几种高程异常曲面拟合方法的应用比较
几种高程拟合方法的精度分析
几种高程拟合方法的精度分析高程拟合方法是地理信息系统（GIS）中的重要内容，在数字地形模型（DTM）生成、地形分析和地貌描述等领域具有广泛应用。
不同的高程拟合方法会影响到地形模型的精度，因此对于不同高程拟合方法的精度进行分析是很有意义的。
以下是几种常见的高程拟合方法及其精度分析：1.插值法插值法是一种常见的高程拟合方法，在实际应用中被广泛使用。
常见的插值方法包括反距离加权插值法、克里金插值法以及样条插值法等。
插值法的精度受到原始高程数据的密度和分布情况的影响。
如果原始高程数据密度较高且分布均匀，插值法可以获得较高的精度。
然而，在原始高程数据密度较低或分布不均匀的情况下，插值法可能会出现插值误差较大的问题，拟合结果的准确性会受到一定的限制。
2.拟合曲面法拟合曲面法是一种通过拟合曲线或曲面来估计高程的方法。
常见的拟合曲面方法包括最小二乘法、多项式拟合、平滑拟合以及基于回归分析的方法等。
拟合曲面法的精度取决于所选择的拟合函数和选择的拟合点。
如果使用复杂的拟合函数和足够多的拟合点，可以获得较高的精度。
然而，过度复杂的拟合函数可能导致过度拟合的问题，而拟合点过少可能会导致低精度。
3.网格法网格法是一种将区域划分成网格并在每个网格上估计高程的方法。
常见的网格法包拟合方法包括反距离加权平均法、泰森多边形法以及贝叶斯方法等。
网格法的精度取决于网格的大小和形状，以及对于每个网格所采用的高程估计方法。
如果网格足够小且形状合理，并选择合适的高程估计方法，可以获得较高的精度。
然而，网格法可能会导致插值误差在网格边界处积累的问题，从而影响到拟合结果的准确性。
4.三角形不规则网法三角形不规则网法是一种通过构建不规则三角形网格来估计高程的方法。
该方法通过对于不规则三角形内插值来估计高程。
三角形不规则网法的精度取决于网格的划分方法和插值方法。
如果网格的划分合理且插值方法准确，可以获得较高的精度。
然而，三角形不规则网法可能会导致网格形状不规则或者包含过多狭长的三角形，从而影响到拟合结果的精度。
高程异常拟合参数 曲面
高程异常拟合参数曲面高程异常拟合参数是指将采集到的地面高程数据与理论或预测的地形曲面进行比较，并通过拟合参数的方法来描述地面的高程异常情况。
高程异常拟合参数对于地质、地理、工程等领域的研究都具有很重要的意义。
在地理信息系统（GIS）中，常用的高程模型有数字高程模型（DEM）和数字地面模型（DSM）。
DEM是描述地面地形的数学模型，而DSM包含了地面和地面上的物体，如建筑物、树木等。
在进行高程异常拟合参数的研究中，通常使用DEM 作为基础数据进行分析。
高程异常拟合参数可以用来研究地壳运动、地形演化、构造和地质变形等。
常用的拟合参数有坡度、曲率、凹凸性等。
1. 坡度：坡度是指地面高程变化的一种度量，可以用来研究地形的陡峭程度。
常见的坡度计算方法有斜度法和两点法。
斜度法是根据相邻格点之间的高程差来计算坡度，两点法是通过将地块分割成多个小三角形来计算坡度。
2. 曲率：曲率是描述地面变化率的一个参数，可以用来研究地形的平滑程度。
曲率可以分为主曲率和副曲率两种，主曲率描述地面的最大和最小曲率变化，副曲率描述地表曲率变化的方向。
3. 凹凸性：凹凸性是描述地面形态突出和凹陷的程度。
凹凸性可以通过计算地表高程值的方差、标准差等统计指标来衡量。
凹凸性参数可以用来研究地质构造的形态特征，如断裂带、褶皱等。
除了上述常用的拟合参数外，还有一些其他的高程异常拟合参数可供参考，如最小二乘法、曲面拟合法、自适应拟合法等。
这些方法主要是通过数学模型或统计分析来拟合地面的高程异常，以求得与实际观测数据最接近的结果。
在研究中，可以先对采集到的DEM数据进行预处理，如降采样、滤波等，以减少数据的噪声和误差，然后利用相应的拟合参数进行分析。
分析结果可以通过绘制等高线图、三维地形图等方式展示出来，以便分析变化规律和特征。
总而言之，高程异常拟合参数是地理学、地质学等相关领域研究中的一种重要方法，通过与理论模型的拟合来描述地面的高程异常情况。
GPS高程拟合方法的比较分析
GPS高程拟合方法的比较分析GPS 高程拟合法的比较分析(机械工业勘察设计研究院测量公司)摘要：工程中需要把GPS 高程测量的大地高转换为正常高。
通常的做法是采用拟合法建立研究区域的似大地水准面。
本文介绍了两种不同的拟合方法：二次曲面拟合法、多面函数拟合法。
并结合某区域一定数量已知GPS 高程异常点来内插和外推研究区域内的任一点的高程异常。
通过比较发现多面函数拟合法拟合的精度要比二次曲面拟合的精度高。
关键词：高程转换；二次曲面拟合法；多面函数拟合法The elevation of GPS fitting to the comparison and analysis （Machinery industry survey and design institute of measuring company ）Abstract: GPS height measurement of the earth should be converted to normal high in engineering. It is usually to establish the quasi-geoid of the research area by the fitting method. This article introduces two different fitting methods: quadratic surface fitting and multiple-surface function fitting. Combined with a certain number of a region known GPS elevation anomaly points to the interpolation and extrapolation of the height anomaly at any point within the study area. By comparison, the multiple-surface function fitting to the precision is higher than the quadratic surface fitting.Key words ：Elevation conversion; Quadratic surface fitting; Multiple-surface function fitting1.引言传统的几何水准测量虽然精度高，但耗时长、耗费多、工作效率低。
多项式曲面高程拟合方法探讨
多项式曲面高程拟合方法探讨作者：吴扬扬来源：《名城绘》2019年第02期摘要：本文主要介绍了多项式曲面法的基本原理，然后分别采用一次、二次、三次多项式曲面法对具体区域的高程数据进行计算，通过对高程拟合的精度进行对比和分析，总结多项式曲面高程拟合方法的应用特点。
关键词：多项式曲面；高程拟合；精度GPS高程拟合是大地水准面精化的主要内容，是大地测量学研究的基本内容。
GPS高程拟合涉及到三类高程系统，分别为正高系统、正常高系统和大地高系统。
正高是以大地准面为基准的高程，正常高是以似大地水准面为基准的高程，大地高是以参考椭球面为基准的高程[1]。
我国通常采用正常高系统。
正常高和大地高之间的差距叫做高程异常。
大地高H、正常高h和高程异常之间的关系为：H=h+ε（1）本文主要结合具体算例，分别采用一次、二次、三次多项式曲面法进行高程拟合，总结多项式曲面拟合方法的特点。
1 多项式曲面拟合法多项式曲面拟合的数学模型为：（2）式中εi为i点的高程异常值，其坐标为（），（）為模型参数。
式（2）对应的误差方程为：（3）其中为已知联测点i的高程异常值。
如果有n个已知点，那么m次多项式可以改写成矩阵形式：（4）其中m，n需满足条件，令，在式（3.12）中，，，，根据最小二乘原理可得：（5）根据式（5）求出模型参数后即可确定模型式（2），然后根据式（2）即可求出待求点的高程异常。
有时实际计算中为了保证计算的稳定性，我们采用区域中心点的坐标（x0，y0）作为原点，用坐标差来代替原始坐标参与计算，即将模型表示成（△xi，△yi）的函数，其中，。
常用的多项式曲面拟合方法有一次曲面拟合（平面拟合）、二次曲面拟合、三次曲面拟合。
2 算例分析某区域大约50km2，该区域联测了21个控制点，其正常高和大地高都是通过观测计算获得的，那么该区域的高程异常数据可以通过计算获得。
采用多项式曲面拟合法（一次，二次，三次）拟合该区域的控制点，针对区域内的9个点，10个点，11个点，12个点，13个点作为参加拟合的已知的控制点，其余的点作为检核点，计算各自的内符合精度和外符合精度，因为三次曲面模型的必要条件是10个点，所以三次曲面模型不参与9个点和10个点的拟合，如表1，表2，表3，表4，表5所示。
GPS高程拟合方法及其应用
GPS高程拟合方法及其应用论文介绍了GPS高程拟合的原理。
介绍了多种拟合模型的拟合原理、模型参数的优化选择，给出了利用地表拟合求解较高精度高程异常的方法，将各种模型进行应用对比。
标签：大地高GPS水准高程异常拟合模型1 GPS高程异常当前GPS技术在平面控制测量工作中已经得到了广泛的应用，但在高程控制测量中却未能得到广泛应用。
原因是GPS高程测量得到的是建立在WGS-84坐标系上的大地高H，而我国测量工作中采用的是正常高H。
GPS高程测量可以获得厘米级精度的大地高，但在GPS大地高转换为正常高过程中，由于未能获得同等精度的高程异常ζ，导致转换所得的GPS正常高达不到精度要求。
2高程拟合常用方法拟合法是对GPS观测点进行几何水准联测，同一点的大地高减去正常高得到该点的高程异常，再把测区的似大地水准面假定为多项式曲面或者其他数学曲面去拟合已知高程异常的点，根据拟合的曲面内插其他GPS点的高程异常值。
拟合法进行GPS高程转换的数学模型很多，如多项式曲线拟合、最小二乘平面拟合、二次多项式曲面拟合等，归纳起来可以分为线状拟合模型、平面拟合模型和曲面线状拟合模型三类。
3高程拟合实例分析一测区，选取其中32个GPS水准高程点进行拟合，将32个水准点的X与Y值通过AutoCAD一个简短的VB加载程序展绘成图：方案一：16个起算点均匀分布选取点2，4，8，10，11，13，16，17，19，20，24，25，26，30，31，32十六个点均匀分布于分布已知水准点，经由GPS拟合程序拟合后，计算成果中得拟合高程与水准成果的互差中误差为11.820480毫米。
方案二：16个起算点分布在一侧（非均匀分布）选取点位集中于右下侧，分别为1，2，3，5，9，10，11，14，18，21，22，23，25，27，28，29十六个点。
经由GPS拟合程序拟合后，计算成果中得拟合高程与水准成果的互差中误差为14.631518毫米。
方案三：16个起算点分布在边缘（非均匀分布）选取十六点3，5，6，8，11，12，14，16，17，18，19，20，23，25，28，29分布于网形边缘，经由GPS拟合程序拟合后，计算成果中得拟合高程与水准成果的互差中误差为14.810417毫米。
GPS 水准中三种曲面拟合模型的对比分析
GPS水准中三种曲面拟合模型的对比分析崔卫磊∗ (贵阳市测绘院,贵州贵阳 550002)【摘要】摘要:在详细论述了GPS水准中平面相关、曲面样条、多面函数三种曲面拟合方法之上,编写了GPS高程拟合系统软件。
最后利用四川省某地区的实测数据,对以上几种拟合方法进行比较和分析,得到了一些有用的结论,对类似测量项目有一定的借鉴意义。
【期刊名称】城市勘测【年(卷),期】2015(000)001【总页数】4【关键词】关键词:GPS;水准;多面函数;平面相关;曲面样条;对比分析1 引言GPS是近些年发展起来的先进导航定位技术,但在使用GPS进行控制测量时GPS的平面坐标可以达到毫米级,而高程精度却由于常常无法满足施工的需要而只能采取其他方法获取,这使得GPS测量技术的优势大打折扣。
究其原因是GPS所测高程为以参考椭球面为基准的大地高,传统测量却是以似大地水准面为基准的正常高。
因此寻求求解大地高于正常高之间的差异,即高程异常的方法就变得尤为重要。
求解高程异常的方法有重力法、GPS水准法、GPS三角高程方法、联合平差法、转换参数法、神经网络法等方法。
其中GPS水准方法是普遍,也是最容易实现的采用的一种方法。
2 GPS水准方法GPS水准方法是眼下正常高的求取中最常用的一种方法,具体做法为:利用测区内已知高程异常的已知点,采用比较适宜的模型对该测区的似大地水准面进行拟合,然后求出待定点的高程异常值,进而确定整个测区的正常高。
它的优点是算法相对来讲还算简单,不受中、长波项及高程系统差异等的影响,无须地球重力场方面的专门知识或数据。
缺点是在山区精度会严重受损。
目前,比较常用的GPS水准方法除了绘等直线图法以外主要分为曲线拟合法和曲面拟合法。
曲线拟合法主要有,多项式曲线、三次样条曲线、阿克玛法等方法。
曲面拟合法有相关平面、斜平面、多项式曲面、多面函数、曲面样条、移动曲面等。
本文将详细论述相关平面法,多面函数法以及曲面样条拟合法,并应用实测数据对这三种方法进行对比分析。
曲面模型在GPS高程拟合中的应用
曲面模型在GPS高程拟合中的应用摘要本文主要论述了曲面模型在GPS高程拟合中的应用，对两种曲面模型进行了较为细致的讨论，结合实测数据对两种方法进行了深入的比较分析。
关键词GPS高程拟合；高程异常；曲面模型0引言在传统的测量中，获取高程的方法主要有水准测量法和三角高程测量法。
但水准测量法在山区实测困难，劳动强度大；三角测量视距要求不能太远，受气候影响大。
GPS技术的广泛应用，为确定大地水准面高提供了新的途径。
GPS测量具有全天候、经济、快速等诸多优点。
但GPS测量的直接成果为椭球面大地高，而工程中常用的高程基准为正常高，如何精确的求的高程异常值，实现两者的精确转换成为关键问题。
GPS高程拟合方法可归纳为重力法和几何法。
对于一般工程单位而言，无法获得所需的重力数据，故重力方法难于普及。
常用几何法，即对一定量的GPS 点进行水准联测，选取一定数量已联测水准的GPS点，通过函数拟合，求得该区域GPS点位坐标和高程异常值的函数关系，由此确定区域似大地水准面，即可求得该区域内其余GPS点的正常高。
本文主要研究常用的曲面模型，并通过实例计算对其精度进行了分析。
1 两种常用的曲面拟合模型当测区地势起伏较大，高程异常值变化较复杂时，可采用曲面拟合模型。
曲面拟合中最常用的模型为多项式曲面拟合模型和多面函数拟合模型。
1.1多项式曲面拟合模型GPS点的高程异常与平面坐标有如下关系：（1）式中，为误差。
一般情况下取多项式曲面的函数为如下形式：（2）用矩阵形式表示已测点的高程异常值与其平面坐标的关系如下：（3）当已测点个数与多项式所取的项数相等时，可用高斯消元法求解系数；当已测点个数多于多项式所取的项数时，产生了多余观测量，为提高多项式系数的解算精度，一般采用最小二乘法，对系数矩阵进行求解可得：（4）其中二次曲面模型稳定性较好，最为常用。
1.2多面函数拟合模型多面函数拟合模型认为“任何数学表面和不规则的圆滑表面，总可以利用一系列的有规则的数学表面的总和，以任意精度逼近”。
高程异常拟合参数 曲面
高程异常拟合参数曲面高程异常拟合参数的曲面是指对地球表面上的高程异常进行参数拟合所得到的曲面。
高程异常是指相对于大地水准面（通常选择平均海平面）的地形起伏情况，它反映了地壳运动、地球内部结构以及地形起伏等因素对地球表面高程的影响。
为了对高程异常进行分析和研究，我们需要对其进行参数化描述。
常用的拟合参数包括线性、二次、三次等多项式拟合，以及径向基函数（Radial Basis Function, RBF）拟合等方法。
本文将重点介绍常用的二次多项式拟合参数和RBF拟合参数两种方法。
二次多项式拟合参数是一种基于二次多项式函数的拟合方法。
该方法假设高程异常曲面可以近似表示为一个二次函数，在空间上呈现为抛物面的形式。
通过最小二乘法，可以确定出二次多项式的系数，从而得到拟合曲面。
二次多项式拟合参数相对简单且易于理解，但对局部起伏较大的地形会有一定的拟合误差。
RBF拟合参数是一种基于径向基函数的拟合方法。
径向基函数是一种以某个中心点为基准，距离该中心点的距离作为自变量的函数。
在RBF拟合参数方法中，我们首先选取一组中心点，然后根据这些中心点计算出一组基函数。
通过最小二乘法，可以确定基函数的权重系数，进而得到拟合曲面。
RBF拟合参数方法可以较好地逼近地形起伏较大的区域，但对于局部起伏较小的区域会有一定的过拟合现象。
在进行高程异常拟合参数曲面的计算过程中，需要注意以下几个关键步骤。
首先，需要选择合适的拟合函数和拟合方法，根据地形起伏的特点来确定最适合的拟合参数。
其次，需要通过采样或获取高程数据，并对数据进行预处理，如去除异常值和噪声。
然后，对预处理后的数据进行参数拟合，并评估拟合性能，如计算残差和均方根误差等指标。
最后，根据拟合结果绘制高程异常拟合参数曲面，以便于直观地观察和分析地形起伏情况。
高程异常拟合参数曲面在地质、地学和地理信息系统等领域具有广泛的应用价值。
它可以用于地形分析、地质构造研究、地震活动预测等方面。
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（ ＝ ， ， …ｎ ｉ １２３ ）
（） ５
经 常采用 的是 四参数 拟合 ：
＝０ ＋ ＋ａ ｙ ０ Ⅱ１ ｘ ２ ＋ａ３ ｙ ｘ
对 于 ／个选 取点数 据建 立下 列误差 方程 ： ７ ，
ｉ ａ＋ １ｉ。Ｙ＋ ５ｉ 一 ＝ ０ 。 ＋ ２ｉ０ Ｙ （＝１ ２ ３ ｉ ， ，…ｎ ６ ）（ ）
究 人员采 用 了多 种 方法 对 高 程 异 常进 行 估 计 ， 常用 方
法 包括 ： 神经 网络 方法 、 曲面 拟合方 法 、 值算 法 、 虑 插 考
大地重 力场 的高 程 异 常估 计 算 法 等 ， 本文 只介 绍 多项
式曲面拟合数学模型的普通 曲面拟合法及移动曲面拟
合法 。 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
五参 数 拟合 ：
＝ｒ ＋。 ｘ ２ ａ３ ＋ Ｙ 上 ０ １ ＋ａ ｙ＋ ４
另外 ， 根据数 据点对 内插 点 的影 响程度 引人 了权 ， （） ３
即内插 点距 数 据 点越 近 影 响越 大 ， 重 也 越 大 ， 之 ， 权 反
收 稿 日期 ：Ｏ ２ １ ９ ２ １—０ —０ 作 者 简 介 ： 献 强 （ ９６ ）， ， 程 师 ， 要 从 事 城 市工程 测 量 技 术 工 作 。 韦 １７ 一 男 工 主
１ 引 言
ＧＳ Ｐ 测量技术的出现改变了以往传统控制测量模
式 ， 过 Ｇ Ｓ相对 定位 可 同时获 得 高精 度 平 面 坐标 与 通 Ｐ 大地 高 ， 在实 际应用 中 Ｇ Ｓ提 供 的是 ＷＧ 一 ４大 地 但 Ｐ Ｓ８
坐标 系 的大地高 程 ， 而我 国高程 系统 采用 的是 相对 于似 大地水 准面 的正 常高 系统 ， 因此 需要 把 Ｇ Ｓ提 Ｐ
对 Ｐ点建 立 相应 的 曲面 。为 计 算 曲面 （ ） 的系 数 ， ２式 需要 选取 Ｐ点周 围 的数 据点 。选 取 的方 法通 常是 以 内
插 点 Ｐ为 中心 ， 尺为半 径 （ Ｒ一 般取 数据 点 平 均 间距 的
２ 曲面 拟 合 数 学模 型
曲面 拟合是将 高 程异 常看做 是一 定范 围 内坐标 的 曲面 函数 ， 为高 程 异 常在 此 范 围 内变 化 是 连续 平 缓 认
２１ ０ ２年 ８月 第 ４期
文 章 编 号 ：６ ２ ８ ６ （０ ２ ０ — １ — ３ １７ — ２ ２ ２ １ ）４ １５ ０
城
市
勘
测
Ａｕｇ ２ ２ ． ０１
ＮＯ ４ ．
Ｕｒ ｎ Ｇｅ ｔｃ ｎｉａ ｎ ｓｉａ ｉｎ ＆ Ｓ ｖｅ ｉ ｇ ｂａ ｏｅ ｈ ｃ ｌＩ ｖｅ ｔｇ ｔｏ ｕｒ ｙ ｎ
２倍 ） 凡是落 在 圆 内 的点 即 被选 用 ， ， 所选 取点 的个 数 大 于等 于 曲面方 程 系数 的个 数 。 当点 数不 够 时 ， 扩 则 大 Ｒ的值 。在计 算 时 ， 所 有 选 取 数 据点 改化 到 以 Ｐ 将
为原点 的局部 坐 标 系 中 ， 现设 Ｐ点 的 坐标 为 （ ， ， Ｙ ） 选 取数 据点 坐标 （ ，ｊ则 有 ： ｉ ） Ｙ
六参数 拟合 ：
：０ ＋ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ‘ ０ ０ ０ ｘ ａ ｙ ａ ０ Ｙ 十 ５ （ ４）
２ １ 曲面 拟合 法 ．
当有 多个 已知 数据 点 时 ， 于每 个 已 知数 据 点 写 对
成误 差方 程 （ 于式 （ ） 如 下 ： 对 ２）
ｉ ＋ ｌｉ口Ｙ＋ ３ｉ 一 ＝ ０ ０ ＋ ２ｉ口 Ｙ （ ＝１ ２ ３ ／ ｉ ， ，…ｇ ， ）
点上 的值 就是所 求 的内插值 ， 即内插点 高程 异常值 。 设 Ｐ为 内插 点 ， 以 （ ） 四参 数 曲面 方 程 为 例 现 ２式
在工 程测 量 中 ， 常采 用 Ｇ Ｓ水 准方 法 获 取 正 常 通 Ｐ 高 ， 因此 高精 度高 程异 常 的估 计 尤为重 要 ， 目前研
中 图分 类 号 ：２ ８ ３ Ｐ ２．
文 献 标 识 码 ： Ｂ
几种高程异常 曲面拟合方法 的应 用比较
韦献 强
（ 州市勘察测绘研究院 ， 西 柳州 柳 广 ５５ ０ ） ４０ ６
摘 要 ： 简单介绍 了高程异 常多项式 曲面拟合方 法的数 学模型 ， ２ ｍ 测区为实例 ， １ ５ｋ Ｘ ， 选取 ４种 已知 拟合 点布点方案 ， 分别采用四、 、 五 六参数 的曲面拟合 法与移动 曲面拟合 法对 高程异 常进行拟合 ， 并将拟合 成果与四等 水准测量成 果进 行 比较 、 分析 ， 出一些具有实用意义的结论 。 得 关键词 ： 高程异 常； 曲面拟合方法 ； 移动 曲面拟合方法
１６ １
城
市
勘
测
２１ ０ ２年 ８月
距 离越 远影 响越小 ， 重越小 。权 的形式 有多 种 ， 权 本文
供 的大地 高 转 化 为正常 高 日 ， 公式 如下 式 ：
Ｈ Ｈ ４ ＝ ８一 （） １
在 Ｚｗ＝ ｉ ａ ｒ ｎ的条件 下 ， 出各 ｏ ｎ 按式 （ ） 解 ～ 再 ２
求 出待求点的 ， 从而求出 Ｈ 。
２ ２ 移 动 曲面拟合 法 ．
为似大 地 水 准 面 至 椭 球 面 间 的 高 差 ， 为高 程 称
ｉ Ｘ ｉ ｐ —
的， 因此采 用数值 拟 合法拟 合 出测 区似大地 水 准 面 ， 再 内插 出待 求点 的 ， 而 求 出待 求点 的正 常高 。 从
采用 的数 学模 型为 ：
＝ｒ ＋０ ｘ ２ ａ３ ＋０ Ｙ ＋０ ＋… 上 ０ １ ＋ａ ｙ＋ ４ ５
Ｙ ＝ ｉｙ ｉ － 。 （） ２
异常。
移动 曲面拟合 法 是 一 种 局部 逼 近 的方 法 ， 模 型 其 与 曲面拟合 模 型基本相 同。其基 本思想 是 以每一 个 内 插点 为 中心 ， 利用 内插 点周 围数据 点高程 异 常值 ， 用 应 最小 二乘原 理建 立 一个 拟 合 曲面 ， 这个 曲 面在 内插 而