苏教版数学中考总复习[中考总复习：锐角三角函数综合复习--重点题型巩固练习](基础)
苏教版九年级下册数学[锐角三角函数—知识点整理及重点题型梳理]
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苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习锐角三角函数—知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的Ca b记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0．要点二、特殊角的三角函数值(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC 的正切值是（）A．2 B．C．D．【思路点拨】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【答案】D．【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．举一反三：【课程名称：锐角三角函数395948：例1（1）-（2）】【变式】在RtΔABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．a【答案】c = 5 ，sinA = 35 ， cosA =45，sinB =45， cosB =35．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值：(1)（2015•茂名校级一模） 6tan 230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)（2015•乐陵市模拟） sin60°﹣4cos 230°+sin45°•tan60°；(3)（2015•宝山区一模） +tan60°﹣．【答案与解析】 解：（1）原式==12(2) 原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+3；(3) 原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【课程名称： 锐角三角函数 395948 ：例1（3）-（4）】 【变式】在Rt ΔABC 中，∠C =90°，若∠A=45°，则∠B = ，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°，sinA=，cosA=，sinB=cosB=．类型三、锐角三角函数之间的关系3．（2015•河北模拟）已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【答案与解析】解：（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，若弦CD＝6，试求cos∠APC的值．【答案与解析】连结AC，∵ AB是⊙O的直径，∴∠ACP＝90°，又∵∠B＝∠D，∠PAB＝∠PCD，∴△PCD∽△PAB，∴PC CDPA AB=． 又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴ 在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC ，由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PC APC PA ∠=，PC 、PA 均为未知，而已知CD ＝6，AB ＝10，可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1； (2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ，∴ 4AC a ==，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，BD ==，∴ sadA BD AD == 【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA ＝1；(2)在图①中设想AB ＝AC的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，则sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．。
江苏省中考数学第一部分考点研究复习第四章三角形第23课时锐角三角函数及其应用真题精选含解析
——教学资料参考参考范本——江苏省中考数学第一部分考点研究复习第四章三角形第23课时锐角三角函数及其应用真题精选含解析______年______月______日____________________部门第23课时锐角三角函数及其应用江苏近4年中考真题精选命题点1 锐角三角函数(20xx年6次，2015年5次，20xx年6次，20xx年7次)1. (20xx无锡7题3分)sin30°的值为( )A. B. C. D. 332. (20xx南通6题3分)如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2，1)，则tanα的值是( )A. B. C. D. 2第2题图第3题图3. (20xx宿迁4题3分)如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是( )A. B. C. D. 313134. (20xx徐州14题3分)若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2 cm，则它的底边长为______ cm.5. (20xx南通14题3分)如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则cosA＝________．第5题图6. (20xx连云港25题10分)如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝.(1)求BC的长；(2)利用此图形求tan15°的值．(精确到0.1.参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2)第6题图命题点2 (20xx年8次，20xx年7次，2014年10次，20xx年7次) 7. (20xx苏州10题3分)如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2 km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为( )A. 4 kmB. (2＋) kmC. 2 kmD. (4－) km第7题图8. (20xx宿迁22题6分)如图，观测点A、旗杆DE的底端D、某楼房CB的底端C三点在一条直线上，从点A处测得楼顶端B的仰角为22°，此时点E恰好在AB上，从点D处测得楼顶端B的仰角为38.5°，已知旗杆DE的高度为12米，试求楼房CB的高度．(参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80)第8题图9. (20xx淮安24题8分)为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度，如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB＝45°，AC＝24 m，∠BAC＝66.5°，求这棵古杉树AB的长度．(结果取整数，参考数据：≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30)第9题图10. (20xx南京23题8分)如图，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动1 m(即BD＝1 m)到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′.求梯子的长．(参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248)第10题图11. (20xx淮安24题8分)小华想测量位于池塘两端的A、B两点的距离，他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF＝45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF＝60°，若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．第11题图12. (20xx盐城26题10分)如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组的同学打算运用所学的知识测量侧面支架的最高点E到地面的距离EF，经测量，支架的立柱BC与地面垂直，即∠BCA＝90°，且BC ＝1.5 m，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆AB与水平线AC的夹角∠BAC＝30°，支撑杆DE⊥AB于点D，该支架的边BE与AB的夹角∠EBD＝60°，又测得AD＝1 m，请你求出该支架的边BE及顶端E到地面的距离EF的长度．第12题图13. (20xx南京22题8分)已知不等臂跷跷板AB长4 m．如图①，当AB的一端A碰到地面时，AB与地面的夹角为α；如图②，当AB的另一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为β.求跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH.(用含α、β的式子表示)第13题图14. (20xx泰州22题10分)图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6 m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8 m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h(精确到0.1 m)．(参考数据：sin12°＝cos78°≈0.21，sin68°＝cos22°≈0.93，tan68°≈2.48)第14题图15. (20xx盐城25题10分)如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米．设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米．现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳(取1.73)．(1)求楼房的高度约为多少米？(2)过了一会儿，当α＝45°时，问小猫还能否晒到太阳？请说明理由．第15题图16. (20xx徐州25题8分)如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100 km的点B处，再航行至位于点B 的北偏东75°且与点B相距200 km的点C处．(1)求点C与点A的距离．(精确到1 km)(2)确定点C相对于点A的方向．(参考数据：≈1.414，≈1.732)第16题图17. (20xx宿迁23题8分)如图是某通道的侧面示意图，已知AB∥CD ∥EF，AM∥BC∥DE，AB＝CD＝EF，∠AMF＝90°，∠BAM＝30°，AB＝6 m，(1)求FM的长；(2)连接AF，若sin∠FAM＝，求AM的长．第17题图答案1. A 【解析】根据特殊角的三角函数值计算即可．sin30°＝.2. C 【解析】令(2，1)为点B，如解图，过点B作BC⊥x轴于点C，tanα＝＝.第2题解图3. B 【解析】由图可得tan∠AOB＝.4. 2 【解析】如解图，由已知得，∠B＝∠C＝(180°－120°)＝30°，AB＝2，∴BC＝2BD＝2AB·cos30°＝2.第4题解图5. 【解析】∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD＝2，∴AB＝4，∴cosA＝＝.6. 解：(1)如解图①，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，第6题解图①∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝2，CD＝AC×cos30°＝4×＝2，∵在Rt△ABD中，tanB＝＝，∴＝，∴BC＝16－2；(2)如解图②，在CB上截取CE＝CA＝4，则∠CEA＝∠CAE＝∠ACD＝15°，第6题解图②∴tan15°＝＝＝＝2－≈0.3.7. B 【解析】如解图，过点B作BE⊥AD交AC于点E.则BE＝AB＝2，AE＝2；∠AEB＝∠EBC＋∠ECB，∵∠AEB＝45°，∠EBC＝22.5°，∴∠ECB＝22.5°，∴CE＝BE＝2，所以AC＝2＋2，所以CD＝(2＋) km.第7题解图8. 解：在Rt△ADE中，∵tan22°＝，∴AD＝≈＝30，在Rt△BCD中，设BC＝x，则CD＝≈＝x，∵DE∥BC，∴＝，∴＝，解得x＝24.答：楼房CB的高度约为24米．9. 解：如解图，过B点作BD⊥AC于点D.第9题解图∵∠ACB＝45°，∠BAC＝66.5°，∴在Rt△ADB中，AD＝，在Rt△CDB中，CD＝BD，∵AC＝AD＋CD＝24，∴＋BD＝24，解得BD≈17，∴AB＝≈18，答：这棵古杉树AB的长度大约为18 m．10. 解：设梯子的长为x m.在Rt△ABO中，cos∠ABO＝，∴OB＝AB·cos∠ABO＝x·cos 60°＝x，在Rt△CDO中，cos∠CDO＝，∴OD＝CD·cos∠CDO＝x·cos 51°18′≈0.625x，∵BD＝OD－OB，∴0.625x－x＝1，解得x＝8.答：梯子的长约为8 m．11. 解：如解图，过点A作AG⊥EF于点G，过点B作BH⊥EF于点H，第11题解图由题意可知，CD＝100米，AG＝BH＝60米，∠ACF＝45°，∠BDH＝60°.在Rt△ACG中，AG＝60，∠ACF＝45°，∴CG＝60.在Rt△BDH中，BH＝60，∠BDH＝60°，∴tan60°＝，∴＝，∴DH＝20，∴AB＝CD＋DH－CG＝100＋20－60＝40＋20.答：AB两点之间的距离为(40＋20)米．12. 解：如解图，过点B作BH⊥EF于点H，第12题解图∴四边形BCFH为矩形，BC＝HF＝1.5 m，∠HBA＝∠BAC＝30°，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝1.5 m，∴AB＝3 m，∵AD＝1 m，∴BD＝2 m，在Rt△EDB中，∵∠EBD＝60°，∴∠BED＝90°－60°＝30°，∴EB＝2BD＝2×2＝4 m，又∵∠HBA＝∠BAC＝30°，∴∠EBH＝∠EBD－∠HBD＝30°，∴EH＝EB＝2 m，∴EF＝EH＋HF＝2＋1.5＝3.5 m.答：该支架的边BE为4 m，顶端E到地面的距离EF的长度为3.5 m．13. 解：在Rt△AHO中，sinα＝，∴OA＝，在Rt△BHO中，sinβ＝，∴OB＝，∵AB＝4，∴OA＋OB＝4，即＋＝4，∴OH＝ m．14. 解：如解图，过C点作FG⊥AB于点F，交DE于点G.第14题解图∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD＝80°，∴∠ACF＝∠FCD－∠ACD＝90°＋12°－80°＝22°，∴∠CAF＝68°，在Rt△ACF中，CF＝AC·sin∠CAF＝0.8·sin68°≈0.744 m，在Rt△CDG中，CG＝CD·sin∠CDE＝1.6·sin12°≈0.336 m，∴FG＝FC＋CG≈1.1 m.答：跑步机手柄的一端A的高度h约为1.1 m．15. 解：(1)在Rt△AEB中，∠A＝90°，∠α＝60°，AE＝10，∴AB＝AE·tan60°＝10×≈17.3.答：楼房的高约为17.3米；(2)当α＝45°时，小猫仍然能晒到太阳．第15题解图理由如下：假设没有台阶，如解图，当α＝45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为F，与MC的交点为H.∵∠BFA＝∠ABF＝45°，∴BA＝AF，此时影长AF＝BA＝17.3，∴CF＝AF－AC＝17.3－17.2＝0.1＜0.2，∴CH＝CF＝0.1，则大楼影子落在台阶MC这个侧面上．∴小猫仍然能晒到太阳．16. 解：(1)如解图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ABC＝75°－15°＝60°，第16题解图在Rt△ABD中，∵∠ABC＝60°，AB＝100 km，∴BD＝50 km，AD＝50 km，∴CD＝BC－BD＝200－50＝150 km，在Rt△ACD中， AC＝＝100≈173 km.答：点C与点A的距离约为173 km；(2)在△ABC中，∵AB2＋AC2＝1002＋(100)2＝40000，BC2＝2002＝40000，∴在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴∠CAF＝∠BAC－∠BAF＝90°－15°＝75°.答：点C位于点A的南偏东75°方向．17. 解：(1)如解图，分别过点B、D、F作BN⊥AM于点N，DG⊥BC延长线于点G，FH⊥DE延长线于点H，第17题解图在Rt△ABN中，∵AB＝6 m，∠BAM＝30°，∴BN＝AB·sin∠BAN＝6×＝3 m，∵AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，AB＝CD＝EF，同理可得：DG＝FH＝3 m，∴FM＝FH＋DG＋BN＝9 m．(2)在Rt△FAM中，∵FM＝9 m，sin∠FAM＝，∴AF＝＝27 m，∴AM＝＝18 m.即AM的长为18 m．。
江苏省南京中考数学总复习锐角三角函数
2011南京中考数学总复习：锐角三角函数【例1——特殊的锐角三角函数值】填写表格:45sin a cos a tan a【反馈】①已知/ A 是锐角，且sinA= 艾，那么90。
一z A 等于 ②当锐角a >30°时，贝U cos a 的值是()【例2——与三角形的有关计算】已知 Rt △ ABC 中，Z C=90° , tanA=4 , BC=8则AC 等于3 1【反馈】①如图，在等腰 Rt △ ABg, / C=90o , AC=6, D 是AC 上一点，若tan / DBA 己，5则AD 的长为 .②在△ ABC 中，Z A=75° , Z B=60° , AB=2』2，贝U AC=. 【例3 --- 锐角三角函数之间的关系】若 sin28 ° =cos a ,贝U a =. 【反馈】①直角三角形两锐角的正切函数的积为 .② 在 Rt △ ABC 中，/ C=90° ,若 sinA 是方程 5x2-14x+8=0 的一个根，贝U sin A ___________tan A .③ tan2 ° - tan4 ° - tan6 ° - • tan88°【例4 --- 锐角三角函数的计算】 sin 230° +cos 245° + J2 sin60 ° - tan45 °A.大于B.小于一2 D.小于-3 2B. 32C. 10D. 12 22【反馈】① 2cos60 °—（2009 —兀0 +s/92 ^.2 a ...②先化简.再求代数式的值. （——+ —）+——其中a= tan60 —2sin30a 1 a2 _1 a -15 ...... …【例5——解直角二角形】在^ ABC中，90 , BO 24cm, cosA =—,求这个二角形13的周长.【反馈】已知：如图，在RtA ABC中，E C =90 =, AC=J3 .点D为BC边上一点，且BD=2AD , 2ADC =60。
【苏教版】中考数学专题测试：15-锐角三角函数及应用(含)资料
专题15 锐角三角函数及应用学校：___________姓名：___________班级：___________1.【江苏省无锡市2015年中考数学试题】tan45º的值为( )A ．12B ．1C ．22D ． 2 【答案】B.【解析】根据特殊角的三角函数值可得tan45º=1，故选B.【考点定位】特殊角的三角函数值.2.【江苏省南通市海安县2015届九年级上学期期末考试数学试题】如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则cosB 的值是（ ）A ． 12B ．2C ．5D ．5【答案】C ．【考点定位】锐角三角函数的定义．3.【江苏省扬州市2015年中考数学试题】如图，若锐角△ABC 内接于⊙O ,点D 在⊙O 外（与点C 在AB 同侧）， 则下列三个结论：①D C ∠>∠sin sin ；②D C ∠>∠cos cos ；③D C ∠>∠tan tan 中，正确的结论为( )A 、①②B 、②③C 、①②③D 、①③【答案】D【考点定位】锐角三角函数，圆周角定理.4.【江苏省南通市海安县2015届九年级上学期期末考试数学试题】苏中七战七捷纪念馆位于江苏海安县城中心，馆内纪念碑碑身造型似一把刺刀矗立在广袤的苏中大地上，堪称世界之最，被誉为“天下第一刺刀”．如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测纪念碑碑身的高度AB ，小明在D 处用高1.5m 测角仪CD ，测得纪念碑碑身顶端A 的仰角为30°，然后向纪念碑碑身前进20m 到达E 处，又测得纪念碑碑身顶端A 的仰角为45°，已知纪念碑碑身下面的底座高度BH 为1.8m ．则纪念碑碑身的高度AB 为（ ）m （结果1.414≈ 1.732≈2.236≈）A ．27B ．16C ．37D ．15【答案】A ．故选A.【考点定位】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.5.【江苏省南京市鼓楼区2015届九年级下学期中考二模考试数学试题】如图，方格纸中有三个格点A 、B 、C ，则sin ∠ABC= ．【答案】145． 【解析】首先过点A 作AD ⊥BC 于点D ，连接AC ，进而结合S △A BC 得出AD 的长，再利用锐角三角函数关系求出答案．如图所示：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，连接AC ，∵S △ABC =20-12×2×5-12×2×4-12×1×4=9，S △ABC =12×BC ×AD=9，∴12×A D=9，解得：AD=5故sin∠ABC=145ADAB==．故答案为：145.【考点定位】1.勾股定理；2.锐角三角函数的定义．6.【江苏省苏州市区2015届九年级下学期中考数学一模试题】如图，一侧面为矩形的建筑物ABCD，AP为建筑物上一灯杆（垂直于地面），夜晚灯杆顶端灯亮时，EH段是建筑物在斜坡EF上的影子．己知BC=8米，AP=12米，CE=6米，斜坡EF的坡角∠FEG=30°，EH=4米，且B，C，E，G在同一水平线上，题中涉及的各点均在同一平面内，建筑物的高度AB为米（结果保留根号）．【答案】．【解析】作HM⊥BG于点M，延长DH交BG于点N，首先在直角三角形EMH中求得HM、EM的长，然后求得MN 的长，最后利用三角形相似求得DC的长即可求得建筑物的高．作HM⊥BG于点M，延长DH交BG于点N，【考点定位】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．7.【江苏省苏州市区2015届九年级下学期中考数学一模试题】如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接AE，则sin∠AED= ．【答案】.5【解析】过A点作AG⊥ED，根据等腰直角三角形的性质得出AG和EG的长度，再根据勾股定理得出AE的长度，最后利用三角函数解答即可．过A点作AG⊥ED，如图：【考点定位】1.正方形的性质；2.等腰直角三角形；3.解直角三角形．8.【江苏省江阴市华士实验中学2015届九年级下学期期中考试数学试题】如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且点A相距100km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200km（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）. 的点C处.则点C与点A的距离约为 km（精确到1km）【答案】173km.【考点定位】解直角三角形的应用（方向角问题）；特殊角的三角函数值；勾股定理和逆定理．9.【江苏省苏州市吴中、相城、吴江区2015届九年级中考一模数学试题】某研究性学习小组，为了测量某池塘边A、B两点间的距离，让一架航模在直线AB的正上方24米的高度飞行，当航模位于点D处时，在A 点处测得航模仰角为60°，5分钟后，当航模在点C处时，在B点测得航模仰角为45°，己知航模飞行的速度为每分钟45米，试计算A、B两点的距离．（结果精确到0.1．）【答案】A、B两点的距离214.8米．【解析】试题解析：如图所示，作DM ⊥AB 于M ，BN ⊥CD 于N ，则DM=BN=24米，在Rt △ADM 中，由题意∠DAM=60°，∴AM=24 60tan 在Rt △BNC 中，由题意∠NCB=45°，∴DN=DC-NC=45×5-24=201米，∴米，答：A 、B 两点的距离214.8米．【考点定位】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．10.【江苏省南京市2015年中考数学试题】如图，轮船甲位于码头O 的正西方向A 处，轮船乙位于码头O 的正北方向C 处，测得∠CAO =45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km /h 和36km /h ，经过0.1h ，轮船甲行驶至B 处，轮船乙行驶至D 处，测得∠DBO =58°，此时B 处距离码头O 多远？（参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1，60）【答案】13.5km ．【解析】试题分析：设B 处距离码头Oxkm ，分别在Rt △CAO 和Rt △DBO 中，根据三角函数求得CO 和DO ，再利用DC =DO ﹣CO ，得出x 的值即可．试题解析：设B 处距离码头Oxkm ，【考点定位】解直角三角形的应用．。
苏教版2020学年九年级数学专题锐角三角函数与其他知识的综合
考点综合专题：锐角三角函数与其他知识的综合——代几结合，掌握中考风向标 ◆类型一 锐角三角函数与四边形的综合1．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AD 的长为( )A ．3 B.163 C.203 D.165第1题图第2题图2．(2016·宝山区一模)如图，菱形ABCD 的边长为10，sin∠BAC ＝35，则对角线AC 的长为________．3．(2016·福州中考)如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O )为60°，A ，B ，C 都在格点上，则tan∠ABC 的值是________．第3题图第4题图4．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，tan A ＝43，则CD ＝________．5．(2016·菏泽中考)如图，在正方形ABCD 外作等腰直角△CDE ，DE ＝CE ，连接BE ，则tan∠EBC ＝________．第5题图第6题图6．(2016·东营中考)如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知折痕AE ＝55cm ，且tan∠EFC ＝34，那么矩形ABCD 的周长为________cm.7．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF ⊥AM ，垂足为F ，交AD 于点E .(1)求证：∠BAM ＝∠AEF ；(2)若AB ＝4，AD ＝6，cos∠BAM ＝45，求DE 的长．8．(2016·杭州中考)如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点A ，D ，G 在同一直线上，且AD ＝3，DE ＝1，连接AC ，CG ，AE ，并延长AE 交CG 于点H .(1)求sin∠EAC 的值； (2)求线段AH 的长．◆类型二 锐角三角函数与其他函数的综合9．如图，直线y ＝34x ＋3与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，则cos∠BAO 的值是( )A.45B.35C.43D.54第9题图第10题图10．(2016·海曙区一模)如图，P (12，a )在反比例函数y ＝60x图象上，PH ⊥x 轴于H ，则tan∠POH 的值为________．◆类型三 锐角三角函数与圆的综合11．(2016·衢州中考)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sin E 的值为( )A.12B.22C.32D.33第11题图第12题图12．(2016·颍泉区二模)如图，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ，若BC ＝10，cos∠BCD ＝35，∠BCE ＝30°，则线段DE 的长是( )A.89 B ．7 3 C ．4＋3 3 D ．3＋4 313．(2016·贵阳中考)如图，已知⊙O 的半径为6cm ，弦AB 的长为8cm ，P 是AB 延长线上一点，BP ＝2cm ，则tan∠OPA 的值是________．第13题图第14题图14．如图，圆O 的直径AB ＝8，AC ＝3CB ，过C 作AB 的垂线交圆O 于M ，N 两点，连接MB ，则∠MBA 的余弦值为________．15．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径是4，sin B ＝14，则线段AC 的长为________．16．(2016·温州中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，以DB 为直径的⊙O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F ，连接EF .(1)求证：∠1＝∠F ； (2)若sin B ＝55，EF ＝25，求CD 的长．17．如图，AB 为⊙O 的直径，CO ⊥AB 于O ，D 在⊙O 上，连接BD ，CD ，延长CD 与AB 的延长线交于E ，F 在BE 上，且FD ＝FE .(1)求证：FD 是⊙O 的切线；(2)若AF ＝8，tan∠BDF ＝14，求EF 的长．考点综合专题：锐角三角函数与其他知识的综合1．B 解析：由题意可得AB ＝CD ＝4，∠ADE ＝∠ACD ＝α.在Rt△ADC 中，cos∠ACD ＝cos α＝CD AC ＝35，即4AC ＝35，∴AC ＝203.根据勾股定理得AD ＝AC 2－CD 2＝163.2．163.32解析：如图，连接EA ，EC ，设菱形的边长为a ，由题意得∠AEF ＝30°，∠BEF ＝60°，AE ＝3a ，EB ＝2a ，∴∠AEB ＝90°，∴tan∠ABC ＝AE BE ＝3a 2a ＝32.4.65 解析：延长AD 和BC 交于点E .∵在Rt△ABE 中，tan A ＝BE AB ＝43，AB ＝3，∴BE ＝4，∴EC ＝BE －BC ＝4－2＝2.∵在△ABE 和△CDE 中，∠B ＝∠EDC ＝90°，∠E ＝∠E ，∴∠DCE＝∠A ，∴Rt△CDE 中，tan∠DCE ＝tan A ＝DE DC ＝43，∴设DE ＝4x ，则DC ＝3x .在Rt△CDE 中，EC 2＝DE 2＋DC 2，∴4＝16x 2＋9x 2，解得x ＝25，则CD ＝65.5.13 解析：作EF ⊥BC 于F ，设DE ＝CE ＝a .∵△CDE 为等腰直角三角形，∴CD ＝2CE ＝2a ，∠DCE ＝45°.∵四边形ABCD 为正方形，∴CB ＝CD ＝2a ，∠BCD ＝90°，∴∠ECF＝45°，∴△CEF 为等腰直角三角形，∴CF ＝EF ＝22CE ＝22a .∴BF ＝BC ＋CF ＝322a .在Rt△BEF 中，tan∠EBF ＝EF BF ＝13，即tan∠EBC ＝13.6．36 解析：∵tan∠EFC ＝34，∴设CE ＝3k ，则CF ＝4k ，由勾股定理得EF ＝DE ＝5k ，∴DC ＝AB ＝8k .由题意可得∠B ＝∠AFE ＝90°，∴∠AFB ＋∠BAF ＝90°，∠AFB ＋∠EFC ＝90°，∴∠BAF ＝∠EFC ，∴tan∠BAF ＝tan∠EFC ＝34，∴BF ＝6k ，AF ＝BC ＝AD ＝10k .在Rt△AFE中，由勾股定理得AE 2＝AF 2＋EF 2，即(55)2＝(10k )2＋(5k )2，解得k ＝1，故矩形ABCD 的周长为2(AB ＋BC )＝2(8k ＋10k )＝36k ＝36×1＝36(cm)．7．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠BAC ＝90°.∵EF ⊥AM ，∴∠AFE ＝90°，∴∠EAF ＋∠BAM ＝∠EAF ＋∠AEF ＝90°，∴∠BAM ＝∠AEF ；(2)解：在Rt△ABM 中，∵∠B ＝90°，AB ＝4，cos∠BAM ＝45，∴AM ＝5.∵F 为AM 的中点，∴AF ＝52.∵∠BAM ＝∠AEF ，∴cos∠BAM ＝cos∠AEF ＝45.∴sin∠AEF ＝35.在Rt△AEF 中，∵∠AFE ＝90°，AF ＝52，sin∠AEF ＝35，∴AE ＝256.∴DE ＝AD －AE ＝6－256＝116.8．解：(1)作EM ⊥AC 于M .∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADC ＝90°，AD ＝DC ＝3，∠DCA ＝45°.在Rt△ADE 中，∵∠ADE ＝90°，AD ＝3，DE ＝1，∴AE ＝AD 2＋DE 2＝10.在Rt△EMC 中，∵∠EMC ＝90°，∠ECM ＝45°，EC ＝2，∴EM ＝CM ＝2.∴在Rt△AEM 中，sin∠EAM ＝EM AE＝210＝55； (2)在△GDC 和△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝DE ，∠GDC ＝∠EDA ，DC ＝DA ，∴△GDC ≌△EDA ，∴∠GCD ＝∠EAD ，GC ＝AE＝10.又∵∠AED ＝∠CEH ，∴∠EHC ＝∠EDA ＝90°，∴AH ⊥GC .∵S △AGC ＝12AG ·DC ＝12GC ·AH ，∴12×4×3＝12×10×AH ，∴AH ＝6510. 9．A 10.51211.A12．D 解析：过B 作BF ⊥DE 于F .在Rt△CBD 中，∵BC ＝10，cos∠BCD ＝35，∴BD ＝8.在Rt△BCE 中，∵BC ＝10，∠BCE ＝30°，∴BE ＝5.在Rt△BDF 中，∵∠BDF ＝∠BCE ＝30°，BD ＝8，∴DF ＝BD ·cos30°＝4 3.在Rt△BEF 中，∵∠BEF ＝∠BCD ，即cos∠BEF ＝cos∠BCD＝35，BE ＝5，∴EF ＝BE ·cos∠BEF ＝3.∴DE ＝EF ＋DF ＝3＋4 3. 13.5314.12 解析：连接OM .∵AB ＝8，AC ＝3CB ，∴OC ＝14AB ＝2，∴在Rt△OCM 中，OC ＝12OM ，∴∠MOC ＝60°，∴△MOB 为等边三角形，∴∠MBA ＝60°，∴cos∠MBA ＝12.15．2 解析：连接CD .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°.∵∠D ＝∠B ，∴sin D ＝sin B ＝14.在Rt△ACD 中，∵sin D ＝AC AD ＝14，∴AC ＝14AD ＝14×8＝2. 16．(1)证明：连接DE .∵BD 是⊙O 的直径，∴∠DEB ＝90°.又∵E 是AB 的中点，∴DE 垂直平分AB ，∴DA ＝DB ，∴∠1＝∠B .∵∠B ＝∠F ，∴∠1＝∠F ；(2)解：∵∠1＝∠F ，∴AE ＝EF ＝25，∴AB ＝2AE ＝4 5.在Rt△ABC 中，∵AC ＝AB ·sin B ＝4，∴BC ＝AB 2－AC 2＝8.设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝8－x .在Rt△ACD 中，∵AC 2＋CD 2＝AD 2，即42＋x 2＝(8－x )2，∴x ＝3，即CD ＝3.17．(1)证明：连接OD .∵CO ⊥AB ，∴∠E ＋∠C ＝90°.∵FE ＝FD ，OD ＝OC ，∴∠E ＝∠FDE ，∠C ＝∠ODC ，∴∠FDE ＋∠ODC ＝90°，∴∠ODF ＝90°，∴OD ⊥DF ，∴FD 是⊙O 的切线；(2)解：连接AD .∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠A ＋∠ABD ＝90°.∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∴∠A ＋∠ODB ＝90°.∵∠BDF ＋∠ODB ＝90°，∴∠A ＝∠BDF .而∠DFB ＝∠AFD ，∴△FBD ∽△FDA ，∴DF AF ＝BD AD .在Rt△ABD 中，tan A ＝tan∠BDF ＝BD AD ＝14，∴DF 8＝14，∴DF ＝2，∴EF ＝2.。
江苏省中考数学第一部分考点研究复习第四章三角形锐角三角函数的实际应用巩固集训(含解析)
锐角三角函数的实际应用巩固集训1。
（2014盐城)盐城电视塔是我市标志性建筑之一，如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度AB.小明在D处用高1。
5 m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°,然后向电视塔前进224 m到达E处,又测得电视塔顶端A的仰角为60°，求电视塔的高度AB。
(错误!取1。
73。
结果精确到0.1 m）第1题图2. (2017原创）如图,某一时刻太阳光从教室窗户射入室内,与地面的夹角∠BPC为30°，窗户的一部分在教室地面所形成的影长PE为3.5 m，窗户的高度AF为2.5 m．求窗外遮阳篷外端一点D到教室窗户上端的距离AD。
(参考数据：错误!≈1.73，结果精确0.1 m）第2题图3。
（2015河南)如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE＝30°，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据:sin48°≈0。
74，cos48°≈0.67，tan48°≈1。
11，错误!≈1.73)第3题图4。
（2015义乌)如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6 m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°. (1)求∠BPQ的度数；(2）求该电线杆PQ的高度(结果精确到1 m）．备用数据：3≈1.7，错误!≈1。
4.第4题图5。
（2016遵义）某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳OB的长为 3 m，静止时，踏板到地面距离BD的长为0.6 m(踏板厚度忽略不计）．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为h m，成人的“安全高度”为2 m．(计算结果精确到0。
苏教科版初中数学九年级下册7锐角三角函数单元复习
；
cosB= tanA =
； ； tanB =
；cotA =
A
；cotB =
。
6． 图中角 可以看作是点 A 的
也可看作是点 B 的
角；
角，
B
C
（1）
7． sin2 A cos2 A
，tan A•cotA =
； sin A
。
cos A
8． （1）坡度（或坡比）是坡面的
高度（ h ）和
长度（ l ）的比。记作 i ，即 i
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重点知识精选
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锐角三角函数单元复习
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一、知识点回顾
1． 锐角∠A 的三角函数（按右图 Rt△ABC 填空） c
∠A 的正弦：sinA =
，
∠A 的余弦：cosA = 2． 锐角三角函数值，都是
的长。
D 36 3 海里/小时
A
求 AB
B
C
37． 如图，河对岸有铁塔 AB，在 C 处测 顶 A 的仰角为 30°，向塔前进 14 米到达 D 处测得 A 的仰角为 45°，求铁塔 AB 的
C
得塔
A
D，在
高。
D
B
第 43 题图
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38． 如图，已知两座高度相等的建筑物 AB、CD 的水平距离 BC＝60 米，在建筑物 CD 上有一铁塔 PD，在塔顶 P 处观察建筑物的底部 B 和
。
13．已知 Rt△ ABC 中，若 C 900 , cos A 5 , BC 24 ，则 AC _______ 。 13
苏科版九年级上期终复习要点四(第7章锐角三角函数)含答案解析
—第一学期初三数学期终复习要点四第7章 锐角三角函数知识点：锐角三角函数（正切、正弦、余弦），特殊角的三角函数，由三角形值求锐角，解直角三角形，用锐角三角函数解决问题。
典型例题：例1．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =1，∠B =30°，则AB 的长为（ ）A ．2B ．3C ．12D ．3 例2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，那么c 可以表示为A ．a 2＋b 2B ．a ⋅cos B ＋b ⋅cos AC ．a ⋅sin B ＋b ⋅sin AD ．sin sin a b A B+ 例3．在Rt △ABC 中，已知∠C =90°，CD ⊥AB ，AC =8，AB =10，则tan ∠ACD= ． 例4．计算：()102cos601212-+︒⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 例5．如图，为了测量旗竿CD 的高度，在平地上选择点A ，用测角仪测得旗竿顶D 的仰角为30°，再在A 、C 之间选择一点B （A 、B 、C 三点在同一直线上）进行测量，已知AB =40m ．(1)若测得∠DBC =60°，则CD = m ；(2)若测得∠DBC =75°，求旗竿CD 的高度（以上结果均保留根号）．例6．如图，点A 、B 在⊙O 上，直线AC 是⊙O 的切线，OC ⊙OB ，连接AB 交OC 于点D ．(1)求证：AC ＝CD ； (2)如果OD ＝1，tan ⊙OCA ＝，求AC 的长．52A C B（第1题） A B C D 30°当堂练习：1．5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列等式一定能成立的有（ ）A ．sinA ＝sinB B ．a ＝c ．sinBC ．sin 2A ＋cos 2B ＝1D ．sin A ＝tanA ．cosA2．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝2， sinA 35=，则弦AB 的长为（ ） A ．45 B ．213 C ．4 D ．25 （第2题）（第3题）3．如图，在顶角为30°的等腰△ABC 中，AB ＝AC ，若过点C 作CD ⊥AB 于点D ．根据图形计算tan ∠BCD ＝ ．4．计算：2cos30° － tan45°－()21tan 60+︒．5. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，AD ＝20．(1)求BC 的长；(2)求BCD ABCS S ∆∆的值．6. 小美和同学一起到游乐场游玩．游乐场的大型摩天轮的半径为20 m ，匀速旋转1周需要12 min ．小美乘坐最底部的车厢(离地面约0.5 m)开始1周的观光，请回答下列问题：（参考数据：≈1.414，3≈1.732）(1)1.5min 后小美离地面的高度是 ▲ m ；(精确到0.1m)(2)摩天轮启动多长时间后，小美离地面的高度将首次达到10.5 m?(3)摩天轮转动一周，小美在离地面10.5m 以上的空中有多长时间？ 2课后作业：1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值为（）A．34B．43C．35D．45（第1题）（第2题）2. （•鄂州）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将⊙ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin⊙ECF=（）A．B．C．D．3．计算：－222cos60°＋1 13-⎛⎫⎪⎝⎭4. 如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)．求教学楼AB的高度．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25）5. （•鄂州）已知点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA=1，AB是⊙O的弦，AB=，连接PB，则PB= 。
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苏教版中考数学总复习
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
中考总复习：锐角三角函数综合复习—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1. 如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( )
A ．sin A
B ．tan A ＝1
2
C ．cosB
D ．tan B
第1题 第2题
2．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D ．若BC=2，则sin∠ACD 的值为（ ）
A B D ．
2
3
3．在△ABC 中，若三边BC 、CA 、AB 满足 BC ∶CA ∶AB=5∶12∶13，则cosB=（ ）
A ．125
B ．5
12 C ．135 D ．1312
4．如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是BC 边上的中线，BD=4，则tan ∠CAD 的值是（ ）
A.2
第4题 第6题
5．（2015•大邑县校级模拟）一个物体从A 点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B ，AB=30米时，物体升高（ ）米．
A．B．3C．D．以上的答案都不对
6．如图，已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（）
A.sinA=cosA
B.sinA＞cosA
C.sinA＞tanA
D.sinA＜cosA
二、填空题
7．若∠α的余角是30°，则cosα的值是 .
8．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.
第8题第12题
9．计算2sin30°﹣sin245°+t an30°的结果是 .
10．已知α是锐角，且sin(α+15°
1
1
4cos( 3.14)tan
3
απα
-
⎛⎫
--++ ⎪
⎝⎭
的值为 .
11．（2015春•茅箭区月考）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为海里．（结果保留根号）
12．如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在CD，HE上，CM=1
2
DM，HN=2NE，HC与NM的延长线交于点
P，则tan∠NPH的值为．
三、解答题
13．如图所示，我市某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5m，现要在C 点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么EB的高为多少米?(结果保留三个有效数字)
14. 已知：如图所示，八年级(1)班数学兴趣小组为了测量河两岸建筑物AB和建筑物CD的水平距离AC，他们首先在A点处测得建筑物CD的顶部D点的仰角为25°，然后爬到建筑物AB的顶部B处测得建筑物CD的顶部D点的俯角为15°30′．已知建筑物AB的高度为30米，求两建筑物的水平距离AC(精确到0.1米)（可用计算器查角的三角函数值）
15．（2015•成都）如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
16. 如图所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD＝2.5m，坝高4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求坝底宽BC.
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D ；
【解析】sinA ＝BC AB ＝12，tan A ＝BC AC ，cosB ＝BC AB ＝1
2
．故选D.
2.【答案】A ；
【解析】在直角△ABC 中，根据勾股定理可得：．
∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠B=∠ACD．
∴ sin∠ACD=sin∠B=
AC
AB =3
， 故选A ．
3.【答案】C ；
【解析】根据三角函数性质 cosB=
=
，
故选C ．
4.【答案】A ；
【解析】∵AD 是BC 边上的中线，BD=4，
∴CD=BD=4，
在Rt △ACD 中，，
∴tan ∠CAD===2．
故选A ．
5.【答案】B ；
【解析】∵坡度为1：7，
∴设坡角是α，则sin α=
=
=
，
∴上升的高度是：30×=3米．故选B ．
6.【答案】B ；
【解析】∵45°＜A ＜90°，
∴根据sin45°=cos45°，sinA 随角度的增大而增大，cosA 随角度的增大而减小， 当∠A ＞45°时，sinA ＞cosA ，故选B ．
二、填空题 7．【答案】
2
1
； 【解析】∠α=90°﹣30°=60°，cos α=cos60°=
2
1．
8．【答案】；
【解析】过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，设小方格的长度为1，
在Rt △ACD 中，AC=
22CD AD +=25,∴sinA=
CD AC .
9．【答案】
21+3
3
； 【解析】2sin30°﹣sin 2
45°+ t an30°=2×21－（2
2）2
+（）2
+
33=1﹣21+33=21+3
3
．
10．【答案】3；
，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式2
﹣1+1+3=3． 11．【答案】40 ；
【解析】解：作PC ⊥AB 于C ，在Rt △PAC 中，
∵PA=80，∠PAC=30°，∴PC=40海里，
在Rt △PBC 中，PC=40，∠PBC=∠BPC=45°， ∴PB=40海里，故答案为：40．
12．【答案】
1
3
； 【解析】∵正方体的棱长为3，点M ，N 分别在CD ，HE 上，CM=
1
2
DM ，HN=2NE ， ∴MC=1，HN=2， ∵DC ∥EH ， ∴
1
2
PC MC PH NH ==， ∵HC=3， ∴PC=3， ∴PH=6， ∴tan ∠NPH=
21
63
NH PH ==，
故答案为：1
3
．
三、解答题
13.【答案与解析】
解：在Rt△BCD中，∠BDC＝40°，DB＝5 m，
∵tan
BC BDC
DB ∠=．
∴BC＝DB·tan∠BDC＝5×tan40°≈4.195(米)．
∴EB＝BC+CE＝4.195+2≈6.20(米)．
14.【答案与解析】
解：如图所示，过D作DH⊥AB，垂足为H．
设AC＝x．
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝25°，
所以CD＝AC·tan∠DAC＝x tan 25°．
在Rt△BDH中，∠BHD＝90°，∠BDH＝15°30′，
所以BH＝DH·tan 15°30′＝AC·tan 15°30′＝x·tan 15°30′．又CD＝AH，AH+HB＝AB，
所以x(tan 25°+tan 15°30′)＝30．
所以
30
40.3
tan25tan1530
x=
'
+
≈
°°
(米)．
答：两建筑物的水平距离AC约为40.3米．
15.【答案与解析】
解：在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，AB=200m，∴BD=AB=100m，
在Rt△CEB中，∵∠CEB=90°，∠CBE=42°，CB=200m，
∴CE=BC•sin42°≈200×0.67=134m，
∴BD+CE≈100+134=234m．
答：缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234m．
16.【答案与解析】
解：背水坡是指AB，而迎水坡是指CD.
过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
由题意可知tanB＝1，tan C＝
1 1.5
，
在Rt△ABE中，AE＝4，tanB＝AE
BE
＝1，∴BE＝AE＝4，
在Rt△DFC中，DF＝AE＝4，tanC＝
1
1.5 DF
CF
，
∴CF＝1．5DF＝1.5×4＝6．
又∵EF＝AD＝2.5，
∴BC＝BE＋EF＋FC＝4＋2.5＋6＝12．5．答：坝底宽BC为12．5 m．。