高中数学：定积分及其应用
高中数学中的积分与积分应用的计算技巧解析
高中数学中的积分与积分应用的计算技巧解析积分是数学中的一个重要概念，被广泛应用于各个领域。
在高中数学课程中，积分是一个重要的内容，它与微分一起构成了微积分的基础。
本文将详细解析高中数学中的积分与积分应用的计算技巧。
一、积分的概念与性质积分的概念源自于求导的逆运算，它表示了函数曲线下面的面积。
在高中数学中，我们主要学习了不定积分和定积分两种形式。
不定积分表示的是一个函数的原函数，它可以看作是求导运算的逆运算。
在不定积分中，我们常用的记号是∫f(x)dx，其中f(x)表示被积函数，dx表示对x进行积分。
定积分表示的是一个函数在一定区间上的累积变化量，它可以表示曲线下面的面积。
在定积分中，我们常用的记号是∫[a,b]f(x)dx，其中f(x)表示被积函数，[a,b]表示积分的区间。
积分具有一些重要的性质，比如线性性质、积分与导数的关系等。
线性性质表示积分可以分解为两个函数积分的和，即∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx。
积分与导数的关系则体现了微积分的基本思想，即导数是积分的逆运算，积分是导数的逆运算。
二、积分的基本计算技巧在高中数学中，我们接触到的主要是一些简单的函数的积分计算。
下面介绍一些常见函数的积分计算技巧：1. 幂函数的积分计算：对于幂函数的积分计算，常用的方法是使用幂函数的导函数公式。
比如对于函数f(x)=x^n，其中n是常数，它的积分结果为∫x^n dx=(1/(n+1))x^(n+1)+C，其中C为常数。
2. 指数函数的积分计算：对于指数函数的积分计算，可以利用指数函数的性质进行计算。
比如对于函数f(x)=e^x，它的积分结果为∫e^x dx=e^x+C，其中C为常数。
3. 三角函数的积分计算：对于三角函数的积分计算，可以利用三角函数的性质进行计算。
比如对于函数f(x)=sinx，它的积分结果为∫sinx dx=-cosx+C，其中C为常数。
高中数学定积分的概念及相关题目解析
高中数学定积分的概念及相关题目解析在高中数学中，定积分是一个重要的概念，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将介绍定积分的概念，并通过具体的题目解析来说明其考点和解题技巧，帮助高中学生更好地理解和应用定积分。
一、定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积分结果的确定值。
定积分的符号表示为∫，下面是定积分的定义：设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将[a, b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，选取每个小区间中的一个点ξi，作为f(x)在该小区间上的取值点。
那么，定积分的近似值可以表示为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Σf(ξi)Δx当n趋向于无穷大时，定积分的近似值趋向于定积分的准确值，即：∫[a, b]f(x)dx = lim(n→∞)Σf(ξi)Δx这个准确值就是函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。
二、定积分的考点和解题技巧1. 计算定积分的基本方法对于一些简单的函数，可以直接使用定积分的定义进行计算。
例如，计算函数f(x) = x²在区间[0, 1]上的定积分：∫[0, 1]x²dx = lim(n→∞)Σf(ξi)Δx = lim(n→∞)Σ(ξi)²Δx在这个例子中，可以将区间[0, 1]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = 1/n。
然后，选取每个小区间中的一个点ξi，可以选择ξi = i/n。
这样，定积分的近似值可以表示为：∫[0, 1]x²dx ≈ Σ(ξi)²Δx = Σ(i/n)²(1/n)当n趋向于无穷大时，可以求出定积分的准确值。
在这个例子中，计算过程如下：∫[0, 1]x²dx = lim(n→∞)Σ(i/n)²(1/n)= lim(n→∞)(1/n³)Σi²= lim(n→∞)(1/n³)(1² + 2² + ... + n²)= lim(n→∞)(1/n³)(n(n+1)(2n+1)/6)= 1/3因此，函数f(x) = x²在区间[0, 1]上的定积分的值为1/3。
高中数学-定积分在几何中的应用-课件
求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b)及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
①如图 1 所示，f(x)>0， bf(x)dx>0. a
∴S＝ bf(x)dx. a
②如图 2 所示，f(x)<0， bf(x)dx<0， a
∴S＝| bf(x)dx|＝－ bf(x)dx.
a
a
2×23x32
|
2 0
＝136，
8
S2＝2 [4－x－(－ 2x)]dx
＝4x－12x2＋2
3
2x32|
8 2
＝338，
于是 S＝136＋338＝18.
方法二：选y作为积分变量，
将曲线方程写为x＝y22及x＝4－y.
则S＝2－44－y－y22dy
＝4y－y22－y63|
2 －4
＝18.
变式训练 1：由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成
解．
由方程组
y2＝2x y＝4－x
解出抛物线和直线的交
点为(2,2)及(8，－4)．
方法一：选 x 作为积分变量，由图可看出 S＝S1＋S2，
由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y＝ 2x，
在 x 轴下方的方程为 y＝－ 2x，
2
所以 S1＝0 [ 2x－(－ 2x)]dx
＝2
2 1
20x2 dx＝2
❖1．7 定积分的简单应用
❖1.7.1 定积分在几何中的应用
自主学习 新知突破
❖ 1．理解定积分的几何意义．
❖ 2．会通过定积分求由两条或多条曲线 围成的平面图形的面积．
复习回顾
[问题 1]定积分的几何意义．
由三条直线 x＝a，x＝b(a<b)，x 轴及 一条曲线 y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边 梯形的面积 S＝________.
高中数学同步教学 第4章 §3 定积分的简单应用
0
0
＝π(12x2－15x5)|01＝π(12－15)＝π×130＝130π.
• 4．由曲线y＝x2,直线x＝1,x＝2与x轴所围成的平面图形绕x
31π 5
轴[解旋析转] 一设周所得所旋得转旋体的转体体积的为 体V，积为________.
则 V＝2π(x2)2dx＝2πx4dx＝5πx5|12＝315π.
1
1
互动探究学案
命题方向1 ⇨不分割型平面图形面积的求解
• 典例 1 曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形16 的面积 为____.
• [思路分析] 从图形上可以看出,所求图形的面积可以转化 为一个三角形与一个曲边三角形面积的差,进而可以用定积 分求出面积．为了确定出积分的上、下限,我们需要求出直 线[解和析抛] 物解线方程的组交yy点＝＝xx的，2，横坐标．
第四章 定积分
• 本章知识概述：本章的主要内容是定积分的概念,计算和简 单应用．
• 教科书通过曲边梯形面积问题,变速直线运动物体的路程问 题,变力做功等问题,充分演示了定积分概念产生的背景以 及定积分概念形成过程中的思路．微积分基本定理为我们 处理积分的计算问题提供了有力工具,教科书主要介绍了求 简单图形的面积和求简单旋转体的体积．
1．平面图形的面积 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒有 f(x)≥0，那么定积分b f(x)dx 表
a
示由__直__线__x_＝__a_,x_＝__b_(_a_≠_b_)_,y_＝__0_和__曲__线__y_＝__f_(_x)_______所围成的曲边梯形的面积． 2．简单几何体的体积
得 x1＝0，x2＝1. 故所求图形的面积为
S＝1xdx－1x2dx
0
0
高中数学 教案定积分及其应用学案 新人教A版选修2-2 学案
某某省某某市肥城市第三中学高中数学教案定积分及其应用学案新人教A版选修2-2yy记作f(x)dx 。
即f(x)dx ＝)(1lim i ni n f n ab ξ∑=∞→-。
其中)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积式，x 称为积分变量，],[b a 称为积分区间，b a ,分别称为 积分上限和积分下限。
2定积分的几何意义：①若0)(≥x f ，则积分⎰badxx f )(表示如图所示的曲边梯形的面积，即S dx x f ba=⎰)(②若0)(≤x f ，则积分⎰ba dx x f )(表示如图所示的曲边梯形面积的负值，即S dx x f ba-=⎰)(③一般情况下，定积分⎰b adxx f )(表示介于x 轴、曲线()f x及b x a x ==,之间的曲边梯形面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值的相反数， 3定积分的性质。
（１）⎰badx x kf )(＝k ⎰ba dxx f )(。
（２）[]dx x fx f ba)()(21±⎰＝。
（３）dx x f ba⎰)(＝ 。
4微积分基本定理：一般地，若f(x)为在][b a ,上的连续函数，且有)()(x f x F ='，那么⎰=badx x f )(，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式，可记作⎰=badx x f )(= 。
常见求定积分的公式新知得到知识1n B.1n C.1n D.3lim n n →∞由落体的速，则落体从到0t t =所走路程为B.gtC.2012gtD.2014gt答案： 234-125+2l 4n四．精讲点拨： 例1：计算下列定积分：（1）dx x ⎰402sin π（2）。
dx x e x⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121（3）dx x ⎰-2123答案：（1）418-π（2）21e 4+ln2-21e 2 (3)21例2利用定积分求图形的面积：求由抛物线,12-=x y 直线x=2，y=0围成的图形的面积。
高中数学积分与定积分
高中数学积分与定积分1. 引言数学中的积分与定积分是高中数学的重要内容，它们被广泛应用于微积分、物理学等许多领域。
本文将重点介绍高中数学中的积分与定积分的定义、性质和应用。
2. 积分的定义积分是微积分的重要概念，它是对函数在某个区间上的累积变化的度量。
在高中数学中，我们主要学习了定积分的概念和性质。
定积分是把曲线下的面积分成无穷小的矩形，然后对这些矩形的面积进行求和得到的极限。
3. 定积分的基本性质定积分具有一些基本的性质。
首先，定积分与原函数具有关系，定积分可以看作是函数的反导函数在区间上的表现。
其次，定积分的值与区间的选取有关，选取不同的区间可能得到不同的定积分值。
此外，定积分具有线性性质，即对于任意常数a和b，有∫(af(x)+bg(x))dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx。
4. 定积分的计算方法在高中数学中，我们主要学习了用换元法和分部积分法进行定积分的计算。
换元法是通过变量代换，将原函数的变量转化为另一个新的变量，从而简化定积分的计算。
分部积分法是积分算法中的一种方法，它将一个复杂函数的积分转化为两个简单函数的积分，通过计算这两个简单函数的积分再进行求和得到最终的结果。
5. 定积分的应用定积分在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在物理学中，定积分可以用来计算物体的质量、体积和物体受力作用下的功率等。
在经济学中，定积分可以用来计算市场供需曲线之间的面积，从而得到市场的总消费和总生产等。
6. 积分的进一步学习高中数学中所学习的积分与定积分只是微积分的基础部分，随着学习的深入，我们可以进一步学习不定积分、曲线积分等更高级的积分概念和技巧。
掌握这些更高级的积分知识将为我们在大学或进一步的研究中打下坚实的数学基础。
7. 结论通过本文对高中数学中的积分与定积分的介绍，我们可以看到它们在数学和科学领域中的重要性和应用价值。
定积分作为积分的一种重要形式，其定义、性质和计算方法都需要我们进行深入的学习与理解。
高中数学选修课件第四章§定积分的简单应用
当n→∞时，积分和的极限存在，则称函数f(x)在[a,b]上 可积，该极限值称为f(x)在[a,b]上的定积分。
积分和
将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b-a)/n，取每个小区间的任意一点ξi，对应的函数值 为f(ξi)，则f(x)在[a,b]上的积分和为Σf(ξi)Δx。
拓展延伸及未来发展趋势
定积分在物理学中的应用
定积分在物理学中有着广泛的应用，如计算变力做功、液体静压力等，需要进一步学习和 掌握。
定积分在经济学中的应用
定积分也可以应用于经济学领域，如计算收益、成本等经济量，为决策提供科学依据。
定积分与计算机技术的结合
随着计算机技术的发展，定积分与计算机技术的结合将越来越紧密，如利用计算机进行定 积分的数值计算、绘制定积分的图形等。这将为定积分的应用提供更广阔的空间和更高效 的手段。
A
一阶导数法
通过求解一阶导数等于零的点来找到函数的极 值点，从而确定最优解。
二阶导数法
通过判断二阶导数的符号来确定函数的凹 凸性，从而确定最优解。
B
C
约束优化方法
在存在约束条件的情况下，通过构造拉格朗 日函数等方法来求解最优解。
数值计算方法
对于难以求解的复杂函数，可以采用数值计 算方法（如牛顿法、梯度下降法等）来逼近 最优解。
几何应用
通过具体案例介绍如何利用定积 分求解平面图形的面积，如求解 由直线和曲线围成的图形面积等
。
物理应用
介绍定积分在物理中的应用，如求 解变力做功、液体静压力等问题中 涉及的面积计算。
经济应用
通过实际案例介绍定积分在经济领 域的应用，如求解由需求曲线和价 格曲线围成的面积所表示的消费者 剩余或生产者剩余等。
高中数学中的积分与积分应用解析
高中数学中的积分与积分应用解析积分是微积分中的重要概念之一，它在高中数学中扮演着重要的角色。
本文将重点讨论积分以及积分应用的解析方法。
一、积分的定义与性质在高中数学中，积分常常被定义为一个函数的反导数。
具体来说，设函数f(x)在区间[a, b]上连续，则函数F(x)在区间[a, b]上为f(x)的一个原函数。
则函数f(x)在区间[a, b]上的积分定义为∫[a, b]f(x)dx = F(b) -F(a)。
根据积分的定义，我们可以得出一些重要的性质。
首先，积分具有线性性质，即对于任意的常数c和函数f(x)、g(x)，有∫[a, b](cf(x) +g(x))dx = c∫[a, b]f(x)dx + ∫[a, b]g(x)dx。
其次，如果函数f(x)在某个点x=c处连续，则∫[a, a]f(x)dx = 0。
最后，如果函数f(x)在区间[a, b]上非负，则∫[a, b]f(x)dx ≥ 0。
二、积分法则在解析求解积分问题时，我们通常运用一些积分法则。
以下为常见的积分法则：1. 基本积分法则：对于函数f(x)的原函数F(x)，有∫f'(x)dx = F(x) + C。
其中，C为常数。
2. 定积分法则：若F(x)是f(x)的一个原函数，则对于[a, b]上的定积分，有∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
3. 代换法则：当被积函数中存在复杂的部分时，可以通过代换变量来简化求解过程。
设u=g(x)是可导函数，F(u)是其原函数，则∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du。
4. 分部积分法则：当被积函数是两个函数的积时，可以通过分部积分法则求解。
设u=u(x)和v=v(x)都是可导函数，则有∫u(x)v'(x)dx =u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。
三、积分应用解析积分在数学的各个领域都有广泛的应用。
以下，我们将介绍一些常见的积分应用。
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高中数学：定积分及其应用
1、基本积分表
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
2、运算公式
（1）
（2）
（3）
3、
例1、若曲线在x处的导数为且曲线经过点A （1，3），求解析式。
解：，过A ∴∴
例2、求下列不定积分。
（1）
（2）
例3、求下列定积分（1）
（2）
∵
∴
例4、，为何值时，M最小。
解：
∴时，
例5、已知，，试求的取值范围。
解：
即
设∴为方程
两根
∴或
∴
例6、求抛物线与直线所围成的图形的面积。
解：由∴ A（1，－1）B（9，3）
例7、求由抛物线，所围成图形的面积。
解：
例8、由抛物线及其在点A（0，－3），B （3，0）处两切线所围成图形的面积。
解：，∴ P（）
例9、曲线C：，点，求过P的切线与C围成的图形的面积。
解：设切点，则
切线：过P（）
∴
∴ A（0，1）
∵∴
∴ B（）
∴
例10、抛物线在第一象限内与直线相切。
此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S。
求使S达到最大值的a，b值，并求。
解：依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐
标分别为，所以（1）又直线与抛物线相切，即它们有唯一的公共点
由方程组
得，其判别式必须为0，即
于是，代入（1）式得：
令；在时得唯一驻点，且当时，；当时，。
故在时，取得极大值，也是最大值，即时，S取得最大值，且
▍ ▍
▍。