重积分的应用ppt课件

)2
(
y x
)2 dzdx.
Dzx
9
例1. 求球面 x2 y2 z2 a2，含在圆柱体x2 y2 ax
内部的那部分面积.
z
解：由对称性知：A 4A 1
D1： x2 y2 ax ( x, y 0)
曲面方程：z a2 x2 y2
y
z
x
y
x
x
a 2 x 2 y 2, ,
z
y
o
x
y
(x, y)
d
6
z z f (x, y)
是切平面与xoy面的夹角.
s
因为 d 为 dA在xoy面上的
dA
M
o
y
(x, y)
投影，则有 d cos dA
Q
nr
(
f
x
,
f
y,
1)
cos
1
x
d
1
f
2
x
f
2
x
dA d cos
1 f x2 f y2d ------曲面S的面积元素
n
S lim 0 i1
1 f x2 f y2 d S
D
1 f x2 f y2 d .
n
7
S lim dA 0 i1
d cos dA
nr
k
znr
b
dA
dA 1 ab 2
a
d 1 abcos
d
2
8
即 １．设曲面的方程为：z f ( x, y)
在 xoy 面上的投影区域为 Dxy , 即( x, y) Dxy
元素法也可推广到三重积分上
n
f ( x, y, z)dv
lim 0
i 1
f (i ,i , i )vi .
5
三、利用二重积分的元素法求曲面面积： z z f (x, y)
设曲面S的方程为z f ( x, y),
曲面S在xoy面上的投影为区 域D，
s
M dS
如图，设小区域 d D，点(x,y)d，
z1 ( x, y)
f ( x, y, z)dxdy
c1
Dz
柱面坐标系 f ( cos , sin , z)dddz
球面坐标系
F
(r , ,
)r 2sin drd d
1
第六节 重积分的应用
一、平面图形的面积及立体体积 二、曲面的面积 三、物体的重心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力
2
一、利用 d可以求平面图形D的面积.
物体就可用这 n 个质点的质点系来近似代替.由于 质点系的重心坐标公式为
12
n
i (i ,i , i )Vi
xn
i 1 n
,
(i ,i , i )Vi
i 1
n
i (i ,i , i )Vi
yn
i 1 n
,
(i ,i , i )Vi
i 1
n
i (i ,i , i )Vi
zn
i 1 n
,
(i ,i , i )Vi
为S上过点M(x,y,z)的切平面，以d
的边界为准线，母线平行于z轴的
小柱面，截曲面S为 dS，截切平面
为 dA，则有 dS dA.
则面积 A 可看成曲面上各点
o
y
x
D
(x, y)
d
z z f (x, y)
s
M dA
M (x, y, z)处小切平面的面n 积 d A
无限积累而成. S lim dA 0 i1
D
3
(2 x2 y2 )d 3
2
d
2 (2 2)ρd
0
0
D
6
x2 y2 2
3
例1. 计算曲面z x2 2 y2及z 6 2x2 y2所围成的立体的体积.
解：V V1 V2 [(6 2x2 y2 ) ( x2 2 y2 )]d 6
另解：V
D
62x2 y2
重积分计算的基本方法—— 累次积分法
f
(x,
y)d
xdy
直角坐标系下计算XY
型区域 型区域
极点在区域D的外部
D
极坐标系下计算 极点在区域D的边界上
极点在区域D的内部
f
(x,
y, z)dv
直角坐标系““先先一二后后二一””Dxyc2ddxdz y
z2(x,y) f ( x, y, z)dz
元素法的步骤：
把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.
n
D
f ( x, y)d
lim 0 i1
f (i ,i ) i .
(1)作图,分割区域D，取一代表性的小区域d ,其面积也为d ,
(2)求出与d 对应的部分量的近似值dU f (x, y)d ,其中(x, y)d，
量U的微分元素
(3)写出二重积分的表达式：U f (x, y)d D
D
二、利用 f (x, y)d或 dv可以求立体的体积.
例1.
计算曲面z
D
x
2
2
y2及z
6
2x2
y2所围成的立体的体积.
解：交线
z
z
6 2x2 x2 2y2
y2
在xoy面上的投影为：x 2
y2
2，
所求立体的体积为V V1 V2
[(6 2x2 y2 ) ( x2 2 y2 )]d
i 1
13
当 T 0 时，自然地可把它们的极限定义作为 V
的重心坐标:
x( x, y, z)dV
x V
,
( x, y, z)dV
V
y( x, y, z)dV
曲面面积公式为：S
1
(
z x
)2
(
z y
)2
dxdy
同理可得
Dxy
２．设曲面的方程为：x g( y, z) ( y, z) Dyz
曲面面积公式为：A
1
(
x y
)2
(
x z
)2 dydz;
Dyz
３．设曲面的方程为：y h(z, x) (z, x) Dzx
曲面面积公式为：A
1
(
y z
2 d
a cos
1
d
0
0
a2 2
0 a cos .
2a2 4a2 .
11
二、重 心
设密度函数为 ( x, y, z) 的空间物体 V，( x, y, z) 在
V 上连续.为求得 V 的重心坐标,先对 V 作分割 T,
在属于 T 的每一小块 Vi 上任取一点 (i ,i , i ), 于 是小块 Vi 的质量可用 (i ,i , i )Vi 近似代替, 若 把每一块看作质量集中在 (i ,i , i )的质点时, 整个
D1
x
o
x 2 y 2 ax
,
y
a2 x2 y2
于是
1
(
z x
)2
(
z y
)2
?
10
于是
1
( )z 2 x
( z y
)2
a
,
a2 x2 y2
y a cos
D1
x
o
面积为：A 4
1
zx
2
z
2 y
dxdy
x 2 y 2 ax
D1
4
D1
a2
a x2
y2
dxdy
D1
:
0
2
,
4a
dv dxdy
dz
x2 2 y2
Dxy
[(6 2x2 y2 ) ( x2 2 y2 )]d 6
D
问题：满足什么条件的量可用重积分解决？
x2 y2 2
1. 能用重积分解决的实际问题的特点
所求量是
分布在有界闭域上的整体量. 对区域具有可加性.
2. 用重积分解决问题的方法-----元素法
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