负无关.(2)注意到sin x 在[]0,2π的取值符号不同,根据微积分基本运算性质,化为220|sin ||sin ||sin |x dx x dx x dx ππππ=+⎰⎰⎰求解判断即可.(3)根据微积分基本定理,两边分别求解,再结合()()F a T F a +=,()()0F T F =判定. 【详解】(1)由()()()0haf x dx F h F a =->⎰,得()()F h F a >,未必()0f x >.(1)错误.(2)()22200|sin ||sin ||sin |sin sin x dx x dx x dx xdx x dx πππππππ=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰()()20cos |cos |11114x x πππ=-+=--+--=,(2)正确.(3)()()0()0af x dx F a F =-⎰,()()()()()0a TTf x dx F a T F T F a F +=+-=-⎰；故()()aa T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；(3)正确.所以正确命题的个数为2, 故选：B. 【点睛】本题主要考查了命题真假的判定与定积分的计算,属于中档题.3．A解析：A 【解析】因为22x -表示的是以原点为圆心、半径为2的上半圆的面积，即22πx -=，222221e d (e )|02x x x --==⎰，所以)221e d 2a x x π-==⎰，则()2016201212x b b x b x -=++ 20162016b x ++，令0x =，得01b =，令12x =，得1202022b b b =++ 201620162b ++，则12222b b + 2016201612b ++=-；故选A. 点睛：在处理二项展开式的系数问题要注意两个问题：一是要正确区分二项式系数和各项系数；二要根据具体问题合理赋值（常用赋值是1、-1、0）.4．B解析：B【解析】求导函数，可得()1'220f x mx x x=+->，，函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，所以()'0f x < 成立，即1220(0)mx x x+-<>恒成立，所以21211m x ⎛⎫->-- ⎪⎝⎭，所以21m ->-，所以12m < 时，函数()f x 在定义域内是增函数．故选B ．5．D解析：D【解析】由题意得()22130f x x a x =+-≥'在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即22max 13a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，因为2213y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以2213131334,444y x a x =-<-=≥，选D. 点睛：已知函数单调性求参数值或取值范围的一般方法：（1）利用导数结合参数讨论函数单调区间取法，根据单调区间与定义区间包含关系，确定参数值或取值范围；（2）利用导数转化为导函数非正或非负恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范围.6．B解析：B 【解析】设底面边长为a ，依据题设可得棱锥的高2ah =，底面中心到顶点的距离22d a =，由勾股定理可得22221()()(3)22a a +=，解之得2a =，所以正四棱锥的体积21242323V =⨯⨯=，故应选答案B ．7．C解析：C 【解析】 试题分析：，当时，，当时，，所以确定备积区间，备积函数是所以，根据定积分的公式，故选．考点：1．定积分的定义；2．定积分的应用．8．C解析：C 【解析】f ′(x )=6x 2−18x +12，令f ′(x )=0得x 2−3x +2=0，解得x =1，或x =2. ∴当x <1或x >2时,f ′(x )>0，当1<x <2时,f ′(x )<0，∴f (x )在(−∞,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增， ∴当x =1时,f (x )取得极大值f (1)=5−a ， 当x =2时,f (x )取得极小值f (2)=4−a ，∵f (x )只有两个零点，∴5−a =0或4−a =0，即a =5或a =4. 本题选择C 选项.9．B解析：B 【解析】因为函数2e ,10()1,01x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，所以1012110()d e d 1d x f x x x x x --=+-⎰⎰⎰，其中01101e 1e d e e e 11e e xxx ---==-=-=-⎰，1201d x x -⎰表示圆221x y +=在第一象限的面积，即12π1d 4x x -=⎰，所以11e 1π()d e 4f x x --=+⎰，故选B ．10．D解析：D 【分析】根据积分公式直接计算即可. 【详解】2200sin cos |cos 2cos0110xdx x πππ=-=-+=-+=⎰.故选：D. 【点睛】本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式，属于基础题.11．D解析：D 【分析】 函数()1201(1)y x dx =--⎰的图象是以(1,0)为圆心，以1为半径的上半圆，作出直线y x =，则图中阴影部分的面积为题目所要求的定积分.【详解】 由题意，()()1112201(1)1(1)()x x dx x dx x dx ---=--+-⎰⎰⎰，如图：1201(1)x dx --⎰的大小相当于是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的面积的14，故其值为4π，021011()1()|22x d x x --=-=⎰， 所以，()()11122011(1)1(1)()42x x dx x dx x dx π---=--+-=-⎰⎰⎰ 所以本题选D. 【点睛】本题考查求定积分，求解本题关键是根据定积分的运算性质将其值分为两部分来求，其中一部分要借用其几何意义求值，在求定积分时要注意灵活选用方法，求定积分的方法主要有两种，一种是几何法，借助相关的几何图形，一种是定义法，求出其原函数，本题两种方法都涉及到了，由定积分的形式分析，求解它的值得分为两部分来求，()1201(1)x dx --⎰和1()x dx -⎰.12．C解析：C 【解析】依题意得f′(x)＝－sin x ＋2f′π()6 ，所以f′π()6＝－sin π()6＋2f′π()6，f′π()6＝，f′(x)＝－sin x ＋1，因为当x ∈ππ(,)22-时，f′(x)＞0，所以f(x)＝cos x ＋x 在ππ(,)22-上是增函数，所以f π3⎛⎫-⎪⎝⎭＜f π3⎛⎫⎪⎝⎭,选C. 二、填空题13．2π【分析】为奇函数再利用定积分的几何意义计算得到答案【详解】为奇函数故设即对应半圆的面积为故故答案为：【点睛】本题考查了定积分的计算意在考查学生的计算能力和应用能力转化为对应半圆的面积是解题的关键解析：2π 【分析】3y x =为奇函数，2320x dx -=⎰，再利用定积分的几何意义计算得到答案.【详解】3y x =为奇函数，故22223232222(4)44x x dx x dx x dx x dx -----=+-=-⎰⎰⎰⎰，设24y x =-224x y +=，0y ≥，对应半圆的面积为21222ππ⋅=，故2322(4)2x x dx π--=⎰.故答案为：2π. 【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化为对应半圆的面积是解题的关键.14．【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分再比较它们的大小即可【详解】故答案为：【点睛】本小题主要考查定积分的计算不等式的大小比较等基础知识考查运算求解能力属于中档题 解析：213S S S <<【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可． 【详解】22321111733S x dx x ===⎰ 2221112S dx lnx ln x===⎰222311|x x S e dx e e e ===-⎰2723ln e e <<- 213S S S ∴<<故答案为：213S S S << 【点睛】本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．15．1【分析】如图所示：计算交点为计算积分得到面积【详解】依题意令e+1＝ex+1得x ＝1所以直线x ＝0y ＝e+1与曲线y ＝ex+1围成的区域的面积为S 故答案为：1【点睛】本题考查了利用积分求面积意在考解析：1 【分析】如图所示：计算交点为()1,1e +计算积分()()111xe e dx ⎡⎤+-+⎣⎦⎰得到面积.【详解】依题意，令e +1＝e x +1，得x ＝1，所以直线x ＝0，y ＝e +1与曲线y ＝e x +1围成的区域的面积为S ()()()1111110xx xe e dx e e dx ex e ⎡⎤=⎰+-+=⎰-=-=⎣⎦故答案为：1【点睛】本题考查了利用积分求面积，意在考查学生的计算能力.16．【分析】根据定积分的四则运算和几何意义求定积分【详解】因为故答案为2π【点睛】本题考查了定积分的计算；利用定积分的几何意义分别求出两个被积函数的定积分属于基础题 解析：2π【分析】根据定积分的四则运算和几何意义求定积分． 【详解】 因为(22222222sin 4sin 4022x x dx xdx x dx ππ---+-=+-=+=⎰⎰⎰故答案为2π． 【点睛】本题考查了定积分的计算；利用定积分的几何意义分别求出两个被积函数的定积分，属于基础题.17．【解析】分析：判断为偶函数运用导数判断在的单调性则转化为解不等式即可得到的范围详解：∵函数∴当时则；当时则∴即函数为偶函数当时则故函数在上为单调增函数∵∴即∴∴故答案为点睛：本题考查函数的奇偶性和单 解析：[]1,1-【解析】分析：判断()f x 为偶函数，运用导数判断()f x 在[0,)+∞的单调性，则()()()21f a f a f -+≤转化为1a ≤，解不等式即可得到a 的范围．详解：∵函数()()()221,01,0xln x x x f x xln x x x ⎧++≥⎪=⎨--+<⎪⎩∴当0x >时，则0x -<，2()ln(1)()f x x x x f x -=++=； 当0x <时，则0x ->，2()ln(1)()f x x x x f x -=--+=.∴()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数.当0x ≥时，2()ln(1)f x x x x =++，则()ln(1)201xf x x x x=+++≥+'，故函数()f x 在[0,)+∞上为单调增函数. ∵()()()21f a f a f -+≤ ∴2()2(1)f a f ≤，即()(1)f a f ≤. ∴1a ≤ ∴11a -≤≤ 故答案为[]1,1-.点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性的应用.在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系18．【解析】试题分析：作出如图的图象联立解得或即点所求面积为：考点：定积分解析：13【解析】试题分析：作出如图的图象，联立，解得或，即点，所求面积为： .考点：定积分.19．1【分析】根据定积分求解【详解】故答案为：1【点睛】本题考查定积分考查基本分析求解能力属基础题解析：1【分析】 根据定积分求解 【详解】111d ln |1ee x x x ==⎰ 故答案为：1 【点睛】本题考查定积分，考查基本分析求解能力，属基础题.20．1【分析】等于以原点为圆心以1为半径的圆面积的四分之一为再利用微积分基本定理求出的值即可【详解】因为等于以原点为圆心以1为半径的圆面积的四分之一为所以故答案为：1【点睛】本题主要考查微积分基本定理的解析：1 【分析】⎰等于以原点为圆心，以1为半径的圆面积的四分之一，为4π，再利用微积分基本定理求出1024x π⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰的值即可. 【详解】1024x dx π⎫-⎪⎭⎰10024x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎰⎰，因为⎰等于以原点为圆心，以1为半径的圆面积的四分之一，为4π，121002|1444x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰，所以10211444x πππ⎛⎫+-=+-= ⎪⎝⎭⎰⎰，故答案为：1 【点睛】本题主要考查微积分基本定理的应用，考查了定积分的几何意义，属于基础题.三、解答题21．（1）41639⎛⎫⎪⎝⎭，，（2）)2，83-【解析】试题分析：（1）可考虑用定积分求两曲线围成的封闭图形面积，直线OP 的方程为y=tx ，则S 1为直线OP 与曲线y=x 2当x ∈（0，t ）时所围面积，所以，S 1=∫0t （tx ﹣x 2）dx ，S2为直线OP 与曲线y=x 2当x ∈（t ，2）时所围面积，所以，S 2=∫t 2（x 2﹣tx ）dx ，再根据S 1=S 2就可求出t 值．（Ⅱ）由（2）可求当S 1+S 2，化简后，为t 的三次函数，再利用导数求最小值，以及相应的x 值，就可求出P 点坐标为多少时，S 1+S 2有最小值． 试题（1）设点P 的横坐标为t （0＜t ＜2），则P 点的坐标为（t ，t2）， 直线OP 的方程为y=tx S 1=∫0t （tx ﹣x 2）dx=，S 2=∫t 2（x 2﹣tx ）dx=，因为S 1=S 2，，所以t=，点P 的坐标为41639⎛⎫ ⎪⎝⎭， （2）S=S 1+S 2==S ′=t 2﹣2，令S'=0得t 2﹣2=0，t=因为0＜t ＜时，S'＜0；＜t ＜2时，S'＞0所以，当t=时，S min =8423-，P 点的坐标为)22，．点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积． 22．（1）见解析；（2）[)4,k ∈+∞. 【解析】试题分析：（1）求导得()223'x x mf x x +-=，讨论0m ≤和0m >即可；（2）对[]()()0,2,1m f x k x ∀∈≤+，即()2213ln m k x x x x ≤+--恒成立，有()2222ln 13ln 2,2x k x x x x k x x +--≥∴≥++，令()2ln 22x g x x x=++求最值即可. 试题(1)()22213'3,0m x x mf x x x x x+-=-+=>,所以①当0m -≥，即0m ≤时，()'0f x >在()0,+∞上恒成立，()f x ∴在()0,+∞上单调递增.②当0m >时，由()'0f x =，得111120m x --+=<（不符合题意，舍），211120m x -++=>，所以由()'0f x >得11126m x -+>，由()'0f x <得111206mx -+<<，()f x ∴在⎛⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增.综上所述，当0m ≤时，()f x 的递增区间为()0,+∞，无递减区间；当0m >时，()f x 的递增区间为 ⎫+∞⎪⎪⎝⎭，递减区间为⎛ ⎝⎭. (2) 对[]()()0,2,1m f x k x ∀∈≤+，即()ln 31mx x k x x++≤+， 又()220,13ln x m k x x x x >∴≤+--恒成立，()2222ln 13ln 2,2x k x x x x k x x∴+--≥∴≥++. 令()2ln 22x g x x x =++，则()2231ln 4ln 4'x x x g x x x x ---=-=， 又[]1,x e ∈时，ln 0,4,ln 40x x x x x x ≥<∴--<，()()'0,g x g x ∴<∴在[]1,e 上是减函数，()14k g ∴≥=，即[)4,k ∈+∞.点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解. 23．（1）1a = （2）见解析 【解析】试题分析（1）先求导数,再根据极值定义得()1220f a -'==,解得a 的值（2）由导函数是否变号进行分类讨论: 当0a ≤时，导函数恒负,所以在定义区间上为单调递减函数; 当e ≥ 时，导函数恒正, 所以在定义区间上为单调递增函数;e <时,导函数先负后正,所以减区间是⎛ ⎝⎭，增区间是e ⎤⎥⎝⎦. 试题(1 ) ()22222ax f x ax x x='-=-.由已知()1220f a -'==, 解得1a =. 经检验, 1a =符合题意.(2) ()22222ax f x ax x x='-=-.1)当0a ≤时，()()0,f x f x <'∴在(]0,e 上是减函数.2)当0a >时，()2a x x f x x⎛⎫⎛'⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=.①e <，即21a e >，则()f x在⎛ ⎝⎭上是减函数，在e ⎤⎥⎝⎦上是增函数； ②e ≥ ，即210a e <≤，则()f x 在(]0,e 上是减函数. 综上所述，当21a e ≤时，()f x 的减区间是(]0,e ， 当21a e >时，()f x的减区间是⎛ ⎝⎭，增区间是e ⎤⎥⎝⎦. 点睛：导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =在该区间为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.24．（1）2()(2sin cos sin (0,)3f R πθθθθθ=-+∈（2）cos θ=【解析】试题分析：（1）根据直角三角形求两个矩形的长与宽，再根据矩形面积公式可得函数解析式，最后根据实际意义确定定义域（2）利用导数求函数最值，求导解得零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调性，进而得函数最值 试题（1）由题意，2cos AB R θ=，sin BC R θ=，且HOG 为等边三角形， 所以，HG R =，sin EH R θ=-， ()=ABCD EFGH f S S θ+2cos sin sin R R R R R θθθ⎫=⋅+-⎪⎪⎝⎭2(2sin cos sin R θθθ=-，03πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，． （2）要符合园林局的要求，只要()fθ最小，由（1）知，()()22222'(2cos 2sin cos =4cos cos 2f R R θθθθθθ=----）令()'0f θ=，即24cos cos 2=0θθ--，解得cos θ或cos θ（舍去），令00cos 03，πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 当00θθ∈（，）时，()()'0,f fθθ<是单调减函数，当03πθθ∈（，）时，()()'0,f fθθ>是单调增函数，所以当0=θθ时，()fθ取得最小值.答：当θ满足cos θ时，符合园林局要求. 25．（I ）a=13; （II ）m=0或m=3; （III ）a>213e +.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），求出a 的值即可；（Ⅱ）求出函数F （x ）的导数，根据函数的单调性求出函数的极值点，求出对应的m 的值即可；（Ⅲ）通过讨论a 的范围求出函数f （x ）的单调区间，结合函数的单调性以及函数的零点个数确定a 的范围即可． 试题（I ）易得，f '（x ）=3x 2-3a ，所以f '（1）=3-3a ， 依题意，（3-3a ）（-12）=-1，解得a=13； （II ）因为F （x ）=-x[g （x ）+12x-2]=-x[（1-lnx ）+12x-2]=xlnx-12x 2+x, 则F' （x ）=lnx+l-x+l=lnx-x+2. 设t （x ）=lnx-x+2， 则t '（x ）=1x -1=1xx-. 令t '（x ）=0，得x=1.则由t '（x ）>0，得0<x<1，F '（x ）为增函数； 由t '（x ）<0，得x>1，F '（x ）为减函数； 而F '（21e ）=-2-21e +2=-21e <0，F '（1）=1>0. 则F '（x ）在（0，1）上有且只有一个零点x 1， 且在（0，x 1）上F '（x ）<0，F （x ）为减函数； 在（x 1，1）上F '（x ）>0，F （x ）为增函数.所以x1为极值点，此时m=0.又F '（3）=ln3-1>0，F '（4）=21n2-2<0,则F '（x）在（3，4）上有且只有一个零点x2，且在（3，x2）上F '（x）>0，F（x）为增函数；在（x2，4）上F '（x）<0，F（x）为减函数.所以x2为极值点，此时m=3.综上m=0或m=3.（III）（1）当x∈（0，e）时，g（x）>0，依题意，h（x）≥g（x）>0，不满足条件；（2）当x=e时，g（e）=0，f（e）=e3-3ae+e，①若f（e）=e3-3ae+e≤0，即a≥213e+，则e是h（x）的一个零点；②若f（e）=e3-3ae+e>0，即a<213e+，则e不是h（x）的零点；（3）当x∈（e，+∞）时，g（x）<0，所以此时只需考虑函数f（x）在（e,+∞）上零点的情况.因为f '（x）=3x2-3a>3e2-3a，所以①当a≤e2时，f '（x）>0，f（x）在（e，+∞）上单调递增.又f（e）=e3-3ae+e，所以（i）当a≤213e+时，f（e）≥0，f（x）在（e，+∞）上无零点；（ii）当213e+<a≤e2时，f（e）<0，又f（2e）=8e3-6ae+e≥8e3-6e3+e>0，所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；②当a>e2时，令f '（x）=0，得由f '（x）<0，得由f '（x）>0，得所以f（x）在（e+∞）上单调递增.因为f（e）=e3-3ae+e<e3-3e3+e<0，f（2a）=8a3-6a2+e>8a2-6a2+e=2a2+e>0，所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；综上，a>21 3e+.点睛：已知函数有零点求参数范围常用方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.26．（1）22a π；（2）142π-. 【分析】（1）由定积分22a aa x dx 的几何意义可知，该定积分表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积，则根据圆的面积公式即可求值；（2）在同一直角坐标系内画出圆22(1)1x y -+=和直线y x =的图像，由定积分()1201(1)x x dx ---⎰的几何意义可知，该定积分表示表示圆22(1)1x y -+=与直线y x =所围成的图形的面积，【详解】 解：(1)22a aa x dx 表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积，因此2222a aa ax dxπ；(2)()1201(1)x x dx ---⎰表示圆22(1)1x y -+=与直线y x =所围成的图形(如图所示)的面积，因此2121111(1)=114242x x dx ππ. 【方法点睛】定积分的几何意义为曲边梯形的面积，故求定积分()d baf x x ⎰时，可考虑为函数()y f x =的图像与x 轴，以及直线x a =和x b =所围成的图形的面积.若求的是()()b af xg x dx ，则可考虑为()y f x =为上边界，()y g x =为下边界的图形位于直线x a =和x b =之间的部分的面积.。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测(有答案解析)(2)
一、选择题1．给出以下命题： （1）若()0haf x dx >⎰，则()0f x >；（2）20|sin |4x dx π=⎰；（3）()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则：()()aa TTf x dx f x dx +=⎰⎰其中正确命题的个数为（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1B ．23C ．43D ．23．定积分= A ．B ．C ．D ．4．设函数()f x 是R 上的奇函数， ()()f x f x π+=-，当02x π≤≤时，()cos 1f x x =-，则22x ππ-≤≤时， ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（ ）A ．48π-B ．24π-C ．2π-D ．36π-5．3侧面与底面所成的角是45︒，则该正四棱锥的体积是（ ） A ．23B ．43C ．23D ．236．121(1)x x dx --=⎰（ ）A ．1π+B ．1π-C ．πD ．2π7．设曲线e xy x =-及直线0y =所围成的封闭图形为区域D ,不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定的区域为E ,在区域E 内随机取一点,则该点落在区域D 内的概率为A ．2e 2e 14e --B ．2e 2e 4e -C ．2e e 14e --D ．2e 14e-8．20ln 1()231mx x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，，，且()()10f f e =，则m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．1-D ．2-9．定义{},,min ,,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设31()min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积（ ） A ．12ln 26+ B ．12ln 24+ C ．1ln 24+ D ．1ln 26+ 10．若2221111,,,xa e dxb xdxc dx x ===⎰⎰⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<11．曲线2y x 与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．16 B ．13C ．12D ．5612．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．23二、填空题13．已知曲线与直线所围图形的面积______.14．两个函数12y x =与2y x =-，它们的图象及y 轴围成的封闭图形的面积为______ 15．在平面直角坐标系中，角α的始边落在x 轴的非负半轴，终边上有一点是(3-，若[)0,2απ∈，则cos xdx αα-=⎰______．16．在直线0x =，1x =，0y =，1y e =+围成的区域内撒一粒豆子，则落入0x =，1y e =+，e 1x y =+围成的区域内的概率为__________．17．已知()[](]2,0,11,1,x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩(e 为自然对数的底数),则()e 0f x dx =⎰_________.18．()12111x dx ---=⎰__________．19．曲线2y x =与直线230x y --=所围成的平面图形的面积为________. 20．函数3y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______．三、解答题21．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数给出：3221362936,69844159{,91084366345,1012t t t t y t t t t t --+-≤<=+≤≤-+-<≤ 求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻． 22．已知2()2ln ,(0,]f x ax x x e =-∈ 其中e 是自然对数的底 . (1)若()f x 在1x = 处取得极值,求a 的值； (2)求()f x 的单调区间； 23．求曲线y x =，2y x =-，13y x =-所围成图形的面积．24．已知()y f x =是二次函数，方程0f x 有两相等实根，且()22f x x '=+（Ⅰ）求()f x 的解析式．（Ⅱ）求函数()y f x =与函数241y x x =--+所围成的图形的面积．25．如图：已知2y ax bx =+通过点（1,2），与22y x x =-+有一个交点横坐标为1x ，且0,1a a <≠-.（1）求2y ax bx =+与22y x x =-+所围的面积S 与a 的函数关系； （2）当,a b 为何值时，S 取得最小值.26．已知()ln f x x x mx =+，2()3g x x ax =-+-（1）若函数()f x 在(1,)+∞上为单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若当0m =时，对任意(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】(1)根据微积分基本定理,得出()()()0haf x dx F h F a =->⎰,可以看到与()f x 正负无关.(2)注意到sin x 在[]0,2π的取值符号不同,根据微积分基本运算性质,化为220|sin ||sin ||sin |x dx x dx x dx ππππ=+⎰⎰⎰求解判断即可.(3)根据微积分基本定理,两边分别求解,再结合()()F a T F a +=,()()0F T F =判定. 【详解】 (1)由()()()0haf x dx F h F a =->⎰,得()()F h F a >,未必()0f x >.(1)错误.(2)()22200|sin ||sin ||sin |sin sin x dx x dx x dx xdx x dx πππππππ=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰()()20cos |cos |11114x x πππ=-+=--+--=,(2)正确.(3)()()0()0af x dx F a F =-⎰,()()()()()0a TTf x dx F a T F T F a F +=+-=-⎰；故()()aa T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；(3)正确.所以正确命题的个数为2, 故选：B. 【点睛】本题主要考查了命题真假的判定与定积分的计算,属于中档题.2．D解析：D 【解析】由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是122201(1)(1)S x dx x dx =---⎰⎰31320111281()|()|2133333x x x x -+-=+--+ 3．B解析：B【解析】 由题意得，故选B.4．A解析：A【解析】由题设()()()()2f x f x f x f x ππ+=-⇒+=，则函数()y f x =是周期为2π的奇函数，画出函数()[],0,2y f x x π=∈的图像，结合函数的图像可知：只要求出该函数(),0,2y f x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的图像与x 轴所围成的面积即可。
最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(含答案解析)(2)
一、选择题1．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（ ）m ．A ．1B ．43C ．494D ．22．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为（） A ．16B ．36C ．13D ．233．设11130,,a xdx b xdx c x dx ===⎰⎰⎰，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c >>4．已知函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是（ ） A ．12m ≥B ．12m < C ．1m ≥ D ．1m < 5．3204x dx -=⎰（ ）A ．213 B ．223 C ．233 D ．2536．由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为（ ） A ．52 B ．4 C ．2 D ．927．一物体在力(单位:N)的作用下沿与力相同的方向,从x=0处运动到(单位:)处,则力做的功为( )．A ．44B ．46C ．48D ．50 8．若在R 上可导,,则( )A ．B ．C ．D ．9．()()122011d x x x ---⎰的值是（ ）A ．π143- B ．π14- C ．π123- D ．π12- 10．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 J B ．850 JC ．825 JD ．800 J11．函数0()(4)xf x t t dt =-⎰在[1,5]-上（ ）A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值323-C ．最小值323-，无最大值 D ．既无最大值，也无最小值12．定积分()22x ex dx +⎰的值为（ ）A ．1B ．2eC ．23e +D ．24e +二、填空题13．质点运动的速度()2183/v t t m s =-，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是______. 14．1221sin x dx xdx π--=⎰⎰______15．计算()0cos 1x dx π⎰+=_________.16．函数()xf x e x =-在［-1，1］上的最小值__________．17．定积分2sin cos t tdt π=⎰________．18．由直线0x =， 23x π=，0y =与曲线2sin y x =所围成的图形的面积等于________．19．如图，两曲线2y x =，2y x 围成图面积__________．20．曲线2yx 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为_______________.21．已知抛物线2:2C y x x =-+，在点(0,0)A ，(2,0)B 分别作抛物线的切线12,l l ．（1）求切线1l 和2l 的方程；（2）求抛物线C 与切线1l 和2l 所围成的面积S ．22．设函数()32,0{,0xx x x f x axe x ->=≤，其中0a >. （1）若直线y m =与函数()f x 的图象在(]0,2上只有一个交点，求m 的取值范围； （2）若()f x a ≥-对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.23．已知函数()xe f x x=.（1）若曲线()y f x =与直线y kx =相切于点P ，求点P 的坐标； （2）当a e ≤时，证明：当()0,x ∈+∞时，()()ln f x a x x ≥-. 24．已知函数2()ln 1a f x x x +=++，其中a ∈R. (1)当a ＝4时，求f (x )的极值点；(2)讨论并求出f (x )在其定义域内的单调区间．25．已知二次函数()21f x ax bx =+-在1x =-处取得极值，且在点()0,1-处的切线与直线20x y -=平行. （1）求()f x 的解析式；（2）求函数()()2g x xf x x =+的极值. 26．已知函数21()12f x x =-+，x ∈R . （1）求函数图像过点(1,1)的切线的方程；（2）求函数()f x 的图像与直线1y =-所围成的封闭图形的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．C 解析：C 【分析】由图像用分段函数表示()v t ，该物体在1s~6s 2间的运动路程可用定积分612()d s v t t =⎰表示，计算即得解 【详解】由题中图像可得，2,01()2,1311,363t t v t t t t ⎧⎪≤<⎪=≤≤⎨⎪⎪+<≤⎩由变速直线运动的路程公式，可得61311132621()d 22d 1d 3s v t t tdt t t t ⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰6132211231492(m)64tt t t ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭．所以物体在1s~6s 2间的运动路程是49m 4． 故选：C 【点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.2．C解析：C 【分析】先计算图像交点，再利用定积分计算面积. 【详解】 如图所示：由2y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩0,0,x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩， 根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为)13023210211d 333x x x x x ⎛⎫⎰=-= ⎪⎝⎭.故答案选C 【点睛】本题考查定积分的应用，考查运算求解能力3．D解析：D 【解析】根据微积分定理，3120022|33a xdx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，1210011|22b xdx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，13410011|44c x dx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，所以a b c >>，故选择D 。
最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(答案解析)(2)
一、选择题1．由曲线22y x =和直线4y x =-所围成的图形的面积（ ）A ．18B ．19C ．20D ．212．222024xdx x dx +-=⎰⎰( )A ．2π B ．12π+ C ．4π D ．π3．若连续可导函数()F x 的导函数()()'F x f x =，则称()F x 为()f x 的一个原函数.现给出以下函数()F x 与其导函数()f x ：①()2cos F x x x =+， ()2sin f x x x =-；②()3sin F x x x =+， ()23cos f x x x =+，则以下说法不正确．．．的是（ ） A ．奇函数的导函数一定是偶函数 B ．偶函数的导函数一定是奇函数 C ．奇函数的原函数一定是偶函数 D ．偶函数的原函数一定是奇函数4．若正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心）的侧棱长为3，侧面与底面所成的角是45︒，则该正四棱锥的体积是（ ） A ．23B ．43C ．223D ．4235．22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰若 ，则s 1,s 2,s 3的大小关系为（ ）A ．s 1＜s 2＜s 3B ．s 2＜s 1＜s 3C ．s 2＜s 3＜s 1D ．s 3＜s 2＜s 16．如图，矩形ABCD 的四个顶点()(0,1),(,1),(,1),0,1A B C D ππ--，正弦曲线f xsinx 和余弦曲线()g x cosx =在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．7．等比数列{}n a 中,36a =,前三项和3304S xdx =⎰,则公比q 的值为（ ）A ．1-或12-B ．1或12-C ．12-D ．18．由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为（ ） A ．52 B ．4 C ．2 D ．929．一物体在力(单位:N)的作用下沿与力相同的方向,从x=0处运动到(单位:)处,则力做的功为( )．A ．44B ．46C ．48D ．5010．由直线,1y x y x ==-+，及ｘ轴所围成平面图形的面积为 （ ） A ．()101y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰B ．()1201x x dx ⎡⎤-+-⎣⎦⎰C ．()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰D ．()101x x dx ⎡⎤--+⎣⎦⎰11．若2221111,,,xa e dxb xdxc dx x ===⎰⎰⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<12．定积分()22xex dx +⎰的值为（ ）A ．1B ．2eC ．23e +D ．24e +二、填空题13．由函数()ln f x x x x =-的图像在点(,())P e f e 处的切线,l 直线1x e -=直线x e =（其中e 是自然对数的底数）及曲线ln y x =所围成的曲边四边形(如图中的阴影部分)的面积S =_________.14．设函数2y nx n =-+和1122y x n =-+（*n N ∈，2n ≥）的图像与两坐标轴围成的封闭图形的面积为n S ，则lim n n S →∞=________ 15．直线x ＝0、直线y ＝e +1与曲线y ＝e x +1围成的图形的面积为_____．16．在平面直角坐标系中，角α的始边落在x 轴的非负半轴，终边上有一点是()1,3-，若[)0,2απ∈，则cos xdx αα-=⎰______．17．由3x π=-，3x π=，0y =，cos y x =四条曲线所围成的封闭图形的面积为__________．18．若()()4112ax x -+的展开式中2x 项的系数为4，则21aedx x =⎰________________ 19．()402sin cos 2x a x dx π-=-⎰，则实数a =____________. 20．设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ，若2()2ln 2g x x bx kx =--在[1,)+∞上单调递减，则实数k 的取值范围是__________． 三、解答题21．已知函数31()ln 2f x x ax x =--()a R ∈.（1）若()f x 在(1,2)上存在极值，求(1)f 的取值范围； （2）当0x >时，()0f x <恒成立，比较a e 与232a e+的大小. 22．求曲线y x =与直线2y x =-及y 轴围成的封闭图形的面积.23．设点P 在曲线2yx 上，从原点向(2,4)A 移动，如果直线OP ，曲线2y x 及直线2x =所围成的两个阴影部分的面积分别记为1S ，2S ，如图所示.（1）当12S S 时，求点P 的坐标；（2）当12S S +有最小值时，求点P 的坐标.24．已知函数()xe f x x=.（1）若曲线()y f x =与直线y kx =相切于点P ，求点P 的坐标； （2）当a e ≤时，证明：当()0,x ∈+∞时，()()ln f x a x x ≥-.25．已知()[](]22122f x 1x 24x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，，，，，求k 的值，使()3k40f x dx 3=⎰. 26．计算:(1)2132d x x -⎰;(2)2πsin d x x ⎰.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】画出两曲线的图像，求得交点坐标，由定积分求得图形的面积即可. 【详解】根据题意，画出量曲线的图像，设其交点为,A B ，如下所示：联立22y x =和4y x =-， 解得()()2,2,8,4A B -， 根据抛物线的对称性， 即可得两曲线围成的面积28222d (24)d S x x x x x =++⎰⎰2322021622d 2233x x x ⎛⎫⎰== ⎪⎝⎭82(24)d x x x -+⎰83222212432x x x ⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭322212884832⎛⎫=⨯⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭322213822242323⎛⎫-⨯⨯-⨯+⨯= ⎪⎝⎭故所求面积为28222d (24)d x x x x x +-+⎰⎰163833=+ 18=.故选：A. 【点睛】本题考查由定积分求解曲边梯形的面积，需要注意的是，本题中需要对曲边梯形的面积进行拆分求解，这是本题的难点.2．A解析：A 【分析】分别根据积分的运算法则和几何意义求得两个积分的值，进而得到结果. 【详解】22200112xdx x ==⎰ 2224x dx -⎰表示下图所示的阴影部分的面积S2OA =，2OC =4AOC π∴∠=12221422S ππ∴=⨯-=- 2220241122x dx ππ+-∴=+-=⎰故选：A【点睛】本题考查积分的求解问题，涉及到积分的运算法则和几何意义的应用.3．D解析：D【解析】由①,()()()(),,F x F x f x f x -=-=-∴B,C正确; 由②,()(),F x F x -=- ()(),f x f x -=∴A 正确,D 项,偶函数的原函数不一定是奇函数,比如()()233cos sin 1f x x x F x x x =+=++的原函数可以为,此时F(x)为非奇非偶函数,所以D错误,故选D.4．B解析：B 【解析】设底面边长为a ，依据题设可得棱锥的高2ah =，底面中心到顶点的距离2d =，由勾股定理可得2221)()2a +=，解之得2a =，所以正四棱锥的体积21242323V =⨯⨯=，故应选答案B ．5．B解析：B 【解析】3221321322217ln |ln 2||,.11133x S x S x S e e e S S S ==<==<==-∴<<选B.考点：此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力.6．B解析：B 【解析】试题分析：阴影部分的面积()044sin cos (cos sin )|1S x x dx x x ππππ=-=--=+⎰由几何概型可知：向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是0ABCDS P S =矩形，故选B ． 考点：几何概型．7．B解析：B 【解析】试题分析：解：∵3304S xdx =⎰=18，,∴a 1+a 2=32a q (1+q)=12，⇒2q 2-q-1=0，⇒q=1或q=12-，故选B考点：等比数列的前n 项和, 定积分的基本运算点评：本题考查等比数列的前n 项和、定积分的基本运算，求定积分关键是找出被积函数的原函数，本题属于基础题．8．D解析：D 【解析】试题分析：由定积分的几何意义得，293122122132221=-+=-+=--⎰)(])[(x x x dx x x s ,故选D 。
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所以2(3a2＋2a＋1)＝4，即3a2＋2a－1＝0，
解得a＝－1或a＝ .
答案：－1或
三、解答题
7．计算下列定积分：
(1) (x－1)5dx；
(2) |2－x|dx；
(3) coБайду номын сангаас2 dx.
解析：(1)因为 ′＝(x－1)5，
所以 (x－1)5dx＝
＝ ×(2－1)6－ ×(1－1)6＝ .
5．若a＝ x2dx，b＝ x3dx，c＝ sinxdx，则a、b、c的大小关系是_________．
解析：a＝ x2dx＝ ＝ ，b＝ x3dx＝ ＝4，
c＝ sinxdx＝(－cosx)| ＝－cos2＋1＜2，
∴c＜a＜b.
答案：c＜a＜b
6．已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1.若 f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________________.
第四章§2
一、选择题
1. (ex＋2x)dx等于()
A．1B．e－1
C．eD．e＋1
解析： (ex＋2x)dx＝(ex＋x2)| ＝(e1＋1)－e0＝e，故选C.
答案：C
2. dx等于()
A．－2ln2B．2ln2
C．－ln2D．ln2
解析： dx＝lnx| ＝ln4－ln2＝ln2.
(2) |2－x|dx
＝ (2－x)dx＋ (x－2)dx
＝ ＋
＝2＋ ＝ .
(3) cos2 dx＝ dx
＝ ＋ ＝ .
8．已知f(x)是一次函数，其图像过点(1,4)，且 f(x)dx＝1，求f(x)的解析式．
解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，因为函数的图像过点(1,4)，所以k＋b＝4.①
又 f(x)dx＝ (kx＋b)dx＝ ＝ ＋b，
所以 ＋b＝1.②
由①②得k＝6，b＝－2，所以f(x)＝6x－2.
9．求定积分 |x－a|dx.
解析：当a≥2时， |x－a|dx＝ (a－x)dx＝ ＝2a－2
当0＜a＜2时，
|x－a|dx＝ (a－x)dx＋ (x－a)dx＝ ＋ ＝a2－2a＋2
答案：D
3．若 dx＝3＋ln2，则a的值是()
A．6B．4
C．3D．2
解析： dx＝ 2xdx＋
＝a2－1＋lna＝3＋ln2.
∴a＝2.
答案：D
4．求由y＝x3，x＝2，y＝0所围成的图形的面积()
A．2B．4
C．6D．8
解析：如图，可得：S＝ x3dx＝ ＝ ×24－ ×04＝4.
答案：B
二、填空题
当a≤0时， |x－a|dx＝ (x－a)dx＝ ＝2－2a.