初中数学求阴影部分面积方法归纳
史上最全几何阴影面积的解法(1)
【史上最全】初中数学几何阴影面积的3种解法|知识点
初中备考指南1周前
为所有考生和家长，加油!
栏目导语：这是小许老师精心设计的初中知识点学习板块，以语数外基础和提高性考点为主，也会有物化，史政生地等科目知识点合集。
在这里你会对未学提前了解，对已学知识有更好的理解，欢迎转发，收藏！
“几何”问题不仅是初中数学的重点，到了高中数学学习中也占很大比重，内容是循序渐进的，所以基础一定要打好。
这里，就来具体说说如何把这类题的分数拿到手，更准确地说就是初中生要掌握3个方法，才能够解决大部分求解几何图形阴影面积的题目。
公式法
这属于最简单的方法，阴影面积是一个常规的几何图形，例如三角形、正方形等等。
简单举出2个例子:
和差法
攻略一直接和差法
这类题目也比较简单，属于一目了然的题目。
只需学生用两个或多个常见的几何图形面积进行加减。
攻略二构造和差法
从这里开始，学生就要构建自己的数学图形转化思维了，学会通过添加辅助线进行求解。
割补法
割补法，是学生拥有比较强的转化能力后才能轻松运用的，否则学生看到这样的题目还是会无从下手。
尤其适用于直接求面积较复杂或无法计算时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为利用公式法或和差法求解创造条件。
攻略一全等法
攻略二对称法
攻略三平移法
攻略四旋转法
距离中考越来越近，希望家长不要再给孩子压力，同时还要开导孩子，中考只是一场普通的考试。
希望同学们也能平时练习要严谨，中考考场放轻松，祝所有同学考个好成绩。
圆中阴影部分面积求法
圆中阴影部分面积求法(2010-06-02 16:03:03)转载标签：扇形a2oa半圆分类：初中数学免费资源圆心洛阳数学辅导洛阳家教杂谈求阴影部分的面积，在近几年中考题中形成一个新的热点，在计算由圆、扇形、三角形、四边形等组成的图形面积时，要注意观察和分析图形，学会分解和组合图形，明确要计算图形的面积，可以通过哪些图形的和或差得到，切勿盲目计算。
现举例谈谈主要方法：1．重叠法可考虑成若干已知图形面积的和再减去它们彼此重叠部分的图形面积。
例1．如图，AOB是直角扇形，以OA、OB为直径在扇形内作半圆，n和N分别表示两个阴影部分的面积。
则( )(A)N＝n(B)n＞N(C)N＞n(D)n、N大小关系无法确定解：研究面积为N的部分，可以看作是从整个图形中去掉两个半圆，但要考虑面积为n的图形在两个半圆中的重叠。
故N=■·OA2-·（■OA）2+n=n，故应选A。
2．组合法例2．如图，在边长为２cm的正方形ABCD中，分别以Ｂ、Ｄ为圆心，２cm长为半径作弧，得到图中的组合图形。
求阴影部分的面积。
分析1：这个如叶片，又如橄榄形状的组合图形其实就是两个形状大小完全相同的弓形。
明确了这一点后求这个组合图形的面积就轻而易举了。
解：S阴=２S弓＝２（S扇-S△）=2（-2）cm2分析2：重叠法，阴影面积等于弓形所对应的半圆面积和正方形面积之差。
简记为：２S弓＝S半圆-S正方形=■22-22=(2-4)cm23．全部减其余例3.如图所示，正方形ABCD的边长为a，以A为圆心作■，以AB为直径作■，M是AD上一点，以DM为直径，作■与■相外切，则图中阴影部分面积为_____解：■a2点拨：设以DM为直径的半圆的圆心为O1，半径为r，以AB为直径的半圆的圆心为O2，连结O1O2，则有（a-r）2+(■)2=（r+■）2，解得：r=■a所以S阴影=S扇形DAB-■S圆O1-■S圆O2=■a2-■·（■a）2-■·（■）2=■a24．等积变形法例4.如上图，A是半径为1的⊙O外的一点，OA=2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于_____。
2021年九年级数学初中几何圆、扇形、弓形的面积及阴影部分面积专项
初中几何圆、扇形、弓形的面积及阴影部分面积专项一、圆的面积计算公式：S=R 2，圆心角是1°的扇形面积等于圆面积的1360，圆心角是n 度的扇形面积等于圆的面积的360n ，扇形的弧长等于l=180n R ,⇒S 扇=12lR 。
二、运用公式法、割补法、拼凑法、等积变化法、平移法、旋转法、构造方程法等方法求组合图形的面积。
三、运用割补法、平移法、旋转法、等积变换法、容斥原理求阴影部分面积。
1、弓形面积弓形的面积可以转化为扇形的面积与三角形的面积之差，如下图所示，弓形AmB 的面积S弓形=S 扇性AOB -S △AOB弓形的面积可以转化为：扇形的面积与三角形的面积之和，如下图所示弓形AmB 的面积S 弓形= S 扇性AOB +S △AOB注：①当弓形所含的弧是劣弧时如甲图所示，弓形AmB 的面积S 弓形=S 扇性AOB -S △AOB②当弓形所含的弧是优弧时，如图乙所示，AnB 的面积S 弓形= S 扇性AOB +S △AOB③当弓形所含的弧是半圆时，弓形的面积S 弓形=12S 圆 如图：半径OA=6cm,C 为OB 的中点，∠AOB=120°，求阴影部分面积S 。
（右：乙图）解：由图形可知，S 阴影ABC =S 扇性ABO -S △ACO ，而S 扇形ABO =21206360⋅=12，S △ACO =12×6×3×sin60°=932，所以S 阴影ABC =(93122-)cm 2。
2、割补法凡求与圆有关的不规则图形面积问题，一般都要把它转化为三角形、扇形、弓形的面积来求解，在进行复杂的图形的面积计算时，时常通过添加辅助线，把图形分割成若干个基本图形求解，这种求解的方法是经常用到的。
如图：⊙O 中的弦AC=2cm ，圆周角∠ABC=45°,求图中阴影部分的面积。
（部分与整体）解：做⊙O 的直径AB 1，则连结OC 、B 1C ，∠ACB=90°，∠B=∠B 1，AB 1=22，∵OA=2,∴S △AOC=1,S 扇形AOC =12,∴S 阴影=S 扇形AOC -S △AOC =12-1 例二：如图在两个半圆中大圆的弦MN 与小圆相切,D 为切点，且MN ∥AB ，MN=a ，ON ，CD 分别为两圆的半径，求阴影部分的面积。
求阴影部分面积九字决
求阴影部分面积九字决河北张家口市第十九中学 贺峰关于求几何图形阴影部分面积的计算问题是初中数学“空间与图形”中一道亮丽的风景，历年来常考不衰，这类试题往往将多边形与圆结合，并且多由一些不规则图形组合、重叠而成；既能考查同学们观察能力、分析能力、计算能力、空间想象能力，同时又能考查同学们合理选择和运用数学思想方法的技能。
解决这类问题时，要善于抓住图形的特点，灵活采用作“差”、重“组”、“去”重、求“和”巧“移”、“翻”折、旋“转”、“设”参、转“化”等方式进行，从而使问题得到解决。
一、作“差”例1如图1，正六边形ABCDEF 的边长是a ，分别以C 、F 为圆心，a 为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（ ）(A)223332a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π- (B)23333a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π-(C)232233a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-π (D)23223a ⎪⎭⎫ ⎝⎛π- 析解：依题意，由于给出的阴影部分是由规则图形围成的，因此解决此题可利用“作差法”解决，即S 阴影=S 正六边形－2S 扇形=232233a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-π。
因此答案选C 。
二、重“组”例2 如图2，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形的面积和是_______。
析解：由于不知道每个扇形圆心角的具体角度，故无法直接计算，而五边形的内角和为5400=3600＋1800，因此可将阴影部分的面积“重新组合”成一个圆和一个半圆的面积，即1.5个圆的面积。
因此结果为1.5π。
三、“去”重例3(2005湖北武汉) 如图3，Rt △ABC 中，∠C=900，AC ＝2，AB ＝4，分别以AC 、BC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 。
析解：观察图形，发现两个半圆覆盖了一个三角形，而且中间阴影部分重叠了两次，故采用“图形去重法”解决，即阴影部分的面积等于大、小半圆面积之和与Rt △ABC 面积的差：12×π×12＋12×π×(42－22÷2)2－12×2×3，故结果为2π－23。
初中阴影面积题大全
初中阴影面积题大全初中阴影面积题大全在初中阶段，阴影面积是一个重要的概念，常常出现在几何题目中。
以下是一些常见的初中阴影面积题目和解答:1. 一个正方形的面积是 8 平方分米，求阴影部分的面积。
解答：设正方形的边长为 x，则阴影部分的面积为 x^2-8。
根据勾股定理，可得 x^2=8+x^2，解得 x=4。
因此，阴影部分的面积为 4 平方分米。
2. 一个长方形的长是 8 分米，宽是 4 分米，求阴影部分的面积。
解答：设长方形的面积为 y，则阴影部分的面积为 y-8-4。
根据题意，可得 y=32，则阴影部分的面积为 32-8-4=10 平方分米。
3. 一个直角三角形的斜边长是 4 厘米，求阴影部分的面积。
解答：设直角三角形的直角边长为 x，则阴影部分的面积为x^2-4。
根据勾股定理，可得 x^2=4+x^2，解得 x=2。
因此，阴影部分的面积为 2^2-4=2 平方厘米。
4. 一个圆的半径是 3 厘米，求阴影部分的面积。
解答：设圆的面积为 y，则阴影部分的面积为 y-3^2。
根据题意，可得 y=18，则阴影部分的面积为 18-3^2=9 平方厘米。
5. 一个正方形的边长是 3 厘米，求阴影部分的面积。
解答：设正方形的面积为 y，则阴影部分的面积为 y-3^2。
根据题意，可得 y=6.3，则阴影部分的面积为 6.3-3^2=6.1 平方厘米。
6. 一个平行四边形的面积是 6.3 平方厘米，求阴影部分的面积。
解答：设平行四边形的底边长为 x，则阴影部分的面积为x^2-6.3。
根据勾股定理，可得 x^2=6.3+x^2，解得 x=3。
因此，阴影部分的面积为 3^2-6.3=0.4 平方厘米。
以上是一些常见的初中阴影面积题目和解答。
在解题时，需要理解阴影部分的面积计算方法，通常采用相似三角形、勾股定理、面积公式等方法求解。
同时，需要注意解题步骤和细节，确保计算正确。
与圆有关的计算——求阴影部分面积
㊀㊀㊀解题技巧与方法１２５㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０４与圆有关的计算与圆有关的计算㊀㊀㊀ 求阴影部分面积Һ王㊀玮㊀（十堰市东风第五中学，湖北㊀十堰㊀４４２０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ面积问题是初中数学中的常见题型，与圆有关的求阴影部分面积问题是这类问题中的一个难点，通常不规则的阴影图形的面积是由三角形㊁四边形㊁扇形㊁圆和弓形等基本图形组合而成的，学生在解决问题时需要观察图形特点，会分割或组合图形．ʌ关键词ɔ计算；阴影部分面积在近几年的中考试题中，求阴影部分的面积是一个热点．观察㊁分析图形可知，阴影部分通常是由三角形㊁四边形㊁扇形和圆等常见的几何图形组成的．学生在解决问题时首先要明确需要计算面积的阴影部分是由哪些图形分解或组合而成的，才能找到解题的途径．下面将求阴影部分面积的常见方法总结如下．类型一：直接公式法例１㊀如图１，矩形ＡＢＣＤ的边长ＡＢ＝１，ＢＣ＝２．把ＢＣ绕Ｂ逆时针旋转，使Ｃ恰好落在ＡＤ上的点Ｅ处，线段ＢＣ扫过部分为扇形ＢＣＥ，则扇形ＢＣＥ的面积是．图１ʌ分析ɔ根据矩形的性质得出ＡＤʊＢＣ，øＡ＝９０ʎ，易得øＥＢＣ＝øＡＥＢ＝３０ʎ，再根据扇形的面积公式求出即可．例２㊀如图２，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，øＡ＝９０ʎ，ＢＣ＝４．分别以点Ｂ㊁点Ｃ为圆心，线段ＢＣ长的一半为半径作圆弧，交ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ于点Ｄ，Ｅ，Ｆ，则图中阴影部分的面积为．ʌ分析ɔ阴影部分的面积Ｓ＝ＳәＡＢＣ－Ｓ扇形ＢＤＥ－Ｓ扇形ＣＥＦ．图２例３㊀如图３，在▱ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＢＣ的中点，以Ｅ为圆心，ＢＥ长为半径画弧交对角线ＡＣ于点Ｆ，若øＢＡＣ＝６０ʎ，øＡＢＣ＝１００ʎ，ＢＣ＝４，则扇形ＥＢＦ的面积为．图３ʌ分析ɔ先根据三角形内角和定理求出øＡＣＢ，再根据三角形外角的性质求出øＢＥＦ，最后根据扇形面积公式直接计算即可．例４㊀如图４，ＡＢ是☉Ｏ的直径，ＣＤ是弦，øＢＣＤ＝３０ʎ，ＯＡ＝２，则阴影部分的面积是．图４ʌ分析ɔ先根据圆周角定理得到øＢＯＤ＝６０ʎ，然后根据扇形的面积公式计算阴影部分的面积即可．类型二：直接和差法阴影部分面积可由扇形㊁三角形㊁特殊四边形的面积相加减得到．㊀图５例５㊀如图５，在扇形ＯＡＢ中，已知øＡＯＢ＝９０ʎ，ＯＡ＝２，过ＡＢ(的中点Ｃ作ＣＤʅＯＡ，ＣＥʅＯＢ，垂足分别为Ｄ，Ｅ，则图中阴影部分的面积为．ʌ分析ɔ先根据矩形的判定定理得到四边形ＣＤＯＥ是矩形，再连接ＯＣ，根据全等三角形的性质得到ＯＤ＝ＯＥ，得到矩形ＣＤＯＥ是正方形，最后根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论．图６例６㊀如图６，在菱形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，øＡＢＣ＝６０ʎ，ＡＢ＝２，分别以点Ａ㊁点Ｃ为圆心，以ＡＯ的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．ʌ分析ɔ先根据菱形的性质得到ＡＣʅＢＤ，øＡＢＯ＝１２øＡＢＣ＝３０ʎ，øＢＡＤ＝øＢＣＤ＝１２０ʎ，再根据直角三角形的性质求出ＡＣ，ＢＤ的长，最后根据扇形面积公式㊁菱形面积公式计算即可．图７例７㊀如图７，在边长为２３的正方形ＯＡＢＣ中，Ｄ为边ＢＣ上一点，且ＣＤ＝２，以Ｏ为圆心㊁ＯＤ为半径作圆弧，分别与ＯＡ，ＯＣ的延长线交于点Ｅ，Ｆ，则阴影部分的面积为．㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２６数学学习与研究㊀２０２３ ０４ʌ分析ɔ设ＡＢ交ＥＦ(于Ｍ，阴影部分的面积Ｓ＝Ｓ正方形ＯＡＢＣ－ＳәＯＡＭ－Ｓ扇形ＯＤＭ－ＳәＯＣＤ．例８㊀如图８，已知四边形ＡＢＣＤ和四边形ＢＥＦＭ均为正方形，以Ｂ为圆心㊁ＢＥ为半径作弧ＥＭ．若大正方形的边长为８，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）图８ʌ分析ɔ根据正方形的性质得出øＡＢＣ＝øＤＣＭ＝９０ʎ，ＢＥ＝ＢＭ＝８，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ，设ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ＝ａ，则阴影部分的面积Ｓ＝Ｓ扇形ＢＭＥ＋Ｓ正方形ＡＢＣＤ＋ＳәＤＭＣ－ＳәＡＤＥ，代入求出即可．类型三：构造和差法阴影部分面积需要通过添加辅助线构造扇形㊁三角形或特殊四边形，然后相加减．图９例９㊀如图９，ＡＢ是☉Ｏ的直径，ＣＤ为☉Ｏ的弦，ＡＢʅＣＤ于点Ｅ，若ＣＤ＝６３，ＡＥ＝９，求阴影部分的面积．ʌ分析ɔ根据垂径定理得出ＣＥ＝ＤＥ＝１２ＣＤ＝３３，再利用勾股定理求得半径，根据锐角三角函数关系得出øＥＯＤ＝６０ʎ，进而结合扇形面积公式即可求出答案．例１０㊀如图１０，正方形ＡＢＣＤ内接于☉Ｏ，ＰＡ，ＰＤ分别与☉Ｏ相切于点Ａ和点Ｄ，ＰＤ的延长线与ＢＣ的延长线交于点Ｅ．已知ＡＢ＝２，则图中阴影部分的面积为．图１０ʌ分析ɔ如图１０所示，连接ＡＣ，ＯＤ，根据已知条件得到ＡＣ是☉Ｏ的直径，øＡＯＤ＝９０ʎ，根据切线的性质得到øＰＡＯ＝øＰＤＯ＝９０ʎ，易得әＣＤＥ是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得到ＰＥ＝３２，最后根据梯形和圆的面积公式即可求出阴影部分的面积．图１１例１１㊀如图１１，等边三角形ＡＢＣ的边长为２，以Ａ为圆心，１为半径作圆弧分别交ＡＢ，ＡＣ边于Ｄ，Ｅ，再以点Ｃ为圆心，ＣＤ长为半径作圆交ＢＣ边于Ｆ，连接Ｅ，Ｆ，那么图中阴影部分的面积为．ʌ分析ɔ如图１１，过Ａ作ＡＭʅＢＣ于Ｍ，ＥＮʅＢＣ于Ｎ，根据等边三角形的性质得到ＡＭ＝３２ＢＣ＝３２ˑ２＝３，求得ＥＮ＝１２ＡＭ＝３２，再根据三角形的面积和扇形的面积公式计算即可．例１２㊀如图１２，在ＲｔәＡＢＣ中，øＢＡＣ＝３０ʎ，以直角边ＡＢ为直径作半圆交ＡＣ于点Ｄ，以ＡＤ为边作等边三角形ＡＤＥ，延长ＥＤ交ＢＣ于点Ｆ，ＢＣ＝２３，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）图１２ʌ分析ɔ如图１２，根据题意结合等边三角形的性质分别得出ＡＢ，ＡＣ，ＡＤ，ＤＣ的长，进而利用Ｓ阴影＝ＳәＡＢＣ－ＳәＡＯＤ－Ｓ扇形ＯＤＢ－ＳәＤＣＦ求出答案．图１３例１３㊀如图１３，在菱形ＡＢＣＤ中，øＤ＝６０ʎ，ＡＢ＝２，以Ｂ为圆心㊁ＢＣ长为半径画ＡＣ(，点Ｐ为菱形内一点，连接ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ．当әＢＰＣ为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为．ʌ分析ɔ如图１３，连接ＡＣ，延长ＡＰ交ＢＣ于Ｅ，根据菱形的性质得出әＡＢＣ是等边三角形，进而通过三角形全等证得ＡＥʅＢＣ，从而求得ＡＥ，ＰＥ，则Ｓ阴影＝Ｓ扇形ＢＡＣ－ＳәＰＡＢ－ＳәＰＢＣ．例１４㊀如图１４，在әＡＢＣ中，Ｏ为ＢＣ边上的一点，以Ｏ为圆心的半圆分别与ＡＢ，ＡＣ相切于点Ｍ，Ｎ．已知øＢＡＣ＝１２０ʎ，ＡＢ＋ＡＣ＝１６，ＭＮ(的长为π，则图中阴影部分的面积为．图１４ʌ分析ɔ如图１４，连接ＯＭ，ＯＮ，根据半圆分别与ＡＢ，ＡＣ相切于点Ｍ，Ｎ，可得ＯＭʅＡＢ，ＯＮʅＡＣ，由øＢＡＣ＝１２０ʎ，可得øＭＯＮ＝６０ʎ，进而得出øＭＯＢ＋øＮＯＣ＝１２０ʎ，再根据ＭＮ(的长为π，可得ＯＭ＝ＯＮ＝ｒ＝３，连接ＯＡ，根据ＲｔәＡＯＮ中，øＡＯＮ＝３０ʎ，ＯＮ＝３，可得ＡＭ＝ＡＮ＝３，进而可求得图中阴影部分的面积．类型四：等积转化法利用等积转化法将阴影部分面积转化为求扇形㊁三角形㊁特殊四边形的面积或它们面积的和差．㊀㊀㊀解题技巧与方法１２７㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０４例１５㊀如图１５，将半径为２㊁圆心角为９０ʎ的扇形ＢＡＣ绕点Ａ逆时针旋转６０ʎ，点Ｂ，Ｃ的对应点分别为Ｄ，Ｅ，点Ｄ在ＡＣ(上，则阴影部分的面积为．图１５ʌ分析ɔ如图１５，连接ＢＤ，直接利用旋转的性质结合扇形面积求法及等边三角形的判定与性质得出Ｓ阴影＝Ｓ扇形ＢＡＣ－Ｓ弓形ＡＤ＝Ｓ扇形ＢＤＣ＋ＳәＡＤＢ，进而得出答案．例１６㊀如图１６，在әＡＢＣ中，ＣＡ＝ＣＢ，øＡＣＢ＝９０ʎ，ＡＢ＝２，点Ｄ为ＡＢ的中点，以点Ｄ为圆心作圆心角为９０ʎ的扇形ＤＥＦ，点Ｃ在弧ＥＦ上，则图中阴影部分的面积为．图１６ʌ分析ɔ如图１６，连接ＣＤ，证明әＤＣＨɸәＤＢＧ，则Ｓ四边形ＤＧＣＨ＝ＳәＢＤＣ，求得扇形ＦＤＥ的面积，则阴影部分的面积即可求得．例１７㊀如图１７，ＡＢ是半圆Ｏ的直径，线段ＤＣ是半圆Ｏ的弦，连接ＡＣ，ＯＤ，若ＯＤʅＡＣ于点Ｅ，øＣＡＢ＝３０ʎ，ＣＤ＝３，则阴影部分的面积为．图１７ʌ分析ɔ如图１７，连接ＯＣ，先证得әＣＯＤ是等边三角形，然后证得ＲｔәＡＯＥɸＲｔәＣＯＥ，即可得出Ｓ阴影＝Ｓ扇形ＯＣＤ．㊀图１８例１８㊀如图１８，在边长为４的正方形ＡＢＣＤ中，以ＡＢ为直径的半圆交对角线ＡＣ于点Ｅ，以Ｃ为圆心㊁ＢＣ长为半径画弧交ＡＣ于点Ｆ，则图中阴影部分的面积是．ʌ分析ɔ如图１８，连接ＢＥ，易证Ｓ弓形ＡＥ＝Ｓ弓形ＢＥ，ʑ图中阴影部分的面积＝Ｓ半圆－１２（Ｓ半圆－ＳәＡＢＥ）－（ＳәＡＢＣ－Ｓ扇形ＣＢＦ）．类型五：容斥原理法当阴影部分是由几个图形叠加形成时，求阴影部分面积需先找出叠加前的几个图形，然后厘清图形之间的重叠关系．计算方法：叠加前的几个图形面积之和－（多加部分面积＋空白部分面积）．例１９㊀如图１９，直径ＡＢ＝６的半圆，绕Ｂ点顺时针旋转３０ʎ，此时点Ａ到了点Ａᶄ处，则图中阴影部分的面积为．图１９ʌ分析ɔȵ半圆绕Ｂ点顺时针旋转３０ʎ，ʑＳ阴影＝Ｓ半圆＋Ｓ扇形ＢＡＡᶄ－Ｓ半圆＝Ｓ扇形ＢＡＡᶄ．例２０㊀如图２０，点Ｏ在坐标原点上，ＯＡ边在ｘ轴上，ＯＡ＝８，ＡＣ＝４，把әＯＡＣ绕点Ａ按顺时针方向转到әＯᶄＡＣᶄ的位置，使得点Ｏᶄ的坐标是（４，４３），则在这次旋转过程中线段ＯＣ扫过部分（阴影部分）的面积为．图２０ʌ分析ɔ如图２０，过Ｏᶄ作ＯᶄＭʅＯＡ于Ｍ，解直角三角形求出旋转角的度数，根据图形得出阴影部分的面积Ｓ＝Ｓ扇形ＡＯＯᶄ＋ＳәＯᶄＡＣᶄ－ＳәＯＡＣ－Ｓ扇形ＡＣＣᶄ＝Ｓ扇形ＡＯＯᶄ－Ｓ扇形ＡＣＣᶄ，分别求出即可．㊀图２１例２１㊀如图２１，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝４，以Ａ为圆心㊁ＡＤ长为半径画弧交ＡＢ于点Ｅ，以Ｃ为圆心㊁ＣＤ长为半径画弧交ＣＢ的延长线于点Ｆ，求图中阴影部分的面积．ʌ分析ɔ图中阴影部分的面积＝Ｓ扇形ＣＦＤ－（Ｓ矩形ＡＢＣＤ－Ｓ扇形ＡＤＥ）．㊀图２２例２２㊀如图２２，在扇形ＯＡＢ中，øＡＯＢ＝１２０ʎ，连接ＡＢ，以ＯＡ为直径作半圆Ｃ交ＡＢ于点Ｄ，若ＯＡ＝４，则图中阴影部分的面积为．ʌ分析ɔ如图２２，连接ＯＤ，ＣＤ，根据圆周角定理得到ＯＤʅＡＢ，根据等腰三角形的性质得到ＡＤ＝ＤＢ，øＯＡＤ＝３０ʎ，再根据扇形面积公式㊁三角形的面积公式计算即可．阴影部分的面积Ｓ＝Ｓ扇形ＯＡＢ－ＳәＡＯＢ－（Ｓ扇形ＣＡＤ－ＳәＡＣＤ）．ʌ参考文献ɔ［１］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（２０２２年版）［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０２２．［２］章士藻．中学数学教育学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７．［３］曹一鸣，冯启磊，陈鹏举，等．基于学生核心素养的数学学科能力研究［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０１７．。
几种关于阴影部分面积的求法
• 如图5，在四边形ABCD中，AB=2，
CD=1，
，
• 求四边形ABCD所在阴影部分的面积。
1
1
33
S 阴 影 S A B E S C D E 2 A B B E 2 C D D E 2
如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其 直径CD、EF均和x轴垂直，以O为顶点的两 条抛物线分别经过C、E和D•、 F， 则图中阴 影部分的面积是_________（2005年河南省中考题）
2. 反思一下你所获成功的经验, 与同学交流!
几
种
面
积
1、直接法
问
• 1、利用和差
题
• 2 利用平移
求 解 的
2、转化法
• 3 利用整体 • 4 利用对称
方
• 5 利用等积
法 数学思想：转化思想
1、如图,平行于y轴的直线l被抛物线y=x2+1, y=x2-1所截,当直线l向右平移3个单位时, 直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为 （2005.德阳）
2.如图，正方形ABCD 的边长为4，MN∥BC，分别交 AB、CD于点M、N ，在MN上任取两点P、Q，则图 中阴影部分的面积是 。（2008 泰安）
3、（06云南）如图，矩形ABCD中，BC=4，DC=2，
以AD为直径的半圆O与BC相切与点E，则图中阴影
部分的面积是
（结果保留π ）
AOΒιβλιοθήκη DBEC
4
积是（ ） C
C
a2 1 a2
2
D a2 1 a2
2
• 利用中心对称的性质，将 不规则的阴影部分转化为 特殊的图形，进行求解。
初三数学圆阴影部分面积10种解题方法
初三数学圆阴影部分面积10种解题方法01和差法对于不规则图形实施分割、叠合后，把所求的图形面积用规则图形面积的和、差表示，再求面积．贵港中考如图1，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与弧AB交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作弧CE交OB于点E，若OA= 4，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为( 结果保留π) ．图1解析: 图形中的阴影部分是不规则图形，较难直接计算．注意到阴影部分是环形BECA的一部分，因此阴影部分面积等于环形BECA的面积减去图形DCA的面积，又图形DCA的面积等于扇形DOA 的面积减去△ODC的面积．图2如图2，连接OD交弧CE于M．因为OA=4，C是OA的中点，CD⊥OA，所以OD=4，OC=2，DC=2√3，所以∠ODC=30°，∠DOC=60°02割补法对图形合理分割，把不规则图形补、拼成规则图形会，再求面积.吉林中考如图3，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠，若弧AB和弧BC都经过圆心O，则阴影部分的面积是( 结果保留π) ．图3解析: 观察图形可以发现: 下方树叶形阴影部分的面积分成左右两块后，可以补到上方两个空白的新月形的位置．是否能够完全重合，通过计算验证即可．图4如图4，过点O作OD⊥AB于D，连接OA、OC、OB．由折叠性质知OD=1/2r=1/2AO，03等积变形法运用平行线性质或其他几何图形性质把不规则图形面积转化为与它等面积的规则图形来进行计算.天水中考如图5，以AD为直径的半圆O经过Ｒt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E 是半圆弧的三等分点，弧BE的长为2π/3，则阴影部分的面积为图5解析: 阴影部分是Ｒt△ABC的一部分，运用平行线的性质可将图形ABE面积转化成扇形BOE面积．连接BD、BE、BO、OE，如图6．图6因为点E、B是半圆弧的三等分点，所以∠DOB=∠BOE=∠EOA=60°，所以∠BAD=∠EBA=∠BAE=30°，所以BE∥AD．04平移法一些图形看似不规则，将某一个图形进行平移变换后，利用平移的性质，把不规则的图形的面积转化为规则图形的面积来计算．2019年黄石中考模拟如图7，从大半圆中剪去一个小半圆( 小半圆的直径在大半圆的直径MN上)，点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦，且与小半圆相切，AB∥MN，已知AB=12cm，则阴影部分的面积是．图7解析: 因为AB∥MN，由平行线间的距离处处相等，可以平移小半圆，使小半圆的圆心与大半圆的圆心重合，这样不规则的阴影图形就变成一个环形.图8如图8．过点O作OC⊥AB，垂足为C，连接OB，设大半圆的半径为Ｒ，小半圆的半径为r.05旋转法一些图形看似不规则，把某个图形进行旋转变换后，利用旋转的性质，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积，再进行计算．安顺中考如图9，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB 为直径的⊙O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为图9解析: 若直接利用弓形面积公式求解相当繁琐，根据已知条件及圆的旋转不变性，利用图形的旋转可实现解题．图10如图10，连接OE 交BD于M．因为CD 是⊙O 的切线，所以OE⊥CD，又AB∥CD，则OE⊥AB，而OE=OB，易知△OBM ≌△EDM，把△OBM绕点M旋转180°就会转到△EDM，阴影部分就转化为扇形BOE，恰好是半径为2的圆的四分之一，06对称法一些图形看似不规则，利用轴对称和中心对称的性质，把不规则图形进行轴对称和中心对称变换，转化为规则图形的面积，再进行计算．赤峰中考如图11，反比例函数y=k/x( k＞0) 的图象与以原点(0,0)为圆心的圆交A、B两点，且A( 1,√3) ，图中阴影部分的面积等于 (结果保留π) ．图11解析: 根据反比例函数图象及圆的对称性———既是轴对称图形，又是中心对称图形，可知图中两个阴影面积的和等于扇形AOB的面积．过点A作AD⊥x轴于D，如图12．图12因为A( 1，√3) ，所以∠AOD=60°，OA=2，又因为点A、B关于直线y=x对称，所以∠AOB=2×( 60°－45°)=30°．07整体法当已知条件不能或不足以直接求解时，可整体思考，化单一、分散为整体，把所求的未知量整体转换为已知量，再将问题整体化求解．安徽中考如图13，半径均为1的⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E两两外离，A、B、C、D、E分别为五边形的五个顶点，则图中阴影部分的面积是图13解析: 由已知条件，分别求阴影部分的圆心角不易求得，但将五个扇形的圆心角合为一整体，它们的圆心角的和也是五边形的外角之和360°，所以阴影部分面积是一个整圆的面积，所以S阴影=π．08方程法有些图形的局部可以看成某个规则图形，或某些图形具有等面积的性质，这时可以把它们的关系用方程( 组) 来表示，再解方程( 组) ，求出图形的面积．2019年武汉模拟如图14，在边长为2的正方形ABCD 中，分别以2为半径，A、B、C、D 为圆心作弧，则阴影部分的面积是 ( 结果保留π) ．图14解析: 仔细观察图形，有两种相同特征的图形在正方形内部，一起围成所求的阴影部分．设弧AC与弧BD交于点G，连接BE、EC，如图15．图15设形如AED 图形的面积为x，形如DEG 图形的面积为y，那么S阴影= S正-4 ( x+y) ，只需求出(x+y)的结果即可．09推算法某些题目运用已知条件，和图形的性质或定理进行推理，可把阴影部分面积用某个式子表示，从而求得不规则图形的面积．南宁中考如图16，Ｒt△ABC 中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别以AB、BC、AC 为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为平方单位．图16解析: 设左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，整个图形的面积可以表示成: 以AC 为直径的半圆+ 以BC为直径的半圆+△ABC．也可以表示成: S1+S2+以AB为直径的半圆。
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初中数学几何阴影面积的解法
“几何”问题不仅是初中数学的重点，到了高中数学学习中也占很大比重，内容是循序渐进的，所以基础一定要打好。
一、公式法
这属于最简单的方法，阴影面积是一个常规的几何图形，例如三角形、正方形等等。
简单举出2个例子:
二、和差法
攻略一直接和差法
这类题目也比较简单，属于一目了然的题目。
只需学生用两个或多个常见的几何图形面积进行加减。
攻略二构造和差法
从这里开始，学生就要构建自己的数学图形转化思维了，学会通过添加辅助线进行求解。
三、割补法
割补法，是学生拥有比较强的转化能力后才能轻松运用的，否则学生看到这样的题目还是会无从下手。
尤其适用于直接求面积较复杂或无法计算时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为利用公式法或和差法求解创造条件。
攻略一全等法
攻略三平移法。