GPS 高程拟合中多项式与多面函数的比较
关于两种GPS高程拟合改进模型的探讨
中ｐ ＝中ｐ中 一 Ⅱ
（） ９
多面函数拟合是一种纯数学 曲面逼近 方法 ，它的出发点是 在每个数据点上同各个 已知数据点分别建立 函数关系（ 这种关系 表现 为一规则的数学 曲面） ，将这些有规律的数学曲面按一定 的
２ 常用 Ｇ Ｓ Ｐ 高程拟合数学模型评述
２ｌ 多项式 曲面 拟合模 型 。
； △ ｇ （） ２
中 南 ： — ＋ｙ ｝ 【 （— 胡
（） ８
式ｆ）８分别称为正双 曲面函数和倒 曲面函数， 中 ６称 为 ７，） ｆ 式 平滑 因子 。先 由已知点求得 ，＝ ， ， …… ） ｎ ｎ ，再推算测点 Ｐ
的 高程 异 常 ：
＝
式中， 是通过 重力势模型计算 出的长波分量； 是用斯 托克斯积分公式得到的地面重力异常中波分量 ： 表 示地形起 如 伏ｘ ￣程异常 的影响。 ｔ ，ｉ
通 过 将 这 些 多 面 函 数 的 值 迭 加 起 来 ，获 取 最 佳 函 数 拟 合 的 一 般 形式为：
＝
图 １ 大地高与正常高 的关 系
Ｇ Ｓ测量可 以得到高精度 的相对于 ＷＧ 一 ４椭球面的大地 Ｐ Ｓ８ 高差 ， 如果 已知 Ｇ ｓ网 中某 点的大地高 ， Ｐ 则其他 点的大地高 也 可以精确计算 。 而工程上通常采用 的高程系统是 正常高系统 ， 因 此 ，在实际测量工程中就必须将 Ｇ Ｓ大地高转 换为 正常高， Ｐ 以 满足工程测量 的需要 。
其中
为 中趋势值， 为模型误差。
（） ４
（） ５
设 ，＝ ｏｏｘｏｙｏｙ ｏｘ＋ｔ２ ． ｙ ａ＋ｔ＋ｔ ＋ｔｘ＋￣ｙ ｏｙ＋． ） ｒ ｚ ３ ｚ … 写成 矩 阵 形 式 有 ：
＝ 竹 曰
GPS高程拟合方法及精度分析
GPS高程拟合方法及精度分析GPS（全球定位系统）是一种通过卫星进行定位的导航系统，它通过接收地面上的GPS 接收器收集到的卫星信号来确定接收器的位置。
GPS系统不仅可以提供经度和纬度等位置信息，还可以提供高程信息。
在实际应用中，由于各种误差的存在，GPS高程数据往往需要进行拟合处理，以提高其精度。
GPS高程拟合方法主要有以下几种：1.大地水准面拟合法：该方法假设地球上存在一个水准面，通过高程数据与该水准面的差值来进行拟合。
大地水准面拟合法可以根据地球椭球体模型进行，也可以根据区域地形特征进行。
2.多项式拟合法：该方法通过将GPS高程数据与多项式函数进行拟合，来估算出真实的地理高程。
多项式拟合法常用的模型有一次、二次和三次多项式，其拟合误差随着多项式的阶数增加而减小。
3.高斯滤波法：该方法考虑到GPS高程数据的时序性，通过滤波算法对数据进行平滑处理，以提高高程数据的精度。
高斯滤波法利用高斯函数对数据进行加权平均，同时考虑到观测误差的方差，使得滤波结果更加符合实际情况。
1.接收器误差：GPS接收器的误差包括时钟误差、接收机硬件误差等，这些误差会直接影响到GPS高程数据的精度。
2.卫星误差：卫星的轨道误差、钟差误差等因素也会对GPS高程数据的精度产生影响。
3.大气误差：由于大气对GPS信号的传播会产生延迟和折射等误差，因此对GPS高程数据的精度也会有一定的影响。
4.数据后处理方法：不同的数据后处理方法对GPS高程数据的精度有着较大的影响。
合理选择数据处理方法可以提高GPS高程数据的精度。
为了提高GPS高程数据的精度，在采集数据时需要注意选择合适的接收器和卫星，并进行数据后处理以减小误差。
还可以通过与地面高程标志点对照来校正高程数据，以获得更高的精度。
GPS高程拟合及转换方法
浅谈GPS高程拟合技术1、前言GPS（Global Positioning System）即全球定位系统，是1973年美国国防部为了满足军事部门对海上、陆地和空中设施进行高精度导航和定位的要求而研究的新一代高精度卫星导航系统。
GPS是以人造卫星为基础的无线电导航系统，它是利用天空中均匀分布的24颗GPS卫星轨道参数及其载波相位信号，通过地面接收设备接收其发射信息，实时地测定地面接收载体的三维位置。
我院从1999年开展了GPS技术在公路勘测中的应用研究。
几年来的生产实践，我们认识到了GPS技术在平面控制测量和路线中桩、边桩放样方面具有传统测量工作不可比拟的优势，可以极大的降低劳动作业强度，提高作业效率，但GPS技术在高程测量方面的应用还一直处于研究状态。
本文结合几年来的生产实践仅就GPS技术在高程拟合方面的应用谈谈自己的观点：2、高程异常GPS测得三维坐标高程为各GPS点在WGS—84坐标系中的大地高H，而公路勘测所用的地面高程是相对于似大地水准面的正常高H正，两者之间的差值称为高程异常，用公式可表示为：ζ=H—H正式中：ζ—为高程异常要将GPS所求的大地高转换成正常高，关键是求得精确的高程异常ζ。
目前通常采用二次曲面函数对高程异常进行曲面拟合，对于GPS水准联测点P K拟合模型可写为ζK=a0+a1Δx k+a2Δy k+a3Δx2k+ a4Δy2k+ a5Δx kΔy k—εk式中Δx k=x k—x0 Δy k=y k—y0x0，y0是参考点的坐标，一般取重心坐标；x k，y k是P k点的平面坐标，也可是大地纬度和大地经度；εk为拟合残差。
按最小二乘法可求得拟合系数a为a=（A T A）-1A Tζ式中a=[ a0 a1…a n]T ζ==[ζ0 ζ1…ζn]T1 Δx1 Δy1 Δx21 Δy21 Δx1Δy11 Δx2 Δy2 Δx22 Δy22 Δx2Δy2A= ………………………………可以看到，在采用二次曲面拟合时，至少应有6人GPS水准联测点，当少于6个时，则应去掉二次项拟合系数σ3，σ4，σ5，即采用平面系数拟合，此时拟合模型为ξk=σ0+σ1Δx k+σ2Δy k-εk求得拟合系数后，任意点P i的高程异常为ξi=σ0+σ1Δx i+σ2Δy i-σ3Δx i2+σ4Δy i2+σ5Δx iΔy i或为ξi=σ0+σ1Δx i+σ2Δy i当然还有基它一些方法：绘等高直线图法、解析内差法、滤波推估法，但这些方法在实际操作中计算量过大。
GPS高程拟合方法的比较分析
GPS高程拟合方法的比较分析GPS 高程拟合法的比较分析(机械工业勘察设计研究院测量公司)摘要：工程中需要把GPS 高程测量的大地高转换为正常高。
通常的做法是采用拟合法建立研究区域的似大地水准面。
本文介绍了两种不同的拟合方法：二次曲面拟合法、多面函数拟合法。
并结合某区域一定数量已知GPS 高程异常点来内插和外推研究区域内的任一点的高程异常。
通过比较发现多面函数拟合法拟合的精度要比二次曲面拟合的精度高。
关键词：高程转换；二次曲面拟合法；多面函数拟合法The elevation of GPS fitting to the comparison and analysis （Machinery industry survey and design institute of measuring company ）Abstract: GPS height measurement of the earth should be converted to normal high in engineering. It is usually to establish the quasi-geoid of the research area by the fitting method. This article introduces two different fitting methods: quadratic surface fitting and multiple-surface function fitting. Combined with a certain number of a region known GPS elevation anomaly points to the interpolation and extrapolation of the height anomaly at any point within the study area. By comparison, the multiple-surface function fitting to the precision is higher than the quadratic surface fitting.Key words ：Elevation conversion; Quadratic surface fitting; Multiple-surface function fitting1.引言传统的几何水准测量虽然精度高，但耗时长、耗费多、工作效率低。
GPS高程曲面拟合算法的精度分析
第31卷第4期2008年7月现 代 测 绘Modern Surveyi ng and Mappi ngVol.31,No.4J uly.2008 GPS高程曲面拟合算法的精度分析南亲江1,卜建阳2(1南京工程高等职业学校,江苏南京2111352江苏省水文地质工程地质勘察院,江苏淮安223005)摘 要 在GPS高程测量中需要将大地高转换为正常高。
本文对GPS高程的多项式曲面拟合、多面函数拟合和移动曲面函数拟合算法进行了比较分析。
结果表明,三种拟合算法均能达到四等几何水准的要求,但移动曲面拟合算法精度最高,多面函数拟合算法精度最低。
关键词 GP S高程拟合 多项式曲面拟合 多面函数拟合 移动曲面拟合中图分类号:P228.4 文献标识码:B 文章编号:1672-4097(2008)04-0017-03 目前水准测量仍然是获取正常高的主要手段,随着GPS定位技术的广泛应用,如何利用GPS测高代替常规的水准测量,获取高精度的水准高程,是GPS测量领域研究的一个热点。
GPS测量是在W G S-84地心坐标系中进行的,所提供的高程为相对于W G S-84椭球的大地高[1]。
大地高是以参考椭球面为基准的一个几何量,通常以H表示,在实际工程中应用很少。
我国国家高程系统一般采用的是正常高系统,因此需要将GPS大地高转换为正常高。
由GPS相对定位得到的基线向量,经平差后可得到高精度的大地高。
若网中有一点或多点具有精确的W GS-84大地坐标系的大地高,则在GPS 网平差后,可求得各GPS点的WGS-84大地高。
在某一测区内,如果有一定数量的已知水准点(正常高已知),则可以在这些水准点上进行GPS观测,可求得各点上的高程异常值ξi。
根据已知点的高程异常值及其位置关系建立函数模型来拟合该区域的似大地水准面,再用数学内插的方法求解区域内任一点的高程异常值,进而求得该点的正常高[2]。
目前,国内外用于GPS大地高转换为正常高的方法有:绘制等值线图法、解析内插法、曲面拟合法和B P神经网络法等.考虑到模型的通用性、实用性以及计算实现的方便性,本文仅对多项式曲面拟合法、多面函数曲面拟合法及移动曲面拟合法进行分析比较,并用实际数据评定三种算法的精度。
GPS高程拟合方法及精度分析
GPS高程拟合方法及精度分析作者：陆治兵高波来源：《科技资讯》2020年第02期摘; 要：以GPS測量的大地高为基础，利用似大地水准面获得正常高，是一种创新的高程测量方法，而GPS拟合方法是否恰当，拟合后的精度能否满足要求，直接关系到GPS高程测量方式在实际工程中的应用。
通过工程实例研究了多项式拟合、多面函数拟合、克里金插值法等GPS高程拟合方式的差异性。
通过对精度分析，得出各种拟合方式的优劣势，以利于在实际生产中选取合适的拟合方法。
关键词：GPS高程拟合; 多项式拟合; 多面函数; 克里金插值; 精度中图分类号：P228 ; ;文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2020）01（b）-0046-05Abstract： It was an innovative elevation measurement method which obtained Normal Height by using quasi-geoid，based on the GPS geodetic height， but the GPS elevation fitting method and fitting precision of the method was directly related to the application of GPS elevation measurement method in practical projects. The differences of the GPS elevation fitting method such as polynomial fitting， multiple-Surface function fitting， Kriging interpolation method were studied in engineering examples. The superiority and inferiority of the GPS elevation fitting method which helped to choose the optimal fitting method in the actual production was obtained by accuracy analysis.Key Words： GPS elevation fitting; Polynomial fitting; Multiple-Surfacefunction fitting; Kriging interpolation; Accuracy全球卫星定位系统（GPS）以其全天候、高精度、自动化、高效益等特点已成功应用于大地测量、工程测量，其在大范围的高精度测量控制网、城市控制网、工程控制网、测图控制网中发挥极为重要的作用，逐步撼动着常规测量技术的地地位，这也包括了几何水准测量。
GPS高程拟合的方法比较
图 2 GPS 水准点点位分布图 （ 说明： 其中三角符号表示已知点，圆圈表示检测点） 表1 已知点及检测点数据及残差表 （ 保留 4 位小数） （ 单位： m）
Y 坐标 高程异常 最小二乘估计 Y ξ △ ξ1 0. 0114 主成分 估计 △ ξ2 0. 0021 0. 0071 半参数 估计 △ ξ3 0. 0005 0. 0112
区，GPS 高程拟合需要依据实际情况采用不同的数学模型 。 本文主要对比以下 3 种不同的拟合方法。 3. 1 六参数模型的最小二乘估计法 六参数模型即二次曲面模型，设某公共点的高程异常 ，与该点的平面坐标 （ xi ， y i ） 有关系式为： ξi （ 2） f（ x， y） = a0 + a1 x + a2 y + a3 x2 + a4 y2 + a5 xy a0 、 a1 、 a2 、 a3 、 a4 、 a5 为待定参数。因此区域内至少 式中， 需要 6 个公共点，当公共点多于 6 个时，则可列出相应的 误差方程： 2 v i = a0 + a1 x i + a2 y i + a3 x 2 i + a4 y i + a5 x i y i － ξ i ， （ i = 1， 2， 3， …， n） （ 3） 若共存在 m 个这样的公共点，则可列出 m 个方程，写 成矩阵形式为： （ 4） v = XB － ξ a 1 v ξ a2 1 1 v ξ v = 2 B = a3 即， ξ = 2 a4 v ξn n a 5
Hale Waihona Puke 点名X 坐标 XD099 * . 132231 * . 266075 － 17. 9566 － 0. 0365 D096 * . 552207 * . 732864 － 18. 3477 D093 * . 125570 * . 197450 － 18. 4130 0. 02555 已 D088 * . 584003 * . 541094 － 18. 9791 － 0. 0335 知 D047 * . 284986 * . 105678 － 19. 1705 0. 0053 点 D055 * . 655491 * . 765529 － 19. 3842 0. 0117 D098 * . 733666 * . 764927 － 17. 9221 D091 * . 147941 * . 731568 － 18. 7429 D094 * . 772552 * . 574528 － 18. 1522 D095 * . 758779 * . 904590 － 18. 5694 D127 * 检 D092 * 测 D087 * 点 D056 * . 065298 * . 307659 － 18. 7080 . 724622 * . 765523 － 18. 9071 0. 0230 0. 0336 0. 0604 0. 0030 0. 0028 0. 0101 D090 * . 592014 * . 083215 － 18. 6755 － 0. 0241 D122 * . 970001 * . 601563 － 17. 5985 － 0. 0599 D072 * . 484226 * . 383670 － 18. 9297 － 0. 0304
GPS高程拟合方法及其拟合精度对比
GPS高程拟合方法及其拟合精度对比王峰;王冉;崔锦龙【摘要】Taking GPS C network,surveying control achievement from Baotou to Jining and geometric leveling data,the linear fitting and curve fitting are adopted to fit pared with leveling precision,the hierarchical network GPS fitting height can reach four and other geometric leveling precision.%利用已有的包头至集宁GPS C级网测量的控制测量成果的GPS实测数据和几何水准资料作为已知数据,利用线性拟合法、曲面拟合法对GPS 高程拟合,通过与水准高程的精度对比分析,论述该等级网GPS拟合高程可以达到四等几何水准测量的精度。
【期刊名称】《全球定位系统》【年(卷),期】2012(037)004【总页数】4页(P86-89)【关键词】大地高;正常高;全球定位系统【作者】王峰;王冉;崔锦龙【作者单位】内蒙古自治区测绘事业局,内蒙古呼和浩特010022;内蒙古自治区测绘事业局,内蒙古呼和浩特010022;内蒙古自治区测绘事业局,内蒙古呼和浩特010022【正文语种】中文【中图分类】P228.40 引言GPS技术的迅速发展使得GPS技术在大地测量、工程测量、航空摄影测量、城市测量等测绘领域得到了广泛的应用［1］。
GPS测量的大地高通过似大地水准面得到正常高，是高程测量方法的创新。
水准测量基于视线测量是线测量:而GPS测量基于超视线测量，是点测量。
相对传统的几何水准，GPS测量不仅可节省成本，更重要的是高效率和实时性［2］。
但是高程定位精度仍需进一步研究和提高。
因此，有必要对局部区域工程控制网GPS高程拟合模型进行研究，提高GPS高程拟合的精度，它可以作为几何水准的替代，满足一定精度范围的应用需求。
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GS08 -133.018
-1.1094
-0.0587
-0.2079
GS09 -133.022
-0.6303
-0.0833
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1.52
1.3877
1.3136
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GS10 -133.033
0.3434
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GS12
88
-0.0213
GS14 -133.033
0.264
-0.3989
-0.0009
GS15 -133.031
1.1547
0.6748
0.023
⎢M⎥
⎢⎥
⎣am-1 ⎦
=
⎡ ε1 ⎤
⎢ ⎢
ε2
⎥ ⎥
⎢M⎥ ⎢⎥ ⎣εn ⎦
(2-3) 式的误差方程为：
V=AX- ξ
(2-4)
55
当已知点个数 n 大于参数个数 m 时，用最小二乘法拟合出系数参数 ai ，进而由式（2-2）
求出测区内任意点的高程异常值。如果取未知数一次项，则称为平面拟合，即“最小二乘平
表 3 不同拟合模型拟合精度
110
Tab. 3 Different fitting model fitting precision
精度/cm 一次多项式 二次多项式 多面函数
内符合精度 ±0.8506
±0.4238 ±0.1362
外符合精度 ±1.0041
±0.9655
±0.809
3.2 分析光滑因子对多面函数拟合模型精度影响
-0.3985
图形如下：
-4-
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100
图 4 拟合点高程异常对比
Fig. 4 Fitting point abnormal height contrast
图 5 检核点高程异常对比 Fig. 5 Check point elevation abnormal contrast
多面函数光滑因子的选取对拟合结果影响较大，而且比较难确定。基于工程实例，分析 不同光滑因子对拟合精度的影响，如图 8，图 9(图中红线为±0.01m)： 115
-5-
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图 8 5000-45000 内符合精度/m Fig. 8 5000-45000 inside precision/m
图 9 5000-45000 外符合精度/m Fig. 9 5000-45000 outside precision/m
20 Keywords:height anomaly; polynomial fitting; multi-faceted function fitting; smoothing factor
0 引言
近年，随着 GPS 技术在测绘领域发展，GPS 技术以其全天候、高精度、高效率、多功 能、操作简便等特点得到越来越广泛应用。利用 GPS 定位技术已较好地解决了平面位置坐 25 标，精度能达 10-6~10-9 量级上甚至更高[1]，完全能满足工程测量的要求。而高程测量方面由 于受坐标系统不一致、观测误差等的影响，其高程精度较其平面精度约低 2~5 倍[2]，观测精 度较差。因此，如何充分利用和发挥 GPS 观测时获得的大地高数据，尽可能精确的转换为 工程应用的正常高，是多年来测绘工作者一直研究的课题。本文在此用多项式和多面函数进 行高程转换，并分析多面函数中不同光滑因子对精度影响。
30 1 高程系统
似大地水准面是高程测量的基准面，其定义为地面点沿铅垂线(或正常重力线)向下量取
正常高所得的端点形成的连续曲面。大地高系统的大地高是以 WGS-84 参考椭球面为基准面
的高程系统,其定义是以参考椭球面为基准面的高程系统，地面某点 P 的大地高 H 是地面点
P 沿参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。正常高系统是以似大地水准面为基准的高程
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GPS 高程拟合中多项式与多面函数的比较
与分析
杨建辉*
（中国矿业大学江苏省资源环境信息工程重点实验室，江苏 徐州 221116） 5 摘要：由于高程异常分布的无规律性，在小范围内将大地高转换为正常高必须借助一些模型
来拟合出高程异常曲面。本文利用多项式拟合模型和多面函数拟合模型来对比研究，且都取 得较满意精度，并且分析了光滑因子对多面函数模型拟合精度影响。 关键词：高程异常；多项式拟合；多面函数拟合；光滑因子
35 系统。某点的正常高 Hr 是该点到通过该点的铅垂线与似大地水准面的交点之间的距离。高
程异常则是似大地水准面与椭球面之间的高程差，,通常以 ξ 表示。其相对关系如图 1。在实
际工程应用中要把 GPS 大地高转换为正常高,其转换公式为[3]式（1-1）：
ξ=H-Hr
（1-1）
作者简介：杨建辉，（1985-），男，中国矿业大学硕士研究生，主要研究方向：GPS 理论及应用. E-mail: jhy0108.cool@
15 Abstract: The irregular distribution of height anomaly, in a small area will be converted to a normal high ground have to rely on a number of models to fit the surface height anomaly. In this paper, polynomial fitting model and the multi-faceted function fitting model to comparative studies, and have achieved satisfactory accuracy, and analysis of multi-faceted function of smoothing factor on the accuracy of model fitting.
10
GPS elevation fitting polynomial functions with the
multi-faceted Comparison and Analysis
Yang Jianhui
(China University of Mining and Technology, Jiangsu Key Laboratory of Resources and Environmental Information Engineering, JiangSu XuZhou 221116)
Tab. 2 Different fitting model to review some abnormal height of fitting results
点号
高程异常 一次多项式 二次多项式 多面函数残
/m
残差/cm
残差/cm
差/cm
GS02 -133.039
-0.1781
-0.5946
-0.1588
表 1 不同拟合模型对拟合点高程异常的拟合结果
Tab. 1 Different fitting model for fitting point abnormal height of fitting results
点号
高程异常/m
一次多项式 残差/cm
二次多项式 残差/cm
多面函数残 差/cm
G004 -133.039
-0.8546
0.4736
-0.1386
GS01 -133.041
-0.5017
-0.6379
0.0225
GS03 -133.052
1.235
0.4385
-0.1684
GS04 -133.051
1.1274
0.3845
0.1168
GS05 GS07
-133.047 -133.037
0.035 -0.1794
(2-2)
(2-1)，（2-2）式写成矩阵形式有：
50
ξ=AX+ε
(2-3)
式中
ξ
=
⎡ ξ1 ⎢⎢ξ2 ⎢M ⎢
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
A
=
⎡1 ⎢ ⎢1 ⎢⎢L
⎣ξn ⎦ ⎢⎣ 1
x1 x2 L xn
y1 y2 L yn
x12 x22
L xn 2
L L⎥⎥⎤ L⎥⎥
X
L⎥⎦
=
⎡ a0 ⎤
⎢ ⎢
a1
⎥ ⎥ε
面拟合”；取到二次项，称为二次多项式曲面拟合；取到三次项，称为三次多项式曲面拟合。
2.2 多面函数拟合法
多面函数拟合法, 1971 年由美国哈笛(Hardy)提出。它的基本思想是任何一个规则或不规 60 则的连续曲面均可以由若干简单面(或称单值数学面)来叠加逼近[5]。
多面函数拟合的数学表达式：
n
∑ ξ = f(x,y) = aiQ(x,y,xi,yi )
-3-
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85
图 3 测区控制点分布
Fig. 3 Distribution of the surveyed area control point
3.1 三种拟合模型对比
本文利用测区的拟合点（14 个）和检核点（6 个），采用平面拟合（一次多项式），二 90 次多项式拟合和多面函数拟合，对比实测数据，拟合精度规律如下：
=
(x
−
xi )2
+(y
−
yi )2