零点存在定理的教案

教案
课题：零点存在定理 授课人：
一、内容及内容解析：
本章位于全书的第3章，零点主要是解决方程求解的问题，应用函数思想的方法，把方程与函数相结合，它在较难方程的求根方面有巨大的贡献，而零点存在定理能确定零点的存在范围，从而近似的确定零点的值，也即方程的近似根.
各个内容之间的联系：
方程的根⇔零点⇐零点存在定理
⇑
二分法
二、三维目标：
知识与技能:会使用零点存在定理解决问题，准确确定根的范围，并且使用二分法找到相应方程的近似解.
过程与方法:通过分析零点附近的值的关系，得到0)()(<b f a f 的特点，并且通过辨析引出定理,得到定理后，还要针对定理中的每一项进行辨析，得知定理中的每一项必不可少.通过定理我们知道了零点存在的区间，为了得到零点的值我们又引入了二分法，从而能近似的求解出零点.
情感态度价值观:让学生了解到每一点数学知识都是环环相扣的,并初步体会到函数思想的巧妙转化,感受到方程与函数的联系,并且得出另一种解方程的方法,让学生体会到数学教学的巧妙之处和知识与知识的紧密联系.
三、教学难点与重点：
[难点] 二分法的使用及对定理的理解.
[重点] 定理的使用及求解方程的近似根.
四、设计教学
上节课我们学习了零点的定义，所以我们知道了如果画出了函数图像，我们就能知道函数是不是有零点，那么如果有些方程的相应函数我们不会画图像怎么办？我们还能知道函数有没有零点吗？通过今天的学习，我们就可以不画图像直接知道函数是否有零点.
1、引入定理
通过之前的例题，我们知道函数的零点可能有若干个，为了使问题简化，我们首先考虑函数只有一个零点的情况.
请大家思考：若函数y=f(x)是连续不断的函数，且有一个零点，则函数零点两端的函数值有何特征？
因为函数只有一个零点，所以函数图象与x 轴只有一个交点。

那函数图象与x 轴会有哪些位置关系呢？不难想到（无非是两种情况）：一种为函数图象不穿
过x轴；另一种是函数图象穿过x轴。

（1）大家先看第一种情况，函数零点附近函数值有何特征呢？（同学回答）
这种情况下，零点附近函数值同号。

那我在零点两端各选一个代表a，b，则它们对应的函数值f(a)、f(b)的乘积大于0；
（2）我们再看另一种情况，此时零点附近函数值有何特征呢？
（图像在PPT上显示动画过程，让学生观察出图像穿过x轴的过程，然后知道零点附近的值相反.）
无论怎么穿过，都有零点左右函数值异号，同样，我在零点两端各选一个代表a，b，则它们对应的函数值f(a)、f(b)的乘积就小于0.
【分析】
（1）如果函数的图象是连续不断的一条曲线，满足f(a)f(b)>0，那么函数在区间（a，b）内一定有零点吗？
①（不一定）那好，你能给大家举一个反例吗？
②（一定）好，你先请坐。

其他同学有不同意见么？
如果函数有零点，说明函数图象一定与x轴有交点。

条件告诉我们f(a)f(b)>0，那我不妨设f(a)、f(b)同时为正，大家请看，通过这两个点的函数图象一定能与x 轴有交点么？
显然是不一定的，比如我举的这个反例。

这就说明满足这样条件的函数，不能确定
函数一定有零点。

（2）如果函数的图象是连续不断的一条曲线，满足f(a)f(b)<0，那我就不妨设f(a)小于0，f(b)大于0，那么函数在区间（a ，b ）内一定有零点吗？大家可以在纸上画一画，试试看。

①（一定）好，那其他同学呢？都同意他的观点吗？
②（不一定）你能为大家说明一下你的理由么？
由于函数的图象是连续不断的，并且端点函数值异号，所以无论怎么画，函数图象一定会与x 轴有交点，从而说明函数怎么样？——一定有零点！
这样，我们就得到了判断函数是否有零点的方法，即函数零点存在性定理：
2、零点存在定理
若函数y=f （x ）的图象在区间[a,b ]上是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)<0， 那么函数y=f （x ）在区间（a ，b ）内有零点。

即：存在实数c 属于（a ，b ），使得f （c ）=0，其中c 为方程f （x ）=0的根。

现在我有一个问题：若函数满足在[a,b ]上有f(a)f(b)<0,一定能推出（a,b ）之间有零点吗？（思考）
如果可以请说明理由，不能的话请同学们举个反例.
在这个反例中，f(a)<0, f(b)>0，f(0)=0.5
我们来看，这个定理是我们通过结合函数图象探究而得的，而至于它的严格证明，需要到大学阶段再去研究。

这样，我们通过引入函数的零点，将方程与函数建立起了联系，并且为我们提供了一种新的解决方程问题的途径。

此前我们学习过的一元一次方程以及一元二次方程都有公式解，但是对于高次方程、超越方程等其他形式的方程而言，通常没有求根公式。

而通过函数零点存在性定理，就可以去研究这样一般形式方程根的问题了。

【例】求函数62ln )(-+=x x x f 的零点个数.
【解析】因为,0)3(,0)2(><f f 所以在)3,2(之间有零点，又因为函数f(x)在),0(+∞上是单调递增的，所以这个函数只有一个零点.
根据零点存在定理，我们知道函数是否有零点，但是如果我们想知道零点的值怎么办呢？接下来，我们要学习一个新的求根方法-----二分法.
3、二分法（求根的近似值）
我们就以上面的例子来研究，即如何求62ln )(-+=x x x f 的零点呢？
一个最直观的想法就是：如果我们把零点存在的范围)3,2(尽量缩小，那么在一定的精确范围内，我们就可以得到零点的近似值.那我们如何缩小范围呢？显然最简单、最可行的方法就是“取中点”.接下来，我们解答上面的例子来看看二分法是如何运用的.
【解析】应用零点存在定理，我们知道了62ln )(-+=x x x f 在)3,2(之间有一个零点. 接下来我们要用“取中点”的方法缩小零点存在的范围.
取)3,2(的中点 2.5，用计算器计算0084.0)5.2(<-≈f ，而0)3(>f ，那么0)3()5.2(<f f ，所以在)3,5.2(之间有零点，即缩小了零点所在的范围.
再取区间)3,5.2(的中点 2.75，用计算器计算0512.0)75.2(>≈f ，而0)5.2(<f ，即：0)75.2()5.2(<f f ，所以在)75.2,5.2(之间有零点.
我们可以看出零点存在的范围越来越小了，如果一直取下去，零点存在的范围会越来越小，这样，在一定的精确度下，我们就可以在有限次重复步骤之后，将所得的零点存在的区间内任意一点作为函数零点的近似值.
我们把上面例题缩小区间的过程画在表格中：
如果当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53125|=0.0078125<0.01,所以我们可以将2.532作为函数62ln )(-+=x x x f 的零点近似值，也即方程062ln =-+x x 的近似根.
通过这道例题，我们总结一下使用二分法求近似根（给定精确度ε）的步骤：
1、确定区间[a,b ]，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε；
2、求区间1),(x b a 的中点；
3、计算的值；)(1x f
（1）就是函数的零点；则若11,0)(x x f =
（2）),(,,0)()(1011x a x x b x f a f ∈=<此时零点则令若；
（3）).,(,,0)()(1011b x x x a b f x f ∈=<此时零点则令若
4、判断是否达到精确度ε：即若ε<-||b a ，则零点的近似值是a (或b ）；否 则重复2-4步.
【课堂练习】
1、借助计算器，用二分法求方程x x lg 3-=在区间（2,3）的近似解.（精确到0.01）
2、借助计算器，用二分法求函数x
x x f 2ln )(-
=在区间（2,3）内的零点.（精确到0.1）
【作业】 .43P1096431108P 、，和、、、，。