大型复线性方程组预处理双共轭梯度法
稳定双共轭梯度法
稳定双共轭梯度法
稳定双共轭梯度法（Stabilized BiConjugate Gradient Method，简称SBiCG）是一种解决线性方程组问题的迭代法。
在数值计算中，解决大规模线性方程组的问题是非常常见和重要的，因此研究和发展解决线性方程组的迭代算法也是很有必要的。
SBiCG方法是对传统的双共轭梯度法（BiCG）的改进，主要是为了提高算法的稳定性和收敛性。
在BiCG方法中，由于两个反向方向的向量可能相互“干扰”，导致算法出现振荡现象，从而导致算法不能收敛。
而SBiCG方法通过增加一个平滑因子，将两个反向方向的向量“平滑”起来，从而达到提高算法稳定性和收敛性的目的。
SBiCG算法与BiCG算法在并行计算上没有太大差别，但是在迭代次数和算法收敛速度上，SBiCG方法明显优于BiCG方法。
因为SBiCG方法加入了平滑因子的概念，使得算法的稳定性和收敛性有了很大提高。
在实际应用中，SBiCG方法已经广泛应用于矩阵计算、图像处理、有限元分析等领域中。
最后，需要指出的是，SBiCG方法虽然较BiCG方法在稳定性和收敛性方面更加优秀，但是其计算量较大，需要较高的内存和计算资源。
同时，在实际应用中，也需要根据不同的问题特点和计算资源来选择适合的迭代方法。
预处理共轭梯度法
预处理共轭梯度法引言预处理共轭梯度法是一种用于解决线性方程组问题的迭代方法。
它在处理大规模稀疏方程组时表现出色，相比于传统的直接解法更具有高效性和稳定性。
本文将对预处理共轭梯度法进行全面、详细、完整且深入地探讨。
什么是共轭梯度法共轭梯度法是一种迭代优化方法，用于求解对称和正定的线性方程组Ax=b。
它的基本思想是通过找到一组相互”共轭”的搜索方向来加速迭代过程。
预处理共轭梯度法的介绍预处理共轭梯度法是对共轭梯度法的改进和优化。
它通过在每一步迭代中应用预处理矩阵M来加速收敛过程。
预处理矩阵通常是原方程系数矩阵A的逆或近似逆。
预处理共轭梯度法的核心算法可以分为以下几个步骤：步骤1：初始化•设定初始解x0和残差r0=b-Ax0。
•计算初步搜索方向d0=M*r0。
步骤2：迭代计算•对于第k次迭代：–计算步长αk。
–更新解：xk+1 = xk + αk * dk。
–计算新的残差：rk+1 = rk - αk * Adk。
–计算新的搜索方向：dk+1 = Mk+1 * rk+1。
步骤3：收敛判断•判断残差rk+1的范数是否满足收敛条件，若满足则终止迭代。
预处理矩阵的选择预处理矩阵的选择是预处理共轭梯度法的关键。
常见的预处理矩阵选择方法有以下几种：1. 不完全因式分解预处理不完全因式分解预处理是通过对系数矩阵的若干个元素进行保留或丢弃，得到一个近似逆矩阵。
常见的不完全因式分解预处理方法有不完全LU分解、不完全Cholesky分解等。
2. 迭代求解预处理迭代求解预处理方法是通过迭代方法求解预处理矩阵的逆。
常见的迭代求解预处理方法有Jacobi预处理、Gauss-Seidel预处理等。
3. 基于特征值的预处理基于特征值的预处理方法是通过对系数矩阵的特征值进行分析，选择适当的预处理矩阵。
常见的基于特征值的预处理方法有谱条件预处理、谱平滑预处理等。
预处理共轭梯度法的收敛性和稳定性预处理共轭梯度法相比于传统的共轭梯度法在收敛速度和稳定性方面有显著的改进。
.预处理共轭梯度法
.预处理共轭梯度法
预处理共轭梯度法是一种用于求解大规模线性方程组的迭代方法。
它结合了共轭梯度法和预处理技术，能够加快求解速度并提高收敛性能。
预处理共轭梯度法的基本步骤如下：
1. 选择一个合适的预处理矩阵M，将原始的线性方程组Ax=b 转化为M^{-1}Ax=M^{-1}b。
2. 初始化向量x_0和残差向量r_0=b-Ax_0，其中x_0是任意一个近似解，通常选择零向量。
3. 初始化搜索方向向量p_0=r_0，计算预处理残差向量
z_0=M^{-1}r_0。
4. 对于k=0,1,2,...,直到满足停止准则为止，执行以下步骤：
a. 计算搜索方向向量p_k。
b. 计算步长\alpha_k。
c. 更新近似解向量x_{k+1}=x_k+\alpha_k p_k。
d. 更新残差向量r_{k+1}=r_k-\alpha_k Ap_k。
e. 计算预处理残差向量z_{k+1}=M^{-1}r_{k+1}。
f. 计算搜索方向向量p_{k+1}=z_{k+1}+\beta_{k+1}p_k，其中\beta_{k+1}由Fletcher-Reeves公式计算。
5. 输出近似解向量x_k作为原始线性方程组的解。
预处理矩阵M的选择是预处理共轭梯度法的关键之一，不同的预处理矩阵会对求解速度和收敛性能产生不同的影响。
常用的预处理矩阵有Jacobi预处理、Gauss-Seidel预处理、不完全Cholesky分解预处理等。
预处理共轭梯度法具有很好的数值稳定性和收敛性能，尤其适用于求解大规模稀疏线性方程组。
解线性方程组的共轭梯度法
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求解 ，验 证 了共轭 梯度 法 的强收 敛性 ，并 给 出 了数值 结 果 。
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１ 方 程 的 离 散
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第２ ８卷 第 ４期
Ｖｌ１ ８ ０ ．２ Ｎ Ｏ． ４
新 乡学院学报 ：自然科 学版
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｉｎ ｉ ｅ ｓｔ ： ｔ ｒ ｌ ｃ ｅ ｃ ｄ ｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｘ ａ ｇ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ｏ Ｘｉ ｙ Ｓ ｉ
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方程组 阶数 为 （ ～ ）。此 方程组 的 系数 矩阵 为一大 型稀 疏矩 阵 ，且 为弱对 角 占优 对称 正定 矩阵 。假设方 程 Ⅳ １ 组 是 阶 的 ，则 由 Ｃ Ｇ、Ｃ Ｒ方法可 知 ，最多迭 代 次 就可求 出方 程组 的精确 解 。Ｃ 方法 求解需 要 的迭 代 Ｇ 次 数见表 １ 其 中取初 始值 （ ＝１ ， 。 ． ） ０，且当 ｝ （ ｆ ｝ ｆ Ｉ Ｊ ， ’２ ｂ—Ａ （ ｆ ０ ＝ ｘ ｊ ’２ ＜ｌ 时 ，迭 代终止 。由表 １ 可见 ，随着方程 组 阶数 的不 断增 加 ，Ｃ Ｇ方法 需要 的迭 代 次数也 在 不断 增加 ，从 而计 算 时问 也在不 断 延长 。对 于 Ｃ Ｇ方法 而言 ， 无论 迭代 次数 还是计 算 时间都具 有很 强 的优 势 ，在求 解过程 中 ，Ｃ Ｇ方 法具 有很 高 的计 算效 率 。
双共轭梯度法
双共轭梯度法
双共轭梯度法是一种用来加快求解最优解的迭代算法。
它被广泛应用于许多优化问题中，包括定义线性系统，特别是大型稀疏矩阵系统。
该算法最初源自于梯度下降法，但其迭代过程更快，因此有时也被称为快速梯度下降法。
双共轭梯度法实质上是一个二阶泰勒级数展开，它比一般的梯度下降法更有效，因为它不仅考虑当前梯度，而且还考虑前迭代的梯度，从而更有效的搜索最优点。
双共轭梯度法的迭代过程如下：首先，计算目标函数的梯度，然后根据当前的梯度和上一步的梯度来更新搜索的方向，然后沿着这个方向搜索，即求解此时此刻最大步长所对应的点，直到达到最优点或者达到限定的最大迭代次数。
共轭梯度法
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由定理5.18，CG法最多迭代n次得到精确解
一方面，因舍入误差，n次迭代不一定得到精确解 另一方面，对大型方程组，n次迭代的工作量仍太大 实际上，通过比较当前残量rk的范数和初始残量r0的 范数，来判断是否终止迭代
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int main(){ double A[2][2]={{6,3}, {3,2}}; double b[2]={0,-1}, x[2]={0,0}, r[2], r_p[2], p[2], Ap[2]; double alpha, beta; int i,j,k; for(i=0; i<2; i++) p[i] = r[i] = b[i] - (A[i][0]*x[0] + A[i][1]*x[1]); for(k=1; k<=2; k++){ for(i=0; i<2; i++) Ap[i] = A[i][0]*p[0] + A[i][1]*p[1]; alpha = (r[0]*r[0] + r[1]*r[1]) / (Ap[0]*p[0] + Ap[1]*p[1]); for(i=0; i<2; i++) x[i] = x[i] + alpha*p[i]; for(i=0; i<2; i++){ r_p[i] = r[i]; r[i] = b[i] - (A[i][0]*x[0] + A[i][1]*x[1]); } beta = (r[0]*r[0] + r[1]*r[1]) / (r_p[0]*r_p[0] + r_p[1]*r_p[1]); for(i=0; i<2; i++) p[i] = r[i] + beta*p[i]; printf("k=%2d, ", k); for(i=0; i<2; i++) printf("x%d=%6.2f, ", i, x[i]); printf("\n"); } }
共轭梯度法原理
共轭梯度法原理共轭梯度法是线性代数中一种求解稀疏矩阵下的大规模线性方程组的方法。
它的优点是它具有迭代次数小的特点，同时也能得到比较准确的解。
共轭梯度法基于梯度下降法，但是避免了梯度下降法的缺点。
梯度下降法每一次迭代都需计算整个向量的梯度，这在高纬度数据中非常复杂，同时使用步长较大时又容易产生来回震荡的现象。
共轭梯度法的优点是在每一次迭代都会寻找一个与上次方向不同的方向，这点可以消除梯度下降法的缺陷。
令A为若干个线性矩阵的乘积，如果我们要解矩阵方程Ax=b，其中b是已知向量，求解的x向量是未知向量。
首先，我们可以用梯度下降法求出一个初值向量x0，称之为迭代初始值。
然后，我们可以利用高斯打乘法和高斯消元得到向量P，并设向量R0=Ax0-b，然后再设P逆矩阵为Pt。
共轭梯度法迭代的主要步骤如下：1. 根据目标函数和梯度函数确定初值x0；2. 初始化残差向量r0=b-Ax0，并设置迭代数k=0；3. 设置搜索方向向量p0=r0；4. 使用一维搜索方法（如Armijo步长准则）寻找最优步长αk；5. 将搜索方向向量移动到新的位置：xk+1=xk+αkp，计算新的残差rk+1=rk+αkAp；6. 如果rk+1=0或者迭代次数已达到设定值，则停止迭代；否则：7. 确定下一个搜索方向pk+1，并重复步骤4-6直到满足收敛条件。
共轭梯度法迭代的优点是每一步都在原解空间的一个线性子空间中求解，因此不需要保存全部解向量，从而大大减少了计算量和存储空间，特别适用于高纬度的线性方程组的求解。
在参数优化、图像处理和物理模拟等领域中广泛应用。
在参数优化中，共轭梯度法可以加速大规模函数的梯度计算，从而加快参数搜索的速度；在图像处理中，共轭梯度法常用于求解稀疏线性系统，例如图像压缩、图像去噪和图像恢复等；在物理模拟中，共轭梯度法可以用于求解偏微分方程组、流体力学问题和计算机视觉等领域。
双共轭梯度法预处理
双共轭梯度法预处理引言：在数值计算中，求解线性方程组是一项基本任务。
而对于大规模的稀疏矩阵，传统的直接法往往会面临存储和计算量极大的挑战。
因此，研究高效的迭代方法成为了求解线性方程组的重要课题之一。
双共轭梯度法预处理就是其中一种被广泛应用的方法。
1. 双共轭梯度法简介双共轭梯度法（Bi-Conjugate Gradient, BiCG）是一种迭代求解线性方程组的方法。
它是对共轭梯度法的扩展，适用于非对称且不正定的线性方程组。
与共轭梯度法类似，双共轭梯度法通过迭代逼近线性方程组的解。
该方法的收敛速度比传统的迭代方法更快。
2. 双共轭梯度法预处理的概念双共轭梯度法预处理是在双共轭梯度法的基础上引入预处理操作，以提高求解线性方程组的效率。
预处理是在求解过程中对矩阵进行变换，使得变换后的矩阵更易于求解。
预处理的目的是减小矩阵的条件数，从而加快求解的速度。
3. 双共轭梯度法预处理的原理双共轭梯度法预处理的基本原理是通过左右预处理矩阵的共轭来加速收敛过程。
左预处理通过将方程组左乘一个预处理矩阵，将原方程组转化为一个条件数较小的方程组。
右预处理则是通过将方程组右乘一个预处理矩阵，同样可以减小方程组的条件数。
左右预处理结合使用可以更好地加速收敛过程。
4. 双共轭梯度法预处理的步骤双共轭梯度法预处理的步骤如下：（1）选择一个合适的预处理矩阵，可以根据问题的特点和需求进行选择。
（2）进行左预处理，将原方程组左乘预处理矩阵，得到一个新的方程组。
（3）进行右预处理，将新方程组右乘预处理矩阵，得到一个进一步减小条件数的方程组。
（4）使用双共轭梯度法求解新的方程组，得到近似解。
（5）通过迭代，逐步逼近线性方程组的解。
5. 双共轭梯度法预处理的应用双共轭梯度法预处理在科学计算领域有着广泛的应用。
它可以用于求解各种类型的线性方程组，如流体力学模拟中的稀疏矩阵求解、图像处理中的图像恢复等。
通过选择合适的预处理矩阵，可以大大提高求解效率。
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万方数据
万方数据
大型复线性方程组预处理双共轭梯度法
作者：张永杰， 孙秦， ZHANG Yong-jie， SUN Qin
作者单位：西北工业大学航空学院,西安,710072
刊名：
计算机工程与应用
英文刊名：COMPUTER ENGINEERING AND APPLICATIONS
年，卷(期)：2007,43(36)
被引用次数：1次
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本文链接：/Periodical_jsjgcyyy200736007.aspx。