摩擦力做功几种求法
克服摩擦力做功的公式
克服摩擦力做功的公式摩擦力是一种力，它有助于物体之间的运动，也是物体会有各种诸如压缩以及拉伸的运动的元凶之一。
它的实际存在可能是比我们想象的更加复杂的，因此，大多数人想要有效地克服摩擦力来做功，这需要一种可靠的计算公式。
在本文中，我们将概述一些关于克服摩擦力做功的公式，帮助大家理解摩擦力，并更容易地计算出想要的结果。
一、牛顿定律的克服摩擦力的公式牛顿定律通常用来计算动态的力，这里也可以用它来计算克服摩擦力做功的力。
当物体由一个定点移动到另一个定点时，动量的变化可以用下面的公式来表示：F=ma其中，F表示力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
当物体由一定速度向前移动时，受到摩擦力的影响，m和a可以表示为阻力如下：F=m (v2 – v1)/t其中，v1和v2表示物体在两个点之间的初始和末速度，t表示时间。
二、Speedsolving公式Speedsolving公式用于确定汽车等物体在没有摩擦力的情况下应采取的最佳运行速度，即让它以最快的时间达到目的地。
Speedsolving公式可以在摩擦力的影响下计算出同样的结果，公式如下：v=sqrt(2aΔx)其中，v表示物体的速度，a表示加速度，Δx表示物体在起点和终点之间的距离。
三、噪音对等的公式这个公式主要是为了解决物体在摩擦力的作用下沿着同一方向运动的情况。
当物体沿着同一方向运动时，它会受到一定程度上的抵抗，公式如下：F=μmg其中，F表示受力，μ表示物体表面的摩擦系数，m表示物体的质量，g表示重力加速度。
四、Stokes公式Stokes公式用于描述某个物体在不同流体中的移动，公式如下：F=6πμrv其中，F表示受力，μ表示物体表面的摩擦系数，r表示物体半径，v表示物体的速度。
最后，要特别提醒大家，这些计算公式在计算时都需要考虑到小数点后精度，否则得出的结果可能会有偏差。
因此，在使用这些公式时，一定要注意小数点后的精度。
总之，理解克服摩擦力做功的公式可以让我们利用摩擦力做出更多的功率。
摩擦力做功等效
摩擦力做功等效摩擦力是物体接触面之间的力，当物体在平面上滑动或滚动时，摩擦力会产生。
除了阻碍物体的运动外，摩擦力还可以进行功。
摩擦力做功等效，意味着摩擦力所做的功可以用其他形式的能量来表示。
通常情况下，摩擦力所做的功会转化为热能，这是因为摩擦力会导致物体接触点处的能量转化为热能而散失。
这种能量转化可以用以下公式表示：功 = 摩擦力 ×位移这意味着当物体在平面上滑动或滚动时，摩擦力所做的功取决于物体受到的摩擦力和物体的位移。
如果摩擦力的方向与物体的位移方向相同，那么摩擦力所做的功为正，表示摩擦力向物体输入能量。
如果摩擦力的方向与物体的位移方向相反，那么摩擦力所做的功为负，表示摩擦力从物体中提取能量。
摩擦力做功等效的实际应用有很多，下面列举几个例子：1. 制动系统：汽车、自行车等的制动系统利用摩擦力做功来减速或停止运动。
制动器通过施加摩擦力于转动的车轮上，将动能转化为热能，从而使车辆减速或停止。
2. 磨损现象：摩擦力经常导致物体表面的磨损。
例如，当两个物体之间有相对运动时，在它们的接触点处可能产生磨损现象。
摩擦力所做的功会使物体表面的原子或分子产生相对运动，从而产生磨损。
3. 轮滚动：当车辆在地面上行驶时，车轮与地面的摩擦力会产生一个向前的推动力，使车辆前进。
这个推动力是由摩擦力所做的功提供的。
4. 自由下落：当物体从高处自由下落时，摩擦力可以减缓物体的下降速度。
摩擦力所做的负功相当于将物体的机械能转化为热能，并导致物体的下降速度减小。
需要注意的是，摩擦力做功等效的能量转化过程中会产生热能，这可能会导致能量的浪费。
因此，在一些实际应用中，人们会采取相应的措施来减小摩擦力，以降低能量损耗，提高系统的效率。
总之，摩擦力做功等效意味着摩擦力所做的功可以转化为其他形式的能量，通常是热能。
摩擦力做功等效在许多实际应用中起到重要的作用，但也需要注意能量的损耗和效率的提高。
摩擦力做功
摩擦力做功1.无论静摩擦还是动摩擦力，有可能做正功，或者负功，或者不做功。
2一对相互作用的静摩擦力做功的代数和为零3一对相互作用的滑动摩擦力做功的代数和为负值4.关于摩擦生热1）滑动摩擦才生热，静摩擦不生热2）相互摩擦的两个物体的接触面都“生热”，因此摩擦生热所涉及到的对象应该是相互摩擦的两个物体组成的系统。
3）实质：通过一对相互作用的滑动摩擦力做功，将系统的机械能转化成内能。
即，系统损失的机械能等于系统增加的内能5.摩擦生热公式：Q热=f×d（d为相互摩擦的两个物体发生的相对路程）（1）当A和B同向运动时，A和B发生的相对路程是d=X A—x B（2）当A和B反向运动时（A向左B向右）A和B发生的相对路程是d=X A＋x B例1．质量为m的子弹以v0的初速度击中原来静止放在光滑平面上的质量为M 的长木板，当子弹打入金属块的深度为d时，子弹与长木板以共同的速度v m一起运动（即子弹停留在木板中），此时长木板在平面已滑行的距离为S。
在子弹打入长木板的过程中，已知子弹与长木板之间的摩擦力为f，请证明在子弹与木板摩擦的过程中，木板与子弹组成的系统产生的内能（热量）Q=f d练习1，质量为m 的滑块以v的初速度在粗糙水平地面上滑行，一段距离S后停下来，物体的重力加速度为g，物体与地面之间的摩擦因素为μ，那么在滑行的过程（）A.摩擦力对物体做功为—μmgS，摩擦力对地面做功为0。
B.滑块增加的内能为2 21mvC滑块和地面系统增加的内能总和为2 21mvD滑块和地面系统增加的内能总和为Q=f d练习2.如图，高度h=5m的光滑曲面的底端和水平传送带相切，传送带两轮的间距很大，传送带顺时针转动，传送带的传送速度为v2=5m/s。
质量为m=1kg的物体，曲面上从静止开始下滑，下滑到底端进入水平传送带上，由于两轮的间距很大，所以物体最终在传送带上与传送带保持相对静止的运动，g=10m/s2.，物体与传送带之间的动摩擦因素为μ=0.5，求物体在传送带上运动的过程中，产生的总热量Q。
科学思维系列(一)——求解变力做功的几种方法及摩擦力做功的情况
F 做的功．“面积”有正负，在x 轴上方的“面积”为正，在x 轴下方的“面积”为负．如图甲、乙所示，这与运动学中由v - t 图象求位移的原理相同．【典例2】 用质量为5 kg 的均匀铁索，从10 m 深的井中吊起一质量为20 kg 的物体，此过程中人的拉力随物体上升的高度变化如图所示，在这个过程中人至少要做多少功？(g 取10 m/s 2)【解析】 方法一 提升物体过程中拉力对位移的平均值：F －＝250＋2002N ＝225 N 故该过程中拉力做功：W ＝F －h ＝2 250 J.方法二 由F - h 图线与位移轴所围面积的物理意义，得拉力做功：W ＝250＋2002×10 J ＝2 250 J. 【答案】 2 250 J法3.用微元法求变力做功圆周运动中，若质点所受力F 的方向始终与速度的方向相同，要求F 做的功，可将圆周分成许多极短的小圆弧，每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，力F 对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，这样变力(方向时刻变化)做功的问题就转化为多段上的恒力做功的问题了．【典例3】如图所示，质量为m的质点在力F的作用下，沿水平面上半径为R的光滑圆槽运动一周．若F的大小不变，方向始终与圆槽相切(与速度的方向相同)，求力F对质点做的功．【解析】质点在运动的过程中，F的方向始终与速度的方向相同，若将圆周分成许多极短的小圆弧Δl1、Δl2、Δl3、…、Δln，则每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，所以质点运动一周，力F对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，即W ＝W1＋W2＋…＋W n＝F(Δl1＋Δl2＋…＋Δl n)＝2πRF.【答案】2πRF.变式训练1如图所示，放在水平地面上的木块与一劲度系数k＝200 N/m的轻质弹簧相连，现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x1＝0.2 m，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x2＝0.4 m，求上述过程中拉力所做的功．解析：木块刚要滑动时，拉力的大小F＝kx1＝200×0.2 N＝40 N，从开始到木块刚要滑动的过程，拉力做的功W1＝0＋F 2x1＝402×0.2 J＝4 J；木块缓慢移动的过程，拉力做的功W2＝Fx2＝40×0.4 J＝16 J．故拉力所做的总功W＝W1＋W2＝20 J.答案：20 J变式训练2如图所示，一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m 的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB如图所示，水平传送带正以v ＝2 m/s 的速度运行，两端水平距离l ＝8 m ，把一质量m ＝2 kg 的物块轻轻放到传送带的A 端，物块在传送带的带动下向右运动．若物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1，不计物块的大小，g 取10 m/s 2，则把这个物块从A 端传送到B 端的过程中．求：(1)摩擦力对物块做的功．(2)摩擦力对传送带做的功．【解析】 (1)物块刚放到传送带上时，由于与传送带有相对运动，物块受向右的滑动摩擦力，物块做加速运动，摩擦力对物块做功．物块受向右的摩擦力为F f ＝μmg ＝0.1×2×10 N ＝2 N加速度为a ＝F f m ＝μg ＝0.1×10 m/s 2＝1 m/s 2当物块与传送带相对静止时的位移为x ＝v 22a ＝222×1m ＝2 m 摩擦力对物块做功为W ＝F f x ＝2×2 J ＝4 J.(2)把这个物块从A 端传送到B 端的过程中，摩擦力对传送带做功为：W ′＝－μmgx ′＝－μmg ·v ·v a ＝－8 J.【答案】 (1)4 J (2)－8 J变式训练3 以初速度v 0竖直向上抛出质量为m 的小球，上升的最大高度是h ，如果空气阻力f 的大小恒定，从抛出到落回出发点的整个过程中，空气阻力对小球做的功为( )A ．0B ．－fhC ．－2mghD ．－2fh解析：阻力做功跟物体的运动轨迹有关，所以阻力做功为W f ＝－2fh .答案：D。
2012用-摩擦力做功及功率
不做功 箱子整体向左右移动或静止
判断下列摩擦力做什么功
车往北走，往东推车上的箱子，未推动 车往北走，往北推车上的箱子，未推动
车往北走，往南推车上的箱子，未推动
用力F向右推动小箱子，缆绳拉着大箱子 1、向右移动 2、向左移动 3、向上或向下移动 4、斜向右上移动
结论2：摩擦力可以 与位移成任夹角！
(2)汽车上坡时，速度越来越大，必须不断减小牵引力以保证输出功率不 超过额定输出功率，当牵引力F= f + mgsinθ=6×103 N时，汽车加速度 为零，速度增大到最大，设为vm，则P＝Fv＝（f＋mgsinθ）〃vm；
P 60 10 vm 10m / s, f mg sin 6000
解：分析汽车上坡过程中受力情况如图所示：牵引力F,重力mg＝ 4×104N，f＝kmg＝4×103 N，支持力N，依题意sinθ＝5/100。 （1）汽车上坡时，若F＝8000N,而f＋mgsinθ＝4×103＋4×104×1/20 ＝6×103 N,即F> f +mgsinθ,汽车将加速上坡，速度不断增大，其输 出功率P=Fv也不断增大，长时间后，将 超出其额定输出功率，所以，汽车不能 保持牵引力为8000N不变上坡。
①若P不变，F与v成反比 ②若F不变，P与v成正比 ③若v不变，P与F成正比
四.汽车的两种启动问题
1.恒定功率P额的加速
可见恒定功率的加速一定不是匀加速。这种加 速过程发动机做的功只能用W=Pt计算，不能用 W=Fs计算（因为F为变力）。
练习5.下列关于汽车运动的论述，不正确的是(
) A
（2）汽车匀加速运动过程可持续的时间t′； （3）汽车启动后，发电机在第三秒末的即时功率P3； （4）汽车在做匀加速直线运动过程中，发动机所做的功W′．
摩擦力做功问题及求变力做功的几种方法(学生版)-高考物理热点模型
摩擦力做功问题及求变力做功的几种方法学校：_________班级：___________姓名：_____________模型概述1.摩擦力做功问题1)无论是静摩擦力还是滑动摩擦力都可以对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
2)静摩擦力做功的能量问题①静摩擦做功只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能。
②一对静摩擦力所做功的代数和总等于零，而总的机械能保持不变。
3)滑动摩擦力做功的能量问题①滑动摩擦力做功时，一部分机械能从一个物体转移到另一个物体，另一部分机械能转化为内容，因此滑动摩擦力做功有机械能损失。
②一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值，总功W =-F f ⋅x 相对，即发生相对滑动时产生的热量。
2.求变力做功的几种方法1．用W =Pt 求功当牵引力为变力，且发动机的功率一定时，由功率的定义式P =W t，可得W =Pt .1)“微元法”求变力做功:情形一：当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，力F 做的功与路程有关，W =Fs 或W =-Fs ，其中s 为物体通过的路程．情形二：当力的大小不变，运动为曲线时，将物体的位移分割成许多小段,因小段很小,每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力,这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和,此法适用于求解大小不变、方向改变的变力做功.【举例】质量为m 的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功W f =F f ⋅Δx 1+F f ⋅Δx 2+F f ⋅Δx 3+...=F f ⋅(Δx 1+Δx 2+Δx 3+...)=F f ⋅2πR2)“图像法”求变力做功:在F -x 图像中,图线与x 轴所围“面积”的代数和就表示力F 在这段位移内所做的功,且位于x 轴上方的“面积”为正功,位于x 轴下方的“面积”为负功,但此方法只适用于便于求图线与x 轴所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形).【举例】一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x 0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W =F 0+F 12x3)“平均力”求变力做功:当力的方向不变而大小随位移线性变化时,可先求出力对位移的平均值F =F 0+F 12,再由W =F l cos θ计算,如弹簧弹力做功.【举例】弹力做功，弹力大小随位移线性变化，取初状态弹力为0，则W =F x =0+F k 2x =0+kx 2x =12kx 24.应用动能定理求解变力做功：在一个有变力做功的过程中，当变力做功无法直接通过功的公式求解时，可用动能定理W 变+W 恒=12mv 22-12mv 21，物体初、末速度已知，恒力做功W 恒可根据功的公式求出，这样就可以得到W 变=12mv 22-12mv 21-W 恒，就可以求出变力做的功了．【举例】用力F 把小球从A 处缓慢拉到B 处，F 做功为W F ，则有：W F +W G =0⇒W F -mgl (1-cos θ)=0⇒W F =mgl (1-cos θ)5)等效转换法求解变力做功：将变力转化为另一个恒力所做的功。
专题摩擦力做功
根据物体的运动情况和受力情况， 确定静摩擦力的方向和大小，然后 根据功的表达式计算静摩擦力做的 功。
04 滚动摩擦力做功简介
滚动摩擦力产生原因及特点
产生原因
滚动摩擦力是由于物体在另一物体表 面上滚动时，接触面之间的微小凹凸 不平引起的相互碰撞和变形所产生的 阻力。
特点
滚动摩擦力通常比滑动摩擦力小，因 为滚动接触时，物体之间的接触面积 较小，且变形较小，所以摩擦力也较 小。
影响因素分析
01
接触面粗糙程度
接触面越粗糙，摩擦力越大，做的功也越多。
02
正压力大小
正压力越大，摩擦力越大，做的功也越多。
03
物体运动状态
物体运动状态不同，受到的摩擦力也不同，因此做的功 也不同。例如，静止的物体受到的静摩擦力比运动的物 体受到的滑动摩擦力小。
02 滑动摩擦力做功探讨
滑动摩擦力产生条件
03 静摩擦力做功研究
静摩擦力产生条件及特点
产生条件
相互接触的物体间有相对运动趋势；接触面不光滑；物体间 有正压力。
特点
静摩擦力的方向与物体的相对运动趋势方向相反，可以是阻 力，也可以是动力，运动物体也可以受静摩擦力。
静摩擦力做功表达式推导
表达式
W=fs，其中f为静摩擦力，s为物体在力的方向上通过的距离。
专题摩擦力做功
汇报人：XX
目录
• 摩擦力做功基本概念 • 滑动摩擦力做功探讨 • 静摩擦力做功研究 • 滚动摩擦力做功简介 • 摩擦力做功在生活中的应用 • 总结与展望
01 摩擦力做功基本概念
摩擦力定义及分类
摩擦力定义
两个相互接触的物体，当它们发生相 对运动或具有相对运动趋势时，就会 在接触面上产生阻碍相对运动或相对 运动趋势的力，这种力叫做摩擦力。
摩擦力做功的计算公式
摩擦力做功的计算公式1. 摩擦力做功公式推导。
- 当物体在粗糙水平面上受到摩擦力f作用，发生位移x时，根据功的定义W = Fscosθ（其中F是力，s是位移，θ是力与位移方向的夹角）。
- 对于摩擦力做功，摩擦力方向与物体相对运动（或相对运动趋势）方向相反，在水平面上物体位移方向与摩擦力方向相反，θ = 180^∘，cosθ=- 1。
- 所以摩擦力做功W_f = f× x×(-1)= - fx。
2. 滑动摩擦力做功的特点与计算。
- 特点。
- 滑动摩擦力做功与路径有关。
例如，一个物体在粗糙的水平面上往返运动，滑动摩擦力始终做负功，往返一次滑动摩擦力做功W = - f×2x（x为单程位移大小）。
- 计算示例。
- 一个质量为m的物体在动摩擦因数为μ的水平面上，受到水平拉力F作用，以初速度v_0向右运动，经过位移x后停止。
- 首先根据牛顿第二定律求出加速度a=(f)/(m)，这里滑动摩擦力f = μ mg，加速度a =-μ g（方向向左，与速度方向相反）。
- 根据运动学公式v^2 - v_0^2 = 2ax，可得0 - v_0^2=2(-μ g)x。
- 滑动摩擦力做功W_f=-fx =-μ mgx。
3. 静摩擦力做功的特点与计算。
- 特点。
- 静摩擦力可以做正功、负功或不做功。
例如，静止在倾斜传送带上的物体随传送带一起加速向上运动，静摩擦力方向沿传送带向上，物体位移方向也向上，静摩擦力做正功；如果物体随传送带一起匀速向上运动，静摩擦力做正功；当两个物体叠放在一起，用力拉下面的物体使它们一起加速运动，上面物体受到的静摩擦力做正功。
若上面物体静止在下面匀速运动的物体上，静摩擦力对上面物体不做功。
- 计算示例。
- 一个质量为m的物体放在倾斜角为θ的斜面上，斜面静止，物体受到沿斜面向上的静摩擦力f = mgsinθ。
当斜面沿水平方向向右移动位移x时，静摩擦力做功W_f = f× x×cosθ，这里θ是斜面倾角，f = mgsinθ，所以W_f = mgsinθ× x×cosθ。
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θOB CD A⑤1o 2o 3o 0v 1l 2l 3l摩擦力做功几种求法白城一中物理组 / 闫炜平摩擦力做功计算是同学做题时容易疑惑的问题，概括的说分为三种情况，下面举例说明：一、在摩擦力大小、方向都不变的情况下，应该用θcos ⋅⋅=s f W f 可求。
二、在摩擦力大小不变，方向改变时，由微元法，可将变力功等效成恒力功求和。
例1：质量为m 的物体，放在粗糙水平面上。
现 使物体沿任意曲线缓慢地运动，路程为s ，物体与水平面间的动摩擦因数为μ。
则拉力F 做的功为多少？ 解：由微元法可知：F 做的功应等于摩擦力做功总和。
例2：如图所示，竖直固定放置的斜面AB 的下端与光滑的圆弧轨道BCD 的B 端相切，圆弧面半径为R ，圆心O 与A 、D 在同一水平面上，∠COB=θ。
现有一个质量为m 的小物体从斜面上的A 点无初速滑下，已知小物体与AB 斜面间的动摩擦因数为μ。
求（1）小物体在斜面体上能够通过的路程；（2）小物体通过C 点时，对C 点的最大压力和最小压力。
[解析]（1）小物体在运动过程中，只有重力及摩擦力做功，小物体最后取达B 点时速度为零。
设小物体在斜面上通过的总路程为s ，由动能定理得：① 又 由①②式得： （2）小物体第一次到达C 点时速度大，对C 点压力最大。
由动能定理 ④解③④⑤式得 小物体最后在BCD 圆弧轨道上运动，小物体通过C 点时对轨道压力最小。
得：⑥ 解⑥⑦式得由牛顿第三定律知，小物体对C 点压力最大值为最小值 [注意，摩擦力做功的公式s f W ⋅-=中，s 一般是物体运动的路程]三、摩擦力大小、方向都在时刻改变时，速度V 越大时，压力N F 也越大，则由N F f μ=可知N F 越大，f 也越大，摩擦力做功越多。
例1：连接A 、B 两点的弧形轨道ACB 与ADB 是用相同材料制成的，它们的曲率半径相同。
如图所示，一个小物体由A 点以一定初速度v 开始沿ACB 滑到B 点时，到达B 点速率为1v 若小物体由A 点以相同初速度沿ADB 滑到B 点时，速率为2v 与的关系：（ ）A 1v >2vB 1v =2vC 1v <2vD 无法判断 [解析]A 物体沿ACB 运动过程中受竖直向下的重力。
垂直于轨道向上的支持力，沿切线方向的摩擦力，其中重力、支持力不做功，摩擦力做负功，又据圆运动的知识，支持力的平均值小于重力，摩擦力的平均值较小。
物体沿ADB 运动过程中受竖直向下的重力、垂直于轨道向上的支持，沿切线方向的摩擦力，重力、支持力不做功，摩擦力做负功，而此过程中支持力的平均值大于重力，摩擦力较大，而过程运动弧长相同。
所以沿ACB 过程摩擦力做负功较小，到达B 点时速率较大，故选A 正确。
例2：如图所示，地面上有一个半圆形轨道，一小物体（可视为质点）从一端离地面高为h 的A 点自由落下，恰好顺着圆弧运动，从另一端D 点竖直向上射出，其最高点B 距地面的高度为h/2，接着物体从B 点又自由落下，返回到左边的最高点（ ） A 低于C 点 B 高于C 点 C 恰在C 点 D 无法确定[解析]B 物体沿ACDB 运动过程中应用动能定理可知：2/mgh W f =即：由功能关系可知：由C 到D 过程中机械能损失为 2mgh ，同理可知：当物体由BD 到C 过程中损失机械能小于2mgh 故球一定能够高于C 点。
例3：如图所示，在竖直平面内固定着1/4圆弧槽，圆弧槽的半径为R ，它的末端水平，上端离地高H ，一个小球从上端A 点无初速滑下，若小球的水平射程为S ，求圆弧槽阻力做功。
解：设小球脱离滑槽，开始做平抛运动的速度为05年高考试题（选）25．（20分）如图所示，一对杂技演员（都视为质点）乘秋千（秋千绳处于水平位置）从A 点由静止出发绕O 点下摆，当摆到最低点B 时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自己刚好能回到高处A 。
求男演员落地点C 与O 点的水平距离s 。
已知男演员质量m 1和女演员质量m 2之比,221=m m 秋千的质量不计，秋千的摆长为R ，C点低5R 。
（白城一中物理组 / 李松选答案请见2版右下角）大家一起来学习如图所示，滑块A 质量m=0.01kg ，与水平地面间的动摩擦因数μ=0.2。
用细线悬挂的小球质量均为m’=0.01kg 且沿x 轴均匀排列。
A 与第一只小球及小球与相邻小球距离均为s=2m ，且从左至右悬挂小球的线长分别为 …… 当A 与第一只小球间距为2m 时的运动速度 且正好沿着x 轴正向运动。
不计滑块和小球大小且当滑块与球、球与球发生碰撞时机械能守恒，交换速度，碰后任一小球恰好能在坚直平面内做完整的圆周运动。
（ ）（1）最左侧悬挂小球的线长 为多少？ （2）滑块在运动中能与几个小球发生碰撞。
（3）求出碰撞中第n 个球悬线 的表达式。
[解析]（1）设滑块与第一个球碰撞前的速度为1v ，由动能定理得：20212121mv mv umgs -=-滑块与第一个球碰后瞬间球速1v v =，对球上升过程中，由机械能守恒得：2212121221mv mgl mv +=又因为球在最高点时，由牛顿第二定律有， 所以悬挂在最左侧绳长 （2）对滑块由动能定理得200210mv umgs -=- 所以滑块滑行的总路程m s 250=则滑块在滑行过程中与小球碰撞个数5.120==s s n ，应取12个 （3）设滑块与第n 个（n ≦12）球碰前速度为n v 由动能定理得2022121mv mv ns umg n -=⋅-则滑块与球碰后，球速n n v v ='若第n 个悬线长n l 到最高点速度为nn v对小球机械能守恒22'21221n nn n mv mgl mv +=且在最高点由牛顿第二定律有n n l mv mg 2'=联立以上各式g ugns v l n 5)2(20-=[教师评语]这是一道力学习题，可用来培养同学们的复合解题能力、考查的知识点有： ①动能定理 ②机械能守恒③瞬间牛顿第二定律④弹性碰撞时（不损失能量）由动量守恒，能量守恒可知，质量相等发生速度互换现象。
(白城一中一年五班 / 史小汐 投搞)②221cos cmvAB mg mgR =⋅-θμ编委主任 盖雁 主编 闫炜平 本报网址 电子邮箱 ***************2006.04.11 / 星期二06 / 02期 总2期高一版第1版 共2版 主管 白城一中教研所 主办 白城一中高一物理组 排版：张学金 李延铎 我们的目标：从生活走向物理，从物理走向社会！ 印刷：校本部印刷室HS RA B D BCA 0cos =-fs mgR θθμcos mg f =μR S =Rmv mgN c 2max =-③()mg ctg N θθμ⋅-=cos 23max smg s s s s mg W n f ⋅=+++=μμ)(321 R mv mg N c/2'min=-⑦()mg N θcos 23min -= ()221cos 1cmv mgR =-θ ()mgctg N θθμ⋅-=cos 23max 2hAh B D CBv ()R H g S v B -=2221B f mv W mgR =-()R H mgS mgR W f--=42由平抛运动知识得： ①由动能定理得： θctg R AB ⋅=()mgN θcos 23min -=由①②得： ② n l mg ugs v l 84.15)2(201=-=122l mv mg =)(16.02m n -=123.2.1 =n 2/10s m g =s m v /100=3l 2l 1l 1l漫谈“动量定理”的应用动量定理表明为对时间的积累效应使物体的动量发生改变，其适用的范围很广，它不仅适用于恒力情形，而且也适用于变力情形，尤其在解决作用时间短，作用力大小随时间变化的打击、碰撞等问题时，动量定理要比拮牛顿定律方便得多，本文试从几个角度谈动量定理的应用。
一、用动量定理解曲线运动问题[例1]以速度0v 水平抛出一个质量为1kg 的物体，若在抛出5s 后未落地且未与其它物体相碰的，求它在5s 内动量变化（ ）[解析]此题若求出末动量，再求它与初动量的矢量差，则极为繁琐。
由于平抛出去的物体只受重力且为恒力，故所求动量的变化等于重力的冲量。
则：s kgm s kgm mgt Ft p /50/5101=⨯⨯===∆ 注意：①运用0mv mv p -=∆求p ∆初、末速度必须在同一直线上，若不在同一直线，需考虑运用矢量法则或动量定理 Ft p =∆求解p ∆。
②用Ft I =求冲量，F 必须是恒力，若F 是变力，需用动量定理p I ∆=求解I 。
二、用动量定理解变质量问题设在t ∆时间内有m ∆质量的物体参与作用，速度从零变到V ，动量定理可改写成v m t F ⋅∆=∆⋅ 即t v m F ∆⋅∆=)(，t m ∆∆可理解为单位时间内参与作用物体的质量。
[例2]一架质量为M=500kg 的直升飞机，其螺旋桨把空气以v=50m/s 的速度下推，恰使直升飞机停在空中，则每秒种螺旋桨所推空气的质量为多少？[解析]飞机通过向下推空气而获得反冲力F ，飞机停在空中，根据平衡方程，求出飞机与空气的相互作用力F=Mg 。
每秒被推下的空气的动量变化等于飞机推力的冲量。
故mv Mgt Ft ∆==得每秒推下的空气质量三、用动量定理解决碰击问题打击、碰撞过程的相互作用力，一般不是恒力，用动量定理只需讨论初、末状态的动量和作用力的冲量而不必讨论每一瞬时力的大小和加速度的大小问题[例3]蹦床是运动员在一张紧绷的弹性网上蹦跳、翻滚并做各种空中动作的运动项目。
一个质量为60kg 的运动员，从离水平面3.2m 高处自由下落，着网后沿竖直方向蹦回到离水平面5.0m 高处。
已知运动员与网接触的时间为1.2s 。
则运动员对网的平均冲击力是多少？[解析]运动员动量的改变。
将运动员看作质量为的质点，从1h 高处下落，刚接触网时速度的大小为（向下） 弹跳后到达的高度为2h 度大小（向上）设向上的方向为正，对运动员与网接触过程运用动量定理 有： 由牛顿第三定律可知：运动员对网的平均作用力为四、动量定理的应用可扩展到全过程物体在不同阶段受力情况不同，各力可以先后产生冲量，运用动量定理，就不用考虑运动的细节。
[例4]质量为m 的物体静止放在足够大工业水平桌面上，物体与桌面的动摩擦因数为μ，有一水平恒力F 作用在物体上，使之加速前进，经1t 秒撤去力F 后，物体运动的总时间有多长？[解析]本题若运用牛顿定律解决，过程则较为繁琐，运用动量定理则可一目了然。
由于全过程初、末状态动量为零，对全过程运用动量定理 有：01=-umgt Ft 故umg Ft t 1=[说明]同学们可以尝试运用牛顿定律求解，掌握一题多解方法，同时比较各种方法的特点，对今后的学习有较大的帮助。