广州大学线性代数历年考题综合
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
广州大学2009-2010（6）线性代数期末考试卷试题及解答2
广州大学2009-2010（6）线性代数期末考试卷试题及解答2第一篇：广州大学2009-2010 (6)线性代数期末考试卷试题及解答2 《线性代数》客观题100题一．填充题1456xx展开后，x2的系数为______.x321．行列式23A⎫⎪，则C=____.⎝BO⎭3．设α,β,γ为3维列向量，已知3阶行列式|4γ-α,β-2γ,2α|=40，则行列式2．设A是m阶方阵，B是n阶方阵，且A=a, B=b, C= ⎛O|α,β,γ|=______.12301bbbb23432-1-1cccc2344126dddd234 4．设|A|=415a，则4A41+3A42+2A43+A44=______.5．行列式aaa234=_______________________________________________.a000⎫⎛1-a⎪-11-aa00 ⎪-11-aa0⎪=____________________________.6．五阶行列式det 0 ⎪00-11-aa ⎪000-11-a⎪⎝⎭⎛a 0 7．n阶行列式det M0 b⎝b0Λ00⎫⎪abΛ00⎪MMMM⎪=____________.⎪00Λab⎪00Λ0a⎪⎭T8．设向量α=(1,2)，β=(2,1)，矩阵A=αβ，则An=____________.⎛1 9．设A=2 2⎝21-22⎫⎪-2，则A2n+1=____________.⎪1⎪⎭10．设A=⎛3⎝22⎫n+1n⎪，则A-5A=____________.3⎭⎛1 111．设矩阵A=0 ⎝0110000220⎫⎪0⎪，则An=____________________.0⎪⎪2⎭*-112．设A，B均为n阶矩阵，A=2,B=-3，则2AB⎛2 413．已知A*=6 ⎝800=______.0⎫⎪200⎪，则A-1=____________________.420⎪⎪641⎭⎛10⎫-1T-1*-114．设矩阵A的逆矩阵A=⎪，则(A)=_________，(A)=_________.⎝11⎭⎛1 15．设A=2 3⎝0240⎫⎪0，则(A*)-1=________________.⎪5⎪⎭1aαα，T16．设n 维向量α=(a,0,Λ,0,a)T,a<0，若A=E-ααT的逆矩阵为B=E+则a=______.17．设矩阵A满足A2+A-4E=O，则(A-E)-1=____________.⎛1 -218．设A=0 ⎝003-40005-60⎫⎪0⎪，且B=(E+A)-1(E-A)，则(E+B)-1=________.0⎪⎪7⎭⎛1 *19．设矩阵A，B满足ABA=2BA-8E，其中A=0 0⎝0-200⎫⎪0，则B=______.⎪1⎪⎭20．设A,B为可逆矩阵，X=⎛1 21．若矩阵 0 -1⎝242⎛O⎝BA⎫-1⎪为分块矩阵，则X=____________.O⎭3⎫⎪4的秩为2，则a=______.⎪a⎪⎭22．设ai≠0, bi≠0(i=1,2,⎛a1b1 abΛ)n，矩阵A=21 Mab⎝n1a1b2a2b2M anb2ΛΛΛa1bn⎫a2bn⎪⎪，则矩阵A的秩M⎪anbn⎪⎭r(A)=______.⎛1 23．已知4⨯3矩阵A的秩R(A)=2，而B=0 4⎝0302⎫⎪0，则R(AB)=______.⎪5⎪⎭24．设A=⎛1⎝1-11⎫T⎪，则行列式AA=______.23⎭25．若α1,α2,α3都是线性方程组Ax=b的解向量，则A(2α1-5α2+3α3)=______.⎧x1+3x2+2x3=0⎪26．当a=______时, 齐次方程组⎨x1-2x2+3x3=0有非零解.⎪2x+x+ax=023⎩1⎛1 27．设A=4 3⎝2t-1-2⎫⎪3，B是3阶非零矩阵，且AB=O，则t=______.⎪1⎪⎭28．线性方程组x1+x2+x3+x4+x5=0的基础解系含有______个解向量.29．设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n-1，则线性方程组Ax=0的通解为____________________.⎧a11x1+a12x2+a13x3+a14x4=0T30．已知⎨的基础解系为(bi1,bi2,bi3,bi4)(i=1,2)，则⎩a21x1+a22x2+a23x3+a24x4=0⎧b11x1+b12x2+b13x3+b14x4=0的基础解系为________________________.⎨⎩b21x1+b22x2+b23x3+b24x4=0⎛1 31．已知矩阵A=2 3⎝2353474595⎫⎪6，则秩R(A)=______，齐次线性方程组Ax=0⎪11⎪⎭的解空间的维数等于______.32．设向量组(1,1,1)，(1,2,3)，(2,3,a)线性相关，则a=______.TTT33．已知三维线性空间的一组基底为α1=(1,1,0)，α2=(1,0,1)，α3=(0,1,1)，向量β=(2,0,0)在上述基底下的坐标是____________.34．从R2的基α1=⎪,α2=⎝0⎭⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫β=,β=到基1⎪⎪2 ⎪的过渡矩阵为__________.-1⎝⎭⎝1⎭⎝2⎭T35．设向量α=(1,2,2)T，A为三阶正交矩阵，则长度||Aα||=______.36．已知向量α=(1,1,1)与β=(1,2,a)正交，则a=______.37．向量α=(1,2,2,3)与β=(3,1,5,1)的夹角θ=______.38．设A=(aij)3⨯3是实正交矩阵，且a11=1，b=(1,0,0)T，则线性方程组Ax=b的解是____________________.39．设A是3阶矩阵，它的3个特征值互不相等，并且矩阵A的行列式A=0，则矩阵A的秩R(A)=______.40．若2阶方阵A满足A2-5A+6E=O，且A的两个特征值不相等, 则|A|=____.41．设2阶方阵A≠O满足A2=3A，则A有一特征值λ=____，且(A-I)-1=____.42．设3阶方阵A的特征值为1，2，3，则|6E-A|=______.43．设3阶矩阵A的特征值为1，2，2，则行列式|4A-1-E|=______.44．设A为n阶矩阵，A≠0，若A有特征值λ，则(A*)2+E必有特征值______.45．设A为2阶矩阵，α1,α2为线性无关的2维列向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，则A的非零特征值为______.⎛1 46．设矩阵A=2 3⎝210-2⎫⎪2，α=(a,1,1)T。
广州大学高等数学1试题2006-2010总览
1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→x x x x 11ln 5335lim 23______. 2已知当0→x 时, 1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小, 则常数=a ______. 3若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,,0,12sin )(2x a x x e x x f ax 在),(∞+-∞上连续, 则=a ______. 4若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=1,1,11arctan )(x a x x x f 在点1=x 左连续, 则=a ______. 5函数xx x y 1s i n 1-=的可去间断点是________, 无穷间断点是________.6lim x ax b →+∞⎤-=⎦0，则=a ______, =b ______. 7曲线1ln -=x x y 有水平渐近线__________和铅直渐近线__________. 8若()0x f '存在，则()()000limh f x ah f x bh h→+--= . 9设⎩⎨⎧≥+<+=0,cos 0,sin )(x x e x b x a x f x在0x =处可导，则常数a =______，=b ______. 10设2()sin f x x '=则df dx=_________. 11设ln y x =，当2,0.01x x =∆=时，dy =____________. 12过曲线sin y x x =+上点(,1)22ππ+处的切线方程是__________________. 13曲线2cos 2=++x xy y 在点)0,1(处的切线方程是__________________. 14曲线⎩⎨⎧==te y te x tt cos 2sin 在点(0,1)处的法线方程为___________________. 15函数x y arctan =在闭区间]1,0[上满足拉格朗日中值定理，则定理中的=ξ______.16函数22)(2x x x f -=在区间________上单调增加. 17函数⎜⎠⎛-=xdt tx F 1)12()( )0(>x 的单调减少区间为__________. 18函数3234683)(x x x x f +-=在=x ______处取极______值. 19函数x x y cos 2+=在区间]2,0[π上的最大值为______. 20函数xy xe -=的图形的凹区间为 ___________. 21曲线xxy ln =的凸区间是_________. 22若点(1,2)-为曲线32y ax bx =+的拐点，则a =______，b =______.23曲线2333x ty t t⎧=⎪⎨=-⎪⎩在对应于1t =的点处的曲率K =______ 24设⎰+=C x F dx x f )()(, 则⎰=+dx x f )32(____________. 25设C xdx x f x +-=-⎰)11cos()11(12, 则=)(x f __________.26121(sin x dx -=⎰______.2720t d dt dx= _______________. 28利用定积分的几何意义，0dx =⎰______ . 29质点以速度)sin(2t t 米/秒作直线运动, 则从时刻21π=t 秒到π=2t 秒内质点所经过的路程等于______米. 30函数221xx y -=在区间]23,21[上的平均值为______ .1如果0lim()x x f x →存在，则0()f x ( ). (A) 不一定存在; (B) 无定义; (C) 有定义; (D) )(lim 0x f x x →=.2当0→x 时, 下列变量 ( ) 为无穷小量. (A) x x 1sin ; (B) ||ln x ; (C) x xarctan 1; (D) x e 1-.3当0→x 时, 下列变量 ( ) 为无穷大量. (A) x x 1sin 1; (B) ||ln x x ; (C) xx 1arctan 1; (D) x e 1.4当∞→x 时, 变量x x x 1sin cos 是( ). (A) 无穷小; (B) 无穷大; (C) 有界的, 但不是无穷小; (D) 无界的, 但不是无穷大.5当∞→x 时, 变量xx x 1cos sin 是( ). A) 无穷小; (B) 无穷大; (C) 有界的, 但不是无穷小; (D) 无界的, 但不是无穷大.6当0→x 时, 与x 等价的无穷小量为 ( ). (A) 12-xe ; (B) )1ln(x -; (C) x x --+11; (D) x x tan sin -.7当0→x 时, x x sin -是2x 的( ). (A) 低阶无穷小; (B) 高阶无穷小; (C) 等价无穷小; (D) 同阶但非等价无穷小.8设xx x f 1)21()(+=，若定义=)0(f （ ）时，则)(x f 在点0=x 处连续. (A) 1; (B) e ; (C) e ; (D) 2e .9函数110()10x e x f x x x ⎧⎪+>=⎨⎪+≤⎩在0x =处间断是因为( ). (A) ()f x 在0x =处无定义; (B) 0lim ()lim ()x x f x f x -+→→和都不存在;(C) 0lim ()x f x →不存在; (D) 0lim ()(0)x f x f →≠. 10函数2||ln 2-+=x x x y 的无穷间断点是( ). (A) 0=x ; (B) 2-=x ; (C) 1=x 和2-=x ; (D) 0=x 和2-=x .11曲线x e e y xxarctan 11-+=--的渐近线为( ). (A) 0=x 和2π=y ; (B) 0=x 和2π-=y ; (C)2π-=y ; (D)2π=y .12函数()f x 在0x x =处可微是()f x 在0x x =处连续的( ). (A) 必要非充分条件; (B) 充分非必要条件;(C) 充分必要条件; (D) 无关条件.13函数|1|-=x y 在点1=x 处 ( ). (A) 不连续; (B) 连续但不可导; (C) 可导; (D) 可微.14设⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0),(0,cos 1)(2x x g x x xxx f 其中)(x g 是有界函数, 则)(x f 在0=x 处( ). (A) 极限不存在; (B) 极限存在, 但不连续; (C) 连续, 但不可导; (D) 可导. 15已知01()3f x '=，则当0x ∆→时，在0x x =处dy 是( ). (A) 比x ∆高阶的无穷小; (B) 比x ∆低阶的无穷小; (C) 与x ∆等价的无穷小; (D) 与x ∆同阶但非等价的无穷小.16质点作曲线运动，其位置与时间t 的关系为22x t t =+-，2321y t t =--，则当1t =时，质点的速度大小等于( ).(A) 3; (B) 4; (C) 5; (D) 7.17函数32)(x x f =在]1,1[-上不满足罗尔定理的条件, 是因为 ( ). (A) )(x f 在]1,1[-上不连续; (B))1()1(f f ≠-;(C) )(x f 在)1,1(-内不可导; (D) 以上说法都成立.18函数()(1)(2)(3)f x x x x =---，则方程()0f x '=有( ). (A) 一个实根; (B) 二个实根; (C) 三个实根; (D) 无实根. 19设常数0>k , 函数k exx x f +-=ln )(在),0(∞+内零点个数为 ( ). (A) 3; (B) 2; (C) 1; (D) 0. 200)(0='x f 是函数)(x f 在0x x =处取得极值的 ( ). (A) 必要条件; (B) 充分条件; (C) 充要条件; (D) 既非充分也非必要条件. 21函数)(x f 在点0x x =处取得极值的充分条件是 ( ) (A) 0)(0='x f ; (B) 0)(0='x f 或)(0x f '不存在; (C))(0x f ''存在且0)(0≠''x f ; (D) 条件A 与C 同时成立.22若2()()lim1()x af x f a x a →-=--， 则在x a =处( ). (A)()f x 导数存在且()0f a '≠; (B)()f x 取极大值; (C)()f x 取极小值;(D) ()f a '不存在.230)(0=''x f 是点))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点的 ( ). (A) 必要条件; (B) 充分条件; (C) 充要条件; (D) 既非充分也非必要条件.24设函数)(x f 满足关系式x x f x f ='+''2)]([)(, 且0)0(='f , 则( ). (A) )0(f 是)(x f 的极大值;(B) )0(f 是)(x f 的极小值;(C) 点))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点; (D) )0(f 不是)(x f 的极值, 点))0(,0(f 也不是曲线)(x f y =的拐点. 25若函数()f x 的导函数是sin x , 则()f x 的一个原函数为( ). (A) x sin 1+; (B) x sin 1-; (C) x cos 1+; (D) x cos 1-.26若)(x f 在),(b a 内连续, 则在),(b a 内)(x f ( ). (A) 必有导函数; (B) 必有原函数; (C) 必有界; (D) 必有极值.27下列各式中, 正确的是 ( ). (A)⎰⎰---<011dx e dx e x x ; (B)⎰⎰>213)()(dx x f dx x f ;(C)⎰⎰>40240sin sin ππdx x xdx ; (D)⎰⎰=-111)(2)(dx x f dx x f .28设⎜⎠⎛+=21)1ln()(x dt tt x f , 则=')2(f ( ). (A) 3ln 21; (B) 5ln ; (C) 3ln 2; (D) 5ln 41. 29下列各式中, 正确的是 ( ). (A)21111112-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--⎰x dx x ; (B) 01lim 122=+=+⎰⎰-+∞→∞+∞-A A A dx x xdx x x ; (C)20cos 2cos n nxdx xdx ππ=⎰⎰; (D)20sin 2sin nn xdx xdx ππ=⎰⎰.30设)(x f 是连续函数, )(x F 是)(x f 的原函数, 则( ). (A) 当)(x f 是奇函数时, )(x F 必是偶函数;(B) 当)(x f 是偶函数时, )(x F 必是奇函数;(C) 当)(x f 是周期函数时, )(x F 必是周期函数; (D) 当)(x f 是单调增函数时, )(x F 必是单调增函数.一. 计算题 1()2(())f x y f e =, 求y '. 21)1ln(22+-++=x x x x y , 求dy . 322ln arctany x x y +=, 求dxdy . 4⎩⎨⎧-=+=tt y t t x 5353, 求dx dy 和22dx y d . 5计算)(lim 2n n n n -+∞→. 6计算)ln 111(lim 1x x x --→. 7计算)ln(sin ln lim ππ-+→x x x . 8计算)11ln(lim 220xx x +→. 9计算1ln lim (1)n x x x →+∞+，(0)n >.10计算302sin limxdtt x x ⎰-→. 11计算32226125x x x dx x x -++-+⎰. 12计算⎰xdx x 32cos sin .13计算⎰dx xx 2arctan . 14计算⎰+dx x x )1ln(. 15计算⎰+dx x 12cos . 16计算⎰-10224dx x x . 17计算⎰-202||dx x x . 18计算⎰∞+-+222x x dx . 19计算⎰∞++01x e dx . 20计算⎰∞+-0dx e x xn .二. 综合、应用、证明题 1. 设)(x f 在a x =处可导, 且0)(>x f , 求n n a f n a f )](/)1([lim +∞→. [ ])()(exp[a f a f ' ]2.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1arctan )(2x x xx x f , 试讨论)(x f '在0=x 处的连续性. [ 连续 ] 3.设函数()y y x =由方程 3222221y y xy x -+-=所确定，求()y y x =的驻点, 并判别它是否为极值点. [ 1=x ; 极小值点 ]4. 求半径为R 的半圆的内接矩形的最大周长. [ R 52 ]5. 计算下列极限:(1) 11lim nn i n i→∞=+∑; (2) 112lim[(1)(1)(1)]n n n n n n →∞+++ . [ (1) ln 2; (2) e 4 ]6. 设平面图形是由曲线1y x=和23x y +=所围成，求(1) 此平面图形的面积S ； [ 2ln 43- ] (2) 此平面图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积V . [ 12π]7. 设曲线)0,0(2≥>=x a ax y 与21x y -=交于点A , 过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2ax y =围成一平面图形. 问a 为何值时, 该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大? 最大体积是多少?[ π1875532;4max ==V a ]8. 为清除井底的污泥, 用缆绳将抓斗放入井底, 抓起污泥后提出井口. 已知井深30m, 抓斗自重400N, 缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重2000N, 提升速度为3m/s, 在提升过程中, 污泥以20N/s 的速率从抓斗逢隙中漏掉. 现将抓起污泥的抓斗提升至井口, 问克服重力需作多少焦耳的功?(说明: (1) 1N ⨯1m=1J; m, N, s, J 分别表示米, 牛顿, 秒, 焦耳. (2) 抓斗的高度及位于井口上方的缆 绳长度忽略不计.) [ 91500 J ] 9.设111,1,2,)n x x n +=== , 试证数列}{n x 极限存在, 并求此极限. [ 3lim =∞→n n x ]10.设111,1,2,)n x x n +=== , 试证数列}{n x 极限存在, 并求此极限. [ lim 2n n x →∞= ]11. 设()f x 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，当[,]x a b ∈时, b x f a <<)(, 且1)(≠'x f ，求证：方程x x f =)(在),(b a 内有且只有一个根.12. 设()f x 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且e f =)0(，1)1(=f , 求证：在)1,0(内至少存在一点ξ，使0)()(2='+ξξξf f .13. 设()f x 二阶可导，过曲线()y f x =上点A 的切线与曲线()y f x =有另一交点B ，证明存在ξ，使()0f ξ''=.14. 证明: 当20π<<x 时, 2sin x x π>. 15.就k 的不同取值情况, 确定方程kx x =ln 的实根的个数, 并证明你的结论. 16. 设()f x 在[0,1]上连续，证明：20(sin )2(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰.17. 设()f x 在[1,)+∞上满足221()[()]f x x f x '=+，且(1)1f =. 试证：在[1,)+∞上()14f x π<+.18. 设)(x f 在]1,0[上连续且递减, 证明: 当10<<λ时, ⎰⎰≥1)()(dx x f dx x f λλ.19. 设)(x f '在],0[a 上连续, 且0)0(=f , 证明: 2|)(|2Ma dx x f a ≤⎰, 其中|)(|max 0x f M ax '=≤≤.20. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导, 且)0()(3132f dx x f =⎰, 证明在)1,0(内至少存在一点c , 使0)(='c f .1．=∞→xxx sin lim ________.2．设函数(ln )y f x =, 其中()f x 可微, 则d y =________________.3．曲线sin y x =上点(0,0)处的切线斜率为=k ________.4．设()x f x xe =, 则(2006)()f x =________________.5．质点以速度)sin(2t t 米/秒作直线运动, 则从时刻21π=t 秒到π=2t 秒内质点所经过的路程等于___________米.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分) 1. 当1x →时，无穷小量(1)x -是2(1的( ).A. 高阶无穷小; B. 低阶无穷小;C. 等价无穷小; D. 同阶但不等价无穷小.2. 0x=是函数1arctany x=的( )间断点.A. 可去; B. 跳跃; C. 无穷; D. 振荡. 3. 下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是( ).A. ];3,2[,65)(2∈+-=x x x x fB];2,0[,)1(1)(32∈-=x x x f C. ];1,0[,)(∈=x e x f x D. ].1,1[,)(-∈=x x x f4. 设函数()y y x =的导函数为cos x ，且(0)1y =，则()y x =( ).A. cos x ; B. sin x ; C. cos 1x +; D. sin 1x +.5. 若22001()d ()d 2a xf x x f x x =⎰⎰，则a =( ).A. 4; B. 2; C. 12; D. 1.三． 1．21sin ()x e y x -=，求y '. 2．设)(x y y =由参数方程2ln(1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩所确定, 求d d y x 和22d d x y . 四．1．求极限1lim(1)x xx xe →+.2．设函数22(1cos ),0()1,0ax x f x x x bx x ⎧-<⎪=⎨⎪++≥⎩在(,)-∞+∞上处处连续、可导，求,a b 的值. 五．求函数x xy ln 1+=的单调区间、极植，凹凸区间和拐点.六． 1．21x x +⎰ .2．0a x x ⎰, 其中0.a > 3．21arctan d x x x+∞⎰. 七．设直线(01)y ax a =<<与抛物线2y x =所围图形的面积为1S ，它们与直线1x =所围图形的面积为2S .(1) 试确定a 的值使12S S +达到最小；(2) 求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积.八． 1．证明：当0ln(1)1x x x x>+>+时，. 2．设当1x ≤<+∞时，()f x '连续，且210()f x x '<<.证明：数列()nx f n =的极限存在.1．设2,0()1sin ,0a x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,当常数=a ______时,)(x f 在0x =处连续.2．曲线21x y x =+有水平渐近线=y ______. 3．曲线xy xe-=的拐点横坐标为=x______.4．设)(x f 连续, 且3140()1x f t dt x -=-⎰,则(26)f =______.5．方程20y y y '''++=的通解为y =____________________.1. 当0→x时1是2x 的( )无穷小.(A) 高阶; (B) 低阶; (C) 同阶; (D) 等价.2. 函数|2|y x =-在点2x =处 ( ).(A) 可导但不连续; (B) 连续但不可导; (C) 可导; (D) 可微.3．设()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导,则( ).(A) 当()()0f a f b <时, 存在(,)a b ξ∈,使()0f ξ=;(B) 对任何(,)a b ξ∈,有lim[()()]0x f x f ξξ→-=;(C) 当()()f a f b =时, 存在(,)a b ξ∈,使()0f ξ'=;(D) 存在(,)a b ξ∈,使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.4. 若函数)(x f 在点0x x =处取得极小值, 则必有( ).(A) 0)(0='x f ; (B) 0)(0>''x f ; (C) 0)(0='x f 或)(0x f '不存在； (D) 0)(0='x f 且0)(0>''x f .5. 设)(x f 的导函数为sin x , 则()f x 的一个原函数是( ).(A) 1+x sin ; (B) 1+x cos (C) 1x sin -; (D) 1x cos -.1．1ln(arctan y x x=+，求y '.2．2sin3xy e x -= ,求dy .3．求由方程57230y y x x +--=确定的隐函数()y f x =在0x =处的导数.4．求曲线231x t y t⎧=+⎨=⎩上在参数2t =相应的点处的切线方程.5．计算极限30arctan lim sin x x xx →-.1．计算不定积分3(1)x dx x +⎰.2．计算定积分94⎰.3．计算反常积分⎰∞+-0dx xe x.4．求微分方程24dy xy x dx+=的通解. 五．证明方程32100x x +-=有且只有一个实根.六．设曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>)及x 轴围成一曲边梯形,该曲边梯形绕x 轴旋转一周得旋转体,其体积为()v t ,在x t =处的底面积为()f t .求()lim()t v t f t →+∞. 一．1．设⎩⎨⎧≤>=02x x x x x f ,,)(，则=-))2((f f .2. 若函数 ⎩⎨⎧>+≤=112x b ax x x x f ,,)( 在1=x 处可导，则=a ， =b .3．0=x 是xxy sin =的第 类间断点，是xy 1sin=的第 类间断点。
2014-2015(1)线性代数试题(B)解答 - 副本
广州大学2014-2015学年第一学期考试卷课 程：《线性代数Ⅱ》 考 试 形 式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________1．设A 为3阶方阵,且2||1=-A ,则=+-||*1A A 427.2. 当初等阵=A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101,=B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100时,有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321210111012B A .3．已知3阶非零矩阵A 的每个列向量都是方程组的解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-=-=++0)2(81000033213221321x k x x x x x x kx x x 的解,则=k 4-,=||A 0.4．设三阶方阵A 的三个特征值分别为3,2,1,则=+||E A 24 . 二、选择题（每小题3分，本大题满分15分）1．下列n (2>n ) 阶行列式的值不一定为0是（ A ）. （A ）行列式的主对角线上元素全为0；（B ）三角形行列式的主对角线上至少有一个为0； （C ）该行列式对应阵有一个特征值为0； （D ）该行列式中有两列成比例。
2．在下列命题中,不正确的是(C )（A ）若A 是n 阶阵,则))(())((I A I A I A I A -+=+-； （B ）若B A ,均是1⨯n 阵,则A B B A T T =；（C ）若B A ,均是n 阶阵,且O AB =,则222)(B A B A +=+；；（D ）若A 是n 阶阵,则m k k m A A A A =3．设三元非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为2,且它的三个解向量321,,ζζζ满足T )2,6,4(21-=+ζζ,T )1,1,2(31=+ζζ,则b Ax =的全部解为(A )（A ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-132352k ；（B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11226435221k k ；（C ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-264352k ；（D ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3524．设向量组γβα,,线性无关, δβα,,线性相关,则有( C ).(A) α 必可由δγβ,,线性表示; (B) β 必不可由δγα,,线性表示; (C) δ 必可由γβα,,线性表示; (D) δ 必不可由γβα,,线性表示; 5．设A 是n 阶阵,则有( A ).(A) 若A 可逆，则A 的对应λ的特征向量也是1-A 的对应λ1的特征向量;(B) A 的特征向量的任意个组合仍是A 的特征向量; (C) A 和T A 具有相同的特征向量;(D) A 的特征向量为方程组0)(=-x I A λ的全部解。
2014-2015(1)线性代数试题(A)详解
广州大学2014-2015学年第一学期考试卷课 程：《线性代数Ⅱ》 考 试 形 式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________一、填空题（每空3分，本大题满分18分）1．设A ,B 都为3阶方阵,且5||1=-A ,54|3|=B ,则=-||1AB .2.若对三阶阵A 先交换第一,三行,然后第二行乘2后再加到第三行,则相当于在A 的 边乘三阶阵 .3．若阵A 为3阶方阵,且秩1)(=A R ，则=)(*AA R .4．设向量组),1,1(1a =α,)1,,1(2a =α,)1,1,(1a =α所生成的向量空间为2维的,则=a .5．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231*********a a a a a a A ,其特征值为3,2,1-,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a B ,则B 的行列式中元素的代数余子式=++232221A A A .二、选择题（每小题3分，本大题满分15分）1．若AB 为n 阶单位阵，则必有（ ）.（A ）BA 也n 阶为单位阵；（B ）BA 可能无意义；（C ）n BA R =)(；（D ）以上都不对.2．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵记为A 。
若存在三阶阵O B ≠，使得O AB =，则（ ）.（A ）2-=λ，且0||=B ； （B ）2-=λ，且0||≠B ；（C ）1=λ，且0||=B ； （D ）1=λ，且0||≠B .3．对含n 个未知数, 1+n 个方程的线性方程组b Ax =,行列式0|),(|=b A 是它有解的（ ）.（A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充要条件； （D ）非充分非必要条件.4．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100c ζ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2210c ζ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3311c ζ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4411c ζ,其中4321,,,c c c c 为任意常数,则下列向量组线性相关的为( ).(A) 321,,ζζζ; (B) 421,,ζζζ; (C) 431,,ζζζ; (D) 432,,ζζζ.5．设},,{321ααα分别为同维无关向量组,而},,,{1321βαααα+为相关向量组,则有( )成立.(A) },,,{2321βαααα+为相关向量组; (B) },,{132βααα+为无关向量组;(C) 1}),,({}),,,({321321+=αααβαααR R ;(D)1}),,({}),,,({321321-=αααβαααR R三、（本题满分12分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A ，且A 满足矩阵方程X A AX 2+=,求X .四、（本题满分8分） 计算行列式6741212060311512-----.五、（本题满分6分）设PB AP =,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1121P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1002B ,求10A .六、（本题满分10分）求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-0830********43214321x x x x x x x x x x x x 的所有解.设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----==43333320126624220121),,,,(54321αααααA . 1) 求矩阵A 的行最简形和秩; 2) 求向量组4321,,,αααα的一个最大无关组, 再把其余向量用该最大无关组线性表示.八、（本题满分9分） 设A 为2阶方阵，且存在正整数)2(≥l l ,使得O A l =,证明: 1) A 的秩1≤. 2) O A =2.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122212221A 的特征值和特征向量.。
邓明香2010-2011(2)线性代数试卷B答案
广州大学2010-2011学年第二学期考试卷参考答案课 程：线性代数Ⅰ、Ⅱ 考 试 形 式：闭卷考试学院：__________ 专业班级：__________ 学号：____________ 姓名：__________一．填空题（每空3分，共15分）1．行列式1001513017112187---中（3，2）元的代数余子式32A 的值为 -100 . 2．设,A B 为2阶方阵，若 1 23 4AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则11B A --= 4 -20.5-3 1⎛⎫- ⎪⎝⎭ .3．设矩阵(,,)A αβγ=，()3,3,B αβγγ=-，若||3A =，则||B = 9 .4．若向量组131m α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2121α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3331α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩为2，则m = 3 .5．设方阵A 的一个特征值为1，则2A E +的一个特征值为 3 .二．选择题（每小题3分，共15分） 1．设方阵A 满足2A A =，则必有【 】. （A ）A O =； （B ）A E =； （C ）A O =或A E =； （D ）||0A =或||1A =.2．设B PAQ =，下列说法错误的是【 D 】. （A ）若,P Q 可逆，则()()R A R B =；（B ）若,P Q 可逆，则A 可经过有限次初等变换化为B ； （C ）若B 为单位矩阵E ，,,P A Q 皆为方阵，则必有QPA E =； （D ）若B 为单位矩阵E ，,,P A Q 皆为方阵，则必有1P QA -=.3．设A 为3阶可逆矩阵，010100001B A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则关于11,A B --的说法，正确的是【 C 】.（A ）交换1A -的第1，3行得到1B -； （B ）交换1A -的第1，2列得到1B -； （C ）交换1A -的第1，2行得到1B -； （D ）交换1A -的第1，3列得到1B -.4．若非齐次线性方程组AX B =所对应的导出方程组0AX =只有零解，则以下判断错误的是【 D 】.（A ）A 的列向量组线性无关；（B ）AX B =可能无解；（C ）AX B =不可能有无穷多解； （D ）AX B =有唯一解.5．若21a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，01b β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，10c γ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是正交向量组，则a ，b ，c 分别为【 B 】.（A ）0，0，0； （B ）0，1/2，0；（C ）0，-1/2，0； （D ）0，1，1/2.。
广州大学2009-2010 (6)线性代数期末考试卷试题及解答2
《线性代数》客观题100题一．填充题1．行列式23142536xx x展开后，2x 的系数为______. 2．设A 是m 阶方阵，B 是n 阶方阵，且, , =a b ⎛⎫==⎪⎝⎭OA ABC B O ，则=C ____.3．设,,αβγ为3维列向量，已知3阶行列式|4,2,2|40--=γαβγα，则行列式|,,|=αβγ______.4．设12344321||10125116=--A ，则41424344432A A A A +++=______.5．行列式222233334444ab c d a b c d a b c d abcd=_______________________________________________.6．五阶行列式10001100det 0110001100011aa a a a a a a a -⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪--= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭____________________________. 7．n 阶行列式000000det 000000a b a b a b b a ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭____________.8．设向量(1,2)=α，(2,1)=β，矩阵T=A αβ，则n =A ____________. 9．设122212221⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，则21n +=A ____________.10．设3223⎛⎫=⎪⎝⎭A ，则15n n+-=A A ____________. 11．设矩阵110011000020022⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则n =A ____________________. 12．设A ，B 均为n 阶矩阵，2,3==-A B ，则*12-=A B ______.13．已知200420064208641*⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，则1-=A ____________________.14．设矩阵A 的逆矩阵11011-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，则T 1()-=A _________，1()*-=A _________.15．设100220345⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则*1()-=A ________________. 16．设n 维向量T (,0,,0,),0a a a =< α，若T =-A E αα的逆矩阵为T1a =+B E αα，则a =______.17．设矩阵A 满足24+-=A A E O ，则1()--=A E ____________. 18．设100023000450067⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭A ，且1()()-=+-B E A E A ，则1()-+=E B ________. 19．设矩阵A ，B 满足*28=-A BA BA E ，其中100020001⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，则=B ______. 20．设,A B 为可逆矩阵，⎛⎫= ⎪⎝⎭O A X B O 为分块矩阵，则1-=X ____________. 21．若矩阵12304412a ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭的秩为2，则=a ______.22．设0, 0(1,2,)i i a b i n ≠≠= ，矩阵111212122212n n n n n n a b a b a b a ba b a b a b a b a b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，则矩阵A 的秩()r =A ______.23．已知34⨯矩阵A 的秩()2R =A ，而102030405⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，则()R =AB ______. 24．设111123-⎛⎫=⎪⎝⎭A ，则行列式T=A A ______. 25．若123,,ααα都是线性方程组=A x b 的解向量，则123(253)-+=A ααα______. 26．当=a ______时, 齐次方程组12312312332023020x x x x x x x x ax ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩有非零解.27．设12243311t -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，B 是3阶非零矩阵，且=A B O ，则t =______. 28．线性方程组123450x x x x x ++++=的基础解系含有______个解向量.29．设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且A 的秩为1n -，则线性方程组=0A x 的通解为____________________.30．已知11112213314421122223324400a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎨+++=⎩的基础解系为T1234(,,,)(1,2)i i i i b b b b i =，则11112213314421122223324400b x b x b x b x b x b x b x b x +++=⎧⎨+++=⎩的基础解系为________________________. 31．已知矩阵1234523456357911⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则秩()R =A ______，齐次线性方程组=A x 0的解空间的维数等于______.32．设向量组(1,1,1)，(1,2,3)，(2,3,)a 线性相关，则a =______.33．已知三维线性空间的一组基底为T 1(1,1,0)=α，T 2(1,0,1)=α，T3(0,1,1)=α，向量T(2,0,0)=β在上述基底下的坐标是____________. 34．从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为__________.35．设向量T (1,2,2)=α，A 为三阶正交矩阵，则长度||||=A α______. 36．已知向量(1,1,1)=α与(1,2,)a =β正交，则=a ______. 37．向量(1,2,2,3)=α与(3,1,5,1)=β的夹角θ=______.38．设33()ij a ⨯=A 是实正交矩阵，且111=a ，T (1,0,0)=b ，则线性方程组=A x b 的解是____________________.39．设A 是3阶矩阵，它的3个特征值互不相等，并且矩阵A 的行列式0=A ，则矩阵A 的秩()R =A ______.40．若2阶方阵A 满足256-+=A A E O ，且A 的两个特征值不相等, 则||=A ____. 41．设2阶方阵≠A O 满足23=A A ，则A 有一特征值λ=____，且1()--=A I ____. 42．设3阶方阵A 的特征值为1，2，3，则|6|-=E A ______. 43．设3阶矩阵A 的特征值为1，2，2，则行列式1|4|--=A E ______.44．设A 为n 阶矩阵，0≠A ，若A 有特征值λ，则*2()+A E 必有特征值______. 45．设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，1=0A α，2122=+A ααα，则A 的非零特征值为______. 46．设矩阵122212304-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，T (,1,1)a =α。
广州大学2016-2017(2)线性代数试题(A)
院、系领导A 卷审批并署名广州大学 2016-2017学年第二学期考试卷课程：线性代数Ⅰ、Ⅱ考试形式：闭卷考试学院 :____________ 专业班级 :__________ 学号 :____________ 姓名 :___________题次一二三四五六七八九十总分评卷人分数1515 128121*********得分一、填空题（每题 3 分，本大题满分15 分）1．设A，B都为 3阶方阵，且|A| 4 ， B 2E ，则|A1B|.2. 设矩阵 A 1 1 ，则 A2的秩R(A2).1 13 04 13．22 2 2 中第四行各元素的代数余子式之和 A41 A42 A43 A44.6 1 4 05 3 1 21 0 04．设 3 阶矩阵A与对角矩阵0 1 0 相像，则齐次线性方程组 (E A) x 00 0 1的基础解系包括解向量的个数为.1 0 05．已知A 2 3 0 ，B (E A) 1(E A) ，则 (E B) 1 .4 6 5二、选择题（每题 3 分，本大题满分15 分）1．设 n 阶方阵A, B知足关系式AB O ，则必有（）.（A）若A O，则 B O ；（B）若B O，则|A| 0 ；（C）A 2B2(A B)( A B)；（）D |A| 0或|B| 0.2. 设 a 1 , a 2 , a 3 均为 3 维列向量，记 A (a 1, a 2 , a 3 ) , B (a 1 a 2 , a 2 2a 3 , a 3 2a 1 ) , 若 A1，则 B （）.（A ） 2； （B ）3；（C ）4；（D ）5.3．设 n 阶方阵 A 知足 A 2 2 A 2E O ，则(A 3E) 1 （） .（A ）A ；（B ）A E ；（C ） A E ；（D ）E A .4．设 n(n 3) 维向量组 a 1, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 的秩为 3，且知足 a 1 3a 2 2a 4 0 ， 3a 2 2a 3 2a 40 ，则该向量组的一个极大没关组是（）.（A ） a 1, a 2 , a 3 ； （ B ） a 1 , a 2 , a 5 ； （C ） a 1, a 3 , a 5 ； （D ） a 1 , a 3 , a 4 .2 0 15．设 A3 1 3 ，则以下向量中属于矩阵 A 的特点向量的是（） .40 5（A ） (1,T；（） (1, 2, 2) T；（）T；（） (2, 0, T.0, 1) BC (1, 3, 4) D1) 三、（此题满分 12 分）31 0 01 3 0 0 2和 A 1 .设 A0 2 ，求 A 0 0 04 21 2 3 0 2 3 0 1计算队列式 D0 1 .3 2 0 1 2 3五、（此题满分 12 分）2 1设矩阵A 1 1 2 ，矩阵B 知足AB AB E ，求B .111x1 x2 x3 4x4 3x1 x2 3x3 2x4 1 求非齐次线性方程组x2 3x3 5x4 的通解 .2x1 5 3x1 x2 5x3 6x4 7七、（此题满分 10 分）已知向量1 1 3 1a1 1 , a2 3 , a3 1 ，b 3 ，3 1 15 31 5 12 t问： t 取何值时，b可由a1, a2, a3线性表示，并求出该表达式 .八、（此题满分 6 分）设 3 维列向量组 a1, a2 , a3线性没关，P是 3 阶方阵，且 Pa1 a1 2a2 3a3，Pa2 2a2 3a3， Pa3 a2 4a3 . 证明：P是可逆矩阵 .九、（此题满分 12 分）110求矩阵 A 1 0 1的特点值和特点向量.0 1 1院、系领导A 卷审批并署名广州大学 2016-2017学年第二学期考试卷解答课程：线性代数Ⅰ、Ⅱ考试形式：闭卷考试学院 :____________ 专业班级 :__________ 学号 :____________ 姓名 :___________题次一二三四五六七八九十总分评卷人分数1515 128121*********得分一、填空题（每题 3 分，本大题满分15 分）1．设A，B都为 3阶方阵，且|A| 4 ， B 2E ，则|A1B| -2 .2. 设矩阵 A 1 1 ，则 A2的秩R(A2) 0 .1 13 04 13．22 2 2 中第四行各元素的代数余子式之和A41A42A43A44 0 .6 1 4 05 3 1 21 0 04．设 3 阶矩阵A与对角矩阵0 1 0 相像，则齐次线性方程组 (E A) x 00 0 1的基础解系包括解向量的个数为 2 .1 0 0 1 0 05．已知A 2 3 0 ，B (E A) 1(E A) ，则 (E B ) 1 1 2 0 .4 65 2 3 3二、选择题（每题 3 分，本大题满分15 分）1．设 n 阶方阵A, B知足关系式AB O ，则必有（D ） .（A）若A O，则 B O ；（B）若B O，则|A| 0 ；（C）A 2B2(A B)( A B)；（）或|B| 0.D|A|02. 设 a 1 , a 2 , a 3 均为 3 维列向量，记 A (a 1, a 2 , a 3 ) , B (a 1 a 2 , a 2 2a 3 , a 3 2a 1 ) , 若 A1，则 B （ D）.（A ） 2； （B ）3； （C ）4；（D ）5. 3．设 n 阶方阵 A 知足 A 2 2A 2E O ，则(A 3E) 1 （D ）.（A ）A ；（B ）A E ；（C ） A E ；（D ）E A .4．设 n(n 3) 维向量组 a 1, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 的秩为 3，且知足 a 1 3a 2 2a 4 0 ，3a 2 2a 3 2a 4 0 ，则该向量组的一个极大没关组是（B） .（A ） a 1, a 2 , a 3 ； （ B ） a 1 , a 2 , a 5 ； （C ） a 1, a 3 , a 5 ； （D ） a 1 , a 3 , a 4 .2 0 15．设 A3 1 3 ，则以下向量中属于矩阵 A 的特点向量的是（C）.40 5（A ） (1,T；（） (1, 2, 2) T；（） T；（） (2, 0, T.0, 1) B C (1, 3, 4) D1) 三、（此题满分 12 分）3 1 0 01 3 0 0 2和 A 1 .设 A0 2 ，求 A 0 0 04 2解：记 A 13 1 ， A 22 0，则 AA 1 O134 2O，于是A 2A 2A 12 O ， A 1 A 1 1O.------3分O2O1A 2A 210 0 0 0A 210 0 ， A 24 0 ， A 2A 12 O01000 1 0 10 216 4O A 220 0 4 00 0 16 4*3 1110.3 0.1， ------9A 110， A 11 3 ， A 1 |A 1| A 1 0.1 0.3*2 0 1 1 0.5 0A 24，A 2， A 2|A 2|A 2，42 1 0.50.3 0.1 0A1A 1 1O0.1 0.3 0分10 0.5 .------12OA 210.5------6分分四、（此题满分 8 分）1 2 3 02 3 0 1计算队列式 D0 1 .3 2 0 1 2 31 2 3 0 1 2 3 00 1 6 1 0 1 6 1 分解： D6 8 2 0 0 28 ------4 0 4 012 3441 2 3 0 1 2 3 00 1 6 1 0 1 6 1 分0 044 0 0 4 96 .------84 0 0 2840 00 24五、（此题满分12 分）0 2 1设矩阵 A1 12 ，矩阵B 知足AB AB E ，求B .111解：由已知得 ( A E ) BA E ，------2 分1 2 1 1 2 1( A E , A E ) 12 2 1 0 2 ------4 分rr11 0 1121 2 1 1211 2 11 2 1 0 0 1 221r0 1 1 2 110 1 1 2 1 1 0 0 1 2 2 11 0 1 3 0 31 0 05 2 40 112 1 1 r0 1 0 4 3 2 ------10 分0 0 12210 0 1221(E, (AE) 1(AE)) ，所以524B (A E) 1(A E)4 32 .------ 12 分 2 2 1六、（此题满分 10 分）x 1 x 2 x 3 4x 4 3求非齐次线性方程组x 1 x 2 3x 3 2x 4 1的通解 .2x 1 x 2 3x 3 5x 4 53x 1 x 2 5x 3 6x 47解：对增广矩阵 ( A,b) 进行初等行变换：1 1 1 4 31 1 3 21分( A, b)13 5 ------22 53 15 6711 14 31 02 1 20 2 2 6 2 0 1 1 3 1， ------7 分0 1 1 3 1 0 0 0 0 0 0 2 26 20 00 0于是得同解方程组x 1 2x 3x 42分x 2 x 3 3x 4.------81令 x 3 k 1 , x 4k 2 ，求得通解为x 121 2x 2k 1 1k 23 1， k 1, k 2 为随意数 .------10分x 3 1 0 0 x 41七、（此题满分 10 分） 已知向量1 131a 1 1 , a 2 3 , a 3 1，b 3 ， 3 1 15 315 12 t问： t 取何值时， b 可由 a 1, a 2 , a 3 线性表示，并求出该表达式 .1 1 3 111 3 1解：(a 1 , a 2 , a 3 , b)1 3 13r0 2 2 23 1 15 30 4 61 5 12 t6 9 t 11 0 4 01 0 0 8r0 1 1 1r0 1 0 3 ，------7 分0 0 240 0 1 20 0 3t 50 0 0 t1当 t 1 时， b 可由 a 1 , a 2 , a 3 线性表示， ------8分且有b8a 1 3a 2 2a 3 .------10 分八、（此题满分 6 分）设 3 维列向量组 a 1, a 2 , a 3 线性没关， P 是 3 阶方阵，且 Pa 1 a 1 2a 2 3a 3 ，Pa 2 2a 2 3a 3 ， Pa 3a 2 4a 3 . 证明： P 是可逆矩阵 .1 0 0证明： P(a 1, a 2 , a 3 )(Pa 1, Pa 2 , Pa 3 ) ( a 1 , a 2, a 3) 2 2 1 ，3 3 41 0 0 记 A (a 1, a2 , a 3) , K221 ，则 PAAK ，进而3 34 |P| |A||A| |K |.（1）------3分因列向量组 a 1 , a 2 , a 3 线性没关，所以 | A | 0 ，又 | K | 5 0 ，所以，由（ 1）式知| P | 0 ，进而 P 可逆 .------6分第 11 页 共 12 页《线性代数》 A 卷九、（此题满分 12 分）110求矩阵 A 1 0 1的特点值和特点向量.0 1 1解:矩阵A的特点多项式为1 1 0 1 1 0| E A | 1 1 0 10 1 1 1 1 11 1 00 1 ( 1)2，0 0 1矩阵 A 的特点值为 1 2 1, 3 0 .------6 分当0 时，解方程组 (0 E A) x 0 . 由1 1 0 1 1 0 1 0 10 E A 1 0 1 r 0 1 1 r 0 1 1 ，0 1 1 0 1 1 0 0 0得基础解系p1 ( 1, 1,1)T，所以，矩阵A 对应于0 的所有特点向量为 k1 p1（ k1 0 ） .------9 分当 1 时，解方程组(E A) x 0 . 由010E A 1 1 1010 r1 1 1 1 0 10 1 0 r 0 1 0 ，0 1 0 0 0 0得基础解系p2 ( 1, 0,1)T，所以，矩阵 A 对应于1的所有特点向量为k2p2（k2 0 ）.------12 分第 12页共12页《线性代数》 A 卷。
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,A
n
2 1 4n 1 4 2
* 1
.
2.设矩阵
1 1 0 1
,(A
)
1 0 1 1
.
1 1 1 3.设 (α1 , α2 , α3 ) 1 2 3 ,则 det( α1 , α2 , α3 ) （ ）,当 a （ ）时,向量组 α1 , α2 , α3 线性相关. 2 3 a 1 2 3 4 5 4.已知矩阵 A 2 3 4 5 6 ,则秩 R A （ ）,齐次线性方程组 Ax 0 的解空间的维数等于（ 3 5 7 9 11 1 0 1 1 0 0 1 y 与对角矩阵 0 1 0 相似,则 x （ 5.已知方阵 A 2 ）, y . （ ） 6 0 4 0 0 x
）.
二.选择题(每小题 3 分)
1.设 n 阶方阵 (A)
AO;
A 满足关系式 A3 O ,则必有( * 2 (B) A O ; (C) A O ;
). (D) ( I
A) 1 I A A 2 .
T )为 B . A 是 3 阶矩阵, A 的第二列乘以 2 为矩阵 B ,则 AT 的( 1 1 (A)第二行乘以 2 ; (B)第二列乘以 2 ; (C)第二行乘以 ; (D)第二列乘以 . 2 2 * 3.设 3 阶矩阵 A 的秩 R ( A) 2 ,则 R ( A ) ( ).(A) 0 ; (B) 1 ; 4.设向量组 A : α1 , , αr 可由向量组 B : β1 , , β s 线性表示,则( ). (A)当 r s 时,向量组 A 必线性相关; (B)当 r s 时,向量组 B 必线性相关; (C)当 r s 时,向量组 A 必线性相关; (D)当 r s 时,向量组 B 必线性相关. 1 0 0 0 1 1 0 0 1 三.( 8 分)判断矩阵 A 可逆,并求其逆矩阵 A . 0 1 1 0 0 0 1 2
5．设 是方阵
.
A 的一个特征值，则 A aE 的一个特征值为
.
二．选择题（每小题 3 分）
1．设方阵 （A）
A, B, C （ C 不是零矩阵）满足 AC BC ，则必有【
（B）
】.
AO或B O;
AB;
（C） |
A B | 0或| C | 0 ;
PAQ ，下列说法错误的是【
的通解.
1 1 0 八． （12 分）求矩阵 A 4 3 0 的特征值和特征向量. 1 0 2
九． （ 8 分 ） 设 η 是 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax b η, η ξ1 , , η ξ n r 线性无关.
的一个解,
ξ1 , , ξ n r
关.2．证明：两个相似矩阵具有相同的特征多项式.
广州大学 2009-2010 学年第一学期考试卷
一.填空题(每小题 4 分)
1.设 α
2 1 (1, 2) , β (2,1) , A α T β ,则 A 4 2 1 0 T 1 A 的逆矩阵 A1 ,则 ( A ) 1 1
1 3 B , C 2A B , 5 9 x1 3 x 2 4 x3 2 x1 x 2 2 x3 的逆变换. x1 2 x 2 3 x3
.
1 3 1 4 六． （12 分）设 (α1 , α2 , α3 , α4 ) 2 3 8 2 , 2 12 2 12
A1 的第 1，2 列得到 B 1 ； A1 的第 1，3 列得到 B 1 .
】.
4．若非齐次线性方程组 （A） （C）
AX B 所对应的导出方程组 AX 0 只有零解，则以下判断错误的是【
（B） （D）
A 的列向量组线性相关； AX B 不可能有无穷多解；
AX B 可能无解； AX B 可能有唯一解.
广州大学 2007-2008 学年第一学期考试卷
一．填空题（每小题 3 分）
1．设 α1 , α2 , α3 为 3 维列向量, 且 | α1 , α2 , α3
| 4 ,
则 | α1 , 2α3
2 α2 , α2 | .（
）
2 0 0 2．已知 A* 2 2 0 ，则 | A | .（ ） 4 4 4 3．设 A 为可逆矩阵, 则矩阵方程 XA B 的解为. （ 4．若向量 α (1, 1, 2) 与 β (1, a, 1) 正交, 则 a .（
是
Ax 0
的一个基础解系. 证明:
广州大学 2010-2011 学年第二学期考试卷
一．填空题（每空 3 分）
10
1．行列式
13 17 19
11 1 4
中（3，2）元的代数余子式
0 15
A32 的值为
.
2 0 0 1 1 2．设 A, B 为 3 阶方阵，若 AB 0 2 0 ，则 B A . 0 2 1
】.
（D）0，1/2，0.
三．解答下列各题（每小题 8 分）
1 2 3 4
1．计算行列式 Dห้องสมุดไป่ตู้
2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3
.
2 1 0 1 2 0 2．设 A 0 0 1 0 0 0
0 0 8 ，求 A . 2 1
1 1 0 四． （10 分）已知矩阵 A 1 0 1 ，且 AB A 2B ，求 B . 2 2 1 1 3 4 3 3 5 4 1 五． （10 分）设向量组 A 为： 1 ，2 ， 3 ，4 . 2 3 2 0 3 4 2 1
5．若 2 阶方阵
） ） （ ）
A 满足方程 A 3 A 2 E O ,
2
且
A 的两个特征值不相等,则 A 的特征值为. 8； 7； 8 ； 7 ； 32 5
二．选择题 (每小题 3 分)
1．设
A 为 3 阶方阵，且 | A | 4 , 2 8 11 7 5 4 x 1 3 x 5 6
（1）求 1 所对应的特征值 1 及参数 m, n 的值； （2）
A 能对角化吗？若能，求可逆矩阵 P ，使得 P 1 AP 成对角矩阵.
八．证明题（每小题 6 分）1．设 能被向量组 1 , 2 , , r 线性表示，且表示式唯一，证明： 1 , 2 , , r 线性无
(A) (C)
k1 , , k m 全为 0; k1 , , k m 不全为 0;
(B)
k1 , , k m 全不为 0; 1 2 1 3 1 1 1 3 2 4 0 2
求C
2007
(D) 前述情况都可能出现.
三． （8 分）计算行列式 D
0 2
.
2 4 1 2 四． （8 分）设 A , 3 4 y1 五． （10 分）求线性变换 y 2 y 3
3．设 1 , 2 , 3 为 3 维列向量，且 | 1 , 2 , 3
| 2 ，则 | 1 ,3 3 2 2 , 2 |
.
2 1 2 4．若向量组 1 ， 2 2 ， 3 3 的秩为 2 ，则 1 1 1
a 0 1 5．若 2 ， b ， 0 是正交向量组，则 a ， b ， c 分别为【 1 1 c
（A）0，0，0； （B）0，1，1/2； （C）0，-1/2，0；
（1）求向量组
A 的秩； （2）求向量组 A 的一个最大无关组 A0 ； （3）请用最大无关组 A0 线性表示非 A0 中的向量.
2 x1 x2 x3 x4 1 六． （10 分）求方程组 4 x1 2 x2 2 x3 x4 2 的通解. 2x x x x 1 1 2 3 4 1 2 0 1 七． （12 分）设 1 3 是方阵 A m 1 3 的一个特征向量， 4 4 0 n
则 | 2 A | (
).(A)
(B)
(C)
(D)
32 . 5 .
2. 二次多项式
中 x 项的系数是(
2
).(A)
(B)
(C)
(D)
1 0 8 1 3. 设 A, B , C 均为 n 阶方阵, 且 ABC E , 则必有( ). (A) CAB E ; (B) BAC E ; (C) CBA E ; (D) ACB E . 4. 设 A 是 m n 矩阵, 若线性方程组 Ax 0 仅有零解, 则必有( ). (A) R ( A) m ; (B) R ( A) m ; (C) R ( A) n ; (D) R ( A) n . 5. 若向量组 α1 , , αm 线性无关, 且 k1α1 k m αm 0 , 则( ).
2.设
(C) 2 ;
(D) 3 .
a a
0 b
0 0
0 1 0 1
四.(每小题 5 分)1.计算行列式 D a b c 0 1. a b c d 1 a b c d 1 2.设 α1 , α2 , α, β 为 3 维 列 向 量 , 矩 阵 A (α1 , α2 , α) , B (2α1 , α2 , β ) , 且 已 知 行 列 式 det A 1 , det B 2 , 计 算 det(2 A B) . 2 x1 x2 x3 x4 1 五.( 12 分)确定 a 的值使线性方程组 x1 2 x2 x3 4 x4 2 有解,并求其解. x 7 x 4 x 11x a 2 3 4 1 1 3 1 4 六.( 12 分)设 (α1 , α2 , β1 , β2 ) 4 3 10 10 ,问 5 6 11 14 (1)向量组 β1 , β2 可否由向量组 α1 , α2 线性表示？若可以,写出线性表示式; (2)向量组 β1 , β2 与向量组 α1 , α2 是否等价？