高中数学常见函数讲义

高中数学常见函数研究 讲义一、一次函数和常函数：（一） 、一次函数 （二）、常函数 定义域：（- ∞，+ ∞） 定义域: （- ∞，+ ∞） 值 域：（- ∞，+ ∞） 正 k=0 反 值 域：{ b }解析式：y = kx + b ( k ≠ 0 ) 解析式：y = b ( b 为常数)图 像：一条与x 轴、y 轴相交的直线 图 像：一条与x 轴平行或重合的直线b>0 b=0 b<0 K > 0 k < 0单调性： k > 0 ,在（- ∞，+ ∞）↑ 单调性：在（- ∞，+ ∞）上不单调 k < 0 ,在（- ∞，+ ∞）↓奇偶性：奇函数⇔=0b 奇偶性: 偶函数 非奇非偶⇔≠0b周期性: 非周期函数 周期性：周期函数，周期为任意非零实数 反函数：在（- ∞，+ ∞）上有反函数 反函数:在（- ∞，+ ∞）上没有反函数 反函数仍是一次函数例题：二、二次函数1、定义域：（- ∞，+ ∞）2、值 域： ),44[,02+∞-∈>ab ac y a]44,(,02ab ac y a --∞∈<3、解析式：)0(2≠++=a c bx ax y4、图 像:一条开口向上或向下的抛物线开口向下，开口向上；正负：增大，开口缩小绝对值：随着,00<>a a a a正半轴相交与负半轴相交与y c y c c,0,0><对称轴：ab x 2-=对称轴： ；)44,2(2ab ac ab --顶点： 轴交点个数图像与x ac b →-=∆42：与x 轴交点的个数。

两个交点,0>∆一个交点,0=∆无交点,0<∆5、单调性：↑+∞-↓--∞>),2[]2,(,0ab ab a↓+∞-↑--∞<),2[]2,(,0ab ab a6、奇偶性：偶函数⇔=0b7、周期性：非周期函数8、反函数：在（- ∞，+ ∞）上无反函数，上及其子集上有反函数或在),2[]2,(+∞---∞ab ab例题:三、反比例函数和重要的分式函数（一）、反比例函数 （二）、分式函数bax dcx y ++= 定义域：（- ∞，0）∪（0，+ ∞） 定义域：),(),(+∞---∞aba b 值 域：（- ∞，0）∪（0，+ ∞） 值 域: ),(),(+∞-∞a c a c解析式：)0()(≠=k xk x f 解析式：)(a bx b ax d cx y -≠++=图 像：以x 轴、y 轴为渐进线的双曲线 图 像：以a b x -=和acy =为渐近线的双曲线单调性： k>0,（- ∞，0）↓,（0，+ ∞）↓ 单调性:在),(a b --∞和),(+∞-ab上 k<0,（- ∞，0）↑,（0，+ ∞）↑ 单调性相同 奇偶性：奇函数 奇偶性：非奇非偶 对称性：关于原点对称 对称性：关于点),(aca b -成中心对称 周期性：非周期函数 周期性：非周期函数反函数：在定义域上有反函数， 反函数：在定义域有反函数， 反函数是其本身。

反函数是)(acx c ax d bx y ≠-+-=（三）、)0()(>+=k x kx x f （四）、)0()(>-=k xk x x f 定义域：（- ∞，0）∪（0，+ ∞） 定义域：（- ∞，0）∪（0，+ ∞） 值 域：),2()2,(+∞--∞k k 值 域:（- ∞，+ ∞）图 像： 图 像：单调性：↑+∞↓↓-↑--∞),(,),0()0,(,),(k k k k 单调性：（- ∞，0）↑（0，+ ∞）↑奇偶性：奇函数 奇偶性：奇函数 对称性：关于原点对称 对称性：关于原点对称 四、指数函数、对数函数和幂函数 （一）、指数和对数运算及性质： 1、根式又因为(b a )n 可看作a n ·b -n，所以（b a ）n ＝n n ba 可以归入性质(3).现在我们来研究如何用幂表示底数。

（1）、n 次方根的定义：若x n ＝a （n ＞1且n ∈N *），则x 叫a 的n 次方根. 问题：x 如何用a 表示呢?【平方根】偶次方根有下列性质：在实数范围内，正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根； 【立方根】奇次方根有下列性质：在实数范围内，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数. （2）、n 次方根的性质：)(2,12,*N k kn a k n a x n n ∈⎪⎩⎪⎨⎧=±+==，其中n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数.（3）、根式的运算性质①（a a n n =)(）② ⎩⎨⎧=为偶数为奇数n a n a a n n |,|,(1)33)8(- （2）2)10(- (3)44)3(π-（4）2)(b a -（a ＞b ）解：(1) 33)8(-＝－8 (2) 2)10(-＝｜－10｜(3) 44)3(π-＝｜3－π｜＝π－3 (4) 2)(b a -＝｜a －b ｜＝a －b （a ＞b ） 例2、求值：63125.132)2(;246347625)1(⨯⨯---++分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质； 解：负去掉绝对值符号。

上绝对值，然后根据正注意：此题开方后先带22)22(3223|22||32||23|)22()32())23(()2(2222)3(3222)2(232)3(246347625)1(222222222=---++=----++=---++=+⨯--+⨯-++∙+=---++632322332322332322332125.132)2(62223626226362363=⨯⋅⋅⋅⨯⋅⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯＝＝＝＝2、分数指数幂（1）.正数的正分数指数幂的意义)1*,,0(>∈>=n N n m a a a n mnm 、 （2）.规定： (1) )1*,,0(1>∈>=-n N n m a aanm nm 、(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义.规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a ＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用. 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.即对于任意实数r,s,均有下面的运算性质. 3.幂的运算性质 (1) ),0(R n m a a a a n m n m ∈>=⋅+、 (2) ),0()(R n m a a a nm n m ∈>=⋅、(3) ),0,0()(R m b a b a b a mm m ∈>>⋅=⋅例：求下列各式的值：(1)2523（2）2732（3）（4936）23（4）（425）23-（5）432981⨯（6）23×35.1×612解：(1)23223)5(25=＝53＝125 (2)233323323)3(27⨯==＝32＝9(3)34321676)76()76(])76[()4936(33323223223=====⨯(4)125852)52()25()25(])25[()425(333323223223======-⨯--(5)41324432442123244213224432)33(3333])3[(3981⨯=⨯=⨯=⨯=⨯⨯⨯=66141324143333)3()3(=⨯=⨯(6)23×35.1×612＝2×321×（23）31×（3×22）61＝2×321×331×231×361×231＝（2×231-×231）×（321×331×361）＝231311+-×3613121++＝2×3＝63、对数运算及运算性质：引例：假设1995年我国的国民生产总值为 a 亿元，如每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是1995年的2倍？设：经过x 年国民生产总值是1995年的2倍 则有 a （1＋8%）x ＝2a 1.08x ＝2 用计算器或计算机作出函数图像，计算出x 值这是已知底数和幂的值，求指数的问题。

即指数式 a b ＝N 中，已知a 和N 求b 的问题。

（这里 a ＞0且a ≠1） （1）．定义：一般地，如果 a （a ＞0且a ≠1）的b 次幂等于N, 就是 a b ＝N ，那么数 b 叫做 a 为底 N 的对数，记作 log a N ＝b ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

（2）、指数式和对数式的互换：a b ＝N + - log a N ＝b例如：42＝16 log 416＝2 ； 102＝100 log 10100＝2421＝2 log 42＝12 ； 10－2＝0.01 log 100.01＝－2（3）、对数的性质①、负数与零没有对数 ← 在指数式中 N > 0 ②、)1,0(1log ,01log ≠>==a a a a a∵对任意 a ＞0且a ≠1， 都有 a 0＝1 ∴log a 1＝0 同样易知： log a a ＝1③、对数恒等式：1,0(log ≠>=a a N a N a如果把 a b ＝N 中的 b 写成 log a N, 则有 a N a log ＝N ④、指数恒等式：)1,0(log ≠>=a a b a b a ⑤、常用对数我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。

为了简便,N 的常用对数N N lg ,log 10简记为例如：log 105简记作lg 5 log 103.5简记作lg3.5. ⑥、自然对数在科学技术中常常使用以无理数e ＝2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N N e ln ,log 简记为。

例如：log e 3简记作ln3 log e 10简记作ln10 （4）.运算性质：若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则(1) N M N M a a a log log log +=⋅; (2) N M NMa a alog log log -=; (3) )(log log R n Mn M a n a ∈=【现在我们来证明运算性质，为了利用已知的幂的运算性质，应将对数形式根据对数的定义转化为指数形式，因此需要引进中间变量，起一定的过渡作用】.证明：(1)设log a M ＝p ，log a N ＝q由对数的定义得：M ＝a p ，N ＝a q ∴MN ＝a p ·a q ＝a p+q 再由对数定义得log a MN ＝p ＋q ，即证得log a MN ＝log a M ＋log a N (2)设log a M ＝p ，log a N ＝q 由对数的定义可以得 M ＝a p ，N ＝a q ， ∴ MN ＝a pa q ＝a p －q ，再由对数的定义得 log a MN ＝p －q即证得log a MN ＝log a M －log a N(3)设log a M ＝p 由对数定义得M ＝a p ∴M n ＝（a p ）n ＝a np 再由对数定义得 log a M n ＝np 即证得log a M n ＝nlog a M例：计算：（1）lg14－2lg 73 ＋lg 7－lg18 （2）lg243lg9 （3）lg 27 ＋lg8－3lg 10 lg1.2【解析】(1)、解法一：lg14－2lg 73＋lg 7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0解法二：lg14－2lg 73 ＋lg7－lg18＝lg14－lg （73）2＋lg7－lg18＝lg14×7（73）2×18 ＝lg1＝0（2）lg243lg9 ＝lg35lg32 ＝5lg32lg3 ＝52（3）lg 27 ＋lg8－3lg 10 lg1.2 ＝lg （33）21＋lg23－3lg （10）21lg 3×2210＝32 （lg3＋2lg2－1）lg3＋2lg2－1 ＝32（5）.对数换底公式：)0,10,10(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a 且且证明：设log a N ＝x , 则 a x ＝N两边取以m 为底的对数：log m a x ＝log m N ⇒x log m a ＝log m N 从而得：x ＝log m N log m a ∴ log a N ＝log m Nlog m a−→−两个常用的推论:① 1log log =⋅a b b a ② ）且均不为、10(log log >=b a b mnb a na m 证：①log ab ·log b a ＝lg b lg a lg alg b ＝1②logma b n＝lg b nlg a m ＝nlg b mlg a ＝nmlog a b 例：设 x 、y 、z ∈（0，＋∞）且3x ＝4y ＝6z1︒ 求证 1x ＋12y ＝1z ； 2︒ 比较3x ，4y ，6z 的大小证明1︒：设3x ＝4y ＝6z ＝k ∵x 、y 、z ∈（0，＋∞） ∴k ＞1 取对数得：x ＝lg k lg 3 ， y ＝lg k lg4 ， z ＝lg klg 6∴1x ＋12y ＝lg 3lg k ＋lg 42lg k ＝2lg 3＋lg42lg k ＝2lg 3＋2lg22lg k ＝lg 6lg k ＝1z2︒ 3x －4y ＝（3lg 3 －4lg 4 ）lg k ＝lg64－lg81lg 3lg4 lg k ＝lg k ·lg6481 lg 3lg4＜0∴3x ＜4y又4y －6z ＝（4lg 4 －6lg 6 ）lgk ＝lg36－lg64lg 2lg6 lgk ＝lgk ·lg916 lg 2lg6＜0∴4y ＜6z ∴3x ＜4y ＜6z（二）、指数函数、对数函数和幂函数已知N a b=，我们从函数的角度分别研究这三者之间的关系：关系一：N 如何随着b 的变化而变化→以指数为自变量、以幂为因变量的函数→指数函数； 关系二：N 如何随着a 的变化而变化→以底数为自变量、以幂为因变量的函数→幂函数； 关系三：a 如何随着b 的变化而变化→bbN N a 1==(指数为自变量、幂为因变量)→指数函数；+ —关系四：b 如何随着N 的变化而变化→N b a log =（以真数为自变量、以对数为因变量） →对数函数；关系五：a 如何随着N 的变化而变化→bb N N a 1==（以底数为自变量、幂为因变量） →指数函数关系六：b 如何随着a 的变化而变化→N b a log =； 定义：函数)1,0(≠>=a a a y x叫做指数函数，其中x 是自变量。