高中数学1.7.1-定积分在几何中的应用
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.7.1 定积分在几何中的应用课件 新人教A版选修2-2
排除A；当阴影有在x轴上方也有在x轴下方时，a f(x)dx是两
面积之差，排除B；无论什么情况C都对，故应选C.
b
【误区警示】曲线f(x)与直线x=a，x=b，y=0围成图形的面积 不能均用 f(x)dx表示，要根据图形位置分不同情况选用适当
a b
的积分值表示.
【补偿训练】过原点的直线l与抛物线y=x2-2ax(a>0)所围成的 图形面积为 9 a3，则直线l的方程为(
【方法技巧】求函数图象围成平面图形面积的方法 (1)画出两个函数的图象，先将两个函数方程联立方程组求解， 得到函数图象的交点的横坐标a，b(a<b)，确定积分区间[a， b]. (2)在公共的积分区间上，由上界函数减去下界函数作为被积
函数，定积分的值就等于两个函数图象围成平面图形的面积，
即S= [f1(x)-f2(x)]dx(其中f1(x)>f2(x)).
(2-x)dx.
1 2
2
(3)正确，曲线y=3-x2与直线y=-1的交点为(-2，-1)，
(2，-1)，所以围成的图形面积为 2［(3-x2)-(-1)］dx=
2
2
(4-x2)dx. (2)√ (3)√
答案：(1)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)如图中阴影部分的面积是____________.
b
1.判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)曲线y=sin x，x∈[ ， ]，与x轴围成的图形的面积为
3 2 2
3 2 2
sin xdx.(
)
1 0
(2)曲线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形面积为 x3dx+
高中数学-定积分在几何中的应用-课件
求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b)及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
①如图 1 所示，f(x)>0， bf(x)dx>0. a
∴S＝ bf(x)dx. a
②如图 2 所示，f(x)<0， bf(x)dx<0， a
∴S＝| bf(x)dx|＝－ bf(x)dx.
a
a
2×23x32
|
2 0
＝136，
8
S2＝2 [4－x－(－ 2x)]dx
＝4x－12x2＋2
3
2x32|
8 2
＝338，
于是 S＝136＋338＝18.
方法二：选y作为积分变量，
将曲线方程写为x＝y22及x＝4－y.
则S＝2－44－y－y22dy
＝4y－y22－y63|
2 －4
＝18.
变式训练 1：由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成
解．
由方程组
y2＝2x y＝4－x
解出抛物线和直线的交
点为(2,2)及(8，－4)．
方法一：选 x 作为积分变量，由图可看出 S＝S1＋S2，
由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y＝ 2x，
在 x 轴下方的方程为 y＝－ 2x，
2
所以 S1＝0 [ 2x－(－ 2x)]dx
＝2
2 1
20x2 dx＝2
❖1．7 定积分的简单应用
❖1.7.1 定积分在几何中的应用
自主学习 新知突破
❖ 1．理解定积分的几何意义．
❖ 2．会通过定积分求由两条或多条曲线 围成的平面图形的面积．
复习回顾
[问题 1]定积分的几何意义．
由三条直线 x＝a，x＝b(a<b)，x 轴及 一条曲线 y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边 梯形的面积 S＝________.
高中数学人教A版选修2-2课件 1-7 定积分的简单应用 第13课时《定积分的简单应用》
解析：(1)由v(t)＝8t－2t2≥0，得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，
当t＞4时，P点向x轴负方向运动．
故t＝6时，点P离开原点的路程为
s1＝4(8t－2t2)dt－6(8t－2t2)dt
0
4
＝4t2－23t3|40－4t2－23t3|64＝1328.
a
成的曲边梯形的面积．
【练习1】 曲线y＝cosx0≤x≤32π与坐标轴所围成的图形面积是
() A．2
B．3
5 C.2
D．4
3
3
解析：S＝ 2 a
cosxdx＋|
2
cosxdx|＝
2
0
cosxdx－
2
cosxdx＝sinx|
2 0
－
(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度 在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间， 然后分别计算，否则会出现计算失误．
变式探究2 (1)一物体沿直线以v＝3t＋2(t单位：s，v单位：m/s)
的速度运动，则该物体在3 s～6 s间的运动路程为( )
A．46 m
3
(3t2－2t＋4)dt＝()－(8
2
－4＋8)＝18.
答案：(1)B (2)D
考点三 利用定积分计算变力做功 例3 设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，由弹簧伸长到
30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使 弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功．
∴W＝∫00.1250xdx＝25x2|00.12＝0.36(J)． 答案：0.36 J
高中数学选修2-2优质课件：1.7.1 定积分在几何中的应用
2.曲线 y＝cos x(0≤x≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( B )
A.2 解析
B.3
C.52
S＝π2
0
cos
xdx－32πcos π
xdx＝sin
π x2 0
D.4 3π 2
－sin x π 2
2
＝sin π2－sin 0－ sin 32π＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.
1234
4 3.由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为__3__.
1234
S＝4f(x)dx－7f(x)dx
1
4
③
S＝a[g(x)－f(x)]dx＋b[f(x)－g(x)]dx
0
a
④
A.①③ C.①④
B.②③ D.③④
1234
解析 ①应是 S＝b[f(x)－g(x)]dx，②应是 S＝82 2xdx－
a
0
8(2x－8)dx，③和④正确.故选 D.
4
答案 D
1234
跟踪演练2 求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积.
y＝x2， y＝x2，
解 方法一 如图，由
和
y＝x
y＝2x
解出 O，A，B 三点的横坐标分别是 0,1,2.
故所求的面积 S＝10(2x－x)dx＋12(2x－x2)dx＝x2210 ＋ x2－x3321 ＝12－0＋(4－83)－(1－13)＝76.
y＝2x， x＝0， x＝2，
解析 解方程组
得
或
y＝x2， y＝0， y＝4.
∴曲线y＝x2与直线y＝2x交点为(2,4)，(0,0).
∴S＝2(2x－x2)dx＝ 0
x2－13x320
推荐高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用学案含解析新人教A版选修2_2
1.7定积分的简单应用积为S 1.由直线x ＝a ，x ＝b ，曲线y ＝g(x )和x 轴围成的曲边梯形的面积为S 2.问题1：如何求S 1? 提示：S 1＝⎠⎛a b f(x)d x.问题2：如何求S 2? 提示：S 2＝⎠⎛ab g(x)d x.问题3：如何求阴影部分的面积S? 提示：S ＝S 1－S 2.平面图形的面积由两条曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )和直线x ＝a ，x ＝b (b >a )所围图形的面积．(1)如图①所示，f (x )>g (x )>0，所以所求面积S ＝⎠⎛ab d x .(2)如图②所示，f (x )>0，g (x )<0，所以所求面积S ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b＝⎠⎛ab d x .相交曲线所围图形的面积求法如下图，在区间上，若曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )相交，则所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛ac d x ＋⎠⎛c b－＝⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x .问题：在《1.5.2 汽车行驶的路程》中，我们学会了利用积分求物理中物体做变速直线运动的路程问题，利用积分还可以解决物理中的哪些问题？提示：变力做功．1．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间上的定积分，即s ＝⎠⎛ab2．变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为W ＝⎠⎛ab F(x )d x.求变速直线运动的路程的注意点对于给出速度－时间曲线的问题，关键是由图象得到速度的解析式及积分的上、下限，需要注意的是分段解析式要分段求路程，然后求和．计算曲线由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x2－2x ＋3，解得x ＝0或x ＝3.如图．因此所求图形的面积为S ＝⎠⎛03(x ＋3)d x －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x＝⎠⎛03d x ＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x3＋32x23＝92.求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤(1)画出图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限； (3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数图象上、下位置； (4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．求曲线y ＝e x，y ＝e －x及x ＝1所围成的图形面积．解：作图，并由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ex ，y ＝e －x ，解得交点(0,1)． 所求面积为⎠⎛01(e x－e －x)d x ＝(e x ＋e －x)1＝e ＋1e－2.先求抛物线和直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2x ，y ＝－x ＋4，求出交点坐标为A (2,2)和B (8，－4)．法一：选x 为积分变量，变化区间为，将图形分割成两部分(如图)，则面积为S ＝S 1＋S 2＝2⎠⎛022xd x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x＝423x322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫223x －12x2＋4x 82＝18.法二：选y 作积分变量，则y 的变化区间为，如图得所求的面积为 S ＝⎠⎛－42⎝ ⎛⎭⎪⎫4－y －y22d y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4y －12y2－16y324－＝18.需分割的图形的面积的求法由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间上位于上方和下方的曲线不同．求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．试求由抛物线y ＝x 2＋1与直线y ＝－x ＋7以及x 轴、y 轴所围成图形的面积．解：画出图形(如下图)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2＋1，y ＝－x ＋7，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝10(舍去)，即抛物线与直线相交于点(2,5)．于是所求面积为S ＝⎠⎛02(x 2＋1)d x ＋⎠⎛27(7－x)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3＋x 20＋⎝⎛⎭⎪⎫7x －12x272＝143＋252 ＝1036.A ，BC 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，速度为(24－1.2t ) m/s ，经t s 后，在B 点恰好停车．试求：(1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离． (1)设A 到C 的时间为t 1， 则1.2t 1＝24，t 1＝20 s ，则AC ＝⎠⎛0201.2t d t ＝0.6t220＝240(m)．(2)设D 到B 的时间为t 2， 则24－1.2t 2＝0，t 2＝20 s ， 则DB ＝⎠⎛020 (24－1.2t )d t求变速直线运动的路程、位移应关注三点(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消．一点在直线上从时刻t ＝0(单位：s )开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(单位：m /s )运动，求： (1)在t ＝4 s 时的位置； (2)在t ＝4 s 时运动的路程． 解：(1)在t ＝4 s 时该点的位移为⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t3－2t2＋3t 40＝43(m )， 即在t ＝4 s 时该点距出发点43m .(2)∵v(t)＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， ∴在区间及上v(t)≥0， 在区间上，v(t)≤0. ∴在t ＝4 s 时的路程为s ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t －⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t3－2t2＋3t 10－⎝ ⎛⎭⎪⎫13t3－2t2＋3t 31＋13t 3－2t 2＋3t43＝4(m )， 即在t ＝4 s 时运动的路程为4 m .一物体在力F (x )(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向运动，力位移曲线如图所示．求该物体从x ＝0 m 处运动到x ＝4 m 处力F (x )做的功．由力位移曲线可知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0≤x≤2，3x ＋4，2＜x≤4，因此该物体从x ＝0处运动到x ＝4处力F (x )做的功为W ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x2＋4x 42＝46(J)．解决变力做功应关注两点(1)首先将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步； (2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．解：设x 表示弹簧伸长的量(单位：m)，F (x )表示加在弹簧上的力(单位：N)．由题意F (x )＝kx ，且当x ＝0.05 m 时，F (0.05)＝100 N ，解得即0.05k ＝100，∴k ＝2 000， ∴F (x )＝2 000x .∴将弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时所做的功为W ＝⎠⎛00.152 000x d x ＝1 000x 2.015＝22.5(J)．4.利用定积分求面积的策略由抛物线y 2＝8x (y ＞0)与直线x ＋y －6＝0及y ＝0所围成图形的面积为( ) A ．16－3223B ．16＋3223C.403D.403＋3223由题意，作图形如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y2＝＞，x ＋y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以抛物线y 2＝8x (y ＞0)与直线x ＋y －6＝0的交点坐标为(2,4)．法一：(选y 为积分变量)S ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫6－y －18y2d y＝⎝⎛⎭⎪⎫6y －12y2－124y340＝24－8－124×64＝403.法二：(选x 为积分变量)S ＝⎠⎛02(8x)d x ＋⎠⎛26(6－x )d x＝8×23x 322＋⎝⎛⎭⎪⎫6x －12x262＝163＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫6×6－12×62－⎝ ⎛⎭⎪⎫6×2－12×22＝403.C1．本题易搞错被积函数及积分上、下限，误认为S ＝⎠⎛04－x －8x)d x ，从而得出S ＝16－3223的错误答案．2．求平面图形面积时，应首先求出交点坐标，确定积分上、下限，然后确定被积函数，判定积分的正负，用公式求解面积．如本例法一中的被积函数为f(y)＝6－y －18y 2，y ∈(0,4]，法二中的被积函数为f(x)＝⎩⎨⎧8x ，，2]，6－x ，，6].3．利用定积分求面积时，应根据具体问题选择不同的方法求解，常见类型有以下几种： (1)换元积分：当两区域所围成图形纵坐标一致时，换元变成对y 积分可简化运算．如本例中的法一． (2)分割求和：当两曲线处于不同区间时，可分割成几块，分别求出面积再相加，如本节例2的求解法．事实上，本例中的法二就是分割求和．(3)上正下负：若a ≤x ≤c 时，f(x)＜0，则⎠⎛a c f(x)d x ＜0；若c ≤x ≤b 时，f(x)≥0，则⎠⎛cb f(x)d x ≥0.此时曲线y ＝f(x)和直线x ＝a ，x ＝b(a ＜b)及y ＝0所围图形的面积是 S ＝⎪⎪⎪⎪⎠⎛ac ＋⎠⎛c b f(x)d x ＝－⎠⎛ac f(x)d x ＋⎠⎛c bd x.例：求正弦曲线y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π2和直线x ＝0，x ＝3π2及y ＝0所围图形的面积S .解：作出曲线y ＝sin x 和直线x ＝0，x ＝3π2，y ＝0的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积．由图可知，当x ∈时，曲线y ＝sin x 位于x 轴的上方； 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2时，曲线位于x 轴下方． 因此，所求面积应为两部分的和，即S ＝π⎰32|sin x |d x ＝⎠⎛0πsin x d x －ππ⎰32sin x d x ＝－cos xπ＋cos xππ32＝3.(4)上下之差：若在区间上f (x )＞g (x )，则曲线f (x )与g (x )所围成的图形的面积S ＝⎠⎛a b d x .例：求由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围图形的面积S .解：作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝x ，y ＝x3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01xd x －⎠⎛01x 3d x ＝23x 321－14x 41＝512.1．(山东高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．22B ．4 2 C ．2 D ．4解析：选D 由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02－＝⎝⎛⎭⎪⎫2x2－14x42＝4.2．一物体沿直线以v ＝3t ＋2(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度运动，则该物体在3 s ～6 s 间的运动路程为( )A ．46 mB ．46.5 mC ．87 mD ．47 m解析：选B s ＝⎠⎛36 (3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t2＋2t 63＝(54＋12)－⎝ ⎛⎭⎪⎫272＋6＝46.5(m)．3．(天津高考)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．解析：如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2，y ＝x 得A(1,1)．故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2－13x3⎪⎪⎪10＝16. 答案：164．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 解析：由已知得S ＝⎠⎛0a xd x ＝23x 32a＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49. 答案：495．一物体在变力F (x )＝36x2(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下沿坐标平面内x 轴的正方向由x ＝8处运动到x ＝18处，求力F (x )在这一过程中所做的功．解：由题意得力F (x )在这一过程中所做的功为F (x )在上的定积分，从而W ＝⎠⎛818F (x )d x ＝－36x －1188＝(－36×18－1)－(－36×8－1)＝(－2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝52(J)．从而可得力F (x )在这一过程中所做的功为52 J.一、选择题1．用S 表示下图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A .⎠⎛a c f (x )d xB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛acC.⎠⎛a b f(x)d x ＋⎠⎛bc f(x)d x D .⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x解析：选D 由图可知，x 轴上方阴影部分的面积为⎠⎛b c ，x 轴下方阴影部分的面积为－⎠⎛ab f (x )d x ，故D 正确． 2．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围图形的面积等于( ) A.⎠⎛－11(x －x 3)d x B.⎠⎛－11(x 3－x )d x C ．2⎠⎛01(x －x 3)d xD ．2⎠⎛－10(x －x 3)d x解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x3，求得直线y ＝x 与曲线y ＝x 3的交点分别为(－1，－1)，(1,1)，(0,0)，由于两函数都是奇函数，根据对称性得S ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x .3．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3 解析：选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分∫π3－π3cos x d x ＝sin x π3－π3＝ 3. 4．一质点运动的速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点做直线运动，则它在时间内的位移为( )A.176B.143C.136 D.116解析：选A 质点在时间内的位移为⎠⎛12(t 2－t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t3－12t2＋2t 21＝176. 5．由抛物线y ＝x 2－x ，直线x ＝－1及x 轴围成的图形的面积为( ) A.23 B ．1 C.43 D.53解析：选B S ＝⎠⎛0－1(x 2－x )d x ＋⎠⎛01(x －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3－12x20－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2－13x310＝1.二、填空题6．曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12围成的封闭图形的面积为________．解析：由于曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12的交点的横坐标分别为x ＝π6及x ＝5π6，因此所求图形的面积为∫5π6π6sin x －12d x ＝－cos x －12x 5π6π6＝3－π3.答案：3－π37．物体A 以速度v ＝3t 2＋1(t 的单位：s ；v 的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上，物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t 的速度与A 同向运动，则两物体相遇时物体A 运动的距离为________m.解析：设t ＝a 时两物体相遇，依题意有⎠⎛0a (3t 2＋1)d t －⎠⎛0a 10t d t ＝(t 3＋t )a 0－5t 2a 0＝5，即a 3＋a －5a 2＝5，(a －5)(a 2＋1)＝0，解得a ＝5，所以⎠⎛05(3t 2＋1)d t ＝53＋5＝130.答案：1308．有一横截面面积为4 cm 2的水管控制往外流水，打开水管后t s 末的流速为v (t )＝6t －t 2(单位：cm/s)(0≤t ≤6)，则t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为________．解析：由题意可得t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量V ＝⎠⎛064(6t －t 2)d t ＝4⎠⎛6(6t －t 2)d t ＝4⎝⎛⎭⎪⎫3t2－13t360＝144(cm 3)．故t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为144 cm 3. 答案：144 cm 3三、解答题9．求由曲线y ＝x 2和直线y ＝x 及y ＝2x 所围图形的面积S .解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2，y ＝x 得A (1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2，y ＝2x 得B (2,4)．如图所示，所求面积(即图中阴影部分的面积)为S ＝⎠⎛01(2x －x )d x ＋⎠⎛12－x 2)d x ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12－x 2)d x ＝12x 210＋⎝⎛⎭⎪⎫x2－13x321＝76.10．有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．(1)点P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移； (2)求点P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值． 解：(1)由v (t )＝8t －2t 2≥0，得0≤t ≤4， 即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动； 当t >4时，P 点向x 轴负方向运动．最新中小学教案、试题、试卷故t ＝6时，点P 离开原点的路程为s 1＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t＝⎝⎛⎭⎪⎫4t2－23t340－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t2－23t364＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t2－23t360＝0. (2)依题意⎠⎛0t (8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，而t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况， ∴t ＝6是所求的值．。
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必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1.1.1集合的含义与表示1.1.2集合间的基本关系1.1.3集合的基本运算1．2 函数及其表示1.2.1函数的概念1.2.2函数的表示法1．3 函数的基本性质1.3.1单调性与最大小值1.3.2奇偶性第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2.1.1指数与指数幂的运算2..1.2指数函数及其性质2．2 对数函数2.2.1对数与对数运算2.2.2对数函数及其性质2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点3.1.2用二分法求方程的近似解3．2 函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型3.2.2函数模型的应用实例必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1.1.1柱、锥、台、球的结构特征1.1.2简单组合体的结构特征1．2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1中心投影与平行投影1.2.2空间几何体的三视图1.2.3空间几何体的直观图1．3 空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积1.3.2球的体积与表面积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定2.2.2平面与平面平行的判定2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定2.3.2平面与平面垂直的判定2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率3.1.2两条直线平行与垂直的判定3．2 直线的方程3.2.1直线的点斜式方程3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程3．3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程4.1.2圆的一般方程4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用4.3空间直角坐标系4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图与算法的基本逻辑结构1．2 基本算法语句1.2.1输入语句、输出语句和赋值语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1．3 算法案例（进位制等）阅读与思考割圆术第二章统计2．1 随机抽样2.1.1简单随机抽样2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体分布2.2.2.用样本的数字特征估计总体的数字特征阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系2.3.1变量之间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3．1 随机事件的概率3.1.1随机事件的概率3.1.2概率的意义3.1.3概率的基本性质阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3.2.1古典概率3.2.2（整数值）随机数的产生3．3 几何概型3.3.1几何概型3.3.2均匀随机数的产生必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1.1.1任意角1.1.2弧度制1．2 任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图像1.4.2正弦函数、余弦函数的性质1.4.3正切函数的性质与图像1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2.1.1向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示2.1.3相等向量与共线向量2．2 平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义2.2.2向量减法运算及其几何意义2.2.3向量数乘运算及其几何意义2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示2．4 平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2．5 平面向量应用举例2.5.1平面几何的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式3．2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例1.3实习作业第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2简单的线性规划问题3.4基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1命题1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系1.2充分条件与必要条件1.2.1充分条件与必要条件1.2.2充要条件1.3简单的逻辑联结词1.3.1且（and）1.3.2或（or）1.3.3非（not）1.4全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词1.4.3含有一个量词的命题的否定第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程2.1.2椭圆的简单几何性质2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程2.2.2双曲线的简单几何性质2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程2.3.2抛物线的简单几何性质第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念3.1.3导数的几何意义3.2导数的计算3.2.1几个常用函数的导数3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数3.3.2函数的极值与导数3.3.3函数的最大（小）值与导数3.4生活中的优化问题举例选修1-2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2．2 直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法2.2.2反证法第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义3．2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义3.2.2复数代数形式的乘除运算第四章框图4．1流程图4．2结构图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1命题1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系1.2 充分条件与必要条件1.2.1充分条件与必要条件1.2.2充要条件1.3 简单的逻辑联结词1.3.1且（and）1.3.2或（or）1.3.3非（not）1.4 全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词1.4.3含有一个量词的命题的否定第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程2.2 椭圆2.2.1椭圆及其标准方程2.2.2椭圆的简单几何性质2.3 双曲线2.3.1双曲线及其标准方程2.3.2双曲线的简单几何性质2.4 抛物线2.4.1抛物线及其标准方程2.4.2抛物线的简单几何性质第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算3.1.3空间向量的数量积运算3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示3.1.5空间向量运算的坐标表示3.2 立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念1.1.3导数的几何意义1.2 导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及其导数的运算法则1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数1.3.2函数的极值与导数1.3.3函数的最大（小）值与导数1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程1.5.3定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用1.7.1定积分在的几何中应用1.7.2定积分在物理中应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法2.2.2反证法2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义3.2.2复数代数形式的乘除运算选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2 排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3 二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.2 二项分布及其应用2.2.1条件概率2.2.2事件的相互独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值2.3.2离散型随机变量的均差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝第四讲平面解析几何的产生第五讲微积分的诞生第六讲近代数学两巨星第七讲千古谜题第八讲对无穷的深入思考第九讲中国现代数学的开拓与发展选修3-2选修3-3第一讲从欧氏几何看球面1.平面与球面的位置关系2.直线与球面的位置关系和球幂定理3.球面的对称性第二讲球面上的距离和角1.球面上的距离2.球面上的角第三讲球面上的基本图形1.极与赤道2.球面二面角3.球面三面角第四讲球面三角形1.球面三角形三边之间的关系2.球面“等腰“三角形3.球面三角形的周长4.球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等第六讲球面多边形与欧拉公式1.球面多边形及其内角和公式2.简单多面体的欧拉公式3.用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系1.球面上的正玄定理和余弦定理2.用向量方法证明球面上的余弦定理3.从球面上的正弦定理看球面与平面4.球面上余弦定理的应用——求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何1.平面几何与球面几何的比较2.欧式平行公里与非欧几何模型——庞加莱模型3.欧式几何与非欧几何的意义选修3-4第一讲平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第三讲对称与群的故事选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质1.平行线等分线段定理2.平行线分线段成比例定理3.相似三角形的判定及性质4.直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系1.圆周角定理2.圆内接四边形的性质与判定定理3.圆的切线的性质与判定定理4.弦切角的性质5.与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨1.平行射影2.平面与圆柱面的截线3.平面与圆锥面的截线选修4-2第一讲线性变换与二阶矩阵1.线性变换与二阶矩阵2.二阶矩阵与平面向量的乘法3.线性变换的基本性质第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法1.复合变换与二阶矩阵的乘法2.矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.二阶行列式与逆矩阵3.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量1.变换的不变量——矩阵的特征向量2.特征向量的应用选修4-3选修4-4第一讲坐标系1.平面直角坐标系2.极坐标系3.简单曲线的极坐标方程4.柱坐标系与球坐标系的简介第二讲参数方程1.曲线的参数方程2.圆锥曲线的参数方程3.直线的参数方程4.渐开线与摆线选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式1.不等式2.绝对值不等式第二讲证明不等式的基本方法1.比较法2.综合法与分析法3.反证法与缩放法第三讲柯西不等式与排序不等式1.二维形式的柯西不等式2.一般形式的柯西不等式3.排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式1.数学归纳法2.用数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲整数的整除第二讲同余与同余方程第三讲一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用选修4-7 第一讲优选法第二讲试验设计初步选修4-8选修4-9 第一讲风险与决策的基本概念人教版高中数学目录第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介11。
1.7定积分的几何应用
2
2
围成图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组 x 0 x 1 y x 或 2 y 0 y 1 y x
y
y
y xx
2
B
2
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
S = S曲 边 梯 形 OABC - S曲 边 梯 形 OABD
B(1，－ 1)． ∴围成图形 (阴影部分 )面积为
S＝
-2
1
(－ x2－ x＋ 2)dx 9 ＝ . 2
1 3 1 2 ＝ (－ x － x ＋ 2x) 3 2
9 答案： (1) 2
例 2 计算由曲线 y 围成的图形的面积.
2x
，直线 y
x 4 以及
y 2x
x 轴所
解:
两曲线的交点
2
|0 8
8
X型求解法
40 3
x 1 2 y
2
16 2 8
1 2
3
2
[( 4 y )
y ]d y
4
(4 y
44
1 2 1
2
y
2
2
1 6
x 4 y
y ) |0
1 6
3
4
4
40 3
Y型求解法
练习 1（例 2 变式题） ： 计算由曲线 y 2 x 和直线 y x 4 所围成的图形的面积
2π 4 A. B. 5 3 3 π C. D. 2 2 解析：选 B.由图象可知二次函数的表达式为 f(x)＝ 1－ x2，∴ S＝ 1 3 1 1 4 1 2 ＝ (1－ )－(－ 1＋ )＝ . -1 (1－ x )dx＝ (x－3x ) 3 3 3
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第一章集合与函数概念• 1.1.1 第1课时集合的含义• 1.1.1 第2课时集合的表示• 1.1.2 集合间的基本关系• 1.1.3 第1课时并集与交集• 1.1.3 第2课时补集及综合应用• 1.2.1 函数的概念• 1.2.2 第1课时函数的表示法• 1.2.2 第2课时分段函数及映射• 1.3.1 第1课时函数的单调性• 1.3.1 第2课时函数的最大(小)值• 1.3.2 第1课时奇偶性的概念• 1.3.2 第2课时奇偶性的应用第二章基本初等函数(Ⅰ)• 2.1.1 指数与指数幂的运算• 2.1.2 指数函数及其性质• 2.2.1 第1课时对数• 2.2.1 第2课时对数的运算• 2.2.2 对数函数及其性质•§2.3 幂函数第三章函数的应用• 3.1.1 方程的根与函数的零点• 3.1.2 用二分法求方程的近似解• 3.2.1 几类不同增长的函数模型• 3.2.2 函数模型的应用实例第一章空间几何体•§1.1 第1课时多面体的结构特征•§1.1 第2课时旋转体与简单组合体的结构特征• 1.2.1 中心投影与平行投影• 1.2.2 空间几何体的三视图• 1.2.3 空间几何体的直观图•§1.3 第1课时柱体、锥体、台体的表面积•§1.3 第2课时柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积第二章点、直线、平面之间的位置关系• 2.1.1 平面• 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系• 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系• 2.1.4 平面与平面之间的位置关系• 2.2.1 直线与平面平行的判定• 2.2.2 平面与平面平行的判定• 2.2.3 直线与平面平行的性质• 2.2.4 平面与平面平行的性质• 2.3.1 直线与平面垂直的判定• 2.3.2 平面与平面垂直的判定• 2.3.3 直线与平面垂直的性质• 2.3.4 平面与平面垂直的性质第三章直线与方程• 3.1.1 倾斜角与斜率• 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定• 3.2.1 直线的点斜式方程• 3.2.2 直线的两点式方程• 3.2.3 直线的一般式方程• 3.3.1 两条直线的交点坐标• 3.3.2 两点间的距离• 3.3.3 点到直线的距离• 3.3.4 两条平行直线间的距离第四章圆与方程• 4.1.1 圆的标准方程• 4.1.2 圆的一般方程• 4.2.1 直线与圆的位置关系• 4.2.2 圆与圆的位置关系• 4.2.3 直线与圆的方程的应用• 4.3.1 空间直角坐标系• 4.3.2 空间两点间距离公式第一章算法初步• 1.1.1 算法的概念• 1.1.2 第1课时程序框图、顺序结构• 1.1.2 第2课时条件结构• 1.1.2 第3课时循环结构、程序框图的画法• 1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句• 1.2.2 条件语句• 1.2.3 循环语句• 1.3 算法案例第二章统计• 2.1.1 简单随机抽样• 2.1.2 系统抽样• 2.1.3 分层抽样• 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布• 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征• 2.3.1 变量之间的相关关系• 2.3.2 两个变量的线性相关第三章概率• 3.1.1 随机事件的概率• 3.1.2 概率的意义• 3.1.3 概率的基本性质• 3.2.1 古典概型• 3.2.2 （整数值）随机数(random numbers)的产生• 3.3.1 几何概型• 3.3.2 均匀随机数的产生第一章三角函数• 1.1.1 任意角• 1.1.2 弧度制• 1.2.1 任意角的三角函数• 1.2.2 同角三角函数的基本关系•§1.3 三角函数的诱导公式• 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象• 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质• 1.4.3 正切函数的性质与图象•§1.5 函数y=Asin（ωx＋φ）的图象•§1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量• 2.1.1 向量的物理背景与概念• 2.1.2 向量的几何表示• 2.1.3 相等向量与共线向量• 2.2.1 向量加法运算及其几何意义• 2.2.2 向量减法运算及其几何意义• 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义• 2.3.1 平面向量基本定理• 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示• 2.3.3 平面向量的坐标运算• 2.3.4 平面向量共线的坐标表示• 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义• 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角• 2.5.1 平面几何中的向量方法• 2.5.2 向量在物理中的应用举例第三章三角恒等变换• 3.1.1 两角差的余弦公式• 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式• 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式•§3.2 简单的三角恒等变换第一章解三角形• 1.1.1 正弦定理• 1.1.2 余弦定理•§1.2 应用举例第二章数列•§2.1 数列的概念与简单表示法•§2.2 等差数列•§2.3 等差数列的前n项和•§2.4 等比数列•§2.5 等比数列的前n项和第三章不等式•§3.1 不等关系与不等式•§3.2 一元二次不等式及其解法• 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域• 3.3.2 简单的线性规划问题•§3.4 基本不等式√ab≤(a b)/2第一章常用逻辑用语• 1.1.1 命题• 1.1.2 四种命题• 1.1.3 四种命题间的相互关系• 1.2.1 充分条件与必要条件• 1.2.2 充要条件• 1.3.1 且(and)• 1.3.2 或(or)• 1.3.3 非(not)• 1.4.1 全称量词• 1.4.2 存在量词• 1.4.3 含有一个量词的命题的否定第二章圆锥曲线与方程• 2.1.1 椭圆及其标准方程• 2.1.2 椭圆的简单几何性质• 2.2.1 双曲线及其标准方程• 2.2.2 双曲线的简单几何性质• 2.3.1 抛物线及其标准方程• 2.3.2 抛物线的简单几何性质第三章导数及其应用• 3.1.1 变化率问题• 3.1.2 导数的概念• 3.1.3 导数的几何意义• 3.2.1 几个常用函数的导数• 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则• 3.3.1 函数的单调性与导数• 3.3.2 函数的极值与导数• 3.3.3 函数的最大(小)值与导数•§3.4 生活中的优化问题举例第一章统计案例•§1.1 回归分析的基本思想及其初步应用•§1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明• 2.1.1 合情推理• 2.1.2 演绎推理• 2.2.1 综合法和分析法• 2.2.2 反证法第三章数系的扩充与复数的引入• 3.1.1 数系的扩充和复数的概念• 3.1.2 复数的几何意义• 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义• 3.2.2 复数代数形式的乘除运算第四章框图•§4.1 流程图§4.2 结构图第一章常用逻辑用语• 1.1.1 命题• 1.1.2 四种命题• 1.1.3 四种命题间的相互关系• 1.2.1 充分条件与必要条件• 1.2.2 充要条件• 1.3.1 且（and）• 1.3.2 或（or）• 1.3.3 非（not）• 1.4.1 全称量词• 1.4.2 存在量词• 1.4.3 含有一个量词的命题的否定第二章圆锥曲线与方程• 2.1.1 曲线与方程• 2.1.2 求曲线的方程• 2.2.1 椭圆及其标准方程• 2.2.2 椭圆的简单几何性质• 2.3.1 双曲线及其标准方程• 2.3.2 双曲线的简单几何性质• 2.4.1 抛物线及其标准方程• 2.4.2 抛物线的简单几何性质第三章空间向量与立体几何• 3.1.1 空间向量及其加减运算• 3.1.2 空间向量的数乘运算• 3.1.3 空间向量的数量积运算• 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示• 3.1.5 空间向量运算的坐标表示•§3.2 立体几何中的向量方法第一章导数及其应用• 1.1.1 变化率问题• 1.1.2 导数的概念• 1.1.3 导数的几何意义• 1.2.1 几个常用函数的导数• 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则• 1.3.1 函数的单调性与导数• 1.3.2 函数的极值与导数• 1.3.3 函数的最大（小）值与导数• 1.4 生活中的优化问题举例• 1.5.1 曲边梯形的面积• 1.5.2 汽车行驶的路程• 1.5.3 定积分的概念• 1.6 微积分基本定理• 1.7.1 定积分在几何中的应用• 1.7.2 定积分在物理中的应用第二章推理与证明• 2.1.1 合情推理• 2.1.2 演绎推理• 2.2.1 综合法和分析法• 2.2.2 反证法• 2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入• 3.1.1 数系的扩充和复数的概念• 3.1.2 复数的几何意义• 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义• 3.2.2 复数代数形式的乘除运算第一章计数原理•§1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理• 1.2.1 排列• 1.2.2 组合• 1.3.1 二项式定理• 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质第二章随机变量及其分布• 2.1.1 离散型随机变量• 2.1.2 离散型随机变量的分布列• 2.2.1 条件概率• 2.2.2 事件的相互独立性• 2.2.3 独立重复试验与二项分布• 2.3.1 离散型随机变量的均值• 2.3.2 离散型随机变量的方差•§2.4 正态分布第三章统计案例•§3.1 回归分析的基本思想及其初步应用•§3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第一讲坐标系•一平面直角坐标系•二极坐标系•三简单曲线的极坐标方程•四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程•一曲线的参数方程——参数方程的概念•一曲线的参数方程——圆的参数方程•一曲线的参数方程——参数方程和普通方程的互化•二圆锥曲线的参数方程•三直线的参数方程•四渐开线与摆线第一讲不等式和绝对值不等式•一不等式——不等式的基本性质•一不等式——基本不等式•一不等式——三个正数的算术—几何平均不等式•二绝对值不等式——绝对值三角不等式•二绝对值不等式——绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法•一比较法•二综合法与分析法•三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式•一二维形式的柯西不等式•二一般形式的柯西不等式•三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式•一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式。
高中数学(新课标)选修2课件1.7.1-2定积分的应用
a
a
＝b[f(x)－g(x)]dx.
a
③如图(6)所示，所求面积 S＝S1＋S2＝ac[f(x)－g(x)]dx＋cb[g(x)－f(x)]dx
＝b|f(x)－g(x)|dx.
a
知识点二 定积分在物理中的应用 1．变速直线运动的路程 我们知道，做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速 度 函数 v＝ v(t)(v(t)≥0)在 时间 区间 [a， b] 上的定 积分 ，即 s ＝ ____b_v_(_t)_d_t ___.
【解析】 (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0 得 0≤t≤4，即当 0≤t≤4 时， P 点向 x 轴正方向运动，t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动．
故 t＝3 时，点 P 离开原点的路程
s1＝03(8t－2t2)dt＝4t2－23t330 ＝18. (2)当 t＝5 时，点 P 离开原点的位移 s2＝5(8t－2t2)dt
解析：由题意 v＝x′＝8t，t＝12 x，所以 v＝4 x.
又 F＝kv(k 是比例系数)，且当 v＝10 米/秒时 F＝2 牛，
所以 2＝10k，所以 k＝15，所以 F＝45 x，
又 F 与物体运动的方向相反，
所以 W＝－245 0
xdx＝－185x3220
＝－1165
2(焦耳)．
所以物体从 x＝0 到 x＝2 阻力所做的功为－1165 2焦耳．
解得 t＝0 或 t＝6，
t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况，
∴t＝6 是所求的值．
状元随笔 首先要确定的是所需求的是路程还是位移，然后 用相应的方法求解．
方法归纳
(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问 题转化为数学问题是关键．
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考试范围：文科：必考内容：必修①②③④⑤+选修1-1，1-2选考内容：无选考内容理科：必考内容：必修①②③④⑤+选修2-1，2-2，2-3 选考内容（三选二）：选修4-2，4-4，4-5文、理科必考内容：数学①必修第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示1.1.2 集合间的基本关系1.1.3 集合的基本运算1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念1.2.2 函数的表示法1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值1.3.2 奇偶性第二章基本初等函数（I）2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算2.1.2 指数函数及其性质2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算2.2.2 对数函数及其性质2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点3.1.2 用二分法求方程的近似解3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型3.2.2 函数模型的应用实例数学②必修第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征1.1.2 简单组合体的结构特征1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 空间几何体的三视图1.2.2 空间几何体的直观图1.2.3 平行投影与中心投影1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1.3.2 球的体积和表面积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定2.2.3 直线与平面平行的性质2.2.4 平面与平面平行的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定2.3.2 平面与平面垂直的判定2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直的判定3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离第四章圆与方程4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程4.1.2 圆的一般方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式数学③必修第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.2 基本算法语句1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 算法案例第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3 变量间的相关关系2.3.1 变量之间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关第三章概率3.1 随机事件的概率3.1.1 随机事件的概率3.1.2 概率的意义3.1.3 概率的基本性质3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.2.2 整数值随机数（random numbers）的产生3.3 几何概型3.3.1 几何概型3.3.2 均匀随机数的产生数学④必修第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角1.1.2 弧度制1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数1.2.2 同角三角函数的基本关系1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像和性质1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质1.4.3 正切函数的性质和图像1.5 函数y=Asin(ωx+ψ)的图像1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.1.1 向量的物理背景与概念2.1.2 向量的几何表示2.1.3 相等向量与共线向量2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义2.2.2 向量减法运算及其几何意义2.2.3 向量数乘运算及其几何意义2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量共线的坐标表示2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式3.2 简单的三角恒等变换数学⑤必修第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次（组）与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2 简单的线性规划问题3.4 基本不等式√ab≤﹙a+b﹚/2文科必考内容：数学选修1-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系1.2 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件1.3 简单的逻辑关联词1.3.1 且（and）1.3.2 或（or）1.3.3 非（not）1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程2.1.2 椭圆的简单几何性质2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程2.2.3 双曲线的简单几何性质2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程2.3.2 抛物线的简单几何性质第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念3.1.3 导数的几何意义3.2 导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则3.3 导数在研究函数中的应用3.3.1 函数的单调性与导数3.3.2 函数的极值与导数3.3.3 函数的最大（小）值与导数3.4 生活中的优化问题举例数学选修1-2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法2.2.2 反证法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.3.1 数系的扩充和复数的概念3.3.2 复数的几何意义3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义3.2.2 复数代数形式的乘除运算第四章框图4.1 流程图4.2 结构图理科必考内容：数学选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系1.2 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件1.3 简单的逻辑关联词1.3.1 且（and）1.3.2 或（or）1.3.3 非（not）1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程2.2 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程2.1.2 椭圆的简单几何性质2.3 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程2.2.3 双曲线的简单几何性质2.4 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程2.3.2 抛物线的简单几何性质第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算3.1.3 空间向量的数量积运算3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示3.1.5 空间向量运算的坐标表示3.2 立体几何中的向量方法数学选修2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的计算1.2.1 几个常用函数的导数1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数1.3.2 函数的极值与导数1.3.3 函数的最大（小）值与导数1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.5.1 曲边梯形的面积1.5.2 汽车行驶的路程1.5.3 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.3.1 数系的扩充和复数的概念3.3.2 复数的几何意义3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义3.2.2 复数代数形式的乘除运算数学选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分布乘法计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列1.2.2 组合1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.1 离散型随机变量2.1.2 离散型随机变量的分布列2.2 二项分布及其应用2.2.1 条件概率2.2.2 事件的相互独立性2.2.3 独立重复试验与二项分布2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.1 离散型随机变量的均值2.3.2 离散型随机变量的方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用理科选考内容（三选二）：数学选修4-2矩阵与变换第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用1.恒等变换2.旋转变换3.切变变换4.反射变换5.投影变换第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1. 逆变换与逆矩阵2. 逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1. 二元一次方程组的矩阵形式2. 逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1. 特征值与特征向量2. 特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1. A^nα的简单表示2. 特征向量在实际问题中的应用数学选修4-4坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系1. 平面直角坐标系2. 平面直角坐标系中的伸缩变换二极坐标系1. 极坐标系的概念2. 极坐标和直角坐标的互化三简单曲线的极坐标方程1. 圆的极坐标方程2. 直线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介1. 柱坐标系2. 球坐标系第二讲参数方程一曲线的参数方程1. 参数方程的概念2. 圆的的参数方程3. 参数方程和普通方程的互化二圆锥曲线的参数方程1. 椭圆的参数方程2. 双曲线的参数方程3. 抛物线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线1. 渐开线2. 摆线数学选修4-5不等式选讲第一讲不等式与绝对值不等式一不等式1. 不等式的基本性质2. 基本不等式3. 三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1. 绝对值三角不等式2. 绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式。