共轭梯度法的预处理
预处理共轭梯度
预处理共轭梯度预处理共轭梯度是一种用于解决线性方程组问题的迭代算法，它在解决大规模问题时具有极高的效率和可靠性。
本文将介绍预处理共轭梯度算法的原理、基本步骤和优点等内容。
一、预处理共轭梯度算法的原理预处理共轭梯度算法是一种求解线性方程组Ax=b的迭代算法。
它是共轭梯度算法的一种改进，利用预处理矩阵M-1将原矩阵A进行预处理，使得求解线性方程组的收敛速度更快。
预处理矩阵M-1的选取通常需要满足两个条件：M-1必须易于求解，并且M-1与A的条件数应该较小，以保证算法的稳定性。
二、预处理共轭梯度算法的基本步骤预处理共轭梯度算法的基本步骤如下：1. 给定线性方程组Ax=b，设初值x0，残量r0=b-Ax0，设P0=M-1r0，初始共轭方向为d0=P0。
2. 循环执行以下步骤：（1）计算Adi，计算当前步长αi=rTi di/ diT Adi，更新解向量x=x+αi di。
（2）计算残量ri+1=ri-αi Adi，如果ri+1尺度小于某个精度要求，则跳转到第5步。
（3）利用预处理矩阵M-1，计算Pi+1=M-1 ri+1。
（4）计算βi+1=ri+1Ti+1 Pi+1/ riTi，更新共轭方向di+1=Pi+1+βi+1di。
（5）如果达到精度要求或迭代次数到达预设值，则停止迭代。
三、预处理共轭梯度算法的优点预处理共轭梯度算法相比于共轭梯度算法有如下优点：1. 收敛速度更快：预处理共轭梯度算法通常只需要很少的迭代次数即可达到预设的精度要求。
2. 内存占用低：预处理共轭梯度算法只需要存储一些预处理矩阵的信息，内存占用相比于直接求解矩阵A要少得多。
3. 适用于大规模问题：由于预处理矩阵通常是稀疏矩阵，而且其尺寸相对于矩阵A要小得多，因此预处理共轭梯度算法适用于解决大规模问题。
四、总结预处理共轭梯度算法是解决线性方程组问题的一种高效迭代算法，它在解决大规模问题时具有明显的优势。
在实际应用中，预处理共轭梯度算法和其他一些线性方程组求解算法通常结合使用，以达到更好的效果。
共轭梯度法步骤
共轭梯度法步骤共轭梯度法是一种求解线性方程组的迭代算法，它以高效稳定的特点而广受欢迎。
以下是共轭梯度法的步骤：步骤1：初始化首先，我们需要有一个初始向量x0和一个初始残量r0=b-Ax0。
其中，A为系数矩阵，b为常数向量。
步骤2：计算方向向量令d0=r0，表示第一次迭代的方向向量。
步骤3：计算步进长度令α0=(r0·r0)/(d0·Ad0)，其中·表示向量的点积。
α0表示迭代过程中每个方向向量的步进长度。
步骤4：更新解向量令x1=x0+α0d0，表示迭代后的解向量。
步骤5：计算新残量令r1=r0-α0Ad0。
步骤6：判断终止条件如果r1的范数小于预设阈值，或者迭代次数达到预设次数，终止迭代。
否则，进入下一次迭代。
步骤7：更新方向向量令β1=(r1·r1)/(r0·r0)，表示更新方向向量的轴线。
步骤8：计算新方向向量令d1=r1+β1d0，表示新的迭代方向向量。
步骤9：计算新的步进长度令α1=(r1·r1)/(d1·Ad1)。
步骤10：更新解向量令x2=x1+α1d1。
步骤11：更新残量令r2=r1-α1Ad1。
步骤12：重复步骤6至11，直至满足终止条件。
总结起来，共轭梯度法的步骤主要包括初始化、计算方向向量、计算步进长度、更新解向量、计算新残量、判断终止条件、更新方向向量、计算新的步进长度、更新解向量和更新残量等。
该算法迭代次数较少，收敛速度快，适用于大规模线性方程组的求解。
预处理共轭梯度法
预处理共轭梯度法引言预处理共轭梯度法是一种用于解决线性方程组问题的迭代方法。
它在处理大规模稀疏方程组时表现出色，相比于传统的直接解法更具有高效性和稳定性。
本文将对预处理共轭梯度法进行全面、详细、完整且深入地探讨。
什么是共轭梯度法共轭梯度法是一种迭代优化方法，用于求解对称和正定的线性方程组Ax=b。
它的基本思想是通过找到一组相互”共轭”的搜索方向来加速迭代过程。
预处理共轭梯度法的介绍预处理共轭梯度法是对共轭梯度法的改进和优化。
它通过在每一步迭代中应用预处理矩阵M来加速收敛过程。
预处理矩阵通常是原方程系数矩阵A的逆或近似逆。
预处理共轭梯度法的核心算法可以分为以下几个步骤：步骤1：初始化•设定初始解x0和残差r0=b-Ax0。
•计算初步搜索方向d0=M*r0。
步骤2：迭代计算•对于第k次迭代：–计算步长αk。
–更新解：xk+1 = xk + αk * dk。
–计算新的残差：rk+1 = rk - αk * Adk。
–计算新的搜索方向：dk+1 = Mk+1 * rk+1。
步骤3：收敛判断•判断残差rk+1的范数是否满足收敛条件，若满足则终止迭代。
预处理矩阵的选择预处理矩阵的选择是预处理共轭梯度法的关键。
常见的预处理矩阵选择方法有以下几种：1. 不完全因式分解预处理不完全因式分解预处理是通过对系数矩阵的若干个元素进行保留或丢弃，得到一个近似逆矩阵。
常见的不完全因式分解预处理方法有不完全LU分解、不完全Cholesky分解等。
2. 迭代求解预处理迭代求解预处理方法是通过迭代方法求解预处理矩阵的逆。
常见的迭代求解预处理方法有Jacobi预处理、Gauss-Seidel预处理等。
3. 基于特征值的预处理基于特征值的预处理方法是通过对系数矩阵的特征值进行分析，选择适当的预处理矩阵。
常见的基于特征值的预处理方法有谱条件预处理、谱平滑预处理等。
预处理共轭梯度法的收敛性和稳定性预处理共轭梯度法相比于传统的共轭梯度法在收敛速度和稳定性方面有显著的改进。
一种基于预处理共轭梯度法的给水管网水力计算方法
一种基于预处理共轭梯度法的给水管网水力计算方法王美香【摘要】提出了一种新的给水管网水力计算方法．该方法对给水管网系统的节点流量连续性方程进行重新构造，用改进的Cholesky分解方法对重新构造的矩阵进行三角分解，然后使用预处理共轭梯度法求解．经用供水管网模型进行验证并与EPANET软件的计算结果进行比较，结果表明：该算法共迭代5次，用时0．102 s，与EPANET混合节点-环方法的求解精度和速度非常接近，且弥补了EPA-NET 软件的应用缺陷，可用于求解大型城市的给水管网系统．%A calculation method of water distribution network hydraulic was proposed.The nodes flow conti-nuity equation of water distribution system was reconstructed,the reconstructed matrix was decomposed tri-angularly by a modified Cholesky decomposition method,and thus it was suitable for the use of precondi-tioned conjugate gradient method.It was tested by the model of water distribution network(WDN)pared with calculation result of EPANET software,the proposed algorithm does total iteration five times in 0.1 02 s,which closed to the result of mixed node-ring method used in EPANET software in the as-pect of accuracy and speed.The proposed algorithm overcame the defects of EPANET software,which could be used to solve large-scale urban water supply network system.【期刊名称】《郑州轻工业学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】5页(P92-96)【关键词】给水管网水力计算方法;预处理共轭梯度法;Cholesky分解;混合节点-环方法【作者】王美香【作者单位】郑州旅游职业学院基础部，河南郑州 450009【正文语种】中文【中图分类】O022;TU991随着城市化进程的加快，供水问题成为当前影响我国经济社会可持续发展的问题之一，实现供水管理的科学化和现代化是解决供水问题的有效途径.给水管网水力计算一直都是给水管网研究领域的重要课题［1-3］，因为水力计算是管网规划、设计及动态运行管理的科学依据［4-6］.特别是，供水管网的优化调度，更需要一种快速的水力计算方法来提高调度的实时性.根据求解的未知量是管段流量还是节点水压，水力计算算法可分为解环方程组法、解管段方程组法和解节点方程组法.其中，解环方程组法仅限于解决方程个数较少的手工列表计算;解管段方程组法计算过程太复杂，工程实际中极少使用［7］.目前常用的计算软件EPANET，采用混合节点-环方法求解给定时间点给水管网水力状态的节点流量连续性和管段水头损失.EPANET是由美国环保总署开发的主要用于有压给水管网系统(包括水库、水泵、水池、泵站等)的水力水质计算软件［8-9］，它可以对有压给水管道的水力特性以及水质特性变化进行长时间动态仿真模拟，具有管网水力计算、工况运行模拟、基本信息管理、仿真运行管理等功能，运用EPANET可以实现给水管网模型基本图形录入的可视化操作.该软件计算速度快、准确性高，但其结果显示有局限性，运行结果1次只能看到1个属性信息，且该软件仅限于教学和科研使用，尚不能商用.鉴于此，本文基于预处理共轭梯度法，运用解节点方程组法将非线性问题转化为线性问题，然后通过计算机编程用迭代法求解，从而达到对给水管网系统进行快速水力计算的目的.给水管网系统是一类规模巨大且运行工况复杂多变的网络系统，通常将其简化、抽象和标识为便于使用图形和数据表达与分析的应用系统，包括给水管网系统中各组成部分的拓扑连接关系、工程属性、水力特性等，常称为给水管网模型［10］.本文应用预处理共轭梯度法求解给水管网模型相关问题.经过简化，可将给水管网系统问题转化为数学问题，最终将计算结果应用到实际中去.通常，简化应满足宏观等效原则和可容忍小误差原则.简化后的给水管网需要进一步抽象成为仅由管段和节点组成的管网模型，用图论中的关联矩阵来刻画，记为A=(aij).考虑设定了初始方向的给水管网图，则关联矩阵中的每个元素aij可表示为其中，i=1，2，…，nJ，j=1，2，…，nP.显然，对于较大规模的城市给水管网，相应的给水管网图是一个稀疏图，其关联矩阵是一个nJ×nP的稀疏矩阵.类似地，可建立其环路矩阵.给水管网的水力特性是指管网模型中节点和管段传递、输送流量和能量的特性，其理论基础是质量守恒定律、能量守恒定律和动量守恒定律.通常分析给水管网水力特性时，仅考虑质量守恒定律和能量守恒定律.笔者将采用解节点方程法来获得给水管网系统的水力特性参数.综合考虑节点流量连续性方程组、环能量方程组和管段压降方程组，则可以用向量方式将给水管网水力特性方程组简写为显然，上式是以节点水头为自变量的节点方程，而且是线性表达式，在实际求解过程中须采用迭代方式实现，即上述方程的求解过程是一个迭代过程，需要拟定管段的初始流量，但不需要拟定节点的初始水头.从迭代的角度来说，如果初始流量分配不当，可能会增加迭代次数，但一般不会导致不收敛.因为在实际的给水系统中，当给定某种工况时，一定存在一种确定的供水状态，即节点水头是存在的、确定的. 无约束最优化问题一直都是学术界的研究热.由此，M.R.Hestenes 等［18］的方法也可视为求二次函数极小值的共轭梯度法.1964 年，R.Fletcher等［19］将此方法推广到非线性优化，得到了求一般函数极小值的共轭梯度法.共轭梯度法是一种实用的线性方程组迭代求解方法:先用解节点方程法把复杂的非线性的管网稳态方程组转化为比较简单的线性表达式，然后用迭代法求解.这是一种适合计算机实现的管网水力计算方法.在公式①中，当未知量全为节点水压时，方程组的系数矩阵AM-1 A T是一个NJ×NJ的对称正定阵，且具有弱主对角优势.对于大型给水管网，该系数矩阵是稀疏的，通常其非零元占元素总数不到5%.数值计算领域的研究表明［19］:对于高阶的此类方程组，由于其系数具有大型稀疏特点，且对称正定，适合采用预处理共轭梯度法来求解;对于一般病态的大型稀疏矩阵，共轭梯度法只需远小于N(N为矩阵阶数)次迭代就可以得到满足精度要求的数值解;如果矩阵病态较严重，则可以使用预处理方法改善其条件，加快迭代的收敛速度.当未知量中既含有节点水头又含有节点流量时，就必须构造一个类似于①的方程组，使其系数矩阵为对称正定阵. 2.1 给水管网水力特性方程组系数矩阵的对称正定预处理设给水管网模型中流量已知而水头未知的节点集合为J(D)，节点个数为CD;流量未知而水头已知的节点集合为J(UD)，节点个数为CUD.设节点集合J(D)的关联矩阵、节点水头和节点流量分别为A D，H D和Q D，节点集合J(UD)的关联矩阵、节点水头和节点流量分别为A UD，H UD和Q UD.则节点流量连续性方程组又可以表示为点之一［11-14］，共轭梯度法及其各种改进算法都属于无约束最优化问题的求解方法［15-17］.共轭梯度法最早是由计算数学家 M.R.Hestenes等［18］于 1950 年代初为求解线性方程组A x=b(x∈Rn)而提出的.当A为对称正定阵时，上述线性方程组等价于最优化问管段能量方程A T H=h也可以改写为在方程④中，当未知向量H D已知时，方程⑤中的未知量为Q UD.在给水管网水力计算的每次迭代求解过程中，都将生成形如式④⑤的线性方程组.在规模较大的市政给水管网系统中，通常CD都较大，因此系数矩阵˜A是一个大型稀疏矩阵，其条件数非常大.为保证处理后的方程组仍具有对称正定性，需要寻求预处理对称正定阵M=WW T，其中W为非奇异矩阵，使得其中，˜A^=W-1 AW-T，^x=W T x，^b=W-1 b，且˜A^的条件数得到较大改善.经过预处理后的给水管网水力计算特性方程组可在较少的迭代次数内收敛.所以，预处理矩阵M的选取是给水管网快速水力计算的关键，这是一个矩阵分解的问题. 满足上述要求的对称正定阵M的预处理方法较多［20-21］.在给水管网水力特性方程组中，其系数矩阵为正定矩阵，而Cholesky分解方法和改进的Cholesky分解方法是专门针对正定矩阵的三角分解提出的，其优点是不用选取主元，不会产生因中间量放大使计算不稳定的显现.本文预处理后的系数矩阵˜A是对称正定的，因此，将采用改进的Cholesky分解方法来实现.注意到˜A是大型稀疏矩阵，W具有与˜A相同的稀疏特性.2.2 基于预处理共轭梯度法的给水管网水力特性方程组求解根据公式⑤的描述，设r(x)=b-˜A x，则给水管网水力计算问题可以等价地转换为无约束多维最优极值问题:为了验证本文提出算法的有效性，以一个具有760个节点、880条管段和3个水源的给水管网模型为例进行分析.模型的拓扑结构示意图如图1所示.计算过程各参数设置如下:设定某时段的总供水量为162 513 0 m3，并预分配各节点的流量，水源A和水源B的流量分别为800 m3和1 289 m3，相应地面标高为9.6 m和6.43 m，水源C的地面标高为14 m，其出厂压力给定为36 m.为了使用EPANET软件进行计算，需要在EPANET中将水源A和B分别设定为普通节点.2种计算方法中迭代误差均设置为20 m3/h.经计算后，本文算法共迭代5次，计算时间0.102 s，EPANET共迭代5次，计算时间0.1 s.2种方法对节点自由水头和管段水力坡降计算结果的相对误差均小于0.005.因此，本文算法是可行的，在迭代次数与计算时间上均与EPANET相差不大.本文设计了一种基于预处理共轭梯度法的给水管网水力计算的数值求解方法.数值算例结果表明，本文提出的算法具有较好的实时性和准确性，在迭代次数与计算时间上均与EPANET相差不大，可用于大型城市给水管网系统给水管网规划、给水管网改造等水力计算与分析.本算法能否进一步优化、能否应用于电网系统，还有待深入研究.【相关文献】［1］ Basha H A，Malaeb L N.Eulerian-Lagrangian method for constituent transport in water distribution networks［J］.Journal of Hydraulic Engineering，2007(10):1155.［2］陆际汉.给水管网平差精确计算法——水力比拟法［J］.中国给水排水，2010，26(24):62. ［3］陈喆，俞国平.给水管网双向流管段水力计算分析［J］.苏州科技学院学报:工程技术版，2012，25(3):9.［4］赵洪宾.给水管网系统理论与分析［M］.北京:中国建筑工业出版社，2003.［5］段焕丰.城市供水系统动态建模技术研究［D］.上海:同济大学，2006.［6］王国栋，俞国平.管段重要性指数在水力模型校核中的应用［J］.苏州科技学院学报:工程技术版，2007，20(1):53.［7］彭永臻，崔福义.给水排水工程计算机应用［M］.2版.北京:中国建筑工业出版社，2002. ［8］ Rossman L A，Boulos P，Altman T.Discrete volume-element method for network water-quality models［J］.Water Resour Plann Manage，1993，119(5):505.［9］Rossman L A.EPANET 2 User’s Manual［M］.Cincinnati:National Risk Management Research Laboratory(U.S.Environmental Protection 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.预处理共轭梯度法
.预处理共轭梯度法
预处理共轭梯度法是一种用于求解大规模线性方程组的迭代方法。
它结合了共轭梯度法和预处理技术，能够加快求解速度并提高收敛性能。
预处理共轭梯度法的基本步骤如下：
1. 选择一个合适的预处理矩阵M，将原始的线性方程组Ax=b 转化为M^{-1}Ax=M^{-1}b。
2. 初始化向量x_0和残差向量r_0=b-Ax_0，其中x_0是任意一个近似解，通常选择零向量。
3. 初始化搜索方向向量p_0=r_0，计算预处理残差向量
z_0=M^{-1}r_0。
4. 对于k=0,1,2,...,直到满足停止准则为止，执行以下步骤：
a. 计算搜索方向向量p_k。
b. 计算步长\alpha_k。
c. 更新近似解向量x_{k+1}=x_k+\alpha_k p_k。
d. 更新残差向量r_{k+1}=r_k-\alpha_k Ap_k。
e. 计算预处理残差向量z_{k+1}=M^{-1}r_{k+1}。
f. 计算搜索方向向量p_{k+1}=z_{k+1}+\beta_{k+1}p_k，其中\beta_{k+1}由Fletcher-Reeves公式计算。
5. 输出近似解向量x_k作为原始线性方程组的解。
预处理矩阵M的选择是预处理共轭梯度法的关键之一，不同的预处理矩阵会对求解速度和收敛性能产生不同的影响。
常用的预处理矩阵有Jacobi预处理、Gauss-Seidel预处理、不完全Cholesky分解预处理等。
预处理共轭梯度法具有很好的数值稳定性和收敛性能，尤其适用于求解大规模稀疏线性方程组。
共轭梯度法
最速下降法1.最速下降方向函数f(x)在点x处沿方向d的变化率可用方向导数来表示。
对于可微函数，方向导数等于梯度与方向的内积，即：Df(x;d) = ▽f(x)T d,因此，求函数f(x)在点x处的下降最快的方向，可归结为求解下列非线性规划：min ▽f(x)T ds.t. ||d|| ≤ 1当 d = -▽f(x) / ||▽f(x)||时等号成立。
因此，在点x处沿上式所定义的方向变化率最小，即负梯度方向为最速下降方向。
2.最速下降算法最速下降法的迭代公式是x(k+1) = x(k) + λk d(k) ,其中d(k)是从x(k)出发的搜索方向，这里取在x(k)处的最速下降方向，即d = -▽f(x(k)).λk是从x(k)出发沿方向d(k)进行一维搜索的步长，即λk满足f(x(k) + λk d(k)) = min f(x(k)+λd(k)) (λ≥0).计算步骤如下：(1)给定初点x(1) ∈ R n，允许误差ε> 0，置k = 1。
(2)计算搜索方向d = -▽f(x(k))。
(3)若||d(k)|| ≤ε，则停止计算；否则，从x(k)出发，沿d(k)进行一维搜索，求λk，使f(x(k) + λk d(k)) = min f(x(k)+λd(k)) (λ≥0).(4)令x(k+1) = x(k) + λk d(k)，置k = k + 1，转步骤(2)。
共轭梯度法1.共轭方向无约束问题最优化方法的核心问题是选择搜索方向。
以正定二次函数为例，来观察两个方向关于矩阵Ａ共轭的几何意义。
设有二次函数：f(x) = 1/2 (x - x*)T A(x - x*) ,其中A是n×n对称正定矩阵，x*是一个定点，函数f(x)的等值面1/2 (x - x*)T A(x - x*) = c是以x*为中心的椭球面，由于▽f(x*) = A(x - x*) = 0，A正定，因此x*是f(x)的极小点。
双共轭梯度法预处理
双共轭梯度法预处理引言：在数值计算中，求解线性方程组是一项基本任务。
而对于大规模的稀疏矩阵，传统的直接法往往会面临存储和计算量极大的挑战。
因此，研究高效的迭代方法成为了求解线性方程组的重要课题之一。
双共轭梯度法预处理就是其中一种被广泛应用的方法。
1. 双共轭梯度法简介双共轭梯度法（Bi-Conjugate Gradient, BiCG）是一种迭代求解线性方程组的方法。
它是对共轭梯度法的扩展，适用于非对称且不正定的线性方程组。
与共轭梯度法类似，双共轭梯度法通过迭代逼近线性方程组的解。
该方法的收敛速度比传统的迭代方法更快。
2. 双共轭梯度法预处理的概念双共轭梯度法预处理是在双共轭梯度法的基础上引入预处理操作，以提高求解线性方程组的效率。
预处理是在求解过程中对矩阵进行变换，使得变换后的矩阵更易于求解。
预处理的目的是减小矩阵的条件数，从而加快求解的速度。
3. 双共轭梯度法预处理的原理双共轭梯度法预处理的基本原理是通过左右预处理矩阵的共轭来加速收敛过程。
左预处理通过将方程组左乘一个预处理矩阵，将原方程组转化为一个条件数较小的方程组。
右预处理则是通过将方程组右乘一个预处理矩阵，同样可以减小方程组的条件数。
左右预处理结合使用可以更好地加速收敛过程。
4. 双共轭梯度法预处理的步骤双共轭梯度法预处理的步骤如下：（1）选择一个合适的预处理矩阵，可以根据问题的特点和需求进行选择。
（2）进行左预处理，将原方程组左乘预处理矩阵，得到一个新的方程组。
（3）进行右预处理，将新方程组右乘预处理矩阵，得到一个进一步减小条件数的方程组。
（4）使用双共轭梯度法求解新的方程组，得到近似解。
（5）通过迭代，逐步逼近线性方程组的解。
5. 双共轭梯度法预处理的应用双共轭梯度法预处理在科学计算领域有着广泛的应用。
它可以用于求解各种类型的线性方程组，如流体力学模拟中的稀疏矩阵求解、图像处理中的图像恢复等。
通过选择合适的预处理矩阵，可以大大提高求解效率。
最优化共轭梯度法
最优化共轭梯度法最优化共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）是一种迭代求解线性方程组或优化问题的方法。
它的特点是对于二次正定函数，可以在有限次迭代内精确地求出最优解。
在非二次函数的优化问题中，共轭梯度法表现出了较好的收敛性和全局能力。
共轭梯度法的核心思想是通过选择适当的方向，使得每一次方向的梯度互相“共轭”，从而加快收敛速度。
当目标函数为二次函数时，共轭梯度法能够在有限次迭代中得到精确解；而对于非二次函数的优化问题，共轭梯度法通过先验条件选择合适的方向，最大程度地减小目标函数值。
共轭梯度法的基本步骤如下：1.初始化参数：设置初始点的位置和方向，对于非二次函数，通常选取梯度方向作为方向。
2. 计算步长：通过线方法（如Armijo准则、Wolfe准则等）定位到目标函数上降速度最快的点，并计算目标函数在该点的梯度。
3.更新方向：利用“共轭”梯度法，根据先验条件计算新的方向。
4.判断终止条件：判断目标函数值是否满足设定的终止条件，若满足则停止迭代，否则返回步骤2对于二次函数，最优化共轭梯度法表现出了优良的性能。
当目标函数是非二次函数时，共轭梯度法的表现会有所下降，但仍然比一般的梯度下降法更具有优势。
因此，共轭梯度法常被用于求解大规模线性方程组、信号处理、数字滤波、机器学习等领域。
最优化共轭梯度法的优点在于：收敛速度较快，全局能力较强，不需要存储海量信息。
然而，该方法也存在一些缺点。
首先，共轭梯度法对目标函数的性质有一定的要求，例如目标函数必须是光滑的，并且梯度向量必须是有效的。
其次，共轭梯度法对初始点的选择较为敏感，不同的初始点可能导致不同的解。
总结来说，最优化共轭梯度法是一种高效的优化算法，可以加快目标函数收敛速度，尤其适用于解决二次函数优化问题。
在非二次函数的优化问题中，共轭梯度法以其较好的收敛性和全局能力在实际应用中发挥着重要作用。
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二、算法
（1）共轭梯度法算法
令 x0 0, r0 b Ax0 , p0 r0
对 k 0,1, 2,L 直到收敛完成
k (rk , rk ) / (pk , Apk ),
xk1 xk k pk ,
rk1 rk k Apk ,
k 1
(rk , (rk 1 ,
rk ) rk 1)
,
结束。
一、知识回顾
（3）预处理共轭梯度方法
由于预处理矩阵的构造方式很多，所以就形成了多种预处理 方法，总的来说，大致可归为如下几种途径：
1、取预处理矩阵（也称预优矩阵）为A的一个小带宽部分 （如三对角或对角线部分）；
2、通过A的分裂，尤其是线性稳定迭代法中的矩阵 A的分裂 构造预处理矩阵（如矩阵分裂法）；
当 kn 发点。
时，
xn
一定是方程 (1)的精确解，这是共轭梯度法的出
一、知识回顾
2、预处理共轭梯度法
（1）预处理共轭梯度法的引进
共轭梯度法理论上是一种直接方法，即按照这个算法得 到的 xn 应当是方程 Ax b 的精确解。但由于其数值的稳定 性不好，实际上由于舍入误差的影响 xn 不可能满足原方程。 如果把它看成一种迭代法，当A条件数较大时，它收敛的很 慢。因此引进了改进共轭梯度法的手段——预处理共轭梯度 法。
一、知识回顾
（2）预处理共轭梯度法原理 将Ax=b变形为C-1Ax=C-1b。
令 A~ C1AC T , ~x CT x,b C1b 则
~~ ~
Ax b A x b
~
要求
当A
其中
是c1o是对nA称d的2正( A最定)大矩特c阵o征n时d值2，(，Aco)nnd是2 (AA的) 最小1n 特K征(值A)，K(A)是A的条件数
共轭梯度法的预处理
设 A 为 n 阶对称正定矩阵, 考虑线性方程组
Ax b
(1)
其中x 是未知向量,b是右端已知向量。
一、知识回顾
1、共轭梯度法 如果我们对于固定的k ，在 Rn 空间中取 k 个线性无关的向
量
p1, p2 ,L , pk
使 xk 满足
(xk ) min(x)
Span( p1 , p2 ,L , pk )
zk 1 M 1rk 1,
k 1 (zk 1,zk 1) / (rk , zk ),
结束。
pk 1 zk 1 k 1 pk
三、代码
（1）共轭梯度法代码
• function [x,n,tol]=cg(A,b,ep)
• r=b;p=r;n=0;x=zeros(length(b),1);
• while n<10
7.85971307544587 0.422926408294999 -0.0735922390236594 -0.540643016894632 0.0106261628540375
n= 5
tol =
6.745229690695623e-07
（2）预处理共轭梯度法代码以角预优矩阵为例clc;clear
• alpha=(r'*r)/(p'*A*p);r1=r;
• x=x+alpha*p;
• tol=norm(r);
• if norm(r)<ep
•
break;
• end
• r=r-alpha*A*p;
• beta=(r'*r)/(r1'*r1);
• p=r+beta*p;
• n=n+1;
• end
x=
function [x,n,tol]=cg1(A,b,ep,C) r=b;p=r;n=0;x=zeros(length(b),1); while n<10
alpha=(r'*r)/(p'*A*p);r1=r;
x=x+alpha*C*p;
tol=norm(r); if norm(r)<ep
break; end r=r-alpha*A*p; beta=(r'*r)/(r1'*r1); p=r+beta*p; n=n+1; end
ep=10^(-2); [x,n,tol]=cg1(A1,b1,ep,C);
function C=chuli1(A) D=diag(diag(A)); C=D^(-1/2);
function C=chuli(A,w) D=diag(diag(A));L=tril(A,-1); C=(D-w*L)*D^(-1/2);
%SSOR此处程序改为
x=x+alpha*inv(C')*p
对角预优矩阵
x=
7.85971307544586 0.422926408295008 -0.0735922390240463 -0.540643016894626 0.0106261628540363
m= 4
tol= 4.731753657562764e-04
pk1 rk k 1 pk ,
二、算法
（2）预处理共轭梯度算法
令
x0 0,
r0 b Ax0 , z0 M 1r0 , p0 z0 ,
对 k 0,1,L 直到收敛完成。
k (rk , rk ) / (pk , Apk ),
xk 1 xk k pk ,
rk1 rk k Apk ,
3、通过A的各种近似分解得到预处理矩阵（如不完全分解）； 4、通过矩阵A的多项式构造预处理矩阵； 5、子结构、区域分裂、EBE预处理途径。
一、知识回顾
对角预优矩阵法 如果对称正定线性方程组( 1) 的系数矩阵 A 的对角元素相差 较大, 则可取预优矩阵C-1为
C 1 D1/ 2 , D diag (a11, a22,, ann ), A (aij )nn
这是最常用的预处理方阵
SSOR分裂
将A分裂为 A D CL CLT，其中D diag(a11, a22,ann) , CL为严格
下三角矩阵，则预处理矩阵C为：
C
1
(D CL)D1/ 2
(2 )
其中(0 1) 是参数，而且有
A CCT
1
(D CL)D1(D CL)T
(2 )
A=[0.2 0.1 1 1 0;0.1 4 -1 1 -1;1 -1 60 0 -2;1 1 0 8 4;0 -1 -2 4 700];
b=[1 2 3 4 5]‘;
%SSOR此处程序改为
C=chuli1(A); A1=C*A*C; b1=C*b;
C=chuli(A,0.009); A1=inv(C)*A*inv(C'); b1=inv(C)*b;