中考数学复习第1轮考点系统复习第6章圆第2节与圆有关的位置关系课件
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福建省中考数学复习课件：第6章 第二节 与圆有关的位
性质
三角形的外心到三
角形三个⑩__顶__点___ 的距离相等
三角形的内心到三角形 三条边的距离⑪_相__等___
与 角度关
圆
系
∠BOC＝2∠A
1 ∠BOC＝90°＋2 ∠A
重难点突破 一 切线的性质与判定(重点) 例1 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线 MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且 AC平分∠BAD. 求证：直线MN是⊙O的切线．
【思维教练】“有切点，连圆心，证垂 直”，要证OC⊥MN，因为AD⊥MN，可 转化为求证OC∥AD，利用角平分线的性 质找内错角相等即可得证．
例1题图
证明：如解图，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠ACO， ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠BAC，∴∠DAC＝ ∠ACO， ∴OC∥AD， 又∵AD⊥MN， ∴OC⊥MN， 又∵OC为⊙O的半径， ∴直线MN是⊙O的切线．
连半径， 90° 证垂直 的角
垂直的直线，则证明 半径与这条直线平行 即可
已知BC AC, 证明OE∥AC
切 直线与
方法
图形示例
线
圆有公
利用三角形全等或相 图中
的 共点， 有 似证明:通过证明切线
判 定
连半径， 90° 证垂直 的角
所在的三角形与含 90°的三角形全等或
已知AC BC, OA平分COD,
直线与圆 的位置关 系,（设圆 的半径为 r，圆心 到直线的 距离为d）
位置关系
相离
d与r的关系 d④__>__r
交点的个数
0
示意图
相切
相交
d⑤_=___r d⑥___<_r
⑦__1__
中考数学第1轮复习第6章 第24讲 与圆有关的位置关系课件
A．5 B．7 C．8 D．10
9
5．三角形的内心与外心： (1)不在同一直线上的三点确定一个圆． (2)内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交 点，内心到三角形三边的距离相等． (3)外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的 交点，外心到三角形三个顶点的距离相等．
10
5．三角形的外心是( C ) A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点 C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平分线的交点
36
∵BC 与⊙O 相切于点 B，∴OB⊥BC. ∴∠OBC＝90°. ∴∠ODC＝90°.∴OD⊥CD. ∴CD 是⊙O 的切线．
37
4．如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点 C，AD 交⊙O 于点 F，AC 平分∠BAD，连接 BF.
(1)求证：AD⊥ED.
38
证明：连接 OC. ∵AC 平分∠BAD， ∴∠1＝∠2. ∵OA＝OC，∴∠1＝∠3. ∴∠2＝∠3.∴OC∥AD. ∵ED 切⊙O 于点 C， ∴OC⊥DE. ∴∠D＝∠OCE＝90°. ∴AD⊥ED.
33
3．如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点 B，弦 AD∥OC.求证：CD 是⊙O 的切线．
34
证明：连接 OD. ∵AD∥OC， ∴∠A＝∠COB，∠ADO＝∠COD. ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO. ∴∠COB＝∠COD.
35
在△COB 和△COD 中， OB＝OD， ∠COB＝∠COD， OC＝OC， ∴△COB≌△COD(SAS)． ∴∠OBC＝∠ODC.
29
解：根据切线长定理，设 AE＝AF＝x cm，BD＝BF＝(9－ x)cm，CD＝CE＝(13－x)cm.
9
5．三角形的内心与外心： (1)不在同一直线上的三点确定一个圆． (2)内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交 点，内心到三角形三边的距离相等． (3)外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的 交点，外心到三角形三个顶点的距离相等．
10
5．三角形的外心是( C ) A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点 C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平分线的交点
36
∵BC 与⊙O 相切于点 B，∴OB⊥BC. ∴∠OBC＝90°. ∴∠ODC＝90°.∴OD⊥CD. ∴CD 是⊙O 的切线．
37
4．如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点 C，AD 交⊙O 于点 F，AC 平分∠BAD，连接 BF.
(1)求证：AD⊥ED.
38
证明：连接 OC. ∵AC 平分∠BAD， ∴∠1＝∠2. ∵OA＝OC，∴∠1＝∠3. ∴∠2＝∠3.∴OC∥AD. ∵ED 切⊙O 于点 C， ∴OC⊥DE. ∴∠D＝∠OCE＝90°. ∴AD⊥ED.
33
3．如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点 B，弦 AD∥OC.求证：CD 是⊙O 的切线．
34
证明：连接 OD. ∵AD∥OC， ∴∠A＝∠COB，∠ADO＝∠COD. ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO. ∴∠COB＝∠COD.
35
在△COB 和△COD 中， OB＝OD， ∠COB＝∠COD， OC＝OC， ∴△COB≌△COD(SAS)． ∴∠OBC＝∠ODC.
29
解：根据切线长定理，设 AE＝AF＝x cm，BD＝BF＝(9－ x)cm，CD＝CE＝(13－x)cm.
中考数学-第1部分教材同步复习第六章圆6.2与圆有关的位置关系课件
方法．
【正解】 当点 D 在优弧 BC 上时，如图， 连接 OB，∵直线 AB 与⊙O 相切于 B 点， ∴OB⊥BA，∴∠OBA＝90°， ∵∠A＝40°，∴∠AOB＝50°， ∴∠BDC＝12∠AOB＝25°. 当点 D 在劣弧 BC 上时，即在 D′点处，如图，连接 D′C， ∵∠BDC＋∠BD′C＝180°， ∴∠BD′C＝180°－25°＝155°， ∴∠BDC 的度数为 25°或 155°.
3．切线判定的常用方法 (1)当直线与圆未说明有公共点时，采用判定(2)证明直线 与圆相切，需要过圆心作直线的垂线段，证明圆心到直线的距 离等于圆的半径，简记为“作垂直，证相等”． (2)当题中明确指明了已知直线和圆有公共点时，采用判定 (1)证明相切，先连接圆心和已知的公共点，再证明这条半径和 直线垂直，简记为“连半径，证垂直”． (3)要证明是圆的切线的直线与圆有公共点，且存在连接公 共点的半径，此时可直接根据“经过直径的一端，并且垂直于 这条直径的直线是圆的切线”来证明，口诀是“见半径，证垂 直”．
4．切线长定理 (1)定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线 段的长，叫做这点到圆的切线长． (2)定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的长相 等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
知识点四 三角形的外接圆与内切圆
1．三角形的外接圆：经过三角形三个顶点可以作一个 圆，这个圆叫做三角形的外接圆．
【解答】 过点C作CD⊥AO于点D，∵∠O＝30°，OC＝ 6，∴DC＝3，∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系 是相切．
切线的性质及相关计算 【例 2】 (2014·曲靖)如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，AC，PB 的延长线相交于点 D.
云南中考数学第一部分教材知识梳理第六章第二节与圆有
∵在Rt△OCD中，∠OCD＝90°，
∠D＝30°，CD＝ 10 3
∴OC＝CD·tan30°＝10，
F
∴OA＝OC＝10，
拓展题1解图
∵AE∥CD， ∴∠FAO＝∠D＝30°， ∴OF＝AO·sin30°＝10× 1 ＝5，
2
即圆心O到AE的距离是5.
F
拓展题1解图
拓展题1（’15 陕西）如图，AB是⊙O的直径，AC是 ⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交 于点D，作AE⊥AC交DE于点E. （1）求证：∠BAD＝∠E； （2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求BE的长．
例题图
（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC的 值．
解：如解图，作CD⊥AB于点D， ∵∠BAT＝90°， ∴CD∥AT， ∴△OCD∽△OTA，
OD OA OA 1 , CD TA AB 2
CD 2OD.
D
例题解图
设OD＝a，则CD＝2a，
OA＝OC＝ OD2 CD2＝ 5a，
拓展题2图
【 思 路 分 析 】(1) 由 题 知 ⊙ O 与 DE 相 切 于 点 B ， 则 ∠ABE＝90°，且∠DAE＝90°，然后根据角之间的 等 量 代 换 即 可 得 证 ； (2) 由 (1) 得 ∠ BAD ＝ ∠ E ， 且 △ABC和△ABE均为直角三角形，可通过证明两三角 形相似，然后根据相似三角形的性质得比例式
拓展题1 如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的 直径，D是AB延长线上一点，连接DC，且AC＝DC， BC＝BD. （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）作CD的平行线AE交⊙O于点E，已知DC＝10 3 ，求圆心O到AE的距离．
2023年九年级数学中考一轮复习与圆有关的位置关系课件
圆心 的交点.
分线的交点.
三角形的外心到三角形的三个顶 三角形的内心到三角形的三
性质角形内切圆有关的结论:
例 1 如图，⊙O 是以原点 O 为圆心，半径为 3 的圆，与坐标轴的正半轴 分别交于 A，C 两点，OB 平分∠AOC，点 P 在 x 轴上运动，过点 P 且与 OB 平行的直线与⊙O 有公共点，则线段 OP 长度的取值范围是________．
判定
切线； 3、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 . 定理：圆的切线垂直于经过切点的半径； 性质 推论：1、经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； 2、经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
辅助 有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂直，证半径. 线 见切点,连半径，得垂直.
知识点4：切线长及其定理
∵BC＝ OB2－OC2＝ 152－122＝9，
∴AC＝AB－BC＝25－9＝16.
∵AH＝ AE2－EH2＝ 82－2542＝352， ∴CH＝AC－AH＝16－352＝458.
∴CE＝ EH2＋CH2
＝
2542＋4582
＝245 5.
【答案】0＜OP≤3 2
例 2 如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 都是⊙O 上的点，AD 平分∠CAB， 过点 D 作 AC 的垂线交 AC 的延长线于点 E，交 AB 的延长线于点 F. (1)求证：EF 是⊙O 的切线； (2)若 AB＝10，AC＝6，求 tan ∠DAB 的值．
【解】(1)证明：如图，连结 OD，
例 3 如图，在 Rt△AOB 中，∠AOB＝90°，⊙O 与 AB 相交于点 C，与 AO 相交于点 E，连结 CE，已知∠AOC＝2∠ACE.
(1)求证：AB 为⊙O 的切线； (2)若 AO＝20，BO＝15，求 CE 的长．
中考数学复习 第6章 圆 第2节 与圆有关位置关系课件
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You made my day!
5
第第六五章章
圆
第二节
与圆有关位置关系
1
第第六五章章
圆
第二节
与圆有关位置关系
2
第第六五章章
圆
第二节
与二节
与圆有关位置关系
4
• 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月21日星期一下午12时4分18秒12:04:1822.3.21 • 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，
给那些善于第独五立章思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月下午12时4分22.3.2112:04March 21, 2022 • 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022年3月21日星期一12时4分18秒12:04:1821 March
2022
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5
第第六五章章
圆
第二节
与圆有关位置关系
1
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圆
第二节
与圆有关位置关系
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圆
第二节
与二节
与圆有关位置关系
4
• 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月21日星期一下午12时4分18秒12:04:1822.3.21 • 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，
给那些善于第独五立章思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月下午12时4分22.3.2112:04March 21, 2022 • 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022年3月21日星期一12时4分18秒12:04:1821 March
2022
安徽中考数学复习知识系统课件：第六章圆
(1)当已知直线与圆有公共点时,连半径,证 垂直 . (2)当不知道直线与圆是否有公共点时,过圆心作直线的垂线,证圆心到直线的距离等 于 半径 .
5.切线长定理.
PA=PB , ∠APO=∠BPO .
______p_r_____
图1
2.直角三角形的内切圆(如图2)
设AB=c,BC=a,AC=b,∠C=90°,内切圆半径为r,则r=
题图
【分析】仔细分析题意,寻找问题的解决方案. 极据题意,可知点C应满足两个条件,一是在线段AB的垂直平分线上;二是在两 条公路夹角的平分线上,所以点C应是它们的交点.即到城镇A、B距离相等的 点在线段AB的垂直平分线上,到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的 角平分线上,因此分别作出垂直平分线与角平分线,它们的交点即为所求作的 点C.由于两条公路所夹角的角平分线有两条,因此点C有2个.
.
【解】(1)4π
(2)15
(3)6π
扇形面积
(2013·朝阳)如图,AC是汽车挡风玻璃前的刮雨刷,如果AO=65 cm,CO=
15 cm,当AC绕点O旋转90°时,则刮雨刷AC扫过的面积为
cm2.
【分析】根据旋转的性质可以判断△ACO≌△A'C'O,∴S阴影= S扇形AA'O-S扇形CC'O=×(652-152)=1 000π cm2.
或S扇形=
.
知识点2:圆锥的侧面积和全面积
1.圆柱的侧面展开图是 矩形 ,这个矩形的长等于圆柱的_底__面__周__长___ C,宽是圆柱的 高 l,如果圆柱的底面半径是r,则S圆柱侧=Cl=2πrl. (如图1)
2.圆锥的侧面展开图是 扇形 ,这个扇形的 弧长 等于圆锥的底面周长C, 扇形半径 等于圆锥的母线长l.若圆锥的底面半径为r,这个扇形的圆心角为α,
5.切线长定理.
PA=PB , ∠APO=∠BPO .
______p_r_____
图1
2.直角三角形的内切圆(如图2)
设AB=c,BC=a,AC=b,∠C=90°,内切圆半径为r,则r=
题图
【分析】仔细分析题意,寻找问题的解决方案. 极据题意,可知点C应满足两个条件,一是在线段AB的垂直平分线上;二是在两 条公路夹角的平分线上,所以点C应是它们的交点.即到城镇A、B距离相等的 点在线段AB的垂直平分线上,到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的 角平分线上,因此分别作出垂直平分线与角平分线,它们的交点即为所求作的 点C.由于两条公路所夹角的角平分线有两条,因此点C有2个.
.
【解】(1)4π
(2)15
(3)6π
扇形面积
(2013·朝阳)如图,AC是汽车挡风玻璃前的刮雨刷,如果AO=65 cm,CO=
15 cm,当AC绕点O旋转90°时,则刮雨刷AC扫过的面积为
cm2.
【分析】根据旋转的性质可以判断△ACO≌△A'C'O,∴S阴影= S扇形AA'O-S扇形CC'O=×(652-152)=1 000π cm2.
或S扇形=
.
知识点2:圆锥的侧面积和全面积
1.圆柱的侧面展开图是 矩形 ,这个矩形的长等于圆柱的_底__面__周__长___ C,宽是圆柱的 高 l,如果圆柱的底面半径是r,则S圆柱侧=Cl=2πrl. (如图1)
2.圆锥的侧面展开图是 扇形 ,这个扇形的 弧长 等于圆锥的底面周长C, 扇形半径 等于圆锥的母线长l.若圆锥的底面半径为r,这个扇形的圆心角为α,
【中考一轮复习】与圆有关的位置关系课件
考点聚焦---点与圆的位置关系
【问题】视察图中点A,点B,点C与⊙O的位置关系？
点A在圆外 点B在圆上 点C在圆内
d＞r A
d＝r
d＜r(或0≤d＜r)
C
·O r
B
注意：已知点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反 过来，已知点到圆心距离与半径的关系也可以确定该点与圆的位 置关系.
当堂训练
当堂训练
1.如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C,连接
BC,若∠P=36º,则∠B等于( A ) A.27º B.32º C.36º D.54º
当堂训练
2.如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD与⊙O相切于点D,
过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C,若⊙O的半径为4,BC=6,则
1.一个点到圆的最小距离为6cm,最大距离为9cm,则该圆的半径
是( C )
A.1.5cm B.7.5cm C.1.5cm或7.5cm D.3cm或15cm
2.在Rt△ABC中,∠C=90º,BC=3,AC=4,点P
在以C为圆心,5为半径的圆上,连接 PA,PB.若PB=4,则PA的长为_3_或___7_3_
P2
B
P1
C
A
目录
点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
圆的切线的性质及判定
切线长定理
三角形的内切圆、外接圆
典型例题
【例2】Rt△ABC中,∠C=90º,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心,r为半
径作圆,若⊙aC与直线AB相切,则r的值为( B )
A.2cm B.2.4cm
C.3cm
D.4cm
考点聚焦---直线与圆的位置关系
初中数学中考知识点考点学习课件PPT之 与圆有关的位置关系知识点学习PPT
又 ， ， ， ，即 .又 是 的半径， 为 的切线．
图（2）
方法二:如图（3），连接 , .
图（3）
是 的直径， .在 中，∵点 是 的中点，
， . ， . ， ， ，即 .又 是 的半径， 为 的切线．
（3） 如图（3）， 的外接圆为 ，过点 作 的切线，过点 作该切线的垂线，交 于另一点 ，垂足为 ，连接 .
一图串考法
考法 切线的性质（8年5考）
1.[2022河南,20] 为弘扬民族传统体育文化,某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究,如图,滚铁环时,铁环 与水平地面相切于点 ,推杆 与铅垂线 的夹角为 ,点 , , , , 在同一平面内.当推杆 与铁环 相切于点 时,手上的力量通过切点 传递到铁环上,会有较好的启动效果.
,点 在射线 上 切半圆 于点
证明:连接 . , .又 , , , . 切半圆 于点 , .又 且 , 平分 , , .
4.[2017河南,18] 如图，在 中， ，以 为直径的 交 边于点 ，过点 作 ，与过点 的切线交于点 ，连接 .
图（4）
命题角度 与切线有关的证明与计算
例1 在 中， .
（1） 如图（1）， 的平分线交 于点 ,以点 为圆心， 的长为半径画圆．
图（1）
① 求证： 是 的切线；
证明：如图（1），过点 作 于点 .
图（1）
， .又 平分 ， , 是 的切线.
特立探究设正 边形的边长为 ，外接圆半径为R.则：正六边形： ；正方形： ；正三角形： .
一题串考点
已知在 中，点 为 的中点.
（1） 如图（1），连接 ，若 ， ，以点 为圆心， 为半径画圆.
图（2）
方法二:如图（3），连接 , .
图（3）
是 的直径， .在 中，∵点 是 的中点，
， . ， . ， ， ，即 .又 是 的半径， 为 的切线．
（3） 如图（3）， 的外接圆为 ，过点 作 的切线，过点 作该切线的垂线，交 于另一点 ，垂足为 ，连接 .
一图串考法
考法 切线的性质（8年5考）
1.[2022河南,20] 为弘扬民族传统体育文化,某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究,如图,滚铁环时,铁环 与水平地面相切于点 ,推杆 与铅垂线 的夹角为 ,点 , , , , 在同一平面内.当推杆 与铁环 相切于点 时,手上的力量通过切点 传递到铁环上,会有较好的启动效果.
,点 在射线 上 切半圆 于点
证明:连接 . , .又 , , , . 切半圆 于点 , .又 且 , 平分 , , .
4.[2017河南,18] 如图，在 中， ，以 为直径的 交 边于点 ，过点 作 ，与过点 的切线交于点 ，连接 .
图（4）
命题角度 与切线有关的证明与计算
例1 在 中， .
（1） 如图（1）， 的平分线交 于点 ,以点 为圆心， 的长为半径画圆．
图（1）
① 求证： 是 的切线；
证明：如图（1），过点 作 于点 .
图（1）
， .又 平分 ， , 是 的切线.
特立探究设正 边形的边长为 ，外接圆半径为R.则：正六边形： ；正方形： ；正三角形： .
一题串考点
已知在 中，点 为 的中点.
（1） 如图（1），连接 ，若 ， ，以点 为圆心， 为半径画圆.
专题6.2 与圆有关的位置关系-2021年中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
真 2.在Rt△ABC中,∠C=90º,BC=3,AC=4,点P
题 在以C为圆心,5为半径的圆上,连接
P2
B
P1
精 PA,PB.若PB=4,则PA的长为_3_或___7_3_ 练
C
A
提 升
01
OPTION
目录
考点 1 点与圆的位置关系 考点2 直线与圆的位置关系 考点3 圆的切线的性质及判定 考点4 切线长定理 考点5 三角形的内切圆、外接圆
点
真 题
PO
精
练
C
B
提 升
考点4 切线长定理
检 4.如图,AB是⊙O的直径,AC为弦,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过
测 点D的切线交AC的延长线于点E.
E
考 点 求证：(1)DE⊥AE；
C
D
真
(2)AE+CE=AB.
题
精 练
A
OF B
提 升
05
OPTION
目录
考点 1 点与圆的位置关系 考点2 直线与圆的位置关系 考点3 圆的切线的性质及判定 考点4 切线长定理 考点5 三角形的内切圆、外接圆
B D
C
精 PD的延长线于点C,若⊙O的半径为4,BC=6,
练 则PA的长为( A )
提 升
A.4 B.2 3 C.3
D.2.5
P
A
O
B
考点4 切线长定理
检 测
3.如图,AB是⊙O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB
考 于点P,已知∠OAB=22º,则∠OCB=__4_4_º_.
A
A
题
精
练
DO MF
提 升