计算方法——共轭梯度法求解线性方程组
共轭梯度法公式
共轭梯度法公式
共轭梯度法是一种用于求解线性方程组的迭代算法。
其主要思想是通过利用前一次迭代的信息来加速当前迭代的速度，从而减少迭代次数和计算量。
共轭梯度法公式包括以下几个步骤：
1. 初始化：设初始解为x0，残量b0为Ax0-b，共轭方向d0=b0。
2. 迭代求解：对于第k次迭代，计算步长αk，使得xk+1=xk+αkd，其中d是共轭方向，满足dTkAd=0，即d是A的共轭向量。
3. 更新残量：计算新的残量bk+1=Axk+1-b，如果bk+1小于预设精度，则停止迭代。
4. 更新共轭方向：计算新的共轭方向dk+1=bk+1+βkdk，其中βk=(bk+1)Tbk+1/(bk)Tbk，保证dk+1与之前的共轭方向都是A的共轭向量。
5. 重复迭代，直到满足收敛条件，返回最终解xk+1。
共轭梯度法是一种高效的求解大型线性方程组的方法，尤其适用于稀疏矩阵和对称正定矩阵。
公式简单易懂，容易实现，且具有较快的收敛速度。
- 1 -。
共轭梯度法和梯度下降法
共轭梯度法和梯度下降法共轭梯度法和梯度下降法是两种常用的优化算法，它们在解决最优化问题时具有重要的作用。
本文将分别介绍共轭梯度法和梯度下降法的原理、优势和应用领域，并对它们进行比较和总结。
一、共轭梯度法共轭梯度法是一种迭代算法，用于求解线性最小二乘问题或者解线性方程组。
它的核心思想是通过迭代求解一系列的共轭方向，从而不断逼近最优解。
共轭梯度法的优势在于它能够充分利用问题的特殊结构，避免不必要的计算。
相比于梯度下降法，共轭梯度法通常收敛更快，并且对于大规模问题的求解效果更好。
共轭梯度法主要应用于求解线性方程组、最小二乘问题以及特定的优化问题，如信号处理、图像处理和机器学习等领域。
二、梯度下降法梯度下降法是一种基于梯度的迭代优化算法，用于求解无约束最优化问题。
它的核心思想是沿着负梯度方向不断迭代，直至达到最优解或者满足停止条件。
梯度下降法的优势在于它的简单性和易于实现性。
它不需要求解二阶导数，只需要计算一阶导数，因此对于大规模问题的求解也比较高效。
梯度下降法广泛应用于机器学习中的参数优化问题，如线性回归、逻辑回归和神经网络等。
此外，它还可以用于函数拟合、特征选择和降维等领域。
三、共轭梯度法与梯度下降法的比较共轭梯度法和梯度下降法都是常见的优化算法，它们的选择取决于具体的问题和需求。
1. 收敛速度：共轭梯度法通常比梯度下降法收敛更快。
共轭梯度法在每次迭代时利用了前面所有迭代步骤的信息，可以更快地逼近最优解。
2. 内存消耗：梯度下降法只需要存储当前的梯度信息，而共轭梯度法需要存储一系列的共轭方向。
因此，对于大规模问题，梯度下降法在内存消耗方面更具优势。
3. 线性方程组求解：共轭梯度法是一种求解线性方程组的有效方法，而梯度下降法通常不适用于求解线性方程组。
4. 二次型优化问题：共轭梯度法对于二次型优化问题的求解效果更好。
梯度下降法在处理非二次型问题时可能会出现收敛速度慢、局部最优等问题。
共轭梯度法和梯度下降法是两种常用的优化算法。
共轭梯度法步骤
共轭梯度法步骤共轭梯度法是一种求解线性方程组的迭代算法，它以高效稳定的特点而广受欢迎。
以下是共轭梯度法的步骤：步骤1：初始化首先，我们需要有一个初始向量x0和一个初始残量r0=b-Ax0。
其中，A为系数矩阵，b为常数向量。
步骤2：计算方向向量令d0=r0，表示第一次迭代的方向向量。
步骤3：计算步进长度令α0=(r0·r0)/(d0·Ad0)，其中·表示向量的点积。
α0表示迭代过程中每个方向向量的步进长度。
步骤4：更新解向量令x1=x0+α0d0，表示迭代后的解向量。
步骤5：计算新残量令r1=r0-α0Ad0。
步骤6：判断终止条件如果r1的范数小于预设阈值，或者迭代次数达到预设次数，终止迭代。
否则，进入下一次迭代。
步骤7：更新方向向量令β1=(r1·r1)/(r0·r0)，表示更新方向向量的轴线。
步骤8：计算新方向向量令d1=r1+β1d0，表示新的迭代方向向量。
步骤9：计算新的步进长度令α1=(r1·r1)/(d1·Ad1)。
步骤10：更新解向量令x2=x1+α1d1。
步骤11：更新残量令r2=r1-α1Ad1。
步骤12：重复步骤6至11，直至满足终止条件。
总结起来，共轭梯度法的步骤主要包括初始化、计算方向向量、计算步进长度、更新解向量、计算新残量、判断终止条件、更新方向向量、计算新的步进长度、更新解向量和更新残量等。
该算法迭代次数较少，收敛速度快，适用于大规模线性方程组的求解。
解线性方程组的共轭梯度法
１ ＋ ：，ＸＹ∈ ＝０ ］［ １ ｆ “ ０（ ） “ ， ［１ ０］ ，ｘ ，；
ａｌ ０ ｕａ ：
求解 ，验 证 了共轭 梯度 法 的强收 敛性 ，并 给 出 了数值 结 果 。
【）
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１ 方 程 的 离 散
“ ） ， ）＝“ Ｕ ，／ ， ） （＋ 一 ｕ ＋ ） ， ） ／ （ ｉ （ ｈ ｕ— ｉｊ ｈ （ ＝甜】 ２ “ ， （ ＝ Ｍ） ｆ ， ／ （ ．ｌ ２¨＋ 一 ／ …；其次，网格剖分空间区域 ＝ ０１ ［ １，令ｈ “ｊ 一 ｕ “ １ ＋ ） ［ ］ Ｏ】 ，ｘ ， 为步长， ＝ｈ ｊ ， ｉ ，Ｙ ＝ ｈ
第２ ８卷 第 ４期
Ｖｌ１ ８ ０ ．２ Ｎ Ｏ． ４
新 乡学院学报 ：自然科 学版
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｉｎ ｉ ｅ ｓｔ ： ｔ ｒ ｌ ｃ ｅ ｃ ｄ ｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｘ ａ ｇ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ｏ Ｘｉ ｙ Ｓ ｉ
２ １年 ８月 ０ｌ
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方程组 阶数 为 （ ～ ）。此 方程组 的 系数 矩阵 为一大 型稀 疏矩 阵 ，且 为弱对 角 占优 对称 正定 矩阵 。假设方 程 Ⅳ １ 组 是 阶 的 ，则 由 Ｃ Ｇ、Ｃ Ｒ方法可 知 ，最多迭 代 次 就可求 出方 程组 的精确 解 。Ｃ 方法 求解需 要 的迭 代 Ｇ 次 数见表 １ 其 中取初 始值 （ ＝１ ， 。 ． ） ０，且当 ｝ （ ｆ ｝ ｆ Ｉ Ｊ ， ’２ ｂ—Ａ （ ｆ ０ ＝ ｘ ｊ ’２ ＜ｌ 时 ，迭 代终止 。由表 １ 可见 ，随着方程 组 阶数 的不 断增 加 ，Ｃ Ｇ方法 需要 的迭 代 次数也 在 不断 增加 ，从 而计 算 时问 也在不 断 延长 。对 于 Ｃ Ｇ方法 而言 ， 无论 迭代 次数 还是计 算 时间都具 有很 强 的优 势 ，在求 解过程 中 ，Ｃ Ｇ方 法具 有很 高 的计 算效 率 。
共轭梯度法prp
共轭梯度法prp共轭梯度法prp是求解线性方程组Ax=b的一种有效方法，它具有收敛速度快的优点，在计算机科学、经济学等领域被广泛应用。
在本文中，我们将分步骤阐述共轭梯度法prp的原理和算法流程，并探讨它的一些优缺点。
一、共轭梯度法prp的原理：求解线性方程组Ax=b的时候，如果我们采用梯度下降法，每次迭代时都是从当前点xk出发，按照负梯度方向向下移动一定距离得到下一个点xk+1。
如果点的数目很大，那么求解所需的时间也相应很长。
共轭梯度法prp则是在迭代过程中，每一次移动的方向都是共轭的，这样可以提高迭代收敛的速度。
二、共轭梯度法prp的算法流程：共轭梯度法prp的算法过程非常简单，我们可以用以下五个步骤来描述它的基本流程。
1.初始化：设xi=0，ri=b，pi=ri，i=0。
2.迭代：当i＜n时，执行以下操作：（a）计算αi=（ri，pi）/（Api，pi）。
（b）更新：xi+1=xi+αipi。
（c）计算ri+1=ri-αiApi。
（d）选择βi=(ri+1，ri+1)/(ri，ri)。
（e）计算pi+1=ri+1+βipi。
3.输出结果。
三、共轭梯度法prp的优缺点：共轭梯度法prp与梯度下降法相比具有许多优点。
例如，它收敛速度快、计算复杂度低等等。
但是也存在一些缺点。
例如，收敛速度可以很快，但是随着迭代次数的增加，其收敛速度会逐渐变慢，甚至可能陷入振荡状态。
此外，如果矩阵的条件数太大，则共轭梯度法prp 的效果会变得很差，需要使用其他方法来求解方程组。
总之，共轭梯度法prp是求解线性方程组Ax=b的一个优秀方法，它可以提高计算速度和准确度。
尽管存在一些缺点，但共轭梯度法prp 仍是一个值得推崇的算法。
共轭梯度(CG)算法
共轭梯度（CG）算法共轭梯度（Conjugate Gradient, CG）算法是一种用于求解线性方程组的迭代算法。
它主要用于求解对称正定矩阵的线性方程组，如最小二乘问题、PDE（偏微分方程）问题等。
CG算法通过利用矩阵的对称性和正定性，以及向量的共轭关系，实现了高效的求解线性方程组的能力。
CG算法的基本思想是通过一系列共轭的方向，逐步逼近方程组的解。
它利用了矩阵的特性，减少了计算量和存储需求，并且具有较快的收敛速度。
下面将介绍CG算法的原理和过程。
首先，假设我们要求解一个线性方程组Ax=b，其中A是对称正定矩阵，b是已知向量，x是待求解向量。
我们通过迭代的方式逼近x的解，即x(k)。
CG算法的迭代过程如下：1.初始化：选择一个初始解x(0)，设置r(0)=b-Ax(0)，p(0)=r(0)，k=0；2. 迭代计算：计算步长alpha(k)和更新向量x(k+1)：alpha(k) = (r(k)^T * r(k)) / (p(k)^T * A * p(k))x(k+1) = x(k) + alpha(k) * p(k)3. 计算残差向量r(k+1)和比例系数beta(k+1)：r(k+1) = r(k) - alpha(k) * A * p(k)beta(k+1) = (r(k+1)^T * r(k+1)) / (r(k)^T * r(k))4.更新方向p(k+1)：p(k+1) = r(k+1) + beta(k+1) * p(k)5.终止条件判断：如果满足终止条件，停止迭代；否则，令k=k+1，返回步骤2在CG算法中，为了降低数值误差和迭代次数，通常会使用预条件技术，如Jacobi预条件、不完全Cholesky预条件等。
预条件技术可以通过对矩阵进行适当的近似，加速算法的收敛。
CG算法的收敛性和效率主要与矩阵的条件数有关。
对于条件数较大的矩阵，CG算法的迭代次数会增加，收敛速度会减慢。
因此，在实际应用中，通常会选择合适的预条件技术和求解策略，以提高CG算法的效率和稳定性。
解正定线性方程组的CG方法
(x) (Ax b, y) a2 (Ay, y)
2
（2.13）
x （3）设 为方程组（2.11）的解，则对一切 x Rn，有
（x）（x） 1（A（x x），x x）
2
证明：因为x A1b, 所以
则
(x ) 1 ( Ax , x ) (b x )
因为对任意 j 0,1,, k 1,有
k 1
(rk , p j ) pTj ( Axk b) pTj (r0 i Api ) i0 k 1 pTj r0 i pTj Api pTj r0 j pTj Apj i0 pTj r0 pTj rj pTj r0 pTj ( Axj b)
求解正定线性方程组的共轭梯度法 （CG方法）
林华堂、张卜元、吕迪
1.方法简介
共轭梯度法已有五十多年的历史,它最早是由
Hestenes和Stiefel于1952年在求解线性方程组时提出的,
并由Fletcher和Reeves于1964年推广到非线性优化领域.
后,Beale,Powell,Fletcher等著名的优化专家对非线性
令 Sk x x0 u u Lk 。
定理2 从任意一点 x0 出发，得到的点序列
x1, x2 ,具有性质
(xk ) min (x0 u) (u Lk) （2.17）
的充分必要条件是 xk Sk且余量rk和Lk正交，即
(rk ,u) 0 (u Lk )
)
t( Axk
b,
pk
)
t2 2
( Apk
,
pk
计算方法——共轭梯度法求解线性方程组的matlab程序
21
附录 2 生成系数矩阵、右端项以及阶数的 matlab 程序
附录 2 生成系数矩阵、右端项以及阶数的 matlab 程序
clc;clear; n = input('输入系数矩阵的阶数 n： '); A = zeros(n,n); A(1,1:2) = [-2,1]; A(n,n-1:n) = [1,-2]; for i=2:n-1; A(i,i-1:i+1) = [1,-2,1]; end b = zeros(n,1); b(1) = -1; b(n) = -1; csvwrite('d:\data_A.txt',A); csvwrite('d:\data_b.txt',b); csvwrite('d:\data_n.txt',n);
k1附录2生成系数矩阵右端项以及阶数的matlab程序22附录2生成系数矩阵右端项以及阶数的matlab程序clc
计算方法上机报告
附录 1 共轭梯度法求解线性方程组的 matlab 程序
clear;clc; aa = input('\n 请选择系数矩阵、右端项以及系数矩阵阶数的输 入方式：\n 从文件中输入数据输入 1，\n 从命令窗口输入数据请输 入 2。\n'); if aa==1 A = load('d:\data_A.txt'); b = load('d:\data_b.txt'); n = load('d:\data_n.txt'); end if aa==2 A = input('\n 输入系数矩阵 A(对称正定):\n'); b = input('\n 输入线性方程组的右端项 b:\n'); n = input('\n 输入系数矩阵的阶数 n：\n'); end epsilon = input('\n 输入计算要求的精度 epsilon:\n'); x(:,1) = rand(n,1); alpha = zeros(n,1); %给定初始的向量
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1 1
1 0 ，b 2 1 0 1 1 2
计算方法上机报告
矩阵 A 的阶数取 200 进行求解。 由于该线性方程组的系数矩阵阶数比较大，而且具有一定的规律，因此首先用 matlab 编程将系数矩阵、右端项以及阶数保存在 D 盘根目录的三个文件中（生成系数 矩阵， 右端项以及阶数的程序见附录 2） ， 然后运行共轭梯度法程序进行方程组的求解。 最终的运行结果为图 4 和图 5。程序运行之后 D 盘根目录下生成的文件如图 6 所示。
18 9 27 9 1 18 45 0 45 2 ，b A 9 16 0 126 9 27 45 9 135 8
由于该方程组的系数矩阵以及右端项都比较简单，因此采用从 matlab 命令窗口手 动输入的方式来输入数据，取计算精度为 10-6，运行过程及结果如图 2 和图 3（由于迭 代的初始值为随机产生，因此每次得到的残量图会有所不同，但最终都趋于 0） ：
k
k
r d k T k d Ad
k T k
(3)
r ( k 1)T Ad ( k ) d ( k )T Ad ( k )
(4)
经过一系列的证明和简化，最终可得共轭梯度法的计算过程如下，计算程序框图 如图 1。 (1) 给定初始计算向量 x(0)即精度>0； (2) 计算 r(0) = b -Ax(0)，取 d(0) = r(0)； (3) for k =0 to ① k ②
|| r ||2 k k 22 ； || r ||2
d
k 1
r
k 1
k d ；
k
end do
图 1 共轭梯度法求解线性方程组程序框图
1.2 程序使用说明 共轭梯度法求解线性方程组的 matlab 程序见附录 1，该程序可以求解系数矩阵为 对称正定矩阵的线性方程组。在使用该程序时，可将程序复制到 matlab 命令窗口中直 接运行或者复制到编辑窗口中保存运行，运行时刻根据提示输入，直至得到结果。 开始运行程序时，会出现提示“请选择系数矩阵、右端项以及系数矩阵阶数的输
计算方法上机报告
计算方法上机报告
1 共轭梯度法求解线性方程组
1.1 算法原理及程序框图 当线性方程组 Ax = b 的系数矩阵 A 是对称正定矩阵是，可以采用共轭梯度法对该 方程组进行求解，可以证明，式(1)所示的 n 元二次函数 1 f ( x ) x T Ax bT x (1) 2 取得极小值点 x*是方程 Ax = b 的解。共轭梯度法是把求解线性方程组的问题转化为求 解一个与之等价的二次函数极小化的问题。从任意给定的初始点出发，沿一组关于矩 阵 A 的共轭方向进行线性搜索，在无舍入误差的假定下，最多迭代 n 次（其中 n 为矩 阵 A 的阶数） ，就可求得二次函数的极小点，也就求得线性方程组 Ax = b 的解。其迭 代格式为公式(2)。
x( k 1) x( k ) k d ( k )
(2)
(k)
共轭梯度法中关键的两点是迭代格式(2)中最佳步长k 和搜索方向 d
(k) (k)
的确定。其
中k 可以通过一元函数f(x +d )的极小化来求得，其表达式为公式(3)；取 d (0) = r(0) = b-Ax(0)，则 d(k+1) = r(k+1) +kd(k)，要求 d(k+1)满足 (d(k+1) , Ad(k)) = 0，可得k 的表达 式(4)。
3
1 共轭梯度法求解线性方程组
图 2 命令窗口显示的运行结果
25
20
15
残量
10 5 0 1
1.5
2
2.5
3
迭代步数
图 3 残量随迭代步数的变化
(2) 《数值分析》课本第 113 页的计算实习题 3.2，用共轭梯度法求解线性方程组 Ax = b，其中
2 1 1 2 A
2
计算方法上机报告
入方式：从文件中输入数据输入 1，从命令窗口输入数据请输入 2。 ”此时需要选择数 据输入的方式（方式 1 和方式 2） ，即文件输入（选择 1）或者手动输入（选择 2） 。当 线性方程组 Ax = b 的系数矩阵的阶数较大时，将该系数矩阵 A、右端项 b 以及系数矩 阵的阶数 n 保存为 txt 格式放在 D 盘的根目录下并分别命名为 data_A、 data_b 和 data_n， 并输入 1 选择文件输入。若系数矩阵 A 的阶数较小，使用手动输入工作量小时，可在 命令框中输入 2 选择手动输入。选择手动输入时需要输入系数矩阵 A、右端项 b 以及 系数矩阵的阶数 n 这三个量，其输入格式与 matlab 中矩阵、列向量和数的输入格式要 求相同。A=[aij]n×n 的输入格式为[a11,a12,…,a1n;a21,a22,…,a2n;…;an1,an2,…,ann]，b=(bi)T 的 输入格式为[b1;b2;…;bn]， n 直接输入对应的数值即可。 定义完需要求解的线性方程组之 后，接下来会出现提示“输入计算要求的精度 epsilon： ” ，按照提示输入精度值，如要 求的精度为 10-6 时输入 1e-6 即可。以上数据的输入全部完成，每次按提示输入完成时 按 Enter 键继续下一步。在程序运行过程中，屏幕上会显示残差||r||2 随着迭代步数的变 化散点图，程序运行完成之后，matlab 命令窗口会显示线性方程的解 x，同时该解会被 保存到 D 盘根目录下名为 data_x_result 的 Excel 文件中，方便之后的数据处理（注意 在求解一个新方程组之前查看 D 盘根目录，将上次得到的文件删除，以免影响本次计 算的结果） 。 1.3 算例计算结果 (1) 《数值分析》课本第 29 页的例题 2.2.2，下面采用共轭梯度法来求解线性方程 组 Ax = b，其中
图 4 命令窗口显示的运行结果
1.6 1.4 1.2 1
残量
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 20 40 60 80 100
迭代步数
图 5 残量随迭代步数的变化
图 6 程序运行后 D 盘根目录下生成的文件
5
k T
n-1 do
k
r r ； k T k d Ad
xkLeabharlann 1 x k d ；
k k
1
1 共轭梯度法求解线性方程组
③
r
k 1
b Ax
k 1
k 1
；
④ 若 || r k 1 || 或 k 1 n ，则输出近似解 x(k+1)，停止；否则，转⑤； ⑤ ⑥