高中物理中矢量标积的一些有用的结论

高中物理中矢量标积的一些有用的结论湖北省恩施高中陈恩谱一、矢量的标积两个矢量a 和b的标积c 被定义为cos c a b ab θ=⋅= ，其中(,)a b θ= 。

【例】高中物理中常见的矢量标积有如下一些情况功是力与物体的位移的标积：cos W F l Fl θ=⋅= ，其中(,)F l θ=；功率是力和物体运动速度的标积：cos W F l lP F F v Fv t t tθ⋅===⋅=⋅= ，其中(,)F v θ= ；电势差是电场强度和两点间有向线段的标积：cos W F l F U l E l El q q qθ⋅===⋅=⋅=，其中(,)E l θ= ；磁通量是磁感应强度和有向面元的标积：ΔΔcos ΦB S B S θ=⋅=⋅ ，其中ΔΔS S n =⋅ （n为标识面元方向的单位矢量，垂直与面），(,)B n θ=；流量是流体流速和流体截面元的标积：ΔΔcos Q S v S v θ=⋅=⋅ ，其中ΔΔS S n =⋅ （n为标识面元方向的单位矢量，垂直与面），(,)v n θ=等。

二、一些有用的结论1、0θ=，c a b ab =⋅= ；180θ=，c a b ab =⋅=- .【例】力和位移方向相同时W Fl =，方向相反时W Fl =-；电场强度与两点间连线方向相同时U El =；磁感应强度与面元垂直时ΦBS =（此时，(,)0B n θ==）。

2、90θ=时，c =0.【例】力与位移垂直时，力不做功；力与速度垂直时，力的功率为零；两点间连线与电场强度垂直时，两点间电势差为零，即等势——所以等势面与电场线垂直；磁感线与面平行时，磁通量为零。

3、a b c a b a b =⋅=⋅.（1）证明：cos a b b θ=，则cos a c ab a b θ==⋅；同理易证b c a b=⋅（2）应用一：分解法求标积【例1】功、功率的计算y W G l Gl Gh =⋅==yP G v Gv =⋅=x W G l G l=⋅= x P G v G v=⋅=φ1φ2φ3Eb ab abaa bBB nnhGlvv y GGxGx lGG v【例2】电势差的计算ABE U E l El Ed=⋅==ABx U E l E l=⋅=【例3】磁通量的计算B ΦB S B S n B S ⊥=⋅=⋅⋅=⋅n ΦB S B S B S⊥=⋅=⋅=⋅（3）应用二：标积-矢量图像的斜率【例1】能量-位移（E -x ）图象将力分解到位移x 和垂直位移方向上来，就得到x x F xE W kF x x x⋅∆∆====∆∆∆，即E -x 图象的斜率是该能量对应那个力在x 方向的分量。

高中物理中常见的几种E -x 图象的斜率能量动能势能机械能重力势能弹性势能电势能功能关系kF x E ⋅∆=∆合pG x E ⋅∆=∆pF x E ⋅∆=∆弹pqE x E ⋅∆=∆G F x E ⋅∆=∆外机E -x 图象斜率意义合力F 合，或者合力在x 方向分量xF 合重力G ，或者重力在x 方向分量G x弹力F 弹，或者弹力在x 方向分量F 弹x电场力qE ，或者电场力在x 方向分量qE x除重力之外其他力G F 外，或者除重力之外其他力在x 方向分量G xF 外说明：当力就在x 方向时，E -x 图象的斜率就是对应的力；当力不在x 方向时，则需将力正交分解到垂直和平行x 方向，E -x 图象的斜率就是对应的力在x 方向的分量。

（2015武汉市二月调考17）如图1所示，固定的粗糙斜面长为10m ，一小滑块自斜面顶端由静止开始沿斜面下滑的过程中，小滑块的动能E k 随位移x 的变化规律如图2所示，取斜面底端为重力势能的参考平面，小滑块的重力势能E p 随位移x 的变化规律如图3所示，重力加速度g =10m/s 2。

根据上述信息可以求出A 、斜面的倾角B 、小滑块与斜面之间的动摩擦因数C 、小滑块下滑的加速度的大小D 、小滑块受到的滑动摩擦力的大小【解析】本题中，图2是动能-位移图象（k E x -图象），其斜率是物体所受合外力l Ad EBl A E BE xB nSS ⊥n B BnSB ⊥=sin cos F mg mg θμθ-合，由图可知：=sin cos F mg mg θμθ-合=2.5N ；图3是重力势能-位移图象（p E x -图象），其斜率的绝对值是物体重力沿斜面的分量=sin x G mg θ，由图可知：=sin x G mg θ=10N.则可求出小滑块受到的滑动摩擦力的大小f =cos F mg μθ=7.5N ，D 答案正确。

【例2】电势-位置坐标（φ-x ）图象将电场强度分解到x 轴方向和垂直x 轴方向，则有ΔΔx x E lU k E x l lϕ====，即φ-x 图象的斜率表示的是电场强度沿x 轴方向的分量x E 。

（2009•江苏）空间某一静电场的电势φ在x 轴上分布如图所示，x 轴上两点B 、C 点电场强度在x 方向上的分量分别是E Bx 、E Cx ，下列说法中正确的有（）A ．E Bx 的大小大于E Cx 的大小B ．E Bx 的方向沿x 轴正方向C ．电荷在O 点受到的电场力在x 方向上的分量最大D ．负电荷沿x 轴从B 移到C 的过程中，电场力先做正功，后做负功【解析】由图可知，B 点图象的斜率大于C 点图象的斜率，由ΔΔx k E xϕ==，可知E Bx ＞E Cx ，A 项正确；同理可知O 点场强最小，电荷在该点受到的电场力最小，C 项错误；沿电场方向电势降低，在O 点左侧，E Bx 的方向沿x 轴负方向，在O 点右侧，E Cx 的方向沿x 轴正方向，所以B 项错误，D 项正确．4、标积的直角坐标表示及其应用（1）标积的直角坐标表示两个矢量11a x i y j =+和22b x i y j =+ 的标积为112212121212()()c a b x i y j x i y j x x i i x y i j y x j i y y j j =⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅其中1i i ⋅= ，0i j ⋅= ，0j i ⋅= ，1j j ⋅=，则有1212c a b x x y y =⋅=+（2）应用【例1】一般运动过程的动能定理的严格证明矢量a与自身的标积为2c a a a =⋅= ；若在相互垂直的两个方向上，有212kx x x =，212ky y y =，则对矢量c xi yj =+、11a x i y j =+ 、22b x i y j =+ ，就有22212121122()()kc kc c kx ky x x y y x i y j x i y j a b=⋅=+=+=+⋅+=⋅ 我们知道，将力F 分解到两个相互垂直的方向为F x 、F y ，物体的位移也分解到两个相互垂直的方向为x 、y ，则由牛顿第二定律，有x x F a m =，22212x x x v v a x -=，得22211122x x x F x mv mv =-y y F a m=，22212y y y v v a y -=，得22211122y y y F y mv mv =-则有2222221111()()22x y x yx y F x F y m v v m v v +=+-+而x y W F l F x F y =⋅=+ ，222222x y v v v =+，222111x y v v v =+，则有22211122W F l mv mv =⋅=- 这就是一般运动过程中的动能定理。

从前述分析来看，动能定理不仅适用于直线运动，也适用于曲线运动。

O Ex E xF x F yx y lF xy v 2xv 2yxv 2由于22211122x x x F x mv mv =-与22211122F l mv mv ⋅=- 的形式是完全相同的，因此可以认为在某个方向上动能定理也成立。

【例2】正交分解法求功若x y F F i F j =+，ΔΔl xi yj =+ ，则x y x y W F l F x F y W W =⋅=∆+∆=+ ，其中x x W F x =∆，y y W F y =∆也就是两个垂直方向上的分力所做的功，因此合力的功，可以用几个分力的功的代数和来求解。

质量为m 、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动(电荷量不变)，经过C 点时速度最大，O 、C连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g 。

(1)求小球所受的电场力大小；(2)求小球在A 点的速度v 0为多大时，小球经过B 点时对圆轨道的压力最小。

【解析】（1）小球在C 点时速度最大，则电场力与重力的合力沿DC 方向，所以小球受到的电场力的大小F ＝mg tan 60°＝3mg 。

（2）要使小球经过B 点时对圆轨道的压力最小，则必须使小球经过D 点时的速度最小，即在D 点小球对圆轨道的压力恰好为零，有mg cos 60°＝m v 2r解得v ＝2gr 。

在小球从圆轨道上的A 点运动到D 点的过程中，有mgr (1＋cos 60°)＋Fr sin 60°＝12mv 20－12mv2解得v 0＝22gr.【例3】正交分解法求电势差若x y E E i E j =+，ΔΔl xi yj =+ ，则x y x y U E l E x E y U U =⋅=∆+∆=+ ，其中x x U E x =∆，y y U E y =∆也就是两个垂直方向上的场强引起的电势差，因此总电势差，可以用几个分场强引起的电势差的代数和来求解。

（2017·全国卷Ⅲ）一匀强电场的方向平行于xOy 平面，平面内a 、b 、c 三点的位置如图所示，三点的电势分别为10V 、17V 、26V 。

下列说法正确的是A ．电场强度的大小为2.5V/cmB ．坐标原点处的电势为1VC ．电子在a 点的电势能比在b 点的低7eVD ．电子从b 点运动到c 点，电场力做功为9eV【解析】A 、2610V/m 2V/m 8ca x U E ca -===，2617V/m 1.5V/m 6cb y U E cb -===，则合场强为两者矢量和，则合场强的大小为 2.5V/m E ==；A 正确。

B 、9)25V Oc x y ac bc U U U U U =+=+-=-，由Oc O c U ϕϕ=-，得1V O ϕ=。

C 、a 点的电势比在b 点的电势低7V ，电子带负电，所以电子在a 点的电势能比在b 点的高7eV 。

故C 错误。

D 、b 点电势比c 点电势低9V ，电子从b 点运动到c 点，电场力做功为9eV ，故D正确。

说明：本文收录于陈恩谱老师《物理原来可以这样学》2019年6月第三次修订版。