2012高三数学高效模拟⑧

C
B
（第14题）
2012高三数学高效模拟⑧
1．已知集合[1,5)A =，(,)B a =-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ．
2．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为5.10. 若要使该总体的方差最小，则b a 、的取值分别是
3．已知流程图如图所示，为使输出的b 值为16，则判断框内①处应填 ． 4．函数log ()a y x b =+的图象如图所示，则a b +的值为 ． 5．复数z 满足34i 1(i z -+=是虚数单位)，则z 最大值为 ．
6．已知向量(3,1)=-a ，(1,2)=-b ，若()k ⊥+a a b ，则实数k = ． 7．函数2cos y x x =+在区间[]0,π上的最大值为 ．
8．设βα,为两个不重合的平面，n m ,是两条不重合的直线，给出下列四个命题： ①若α⊂m ，α⊂n ，m β ，n β ，则αβ ； ②若,,βα⊂⊂m n βα与相交且不垂直，则m n 与不垂直； ③若n m m ⊥=⊥,,βαβα ，则n ⊥β；
④若βαα//,,//⊥n n m ，则β⊥m ．其中所有真命题的序号是 ．
9．设m 为实数，若22250(,)30{(,)|25}0x y x y x x y x y mx y ⎧⎫
-+≥⎧⎪⎪⎪
-≥⊆+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪
+≥⎩⎩⎭
，则m
的范围是 ．
10．投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，第一次出现向上的点数为a ，第二次出现向上的点数为b ，直线1l 的方程为ax －by －3＝0，直线2l 的方程为x －2y －2＝0，则直线1l 与直线2l 有交点的概率为 ． 11．设θγ,为常数（0,
,,442πππθγ⎛⎫
⎛⎫
∈∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
）
，若sin()sin()αγγβ++-=sin (sin θα sin )cos (cos cos )βθαβ-++对一切R ∈βα,恒成立，则2
tan tan cos()sin ()
4
θγθγ
πθ+-=+
12．用大小一样的钢珠可以排成正三角形、正方形与正五边形数组，其排列的规律如下图所示：已知m 个钢珠恰好可以排成每边n 个钢珠的正三角形数组与正方形数组各一个；且知若用这m 个钢珠去排成每边n 个钢珠的正五边形数组时，就会多出9个钢珠，则 m ＝ ． 13．已知⊙A ：221x y +=，⊙B: 22(3)(4)4x y -+-=，P 是平面内一动点，过P 作⊙A 、⊙B 的切线，切点分别为D 、E ，若PE PD =，则P 到坐标原点距离的最小值为 ．
14．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AC ＝BC ＝1，点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，点P 是△ABC （包括边
界）内任一点．则AN MP ⋅
的取值范围为 ▲ ．
1．若复数
3(,12a i
a R i i
+∈+为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ . 2．已知集合22{|30},{|2,[2,1]}A x x x B y y x x =-≤==-+∈-，则A B = ▲ .
3．已知函数()sin()(0,||)2
f x A x π
ωϕωϕ=+><
的部分图象如图，则ω= .
4．如图是青年歌手电视大奖赛上某一位选手的得分茎叶图，若去掉一个最高分和一个
最低分后，则剩下数据的方差2
s = ▲ ． （参考公式：2
21
1()n
i i s x x n ==-∑）
5．已知直线,m l ，平面,αβ，且,m l αβ⊥⊂.下列命题中，其中正确命题的个数是 ▲ . ①若//αβ，则m l ⊥； ②若αβ⊥，则//m l ； ③若m l ⊥，则//αβ； ④若//m l ，则αβ⊥.
6．与双曲线142
2
=-y x
有相同的焦点，且过点P 的双曲线的标准方程是 ▲ .
7．已知11
tan ,tan()23
ααβ=-=- ，,αβ 均为锐角，则β 等于 ▲ .
9. 在ABC ∆中，3,1,AB AC D ==为BC 的中点，则AD BC ⋅=
▲ .
10．先后抛掷两枚质地均匀的骰子（各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）， 若骰子朝上的面的点数记为,a b ，则事件||2a b -=的概率为 ▲ ．
11．已知两圆222(1)(1)x y r -+-=和222(2)(2)x y R +++=相交于,P Q 两点，若点P 坐标为(1,2)，则点Q 的坐标为 ▲ ．
12.数列{}n a 中,()()
111
,()211n n n na a a n N n na *+=
=∈++，则数列{}n a 的前2012项的和为 ▲ . 13．点M 是边长为2的正方形ABCD 内或边界上一动点，N 是边BC 的中点，则AN AM ⋅
的最大值是
▲ .
14.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线2
4()13
f x x =-
的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点,M N ，交曲线于点P ，则OMN ∆（O 为坐标原点）的面积的最小值为 ▲ .
16．在三棱柱111ABC A BC -中，AA ,1BC ⊥︒=∠601AC A ，11AA AC BC ===， 21=B A ．
（1）求证：平面1A BC ⊥平面11ACC A ；
（2）如果D 为AB 的中点，求证：1BC ∥平面1ACD ．
一、填空题： 1． [5,)+∞
2． 5.10,5.10==b a 3． 3 ． 4．
3 5． 6 ． 6． 2 ． 7．
6π
8． 4 ．
9．40,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10．
1112
11． 2 12． 126 13．
11
5
． 14． 33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
1．-6 2． []0,2 3、
23
4． 15； 5．2
6．
1422
=-y x ； 7．
4
π； 9. 4-
10．
29；
11． (2,1)
12. 20122013；
假设1,n n b na =
∴11
1
,(1)n n b n a ++=+ ………1分 ∵()()
111n
n n na a n na +=
++，
∴1111
11
(1)(1)
(1)(1)
n n n
n n n n b b na n a na na n n na ++-=-=
-
++++＝111n n n
na na na +-= …………………………………3分
∴{}n b 是首项为2，公差为1的等差数列. ………………………………4分
2(1)11,n b n n =+-⋅=+ 11
(1)n n a nb n n ∴=
=+=111
n n -+, …………6分 11111(1)()()2231n S n n ∴=-+-++-+ =1111
n
n n -=++. …………8分
13． 6
14.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线2()1(0)f x ax a =->的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点,M N ，交曲线于点P ，设(,())P t f t
（1）将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成的函数()S t ； （2）若在1
2
t =
处，()S t 取得最小值，求此时a 的值及()S t 的最小值. （1）2y ax '=-，切线的斜率为2at -，∴切线的方程为2(1)2()y at at x t --=--
令0,y =得2222
1121222at at at at x t at at at
--++=+== 2
1(,0)2at M at
+∴,令0t =,得2222121,(0,1)y at at at N at =-+=+∴+
MON ∴∆的面积2222
11(1)()(1)224at at S t at at at
++=⋅+=
(2) 2422222
321(1)(31)
()44a t at at at S t at at
+-+-'== 0,0a t >> ,由()0S t '=,
得2310,at t -==得
当2
310,at t ->>即时, ()0S t '>
当2
310,0at t -<<<即时, ()0S t '<
,()t S t ∴=当有最小值
已知在12t =处, ()S t 取得最小值,
14
,2
3a =∴= 故当41,32a t ==时,2
min 41(1)1234()()4123432
S t S +⋅==
=⋅⋅。