1.4.1正弦函数、余弦函数的图象知识点归纳与练习(含详细答案)
高中数学第一章1.4.1正弦函数余弦函数的图象1.4.2正弦函数余弦函数的性质学案含解析新人教A版必修4

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质考试标准知识导图学法指导1.本节内容以三角函数的图象及其性质为主,因此在学习过程中应先学会作图,然后利用图象研究函数的性质.2.深刻理解五点的取法,特别是非正常周期的五点.3.注意所有的变换是图象上的点在移动,是x 或y 在变化而非ωx .4.运用整体代换的思想,令ωx +φ=t ,借助y =sin t ,y =cos t 的图象和性质研究函数y =sin(ωx +φ),y =cos(ωx +φ)的图象和性质.第1课时 正弦函数、余弦函数的图象正弦曲线与余弦曲线及其画法状元随笔 1.关于正弦函数y =sin x 的图象(1)正弦函数y =sin x ,x∈[2k π,2(k +1)π],k∈Z 的图象与x ∈[0,2π]上的图形一致,因为终边相同角的同名三角函数值相等.(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸,可以由y =sin x ,x ∈[0,2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位).2.“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法. 该方法作图较精确,但较为烦琐.(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法,在要求精度不高的情况下常用此法. 提醒:作图象时,函数自变量要用弧度制,自变量与函数值均为实数,因此在x 轴、y 轴上可以统一单位,这样作出的图象正规便于应用.[小试身手]1.判断下列命题是否正确. (正确的打“√”,错误的打“×”)(1)“五点法”作正、余弦函数的图象时的“五点”是指图象上的任意五点.( )(2)正弦函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3π2,π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,5π2上的图象相同.( )(3)正弦函数、余弦函数的图象分别向左、右无限延伸.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√2.以下对正弦函数y =sin x 的图象描述不正确的是( )A .在x ∈[2k π,2(k +1)π](k ∈Z )上的图象形状相同,只是位置不同B .介于直线y =1与直线y =-1之间C .关于x 轴对称D .与y 轴仅有一个交点解析:画出y =sin x 的图象,根据图象可知A ,B ,D 三项都正确. 答案:C3.下列图象中,是y =-sin x 在[0,2π]上的图象的是( )解析:函数y =-sin x 的图象与函数y =sin x 的图象关于x 轴对称,故选D. 答案:D4.用“五点法”作函数y =cos 2x ,x ∈R 的图象时,首先应描出的五个点的横坐标是________________.解析:令2x =0,π2,π,3π2和2π,得x =0,π4,π2,34π,π.答案:0,π4,π2,34π,π类型一 用“五点法”作三角函数的图象例1 用“五点法”作出下列函数的简图: (1)y =sin x +12,x ∈[0,2π];(2)y =1-cos x ,x ∈[0,2π]. 【解析】 (1)按五个关键点列表:(2)列表:作函数图象需要先列表再描点,最后用平滑曲线连线. 方法归纳作形如y =a sin x +b (或y =a cos x +b ),x ∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练1 画出函数y =3+2cos x 的简图. 解析:(1)列表,如下表所示(2)利用五点作图法画简图.类型二 正、余弦函数曲线的简单应用 例2 根据正弦曲线求满足sin x ≥-32在[0,2π]上的x 的取值范围. 【解析】 在同一坐标系内作出函数y =sin x 与y =-32的图象,如图所示.观察在一个闭区间[0,2π]内的情形,满足sin x ≥-32的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π,2π,所以满足sin x ≥-32在[0,2π]上的x 的范围是{x 0≤x ≤43π或5π3≤x ≤2π}.或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π,2π在同一坐标系内作y =sin x 与y =-32的图象,利用图象求x 的范围. 方法归纳利用三角函数图象解sin x >a (或cos x >a )的三个步骤 (1)作出直线y =a ,y =sin x (或y =cos x )的图象. (2)确定sin x =a (或cos x =a )的x 值. (3)确定sin x >a (或cos x >a )的解集.[注意] 解三角不等式sin x >a ,如果不限定范围时,一般先利用图象求出x ∈[0,2π]范围内x 的取值范围,然后根据终边相同角的同名三角函数值相等,写出原不等式的解集.跟踪训练2 根据余弦曲线求满足cos x ≤12的x 的取值范围.解析:作出余弦函数y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象,如图所示,由图象可以得到满足条件的x 的集合为[π3+2k π,5π3+2k π],k ∈Z .在同一坐标内作y =cos x 与y =12的图象,利用图象求x 的范围.1.4.1-2.1[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列对函数y =cos x 的图象描述错误的是( ) A .在[0,2π]和[4π,6π]上的图象形状相同,只是位置不同 B .介于直线y =1与直线y =-1之间 C .关于x 轴对称 D .与y 轴只有一个交点解析:观察余弦函数的图象知:y =cos x 关于y 轴对称,故C 错误. 答案:C2.下列各点中,不在y =sin x 图象上的是( ) A .(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,1C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2,-1 D .(π,1) 解析:y =sin x 图象上的点是(π,0),而不是(π,1). 答案:D3.不等式sin x >0,x ∈[0,2π]的解集为( ) A .[0,π] B .(0,π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,3π2解析:由y =sin x 在[0,2π]的图象可得. 答案:B 4.点M ⎝⎛⎭⎪⎫π2,-m 在函数y =sin x 的图象上,则m 等于( )A .0B .1C .-1D .2解析:点M 在y =sin x 的图象上,代入得-m =sin π2=1,∴m =-1.答案:C5.在同一平面直角坐标系内,函数y =sin x ,x ∈[0,2π]与y =sin x ,x ∈[2π,4π]的图象( )A .重合B .形状相同,位置不同C .关于y 轴对称D .形状不同,位置不同解析:根据正弦曲线的作法过程,可知函数y =sin x ,x ∈[0,2π]与y =sin x ,x ∈[2π,4π]的图象位置不同,但形状相同.答案:B二、填空题(每小题5分,共15分) 6.下列叙述正确的有________.(1)y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象关于点P (π,0)成中心对称; (2)y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象关于直线x =π成轴对称; (3)正弦、余弦函数的图象不超过直线y =1和y =-1所夹的范围.解析:分别画出函数y =sin x ,x ∈[0,2π]和y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象,由图象观察可知(1)(2)(3)均正确.答案:(1)(2)(3)7.关于三角函数的图象,有下列说法: (1)y =sin|x |与y =sin x 的图象关于y 轴对称; (2)y =cos(-x )与y =cos|x |的图象相同;(3)y =|sin x |与y =sin(-x )的图象关于x 轴对称; (4)y =cos x 与y =cos(-x )的图象关于y 轴对称. 其中正确的序号是________.解析:对(2),y =cos(-x )=cos x ,y =cos|x |=cos x ,故其图象相同; 对(4),y =cos(-x )=cos x ,故其图象关于y 轴对称,由作图可知(1)(3)均不正确. 答案:(2)(4)8.直线y =12与函数y =sin x ,x ∈[0,2π]的交点坐标是________.解析:令sin x =12,则x =2k π+π6或x =2k π+56π,又∵x ∈[0,2π],故x =π6或56π.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,12,⎝ ⎛⎭⎪⎫56π,12三、解答题(每小题10分,共20分)9.利用“五点法”作出函数y =1-sin x (0≤x ≤2π)的简图. 解析:(1)取值列表:(2)10.根据y =cos x 的图象解不等式:-32≤cos x ≤12,x ∈[0,2π]. 解析:函数y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象如图所示:根据图象可得不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3. [能力提升](20分钟,40分)11.已知函数y =2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y =2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积为( )A .4B .8C .2πD .4π解析:依题意,由余弦函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,0和点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2,0成中心对称,可得y =2cosx (0≤x ≤2π)的图象和直线y =2围成的封闭图形的面积为2π×2=4π.答案:D12.函数y =2cos x -2的定义域是________. 解析:要使函数有意义,只需2cos x -2≥0,即cos x ≥22.由余弦函数图象知(如图),所求定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4+2k π,π4+2k π,k ∈Z .答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4+2k π,π4+2k π,k ∈Z 13.利用“五点法”作出y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,52π的图象.解析:列表如下:14.利用图象变换作出下列函数的简图:(1)y=1-cos x,x∈[0,2π];(2)y=|sin x|,x∈[0,4π].解析:(1)首先用“五点法”作出函数y=cos x,x∈[0,2π]的简图,再作出y=cos x,x∈[0,2π]的简图关于x轴对称的简图,即y=-cos x,x∈[0,2π]的简图,将y=-cos x,x∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y=1-cos x,x∈[0,2π]的简图,如图所示.(2)首先用“五点法”作出函数y=sin x,x∈[0,4π]的简图,再将该简图在x轴下方的部分翻折到x轴的上方,即得到y=|sin x|,x∈[0,4π]的简图,如图所示.。
1.4.1正弦函数、余弦函数的图像

y 1
7 6
描图:用光滑曲线 将这些正弦线的终 点连结起来
3 2 11 6
O1
A O
-1
6
3
2
2 3
5 6
4 3
5 3
2
x
y=sinx ( x [0, 2 ] )
问题2:如何画函数y =sinx(x∈R)的图象?
f ( x 2k ) f ( x)
利用图象平移
(1)写出满足不等式cos x 0, x 0,2 的x的取值集合;
1 (2)写出满足不等式 sin x , x 0,2 的x的取值集合; 2
练习讲解: (1)写出满足不等式cos x 0, x 0,2 的x的取值集合;
y 1
2
o -1
2
3 2
y
1
2
o
-1
2
3 2
2
x
y cos x
y 1
2
o -1
2
3 2
2
x
例2.画出函数
x
0
y 1
y cos x,x [0,2 ] 的简图: 3
2
0 0
cosx - cosx
1 -1
-1 1
2 0 0
2
1 -1
y=cosx,x[0, 2]
2
几何画法
五点描图法
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系
y 1
2
y=cosx,x [0, 2π]
2
o -1
3 2
2
x
y=sinx,x [0, 2π]
高一数学必修四《1.4.1正弦函数、余弦函数的图象》

1.列表
x
0
6
y
0
1 2
y sinx,x 0,2
2 5
3 23 6
7 6
4 3 32
5 3
11 6
2
1 3
3
2
2
1 2
0
13 22
1
3 2
0 1
2
2.描点 3.连线
y 1-
-
0
2
3 2
2
x
1-
正弦函数的图像和余弦函数的图像分别叫 做正弦曲线和余弦曲线。
3、正弦函数的“五点画图法” 五点作图
-
-
1. y=sinx在R上的图象
y
正弦
曲线
1-
6
4
2
o
-1-
问题:怎么在整个定 义域 R范围作出正弦
函数的图像呢?
2
4
6
x
因为sin(x+2kπ)=sinx,k∈Z, 所以y=sinx在 2 k ,(2 k1 ),k0的图象与y=sinx,x∈[0,2π]的 图象形状完全一样只是位置不同.
(2)描点法 用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的?
可取如下五个特殊点:
(0,0)、( , 1)、(,0)、(3 ,-1)、 (2,0)
2
2
y
1
●
●
0
2
-1
●
3
2
●
●
2
x
3、正弦函数的“五点画图法”
(0,0)、( , 1)、(,0)、(3 ,-1)、 (2,0)
y2
2
(
最高点
, 1)
2
1
(0,0)
《正弦函数、余弦函数的图象与性质》知识清单

《正弦函数、余弦函数的图象》知识清单知识点1正弦函数、余弦函数的图象 正弦函数y =sin x余弦函数y =cos x①______知识点2周期函数 1.周期函数设函数()f x 的定义域为D ,如果存在一个⑭________常数T ,使得对每一个x D ∈都有x T D +∈,且⑮________,那么函数()f x 就叫做周期函数,⑯________叫做这个函数的周期. 2.最小正周期如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个⑰________的正数,那么这个⑱________正数就叫做()f x 的最小正周期. 知识点3正弦函数、余弦函数的性质y =sin xy =cos x⑲________【答案】①R ②(0,0)③,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭④(,0)π⑤3,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭⑥(2,0)π⑦(0,1)⑧,02π⎛⎫⎪⎝⎭⑨(,1)π-⑩3,02π⎛⎫⎪⎝⎭⑪(2,1)π⑫左(或右)⑬(2π或3)2π⑭非零⑮()()f x T f x +=⑯非零常数T ⑰最小⑱最小⑲R ⑳2π○21 [1,1]-○2222k ππ+○23322k ππ+○242k π○252k ππ+○26奇○27偶○282x k ππ=+○29x k π=○302,222k k ππππ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦○3132,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦○32[2,2]k k πππ-○33[2,2]k k πππ+ 【知识辨析】判断正误,正确的画“√”,错误的画“⨯”. 1.正、余弦函数的图象形状相同,位置不同.( ) 2.正、余弦函数的图象向左、右和上、下无限伸展.( ) 3.函数sin y x =的图象向右平移2π个单位长度得到函数cos y x =的图象.( )4.直线12y =与函数sin ,[0,2]y x x π=∈的图象有两个交点.( ) 5.周期函数()y f x =的周期可能只有一个.( ) 6.任何周期函数都有最小正周期.( )7.若存在正数T ,使()()f x T f x +=-,则2T 为函数()f x 的周期.( )8.sin y x =的图象与cos y x =的图象既是中心对称图形又是轴对称图形.( ) 9.正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数.( )10.存在实数x ,使得sin x =【答案】 1.√2.×正、余弦函数的图象向左、右无限伸展,但上、下限定在直线y =1和y =-1之间.3.×函数y =sin x 的图象向左(或右)平移2π(或32π)个单位长度得到函数y =cos x 的图象. 4.√5.×周期函数的周期一定有无限个,如T 是它的周期,则nT (n ∈Z ,n ≠0)也是它的周期.6.×对于常数函数f (x )=c ,任意一个正实数都是其周期,因而不存在最小正周期.7.√8.√9.×正弦函数、余弦函数在定义域内呈周期性变化,增减交替,不是单调函数. 10.×正弦函数的最大值为1.。
正、余弦函数图象和性质_知识点和经典习题

余弦函数图象和性质一、知识点梳理:1.正、余弦函数图象和性质表函数 正弦函数R x x y ∈=,sin余弦函数R x x y ∈=,cos定义域),(+∞-∞),(+∞-∞值域]1,1[-当=x时,1max =y 当=x时,1min -=y]1,1[-当=x 时,1max =y 当=x时,1min -=y周期性 是周期函数,最小正周期=T 是周期函数,最小正周期=T奇偶性奇函数,图象关于 对称 偶函数,图象关于 对称 单调性在)(],[Z k ∈上是增函数 在)(],[Z k ∈上是减函数 在)(], [Z k ∈上是增函数 在)(],[Z k ∈上是减函数 对称轴 )(,Z k x ∈=)(,Z k x ∈=对称 中心)( ),(Z k ∈)( ),(Z k ∈2.利用“五点法”作函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω(其中0,0>>ωA )的简图,是将ϕω+x 看着一个整体,先令ππππϕω2,23,,2,0=+x 列表求出对应的x 的值与y 的值,用平滑曲线连结各点,即可得到其在一个周期内的图象。
3.研究函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω(其中0,0>>ωA )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将ϕω+x 看着整体并与基本正弦函数加以对照而得出。
它的最小正周期||2ωπ=T 4.图象变换 (1)振幅变换 Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,sin A(2)周期变换Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ωωω11)(01)(R x x y ∈=,sin ω(3)相位变换 Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ二、习题训练1、要得到函数x x y 2cos 2sin -=的图象,只要将函数x x y 2cos 2sin +=的图象沿x 轴( )个单位 A .向右平移4πB .向左平移4πC .向右平移2πD .向左平移2π2、已知的定义域是函数x x y o x cos sin ),2,(-+=∈π ( )A.][0,πB.]23,2[ππC. ],2[ππD. ],223[ππ3、如果mm x 44cos +=有意义,则m 的取值范围是( )A .4≤mB .4≥m C. 4=m D .4≠m4、若x x f sin )(是周期为π的奇函数,则)(x f 可以是 ( )A .x sinB .x cos C. x 2sin D .x 2cos5、对于函数)0,(A, )sin(的常数均为不等于,ϕωϕω+=x A y ,有下列说法: ①最大值为A ; ②最小正周期为|2|ωπ; ③在],0[π至少有一个x ,使得0=y ;④由)( 2222Z k k x k ∈+≤+≤-ππϕωππ解得x 的区间即为原函数的递增区间。
(完整版)正余弦函数图像和性质练习题(最新整理)

12.已知函数 y= f(x)的定义域是[0, 1 ],求函数 y=f(sin2x) 的定义域. 4
13. 已知函数 f(x) =sin(2x+φ)为奇函数,求 φ 的值.
*14.已知 y=a-bcos3x 的最大值为 3 ,最小值为 1 ,求实数 a 与 b 的值.
2
2
“
”
“
”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象(解析版)

§1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象学习目标1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法,能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.知识点一 正弦函数、余弦函数的概念实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系,而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦(或余弦)值.这样,任意给定一个实数x ,有唯一确定的值sin x (或cos x )与之对应.由这个对应法则所确定的函数y =sin x (或y =cos x )叫做正弦函数(或余弦函数),其定义域是R . 知识点二 几何法作正弦函数、余弦函数的图象利用正弦线,这种作图方法称为“几何法”,其基本步骤如下:①作出单位圆:作平面直角坐标系,并在直角坐标系中y 轴左侧的x 轴上取一点O 1,作出以O 1为圆心的单位圆;②等分单位圆,作正弦线:从⊙O 1与x 轴的交点A 起,把⊙O 1分成12等份.过⊙O 1上各分点作x 轴的垂线,得到对应于0,π6,π3,π2,…,2π等角的正弦线;③找横坐标:把x 轴上从0到2π这一段分成12等份;④找纵坐标:把角x 的正弦线向右平移,使它的起点与x 轴上对应的点x 重合,从而得到12条正弦线的12个终点;⑤连线:用光滑的曲线将12个终点依次从左至右连接起来,即得到函数y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象,如图.因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y =sin x ,x ∈[2k π,2(k +1)π),k ∈Z 且k ≠0的图象与函数y =sin x ,x ∈[0,2π)的图象的形状完全一致.于是只要将函数y =sin x ,x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y =sin x ,x ∈R 的图象,如图.把y =sin x ,x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度,即可得到y =cos x ,x ∈R 的图象.正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线. 知识点三 “五点法”作正弦函数、余弦函数的图象“五点法”作正弦函数y =sin x (x ∈[0,2π])、余弦函数y =cos x ,x ∈[0,2π]图象的步骤 1.列表2.描点画正弦函数y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象,五个关键点是 (0,0),⎝⎛⎭⎫π2,1,(π,0),⎝⎛⎭⎫3π2,-1,(2π,0); 画余弦函数y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象,五个关键点是 (0,1),⎝⎛⎭⎫π2,0,(π,-1),⎝⎛⎭⎫3π2,0,(2π,1). 3.用光滑曲线顺次连接这五个点,得到正弦函数y =sin x (x ∈[0,2π])、余弦函数y =cos x (x ∈[0,2π])的简图.1.正弦函数y =sin x 的图象向左、右和上、下无限伸展.( × )提示 正弦函数y =sin x 的图象向左、右无限伸展,但上、下限定在直线y =1和y =-1之间.2.函数y =sin x 与y =sin(-x )的图象完全相同.( × ) 提示 二者图象不同,而是关于x 轴对称.3.余弦函数y =cos x 的图象与x 轴有无数个交点.( √ )4.余弦函数y =cos x 的图象与y =sin x 的图象形状和位置都不一样.( × ) 提示 函数y =cos x 的图象与y =sin x 的图象形状一样,只是位置不同.题型一“五点法”作图的应用例1利用“五点法”作出函数y=1-sin x(0≤x≤2π)的简图.考点正弦函数图象题点正弦函数图象解(1)取值列表:(2)描点连线,如图所示.反思感悟作正弦曲线要理解几何法作图,掌握五点法作图.“五点”即y=sin x或y=cos x 的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法.跟踪训练1 利用“五点法”作出函数y =-1-cos x (0≤x ≤2π)的简图. 解 (1)取值列表如下:(2)描点连线,如图所示.题型二 利用正弦、余弦函数图象求定义域 例2 求函数f (x )=lg sin x +16-x 2的定义域. 考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用解 由题意,得x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0,16-x 2≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0,-4≤x ≤4,作出y =sin x 的图象,如图所示.结合图象可得x ∈[-4,-π)∪(0,π).反思感悟 一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到,同时要注意区间端点的取舍.跟踪训练2 求函数y = log 21sin x-1的定义域. 考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用解 为使函数有意义,需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x -1≥0,sin x >0,即0<sin x ≤12.由正弦函数的图象或单位圆(如图所示),可得函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤2k π+π6或2k π+5π6≤x <2k π+π,k ∈Z .正弦、余弦函数图象的应用典例 利用正弦曲线,求满足12<sin x ≤32的x 的集合.考点 正弦函数的图象 题点 正弦函数图象的应用解 首先作出y =sin x 在[0,2π]上的图象,如图所示,作直线y =12,根据特殊角的正弦值,可知该直线与y =sin x ,x ∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6.作直线y =32,该直线与y =sin x ,x ∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3. 观察图象可知,在[0,2π]上,当π6<x ≤π3或2π3≤x <5π6时,不等式12<sin x ≤32成立.所以12<sin x ≤32的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪ π6+2k π<x ≤π3+2k π,⎭⎬⎫或2π3+2k π≤x <5π6+2k π,k ∈Z . [素养评析] 作出相应正弦、余弦函数的图象,借助三角函数图象使问题得解,这正是数学核心素养直观想象的具体体现.1.用“五点法”作y =2sin 2x 的图象时,首先描出的五个点的横坐标是( ) A .0,π2,π,3π2,2πB .0,π4,π2,3π4,πC .0,π,2π,3π,4πD .0,π6,π3,π2,2π3考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象 答案 B解析 “五点法”作图是当2x =0,π2,π,3π2,2π时的x 的值,此时x =0,π4,π2,3π4,π,故选B.2.函数y =-sin x ,x ∈⎣⎡⎦⎤-π2,3π2的简图是( )考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象 答案 D解析 方法一 由y =sin x ,x ∈⎣⎡⎦⎤-π2,3π2的图象,作关于x 轴的对称图象,就可以得到函数y =-sin x ,x ∈⎣⎡⎦⎤-π2,3π2的简图. 方法二 可以用特殊点来验证. x =0时,y =-sin 0=0,排除A ,C. 当x =3π2时,y =-sin 3π2=1,排除B.3.在[0,2π]内,不等式sin x <-32的解集是( ) A .(0,π) B.⎝⎛⎭⎫π3,4π3 C.⎝⎛⎭⎫4π3,5π3 D.⎝⎛⎭⎫5π3,2π考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用 答案 C解析 画出y =sin x ,x ∈[0,2π]的草图如下:因为sin π3=32,所以sin ⎝⎛⎭⎫π+π3=-32,sin ⎝⎛⎭⎫2π-π3=-32. 即在[0,2π]内,满足sin x =-32的是x =4π3或x =5π3. 可知不等式sin x <-32的解集是⎝⎛⎭⎫4π3,5π3. 4.点M ⎝⎛⎭⎫π2,-m 在函数y =sin x 的图象上,则m =________. 考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用 答案 -1解析 点M 在y =sin x 的图象上, 代入坐标得-m =sin π2=1,所以m =-1.5.函数y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象与直线y =-12的交点有________个.答案 2解析 画图可知(图略).1.对“五点法”画正弦函数图象的理解(1)与前面学习函数图象的画法类似,在用描点法探究函数图象特征的前提下,若要求精度不高,只要描出函数图象的“关键点”,就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图.(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点.2.作函数y=a sin x+b的图象的步骤3.用“五点法”画的正弦型函数在一个周期[0,2π]内的图象,如果要画出在其他区间上的图象,可依据图象的变化趋势和周期性画出.一、选择题1.以下对正弦函数y =sin x 的图象描述不正确的是( ) A .在x ∈[2k π,2(k +1)π](k ∈Z )上的图象形状相同,只是位置不同 B .介于直线y =1与直线y =-1之间 C .关于x 轴对称 D .与y 轴仅有一个交点 考点 正弦函数的图象 题点 正弦函数图象的应用 答案 C解析 画出y =sin x 的图象(图略),根据图象可知A ,B ,D 三项都正确.2.用“五点法”作函数y =2sin x -1的图象时,首先应描出的五点的横坐标可以是( ) A .0,π2,π,3π2,2πB .0,π4,π2,3π4,πC .0,π,2π,3π,4πD .0,π6,π3,π2,2π3考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象 答案 A解析 由“五点法”可知选A.3.(2018·山西孝义高二期末)对于余弦函数y =cos x 的图象,有以下描述: ①将[0,2π]内的图象向左、向右平移2k π(k ∈Z )个单位长度;②与y=sin x图象形状完全一样,只是位置不同;③与x轴有无数个交点;④关于y轴对称.其中正确的描述有()A.1个B.2个C.3个D.4个考点余弦函数的图象题点余弦函数图象的应用答案 D解析根据余弦函数的图象可以判断都正确.4.(2018·安徽滁州高二期末)函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图象是()考点正弦函数的图象题点正弦函数图象答案 B解析 当x =π2时,y =0;当x =0时,y =1; 当x =2π时,y =1;结合正弦函数的图象可知B 正确. 5.下列各组函数中图象相同的是( ) ①y =cos x 与y =cos(π+x ); ②y =sin ⎝⎛⎭⎫x -π2与y =sin ⎝⎛⎭⎫x +π2; ③y =sin x 与y =sin(-x ); ④y =sin(2π+x )与y =sin x .A .①③B .①②C .③④D .④ 考点 正弦、余弦函数图象的综合应用 题点 正弦、余弦函数图象的综合应用 答案 D解析 由诱导公式知,只有④中,y =sin(2π+x )=sin x . 6.方程|x |=cos x 在(-∞,+∞)内( ) A .没有根 B .有且仅有一个根 C .有且仅有两个根 D .有无穷多个根考点 余弦函数的图象 题点 余弦函数图象的应用 答案 C解析 在同一坐标系中作出函数y =|x |及函数y =cos x 的图象,如图所示.由图知两函数的图象有两个交点,所以方程|x |=cos x 有两个根. 7.(2018·广西贺州高二期末)在[0,2π]上,满足sin x ≥22的x 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0,π6 B.⎣⎡⎦⎤π4,5π4 C.⎣⎡⎦⎤π4,3π4 D.⎣⎡⎦⎤3π4,π考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用 答案 C解析 如图所示,在同一坐标系内作出y =sin x 在[0,2π]上的图象和y =22的图象.由图可知,满足sin x ≥22的x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4,3π4. 8.函数y =cos x +|cos x |,x ∈[0,2π]的大致图象为( )答案 D解析 y =cos x +|cos x |=⎩⎨⎧2cos x ,x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2∪⎣⎡⎦⎤3π2,2π,0,x ∈⎝⎛⎭⎫π2,3π2,故选D.二、填空题9.若sin x =2m +1且x ∈R ,则m 的取值范围是________. 答案 [-1,0]解析 ∵2m +1=sin x ∈[-1,1], 即-1≤2m +1≤1, ∴-1≤m ≤0.10.不等式sin x <-12,x ∈[0,2π]的解集为________.答案 ⎝⎛⎭⎫7π6,11π611.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧sin x ,x ≥0,x +2,x <0,则不等式f (x )>12的解集是____________.考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪-32<x <0或π6+2k π<x <5π6+2k π,k ∈N 解析 在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )和函数y =12的图象,如图所示.当f (x )>12时,函数f (x )的图象位于函数y =12的图象的上方,此时-32<x <0或π6+2k π<x <5π6+2k π(k ∈N ).三、解答题12.求函数y =1-2cos x +lg(2sin x -1)的定义域. 考点 正弦、余弦函数图象的综合应用 题点 正弦、余弦函数图象的综合应用 解 要使函数有意义,只要⎩⎪⎨⎪⎧1-2cos x ≥0,2sin x -1>0,即⎩⎨⎧cos x ≤12,sin x >12.如图所示.cos x ≤12的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3+2k π≤x ≤53π+2k π,k ∈Z .sin x >12的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6+2k π<x <5π6+2k π,k ∈Z ,它们的交集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3+2k π≤x <5π6+2k π,k ∈Z ,即为函数的定义域.13.用“五点法”作出函数y =1-2sin x ,x ∈[-π,π]的简图,并回答下列问题: (1)观察函数图象,写出满足下列条件的x 的区间.①y>1;②y<1.(2)若直线y=a与y=1-2sin x,x∈[-π,π]的图象有两个交点,求a的取值范围.考点正弦函数图象题点正弦函数图象的应用解列表如下:描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图:(1)由图象可知,图象在直线y=1上方部分时y>1,在直线y=1下方部分时y<1,所以①当x∈(-π,0)时,y>1;②当x∈(0,π)时,y<1.(2)由图可知,当直线y=a与y=1-2sin x,x∈[-π,π]的图象有两个交点时,1<a<3或-1<a<1,所以a的取值范围是(-1,1)∪(1,3).14.(2018·广西钦州高二期末)已知函数y =sin x ,x ∈⎣⎡⎦⎤π2,5π2的图象与直线y =1围成一个平面图形,则这个封闭图形的面积是( ) A .2 B .4 C .2π D .4π 考点 正弦函数图象 题点 正弦函图图象的应用 答案 C解析 如图,由正弦函数图象的对称性知,所围成平面图形的面积是长为5π2-π2=2π,宽为1的矩形的面积, ∴S =2π.15.函数f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,2π]的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,求k 的取值范围.考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用解 f (x )=sin x +2|sin x |=⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ,x ∈[0,π],-sin x ,x ∈(π,2π].图象如图所示,若使f (x )的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,根据图象可得k 的取值范围是(1,3).。
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余弦函数与正切函数的图象和性质【学习目标】1.能借助正弦线画出正弦函数的图象,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.2.借助图象理解余弦函数的性质.3.借助正切线画出正切函数的图象,并通过该图象理解正切函数的性质. 【要点梳理】要点一:余弦函数图象的画法 1.描点法:按照列表、描点、连线三步法作出余弦函数图象的方法. 2.几何法利用三角函数线作出余弦函数在]2,0[π内的图象,再通过平移得到cos y x =的图象. 3.五点法先描出余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点,再利用光滑曲线把这五点连接起来,就得到余弦曲线在一个周期内的图象.在确定余弦函数cos y x =在]2,0[π上的图象形状时,起关键作用的五个点是3(0,1),(,0),(,1),(,0),(2,1)22ππππ-要点诠释:(1)熟记余弦函数图象起关键作用的五点.(2)若x R ∈,可先作出余弦函数在]2,0[π上的图象,然后通过左、右平移可得到cos y x =的图象.(3)由诱导公式cos sin()2y x x π==+,故cos y x =的图象也可以将x y sin =的图象上所有点向左平移2π个单位长度得到.要点二:余弦曲线(1)定义:余弦函数cos ()y x x R =∈的图象分别叫做余弦曲线. (2)图象要点诠释:(1)由余弦曲线可以研究余弦函数的性质.(2)运用数形结合的思想研究与余弦函数有关的问题. 要点三:余弦函数的性质函数 余弦函数y=cosx定义域 R 值域 [-1,1] 奇偶性 偶函数 周期性最小正周期2π 单调区间(k ∈Z )增区间[]22k k πππ-,减区间[]22k k πππ+, 最值点(k ∈Z )最大值点()21k π,最小值点()2,1k ππ+-对称中心(k ∈Z ) (,0)2k ππ+对称轴(k ∈Z ) x k π=要点诠释:(1)余弦函数的值域为[]1,1-,是指整个余弦函数或一个周期内的余弦曲线,如果定义域不是全体实数,那么余弦函数的值域就可能不是[]1,1-,因而求余弦函数的值域时,要特别注意其定义域。
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第一章 三角函数 §1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
课时目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数
的图象.
1.正弦曲线、余弦曲线
2.“五点法”画图
画正弦函数y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象,五个关键点是_________________________; 画余弦函数y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象,五个关键点是__________________________. 3.正、余弦曲线的联系
依据诱导公式cos x =sin ⎝⎛⎭⎫x +π2,要得到y =cos x 的图象,
只需把y =sin x 的图象向________平移π
2个单位长度即可.
知识点归纳:
1.正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用,是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础.
2.五点法是画三角函数图象的基本方法,要熟练掌握,与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一.
一、选择题
1.函数y =sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A .x 轴 B .y 轴
C .直线y =x
D .直线x =π
2
2.函数y =cos x (x ∈R )的图象向右平移π
2
个单位后,得到函数y =g (x )的图象,则g (x )的解析
式为( )
A .-sin x
B .sin x
C .-cos x
D .cos x
3.函数y =-sin x ,x ∈[-π2,3π
2
]的简图是( )
4.在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4,3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4,π2∪⎝⎛⎦⎤5π4,3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4,π2 D.⎝⎛⎭
⎫5π4,7π4 5.若函数y =2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y =2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是( )
A .4
B .8
C .2π
D .4π 6.方程sin x =lg x 的解的个数是( )
A .1
B .2
C .3
D .4 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 7.函数y =sin x ,x ∈R 的图象向右平移π
2
个单位后所得图象对应的函数解析式是__________.
8.函数y =2cos x +1的定义域是________________. 9.方程x 2-cos x =0的实数解的个数是________.
10.设0≤x ≤2π,且|cos x -sin x |=sin x -cos x ,则x 的取值范围为________. 三、解答题
11.利用“五点法”作出下列函数的简图: (1)y =1-sin x (0≤x ≤2π); (2)y =-1-cos x (0≤x ≤2π).
12.分别作出下列函数的图象.
(1)y=|sin x|,x∈R;
(2)y=sin|x|,x∈R.
能力提升
13.求函数f(x)=lg sin x+16-x2的定义域.
14.函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,求k 的取值范围.
§1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
答案
知识梳理
2.(0,0),⎝⎛⎭⎫π2,1,(π,0),⎝⎛⎭⎫32π,-1,(2π,0) (0,1),⎝⎛⎭⎫π2,0,(π,-1),⎝⎛⎭
⎫3
2π,0,(2π,1) 3.左 作业设计
1.D 2.B 3.D 4.A [
∵sin x >|cos x |,
∴sin x >0,∴x ∈(0,π),在同一坐标系中画出y =sin x ,x ∈(0,π)与y =|cos x |,x ∈(0,π)
的图象,观察图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫
π4,34π.] 5.D [
作出函数y =2cos x ,x ∈[0,2π]的图象,函数y =2cos x ,x ∈[0,2π]的图象与直线y =2围成的平面图形,如图所示的阴影部分.
利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC 的面积,又∵|OA |=2,|OC |=2π, ∴S 平面图形=S 矩形OABC =2×2π=4π.]
6.C [用五点法画出函数y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象,再依次向左、右连续平移2π个单位,得到y =sin x 的图象.
描出点⎝⎛⎭⎫110,-1,(1,0),(10,1)并用光滑曲线连接得到y =lg x 的图象,如图所示.
由图象可知方程sin x =lg x 的解有3个.]
7.y =-cos x
解析 y =sin x 2
π
−−−−−−→向右平移个单位
y =sin ⎝⎛⎭
⎫x -π2 ∵sin ⎝⎛⎭⎫x -π2=-sin ⎝⎛⎭⎫π
2-x =-cos x ,∴y =-cos x . 8.⎣
⎡⎦⎤2k π-23π,2k π+2
3π,k ∈Z 解析 2cos x +1≥0,cos x ≥-1
2
,结合图象知x ∈⎣⎡⎦⎤2k π-23π,2k π+2π3,k ∈Z . 9.2
解析 作函数y =cos x 与y =x 2的图象,如图所示, 由图象,可知原方程有两个实数解.
10.⎣⎡⎦⎤π4,5π4
解析 由题意知sin x -cos x ≥0,即cos x ≤sin x ,在同一坐标系画出y =sin x ,x ∈[0,2π]与 y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象,如图所示:
观察图象知x ∈[π4,5
4
π].
11.解 利用“五点法”作图 (1)列表:
X 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 -1 0 1-sin x
1
1
2
1
描点作图,如图所示.
(2)列表:
X
0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 -1 0 1 -1-cos x
-2
-1
-1
-2
描点作图,如图所示.
12.解 (1)y =|sin x |=⎩
⎪⎨⎪⎧
sin x (2k π≤x ≤2k π+π)
-sin x (2k π+π<x ≤2k π+2π) (k ∈Z ).
其图象如图所示,
(2)y =sin|x |=⎩
⎪⎨⎪
⎧
sin x (x ≥0)-sin x (x <0),其图象如图所示,
13.解 由题意,x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >016-x 2≥0,即⎩
⎪⎨⎪
⎧
-4≤x ≤4sin x >0,作出y =sin x 的图象,如
图所示.
结合图象可得:x ∈[-4,-π)∪(0,π).
14.解 f (x )=sin x +2|sin x |=⎩
⎪⎨⎪⎧
3sin x x ∈[0,π],
-sin x x ∈(π,2π].
图象如图,
若使f (x )的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,根据上图可得k 的取值范围是(1,3).。