初三圆的经典例题
圆练习题初三带答案
圆练习题初三带答案1. 已知圆的半径为6cm，求圆的直径。
答案：圆的直径是半径的2倍，所以直径为2 * 6cm = 12cm。
2. 已知圆的半径为9cm，求圆的周长。
答案：圆的周长可以通过公式C = 2 * π * r计算，其中π取近似值3.14。
代入半径r = 9cm，可得C = 2 * 3.14 * 9cm ≈ 56.52cm。
3. 已知圆的直径为18cm，求圆的面积。
答案：圆的面积可以通过公式A = π * r^2计算，其中π取近似值3.14。
由于直径d = 2 * r，代入直径d = 18cm，可得半径r = d / 2 =18cm / 2 = 9cm。
再代入半径r = 9cm，可得A = 3.14 * (9cm)^2 ≈ 254.34cm^2。
4. 已知圆的周长为30πcm，求圆的半径。
答案：圆的周长C = 2 * π * r，由题意可得30πcm = 2πr，化简得 r = 30cm / 2 = 15cm。
所以圆的半径为15cm。
5. 已知圆的面积为64πcm^2，求圆的直径。
答案：圆的面积A = π * r^2，由题意可得64πcm^2 = π * r^2，化简得 r^2 = 64cm^2，再开方得 r = 8cm。
圆的直径是半径的2倍，所以直径为 2 * 8cm = 16cm。
6. 在直径为10cm的圆中，一条弧的长度为8πcm，求该弧所对的圆心角的度数。
答案：圆周长C = 2 * π * r，弧长与圆周长的比例等于圆心角度数与360度的比例。
即8πcm / (2π * 5cm) = x度 / 360度，化简得 x度= 8πcm / (2 * 5cm) * 360度≈ 288度。
所以该弧所对的圆心角的度数为288度。
7. 在半径为7cm的圆中，一条弦的长度为10cm，求该弦所对的圆心角的正弦值。
答案：根据余弦定理可知，弦的长度与圆心角的正弦值的关系为2* sin(θ/2) = 弦长 / 半径。
初三圆经典例题
有关圆的经典例题 1.在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。
132O AB AC BAC分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB 与AC 有不同的位置关系。
解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论，当AB 、AC 在圆心O 的异侧时，如下图所示，过O 作OD ⊥AB 于D ，过O 作OE ⊥AC 于E ，∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°，当AB 、AC 在圆心O 同侧时，如下图所示，同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°，∴∠BAC=15°点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。
例2.如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ，（1）求证：△ABC 是直角三角形； 分析：()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ⋂ 则AF=FB ，OD ⊥AB ，可证DF 是△ABC 的中位线；（2）延长DO 交⊙O 于E ，连接AE ，由于∠DAE=90°，DE ⊥AB ，∴△ADF解：（1）证明，作直径DE 交AB 于F ，交圆于E又∵AD=DC∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。
（2）解：连结AE∵DE 是⊙O 的直径∴∠DAE=90°而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△EDA例3.如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（） 分析：要比较与的大小，可以用下面两种思路进行：AB CD ⋂⋂2解：解法（一），如图，过圆心O 作半径OF ⊥AB ，垂足为E ， ∵AF FB AF FB ⋂=⋂=，∴在△AFB 中，有AF+FB>AB∴选A 。
解法（二），如图，作弦DE=CD ，连结CE在△CDE 中，有CD+DE>CE∴2CD>CE∵AB=2CD ，∴AB>CE∴选A 。
初三数学有关圆的经典例题.pdf
有关圆的经典例题1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。
132O AB AC BAC2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ，如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ⋂（1）求证：△ABC 是直角三角形； ()22求的值AD BC3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ） A AB CD B AB CD ..⋂>⋂⋂<⋂22C AB CDD AB CD ..⋂=⋂⋂⋂22与的大小关系不确定4.如图，四边形内接于半径为的⊙，已知，ABCD 2O AB BC AD ===141求CD 的长。
5.如图，、分别是⊙的直径和弦，为劣弧上一点，⊥AB AC O D AC DE AB⋂于H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为ED 的延长线上一点。
（1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切，为什么？()22当点在劣弧的什么位置时，才能使·，为什么？D AC AD DE DF ⋂=6.如图，四边形是矩形，以为直径作半圆，过点ABCD ()AB BC BC O >12D 作半圆的切线交AB 于E ，切点为F ，若AE ：BE=2：1，求tan ∠ADE 的值。
分析：要求tan ∠ADE ，在Rt △AED 中，若能求出AE 、AD ，根据正切的定义就可以得到。
ED=EF+FD ，而EF=EB ，FD=CD ，结合矩形的性质，可以得到ED 和AE 的关系，进一步可求出AE ：AD 。
解：∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ⊥AB ，BC ⊥DC ∴AB 、DC 切⊙O 于点B 和点C ，∵DE 切⊙O 于F ，∴DF=DC ，EF=EB ，即DE=DC+EB ， 又∵AE ：EB=2：1，设BE=x ，则AE=2x ，DC=AB=3x ， DE=DC+EB=4x ，在Rt △AED 中，AE=2x ，DE=4x ，∴AD x =23则∠tan ADE AE AD x x ===22333点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。
关于圆的练习题初三大题
关于圆的练习题初三大题一、基础练习题1.计算圆的直径、周长和面积，给定圆的半径为5cm。
解析：圆的直径等于半径的两倍，周长等于半径乘以2π，面积等于半径的平方乘以π。
直径 = 半径 × 2 = 5cm × 2 = 10cm周长 = 半径× 2π = 5cm × 2 × 3.14 ≈ 31.4cm面积 = 半径² × π = 5cm² × 3.14 ≈ 78.5cm²2.已知圆的周长为18π cm，求其半径和面积。
解析：已知周长等于半径乘以2π，面积等于半径的平方乘以π。
将已知周长代入求解半径，再代入求解面积。
周长 = 半径× 2π18π cm = 半径× 2π半径= 18π cm ÷ 2π = 9cm面积 = 半径² × π面积= 9cm × 9cm × π面积≈ 254.34cm²二、综合练习题1.已知两个圆的半径分别为3cm和5cm，求它们的周长、面积和轨迹之间的关系。
解析：可以通过计算两个圆的周长和面积，观察它们之间的关系。
第一个圆的半径为3cm：周长 = 半径× 2π = 3cm × 2 × 3.14 ≈ 18.84cm面积 = 半径² × π = 3cm² × 3.14 ≈ 28.26cm²第二个圆的半径为5cm：周长 = 半径× 2π = 5cm × 2 × 3.14 ≈ 31.4cm面积 = 半径² × π = 5cm² × 3.14 ≈ 78.5cm²可以观察到，两个圆的周长和面积不同，且与半径的大小有关。
轨迹是指所有可能取得的位置，因此在这种情况下，两个圆的轨迹是不相交的，且面积较大的圆所覆盖的范围更广。
初三圆的问题中考练习题
初三圆的问题中考练习题在初三数学题中，圆的问题是一个非常重要的考点。
掌握圆的性质和相关的计算方法对于解题至关重要。
下面是一些初三圆的问题中考练习题，帮助大家巩固对于圆的理解和应用。
1. 已知半径为4cm的圆，求其面积和周长。
解析：圆的面积公式为S=πr²，周长公式为C=2πr。
代入半径r=4cm，可以得到面积S=16πcm²，周长C=8πcm。
2. 在一个半径为6cm的圆内，画一个扇形，其圆心角为60°，求扇形的面积。
解析：扇形的面积公式为S=(θ/360°)πr²，其中θ为圆心角。
代入半径r=6cm，圆心角θ=60°，可以得到扇形的面积S=(1/6)π×6²=6πcm²。
3. 在一个半径为10cm的圆上，取一个 60°的圆心角所对的弧AB，求弧长AB。
解析：弧长公式为L=(θ/360°)×2πr，其中θ为圆心角。
代入半径r=10cm，圆心角θ=60°，可以得到弧长L=(1/6)×2π×10=10π/3 cm。
4. 如图，直径AC和BD相交于点E，⊙O是⊙C和⊙D的公切线，交于点F，⊙O与AB交于点G，证明：BF=BG。
提示：首先可以证明三角形AGC与BFC相似，然后利用圆的性质证明两边对应相等。
5. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且BC=2cm。
过点C作AO的垂线，交AO于点D，点E是DC的中点，求AE的长度。
提示：由于CD是⊙O的半径，所以ADC是等腰直角三角形，可以利用勾股定理计算AE的长度。
6. 如图，AB是⊙O的直径，C是AB上一点，AC=4cm，BC=3cm，点D在⊙O上，且∠CBD=∠CAB，求CD的长度。
提示：由于∠CBD=∠CAB，所以BCD与BAC相似，可以利用相似三角形的性质计算CD的长度。
7. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，交BC于点D，交⊙O于点E，过点A和点D分别作⊙O的切线，交于点F，证明：BF=DE。
九年级数学圆的经典题
九年级上册圆经典题同步练习A 组1.如图所示，MN 为⊙O 的弦，∠N ＝50°，则∠MON 的度数为()A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°2.已知⊙O 的半径是5，点A 到圆心O 的距离是7，则点A 与⊙O 的位置关系是()A ．点A 在⊙O 上B ．点A 在⊙O 内C ．点A 在⊙O 外D ．点A 与圆心O 重合3.如图所示，圆中弦的条数是()A ．2B ．3C ．4D ．54.如图，AC 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，下列说法错误的是（）A.弦BC 所对的弧有两条B.图中共有四条弦C.图中共有两条劣弧D.图中共有两条优化5.如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ⊥CD 于点E ，则图中共有劣弧______条，写出其中的一条优弧，如_____________．6.如图，矩形ABCD 的边AB=4cm ，AD=5cm.以A 为圆心，4cm 为半径作⊙A ，试判断点B ，C ，D 与⊙A 的位置关系.7.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8，以点B 为圆心，6为半径作⊙B.（1）AB 与AC 的中点D ，E 与⊙B 有怎样的位置关系?（2）若要让点A 和点C 有且只有一个点在⊙B 内，则⊙B 的半径应满足什么条件?N OM第1题A OC第3题BDE C OB第4题A B第5题AB CDCBAEDB 组8.在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为2，下列说法中不正确的是()A ．当a ＜5时，点B 在⊙A 内B ．当1＜a ＜5时，点B 在⊙A 内C ．当a ＜1时，点B 在⊙A 外D ．当a ＞5时，点B 在⊙A 外9.已知⊙O 外有一点P ，⊙O 上有一点Q ，线段PQ 长的最小值为4cm ，最大值为9cm ，则⊙O 的半径为___________．C 组10.如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，延长DC 与BA 的延长线相交于点P ，且PC ＝OB ，∠BOD ＝99°，求∠P 的度数．BOPDCA3.1圆（2）A 组1.能确定一个圆的是()A ．已知圆心B ．已知半径C ．过三个已知点D ．过三角形的三个顶点2.三角形的外心具有的性质是()A ．到三边的距离相等B ．到三个顶点的距离相等C ．外心在三角形外D ．外心在三角形内3.如图所示，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是()A ．点PB ．点QC ．点RD ．点M4.用直尺和圆规作出如图三角形的外接圆（只需要作出图形，并保留作图痕迹，不必谢作图过程）5.如图，已知线段AB.（1）经过A ，B 两点可做_______个圆，这些圆的圆心都在_______________.（2）作经过A ，B 两点的所有圆中最小的圆.6.已知A ，B ，C 三点.（1）当AB ＝1cm,BC ＝2cm ，AC ＝3cm 时，A ，B ，C 三点_________（填“能”或“不能”）确定一个圆，理由是_______________________________.（2）当AB ＝6cm,BC ＝8cm ，AC ＝10cm 时A ，B ，C 三点_________（填“能”或“不能”）确定一个圆，理由是_______________________________.第3题A BCBACBA7.在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，那么这个三角形的外接圆直径是_____________.B 组8.已知一个等边三角形的边长为6，则这个三角形的外接圆的半径长为()A ．2B.3C ．3D ．239.如图所示，小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A ，B ，C ，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．（1）请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；（2）若在△ABC 中，AB ＝8m ，AC ＝6m ，∠BAC ＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．C 组10.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，P 的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)．若点C 在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P 点是△ABC 的外心，求点C 的坐标．BAC3.2图形的旋转A 组1.下列现象中属于旋转的是()A ．电梯的升降运动B ．飞机起飞后冲向空中的过程C ．汽车方向盘的转动D ．笔直的铁轨上飞驰而过的火车2.如图所示，△ABC 按顺时针方向旋转一个角度后得△A′B ′C′，图中的旋转中心是()A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．B ′点3.风力发电机可以在风力作用下发电．如图所示的转子叶片图案绕中心旋转n °后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是()A ．45B ．60C ．90D ．1204.如图所示，直角三角形ABC 绕直角顶点C 顺时针方向旋转90°后到达△A 1B 1C ，延长AB 交A 1B 1于点D ，则∠ADA 1的度数是()A ．30°B ．60°C ．75°D ．90°5.如图所示，△ABC 为等边三角形，D 是△ABC 内一点，若△ABD 经过逆时针旋转后到△ACP 位置，若点B ，D ，P 三点在同一直线上，则∠DPC ＝__________．6.如图，已知△ABC 和点O ，将△ABC 绕O 点旋转，点A 的对应点为A’，画出△ABC 经旋转后所得到的图形.A （A ’）BB ’C B第2题图第3题图BAC B 1A 1D 第4题图ABCD P 第5题图ACBO7.如图所示，在4×4的方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上．（1）在图（1）中，画出一个与△ABC 成中心对称的格点三角形；（2）在图（2）中，画出△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转90°后的三角形．B 组8.在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(－1，－2)，将OA 绕原点O 逆时针旋转90°得到OA ′，点A′的坐标为(a ，b )，则a ＋b 等于()A.1B.－1C ．3D ．－39.如图所示，已知AC ⊥BC ，垂足为点C ，AC ＝4，BC ＝33，将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°得到线段AD ，连结DC ，DB.（1）线段DC ＝__________；（2）求线段DB 的长度．C 组10.如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 是AB 边上一点(点D 与A ，B 不重合)，连结CD ，将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE ，连结DE 交BC 于点F ，连结BE.（1）求证：△ACD ≌△BCE ；（2）当AD ＝BF 时，求∠BEF的度数．ABCDE FC ABD3.3垂径定理（1）A 组1.圆的对称轴有()A ．1条B ．2条C ．4条D ．无数条2.下列命题中，正确的是()A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心3.如图，在圆O 中，AB 是弦，OC ⊥AB ，垂足为C ，若AB =8，OC =3，则圆O 的半径OA 等于（）A.8B.6C.5D.44.如图，在圆O 中，AB 是弦，OC ⊥AB ，若AO =10，AB =16，则AB 的弦心距等于（）A.4B.8C.6D.105.已知在圆O 的半径为13cm ，一条弦心距为5cm ，则这条弦长为____________cm.6.如图所示，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，BC ＝6cm ，则∠ACB=_______°，OD ＝________cm.7.如图，AB 是圆O 的弦，半径OC ⊥AB 与点D ，（1）若半径为5，CD =2，求弦AB 的长（2）若CD =4，AB =16，求其半径长.AOC B第3题AO C B第4题AOCB 第6题D AO D B第7题CB 组8.如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC.（1）则∠C=___________°（2）若⊙O 的半径为r ，则弦AB=________（用含r 的代数式表示）9.已知：如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，求证：弧AB=弧BDC 组10.图所示，在半径为5的扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，C 是AB ︵上的一个动点(不与点A ，B 重合)，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为点D ，E.（1）当BC ＝6时，求线段OD 的长；（2）求DE 的长；（3）在△ODE 中，是否存在度数不变的角？若存在，请直接指出是何角，并写出它的度数．AO D B第8题C CBODEA A OD BC3.3垂径定理（2）A 组1.如图所示，AB ，AC 是⊙O 的两条弦，AD 是⊙O 的一条直径，BC 与AD 相交于点E ，BD ︵＝CD ︵，下列结论中不一定正确的是()A.AB ︵＝AC︵B ．BE ＝CEC ．BC ⊥ADD ．AB ＝BC2.下列说法错误的是（）A.平分弧的直径垂直平分弧所对的弦B.平分弦的直径平分弦所对的的弧C.垂直平分弦的直线必定经过圆心D.垂直于弦的直径平分这条弦。
初三圆的相关练习题
初三圆的相关练习题题1：已知圆的半径为5cm，求圆的直径、周长和面积。
解答：1. 圆的直径等于半径的2倍，即直径=5cm*2=10cm。
2. 圆的周长计算公式为2πr，其中π取近似值3.14。
代入半径r=5cm，可得周长=2*3.14*5cm≈31.4cm。
3. 圆的面积计算公式为πr²，代入半径r=5cm，可得面积=3.14*5²cm²≈78.5cm²。
题2：一个圆的周长为36π cm，求圆的半径和面积。
解答：1. 由周长的计算公式2πr=36π，可得半径r=36π/(2π)=18cm。
2. 圆的面积计算公式为πr²，代入半径r=18cm，可得面积=3.14*18²cm²≈1017.36cm²。
题3：一个圆的周长为30cm，求圆的直径、半径和面积。
解答：1. 圆的直径等于半径的2倍，由周长计算公式2πr=30cm可得直径=30cm/π≈9.55cm。
2. 圆的半径等于直径的一半，即半径=9.55cm/2≈4.78cm。
3. 圆的面积计算公式为πr²，代入半径r=4.78cm，可得面积=3.14*4.78²cm²≈71.50cm²。
题4：已知圆的面积为64π cm²，求圆的直径和周长。
解答：1. 圆的面积计算公式为πr²，代入面积=64π cm²，可得r²=64，解得r=8cm。
2. 圆的直径等于半径的2倍，即直径=8cm*2=16cm。
3. 圆的周长计算公式为2πr，代入半径r=8cm，可得周长=2*3.14*8cm≈50.24cm。
题5：已知圆A的半径为6cm，圆B的半径为8cm，两个圆的圆心距离为10cm，求两个圆的外切正方形的面积。
解答：1. 外切正方形的边长等于两个圆的半径之和，即边长=6cm+8cm=14cm。
2. 外切正方形的面积计算公式为边长的平方，代入边长=14cm，可得面积=14²cm²=196cm²。
初三圆试题及答案数学
初三圆试题及答案数学
一、选择题
1. 已知圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，则直线与圆的位置关系是（）
A. 相离
B. 相切
C. 相交
D. 圆内
答案：C
2. 圆的周长为62.8，则圆的半径是（）
A. 10
B. 5
C. 3
D. 2
答案：A
二、填空题
1. 圆的直径为10，则圆的周长是______。
答案：31.4
2. 一个圆的面积为28.26平方厘米，那么它的半径是______。
答案：3厘米
三、解答题
1. 已知圆的半径为7，求圆的面积。
答案：圆的面积公式为S=πr²，所以面积S=3.14×7²=153.86平方
厘米。
2. 一个圆的直径增加2厘米，求圆的面积增加多少。
答案：设原圆的半径为r，则增加后的半径为r+1。
原圆面积为πr²，增加后的圆面积为π(r+1)²。
面积增加量为π(r+1)²-
πr²=π(2r+1)。
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有关圆的经典例题１.在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。
132O AB AC BAC分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意A Ｂ与AC 有不同的位置关系。
解：由题意画图，分AB 、ＡC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论, 当ＡB 、ＡＣ在圆心O 的异侧时，如下图所示,过Ｏ作OD ⊥AB 于D,过O 作OE ⊥AC 于E ，∵，，∴，AB AC AD AE ====323222 ∵，∴∠，OA OAD AD OA ===132cos cos ∠OAE AE OA ==22∴∠ＯAD=30°,∠OA Ｅ=45°,故∠ＢA Ｃ＝７5°,当A Ｂ、A Ｃ在圆心Ｏ同侧时,如下图所示，同理可知∠OAD=3０°，∠ＯAE=４5°， ∴∠BA Ｃ=１５°点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。
例2． 如图:△ＡBC 的顶点A 、B 在⊙O 上,⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于Ｄ，如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ⋂（1）求证:△ＡBC 是直角三角形；()22求的值AD BC分析:()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ⋂则AF=FB,OD ⊥AB ，可证DF 是△A ＢＣ的中位线;（2）延长DO 交⊙O 于Ｅ，连接A Ｅ,由于∠DA Ｅ=90°，D Ｅ⊥AB ，∴△ＡDF∽△，可得·，而，，故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC22122===解：（１）证明,作直径DE 交AB 于F,交圆于E∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE AF FB ⋂=又∵AD=DC ∴∥，DF BC DF BC =12∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。
（2)解:连结ＡＥ ∵DE 是⊙Ｏ的直径 ∴∠DAE=90°而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△E ＤA∴，即·AD DE DFADAD DE DF ==2 ∵，DE R DF BC ==212∴·，故AD BC R AD BCR 22==例3. 如图,在⊙O 中,AB ＝2CD ，那么（ ）A AB CDB AB CD ..⋂>⋂⋂<⋂22 C AB CDD AB CD ..⋂=⋂⋂⋂22与的大小关系不确定 分析:要比较与的大小，可以用下面两种思路进行：AB CD ⋂⋂2()112把的一半作出来，然后比较与的大小。
AB AB CD ⋂⋂⋂()222把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。
CD CD AB ⋂⋂⋂解:解法(一），如图,过圆心O 作半径OF ⊥AB ，垂足为E,则AF FB AB ⋂=⋂=⋂12AE EB AB ==12∵，∴AB CD AE CD AB ===212∵AF FB AF FB ⋂=⋂=，∴在△AFB 中,有A Ｆ+F Ｂ＞AB∴，∴，∴，∴2222AF AB AF ABAF CD AF CD >>>⋂>⋂∴AB CD ⋂>⋂2∴选A 。
解法（二),如图，作弦DE ＝ＣD ，连结C Ｅ则DE CD CE ⋂=⋂=⋂12在△C ＤＥ中，有C Ｄ+ＤＥ>ＣE ∴2CD>ＣE∵AB=2CD ，∴ＡB>CE∴，∴AB CE AB CD ⋂>⋂⋂>⋂2∴选A 。
例4. 如图，四边形内接于半径为的⊙，已知，ABCD 2O AB BC AD ===141 求C Ｄ的长。
分析:连结ＢD ，由AB=BC,可得DB 平分∠ＡDC,延长AB 、DC 交于E ，易得△EBC ∽△E ＤＡ,又可判定A Ｄ是⊙Ｏ的直径,得∠ABD=90°，可证得△ＡBD ≌△EBD ，得DE ＝AD,利用△E ＢC ∽△EDA ，可先求出CE 的长。
解:延长AB 、DC 交于E 点,连结BD ∵AB BC AD ===141--∴，，∴∠∠AB BC AD ADB EDB ⋂=⋂==4∵⊙Ｏ的半径为2,∴ＡD 是⊙Ｏ的直径 ∴∠A ＢD=∠EBD ＝90°，又∵BD=ＢD∴△ＡBD ≌△EBD ，∴ＡＢ=ＢE=1，AD=D Ｅ=４ ∵四边形AB ＣD 内接于⊙O,∴∠EBC ＝∠E ＤA ，∠ECB ＝∠EAD∴△∽△，∴EBC EDA BC AD CEAE=∴·CE BC AE AD BC AB BE AD ==+=+=()11412∴CD DE CE =-=-=41272例５. 如图，、分别是⊙的直径和弦，为劣弧上一点，⊥AB AC O D AC DE AB ⋂于H,交⊙O 于点Ｅ,交AC 于点F ，P 为E Ｄ的延长线上一点。
（1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切，为什么?()22当点在劣弧的什么位置时，才能使·，为什么？D AC AD DE DF ⋂=分析：由题意容易想到作辅助线OC, (1）要使ＰC 与⊙Ｏ相切，只要使∠PCO=90°，问题转化为使∠OCA+∠P ＣF ＝∠FAH+∠AFH 就可以了。
()22要使·，即使，也就是使△∽△AD DE DF AD DE DFADDAF DEA == 解:（1）当PC ＝P Ｆ，（或∠PC Ｆ=∠P ＦＣ）时,PC 与⊙O 相切, 下面对满足条件P Ｃ=ＰF 进行证明， 连结O Ｃ，则∠OCA=∠ＦAH ，∵PC ＝PF,∴∠P ＣＦ=∠PF Ｃ=∠ＡFH,∵DE ⊥AB 于Ｈ,∴∠OC Ａ＋∠PCF=∠FA Ｈ+∠AFH=9０° 即O Ｃ⊥PC ，∴ＰC 与⊙Ｏ相切。
()22当点是劣弧的中点时，·，理由如下：D AC AD DE DF ⋂=连结，∵，∴∠∠AE AD CD DAF DEA ⋂=⋂= 又∵∠∠，ADF EDA =∴△∽△，∴DAF DEA AD DE DFAD=即AD ２＝D Ｅ·DF点拨:本题是一道条件探索问题，第（1）问是要探求△PCF 满足什么条件时,ＰＣ与⊙O 相切，可以反过来，把PC 与⊙O 相切作为条件,探索△PCF 的形状，显然有多个答案;第(２)问也可将AD 2=ＤＥ·DF 作为条件，寻找两个三角形相似,探索出点D 的位置。
例6． 如图，四边形是矩形，以为直径作半圆，过点ABCD ()AB BC BC O >12D 作半圆的切线交AB 于E ，切点为F,若AE ：B Ｅ=２：1,求tan ∠ＡDE 的值。
分析:要求tan ∠ADE,在Rt △AED 中,若能求出AE 、AD ，根据正切的定义就可以得到。
ED=ＥＦ+FD,而EF ＝EB ，F Ｄ=CD ，结合矩形的性质，可以得到ED 和ＡE 的关系,进一步可求出AE ：AD 。
解：∵四边形ＡBC Ｄ为矩形,∴BC ⊥ＡB,BC ⊥DC ∴AB 、DC 切⊙O 于点B 和点C ，∵DE 切⊙O 于F,∴DF=DC ，EF=EB,即D Ｅ=DC ＋EB, 又∵AE ：EB ＝2:1,设B Ｅ=ｘ，则ＡE ＝2ｘ,DC=AB=3x ， ＤE=D Ｃ＋ＥＢ=4x ，在Ｒt △A ＥＤ中,AE=2x ，DE=4ｘ, ∴AD x =23 则∠tan ADE AE AD x x ===22333点拨：本题中,通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。
例7. 已知⊙O 1与⊙O 2相交于Ａ、B 两点,且点O 2在⊙O 1上，（1)如下图，AD 是⊙O 2的直径,连结DB 并延长交⊙O 1于Ｃ，求证C Ｏ2⊥A Ｄ；（2）如下图,如果AD 是⊙Ｏ２的一条弦，连结D Ｂ并延长交⊙Ｏ1于C ，那么CO 2所在直线是否与A Ｄ垂直?证明你的结论。
分析：（1)要证CO 2⊥AD ，只需证∠CO 2D=9０°，即需证∠D+∠Ｃ=90°，考虑到AD 是⊙Ｏ2的直径，连结公共弦AB,则∠A=∠Ｃ，∠ＤB Ａ=90°，问题就可以得证。
(2）问题②是一道探索性的问题,好像难以下手,不妨连结ＡＣ,直观上看，A Ｃ等于CD,到底ＡC 与CD 是否相等呢？考虑到O 2在⊙Ｏ1上,连结AO 2、D Ｏ2、B Ｏ2，可得∠１＝∠2,且有△AO 2Ｃ≌△ＤO 2C ，故CA=ＣD ，可得结论ＣＯ２⊥AD 。
解:（1)证明,连结AB,A Ｄ为直径，则∠A ＢD=９0° ∴∠D ＋∠BA Ｄ=90°又∵∠ＢＡD ＝∠Ｃ,∴∠Ｄ+∠C=90° ∴∠ＣＯ２D ＝90°,∴CO ２⊥AD (2)C Ｏ2所在直线与AD 垂直， 证明:连结O 2A 、O ２B 、Ｏ２D 、AC 在△AO 2Ｃ与△ＤO 2C 中∵，∴，∴∠∠O A O B AO BO 222212=⋂=⋂=∵∠Ｏ2BD=∠O ２AC ，又∠O ２B Ｄ=∠O ２DB,∴∠O ２A Ｃ＝∠O 2ＤB ∵Ｏ2Ｃ=Ｏ2C,∴△AO 2C ≌△DO 2C,∴C Ａ=C Ｄ, ∴△C ＡＤ为等腰三角形,∵CO 2为顶角平分线,∴CO ２⊥ＡD 。
例8. 如下图,已知正三角形A ＢC 的边长为a,分别为A 、B 、C 为圆心,以为半径的圆相切于点、、，求、、围成的图形面aO O O O O O O O O 2123122331⋂⋂⋂ 积S 。
(图中阴影部分)分析:阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。
解:S a S a a ABC △扇，×·===3433628222ππ() ∴阴S a a a =-=-348238222ππ 此题可变式为如下图所示，⊙、⊙、⊙两两不相交，且它们的半径都A B C为，求图中三个扇形阴影部分的面积之和。
a2()分析:因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求,因为∠Ａ＋∠B+∠C=180°，因而三个扇形拼起来正好是一个半圆，故所求图形面积为，π82a原题可在上一题基础上进一步变形：⊙Ａ1、⊙A 2、⊙A ３…⊙A n 相外离,它们的半径都是1,顺次连结n 个圆心得到的n 边形A １A 2A 3…Ａn ，求n 个扇形的面积之和。
解题思路同上。
解:()n -22π一、填空题(1０×4＝4０分)1. 已知：一个圆的弦切角是50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为__＿＿＿__＿__＿。
2. 圆内接四边形A ＢCD 中,如果∠A:∠Ｂ:∠C=2:３：４，那么∠D ＝_＿____＿____度。
３. 若⊙Ｏ的半径为3，圆外一点P 到圆心Ｏ的距离为6,则点Ｐ到⊙O 的切线长为___＿＿__＿___。