多面函数与讲义二次曲面高程拟合的精度比较
几种高程拟合方法的精度分析
几种高程拟合方法的精度分析高程拟合方法是地理信息系统（GIS）中的重要内容，在数字地形模型（DTM）生成、地形分析和地貌描述等领域具有广泛应用。
不同的高程拟合方法会影响到地形模型的精度，因此对于不同高程拟合方法的精度进行分析是很有意义的。
以下是几种常见的高程拟合方法及其精度分析：1.插值法插值法是一种常见的高程拟合方法，在实际应用中被广泛使用。
常见的插值方法包括反距离加权插值法、克里金插值法以及样条插值法等。
插值法的精度受到原始高程数据的密度和分布情况的影响。
如果原始高程数据密度较高且分布均匀，插值法可以获得较高的精度。
然而，在原始高程数据密度较低或分布不均匀的情况下，插值法可能会出现插值误差较大的问题，拟合结果的准确性会受到一定的限制。
2.拟合曲面法拟合曲面法是一种通过拟合曲线或曲面来估计高程的方法。
常见的拟合曲面方法包括最小二乘法、多项式拟合、平滑拟合以及基于回归分析的方法等。
拟合曲面法的精度取决于所选择的拟合函数和选择的拟合点。
如果使用复杂的拟合函数和足够多的拟合点，可以获得较高的精度。
然而，过度复杂的拟合函数可能导致过度拟合的问题，而拟合点过少可能会导致低精度。
3.网格法网格法是一种将区域划分成网格并在每个网格上估计高程的方法。
常见的网格法包拟合方法包括反距离加权平均法、泰森多边形法以及贝叶斯方法等。
网格法的精度取决于网格的大小和形状，以及对于每个网格所采用的高程估计方法。
如果网格足够小且形状合理，并选择合适的高程估计方法，可以获得较高的精度。
然而，网格法可能会导致插值误差在网格边界处积累的问题，从而影响到拟合结果的准确性。
4.三角形不规则网法三角形不规则网法是一种通过构建不规则三角形网格来估计高程的方法。
该方法通过对于不规则三角形内插值来估计高程。
三角形不规则网法的精度取决于网格的划分方法和插值方法。
如果网格的划分合理且插值方法准确，可以获得较高的精度。
然而，三角形不规则网法可能会导致网格形状不规则或者包含过多狭长的三角形，从而影响到拟合结果的精度。
几种高程拟合方法的精度分析
几种高程拟合方法的精度分析高程拟合是指根据采样点或测量点的高程数据，通过其中一种数学模型拟合出地面表面的高程分布。
高程拟合在地理信息系统(GIS)、地形分析、水文模拟、三维模型建立等领域具有广泛的应用。
高程拟合的精度分析是评价拟合结果与实际地形之间的差距，并确定拟合方法的准确性和适用性的重要步骤。
以下是几种高程拟合方法的精度分析：1.反距离加权法(IDW)：反距离加权法是一种常见的高程拟合方法，根据采样点之间的距离和权重来计算未知点的高程。
在精度分析中，可以通过交叉验证方法来评估不同的幂指数对拟合结果的影响。
通过计算实际测量值与拟合结果之间的误差，可以评估反距离加权法的精度。
2.三角网法(TIN)：三角网法是一种通过构建三角形网格来拟合地形表面的方法。
在精度分析中，可以通过将已知点与拟合结果进行比较，计算高程差值来评估拟合的精度。
此外，还可以使用均方根误差(RMSE)来评估TIN模型是否与实际地形相匹配。
3. 克里金法(Kriging)：克里金法是一种基于地理变量之间的相似性进行插值的方法，可以用于高程拟合。
在精度分析中，可以通过交叉验证方法或留一验证方法来评估不同的插值参数对拟合结果的影响。
通过计算实际测量值与拟合结果之间的偏差，可以评估克里金法的精度。
4.多项式插值法：多项式插值法是一种利用多项式函数进行高程拟合的方法。
在精度分析中，可以通过计算实际测量值与拟合结果之间的残差来评估多项式插值法的精度。
此外，还可以使用拟合曲线与实际测量值之间的拟合度来评估多项式插值法的准确性。
综上所述，对于高程拟合方法的精度分析，可以通过比较实际测量值和拟合结果之间的误差、计算高程差值、计算均方根误差(RMSE)、计算偏差或残差等指标来评估拟合的准确性和适用性。
不同的拟合方法适用于不同的应用场景，根据实际需要选择最合适的方法。
GPS高程拟合方法的比较分析
GPS高程拟合方法的比较分析GPS 高程拟合法的比较分析(机械工业勘察设计研究院测量公司)摘要：工程中需要把GPS 高程测量的大地高转换为正常高。
通常的做法是采用拟合法建立研究区域的似大地水准面。
本文介绍了两种不同的拟合方法：二次曲面拟合法、多面函数拟合法。
并结合某区域一定数量已知GPS 高程异常点来内插和外推研究区域内的任一点的高程异常。
通过比较发现多面函数拟合法拟合的精度要比二次曲面拟合的精度高。
关键词：高程转换；二次曲面拟合法；多面函数拟合法The elevation of GPS fitting to the comparison and analysis （Machinery industry survey and design institute of measuring company ）Abstract: GPS height measurement of the earth should be converted to normal high in engineering. It is usually to establish the quasi-geoid of the research area by the fitting method. This article introduces two different fitting methods: quadratic surface fitting and multiple-surface function fitting. Combined with a certain number of a region known GPS elevation anomaly points to the interpolation and extrapolation of the height anomaly at any point within the study area. By comparison, the multiple-surface function fitting to the precision is higher than the quadratic surface fitting.Key words ：Elevation conversion; Quadratic surface fitting; Multiple-surface function fitting1.引言传统的几何水准测量虽然精度高，但耗时长、耗费多、工作效率低。
基于二次曲面模型的似大地水准面拟合
−1 T
x y x y
2 2 L x n y n
1
T
根据最小二乘原理得式(3)的解为
T (B B ) B L
由此即可计算得到二次曲面拟合模型参数。 3 基于二次曲面的似大地水准面拟合 3.1 基础数据分析 测区东西长约 260km，南北约 230km。其中 GNSS 控制点按照 C 级 GPS 点要求观测，卫星高度截止角 15°，同时观测有效卫星数量 ≥4，有效观测卫星总数≥4，观测时段数≥2，时段长度≥4h，采样 间隔 10-30s。所有观测点均联测三等水准，经过平差计算，水准测 量成果精度较高，可以满足 GB/T12898-2009《国家三、四等水准测 量规范》的精度要求。GNSS/水准点点位分布情况见图 1。
表1
精度类型 精度
拟合精度统计表
内符合精度 2.49cm 外符合精度 3.72cm
（1）
若测区内有 n 个（n＞6）GNSS/水准点，则模型的拟合系数可由 T GNSS /水准点的高程异常通过最小二乘原理 V PV = m in 求定。 设参与拟合点数为 n，由式（1）可列误差方程
2 2 + = + + + + + ξ 1 ν 1 a0 a1x1 a2 y1 a3x1 a4 y1 a5 x1 y1 2 2 ξ 2 +ν 2 = a0 + a1x2 + a2 y 2 + a3 x2 + a4 y 2 + a5 x2 y 2 M 2 2 ξ +ν = a + a x + a y + a x + a y + a x y n 0 1 n 2 n 3 n 4 n 5 n n n
GPS 水准中三种曲面拟合模型的对比分析
GPS水准中三种曲面拟合模型的对比分析崔卫磊∗ (贵阳市测绘院,贵州贵阳 550002)【摘要】摘要:在详细论述了GPS水准中平面相关、曲面样条、多面函数三种曲面拟合方法之上,编写了GPS高程拟合系统软件。
最后利用四川省某地区的实测数据,对以上几种拟合方法进行比较和分析,得到了一些有用的结论,对类似测量项目有一定的借鉴意义。
【期刊名称】城市勘测【年(卷),期】2015(000)001【总页数】4【关键词】关键词:GPS;水准;多面函数;平面相关;曲面样条;对比分析1 引言GPS是近些年发展起来的先进导航定位技术,但在使用GPS进行控制测量时GPS的平面坐标可以达到毫米级,而高程精度却由于常常无法满足施工的需要而只能采取其他方法获取,这使得GPS测量技术的优势大打折扣。
究其原因是GPS所测高程为以参考椭球面为基准的大地高,传统测量却是以似大地水准面为基准的正常高。
因此寻求求解大地高于正常高之间的差异,即高程异常的方法就变得尤为重要。
求解高程异常的方法有重力法、GPS水准法、GPS三角高程方法、联合平差法、转换参数法、神经网络法等方法。
其中GPS水准方法是普遍,也是最容易实现的采用的一种方法。
2 GPS水准方法GPS水准方法是眼下正常高的求取中最常用的一种方法,具体做法为:利用测区内已知高程异常的已知点,采用比较适宜的模型对该测区的似大地水准面进行拟合,然后求出待定点的高程异常值,进而确定整个测区的正常高。
它的优点是算法相对来讲还算简单,不受中、长波项及高程系统差异等的影响,无须地球重力场方面的专门知识或数据。
缺点是在山区精度会严重受损。
目前,比较常用的GPS水准方法除了绘等直线图法以外主要分为曲线拟合法和曲面拟合法。
曲线拟合法主要有,多项式曲线、三次样条曲线、阿克玛法等方法。
曲面拟合法有相关平面、斜平面、多项式曲面、多面函数、曲面样条、移动曲面等。
本文将详细论述相关平面法,多面函数法以及曲面样条拟合法,并应用实测数据对这三种方法进行对比分析。
二次曲面函数拟合
二次曲面函数拟合在实际问题中，经常需要通过数据来拟合一个曲面函数，以便更好地理解问题。
例如，在工程和科学领域中，这种拟合技术常常用于研究材料的力学性质、优化机器的性能以及诊断疾病等方面。
在拟合曲面函数的过程中，二次曲面函数拟合是一种简单而常用的方法。
二次曲面函数的形式是：$f(x,y)=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f$其中，$a,b,c,d,e,f$是拟合参数，需要通过某种算法来求解。
在二次曲面函数拟合中，通常采用最小二乘法来求解这些参数。
最小二乘法是一种数学优化方法，其目的是通过在所有可能的参数值中找到最小的误差平方和。
在二次曲面函数拟合中，误差是指拟合曲面和实际数据之间的差异。
具体而言，假设有$m$个数据点$(x_i,y_i,z_i)$，这些数据点可以表示为一个矩阵$A$和一个向量$z$：$A=\begin{pmatrix}x_1^2 & x_1y_1& y_1^2 & x_1 & y_1 &1\\x_2^2 & x_2y_2&y_2^2 & x_2 & y_2 &1\\\vdots & \vdots &\vdots & \vdots& \vdots&\vdots \\x_m^2 &x_my_m& y_m^2 & x_m & y_m &1\end{pmatrix}$$z=\begin{pmatrix}z_1 \\ z_2\\ \vdots \\ z_m \end{pmatrix}$则二次曲面函数拟合的目标是最小化$||Az-z||_2^2$，其中$||\cdot||_2$表示欧几里得范数。
因此，可以通过求解下式来得到拟合参数：$(A^TA)^{-1}A^Tz$其中，$(A^TA)^{-1}$表示$(A^TA)$的逆矩阵。
在实际应用中，可以利用计算机程序来实现二次曲面函数拟合。
用于GPS高程拟合的多面函数模型的应用研究
用于GPS高程拟合的多面函数模型的应用研究贺炳彦;张贵钢【摘要】基于GPS高程拟合的特点,采用多面函数对高程异常值进行拟合计算.详细论述了多面函数模型的基本原理及方程,并与二次曲面拟合的结果进行比较.结果表明,多面函数模型在GPS高程拟合中,能够较好的逼近区域内起伏较大的高程异常特征,其拟合精度较高.通过实例验证,利用多面函数模型进行高程拟合,核函数的选取及节点的确定对拟合结果影响显著,需要根据应用区域的实际情况适当选定.【期刊名称】《西安科技大学学报》【年(卷),期】2010(030)005【总页数】4页(P579-582)【关键词】高程拟合;多面函数;GPS【作者】贺炳彦;张贵钢【作者单位】长安大学,信息工程学院,陕西,西安,710064;长安大学,地质工程与测绘学院,陕西,西安,710054;长安大学,测绘与空间信息研究所,陕西,西安,710054【正文语种】中文【中图分类】P228在传统大地测量中,水准测量作为获取高程的最常规手段,具有原理简单、误差易于检验等优点。
但是长距离水准测量的实施,存在着劳动强度大,实施进度缓慢、易产生人为误差等缺点[1]。
而作为现代大地测量手段之一,GPS以其精度高,实施简便等优点,已经得到广泛的应用,其高程精度,在平坦地区能够达到三四等水准的精度[2]。
因此通过高程拟合的方式,将 GPS测量的大地高转化为正常高,成为现今高程测量的重要方法之一。
传统的水准测量获取的是基于似大地水准面的正常高,而 GPS获取的为WGS-84坐标系下的大地高。
其关系为:H常=H84+ε,ε为高程异常。
高程拟合的原理,即通过水准和 GPS重合点,获取已知的高程异常值,通过已知高程异常值拟合,构建似大地水准面,再由数学方法求解区域内任意一点的高程异常值,进而求解改点的正常高。
高程拟合的方法主要分为两种:函数模型逼近和统计模型逼近[3]。
常用的函数模型主要有:多项式拟合,多面函数法,曲面内插逼近,回归逼近法,移动曲面法,快速傅立叶变换等;统计模型主要有加权平均法、拟合推估法、Kriging(克里格)逼近法等。
几种高程拟合方法的精度分析
噪声去除
原始数据中可能存在噪 声，如异常值、离群点 等，需要进行去除或平 滑处理，以提高数据精 度。常用的噪声去除方 法包括中值滤波、移动
平均滤波等。
数据插值
对于缺失或稀疏的数据 点，需要进行插值处理 以填补数据空白。常用 的数据插值方法包括线 性插值、多项式插值、
样条插值等。
数据缩放
不同数据源的数据量级 可能存在差异，需要进 行数据缩放以统一量级 ，便于后续的精度分析 。常用的数据缩放方法 包括归一化、标准化等
野外实地测量数据
野外实地测量数据是通过实地测量获取的地形、地貌、高程等信息，具有精度高、可靠性 强的特点，但成本较高，通常用于校验和验证其他数据源的精度。
数据预处理
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
坐标系转换
由于不同数据源可能采 用不同的坐标系，需要 进行坐标系转换以统一 坐标系统。常用的坐标 系转换方法包括坐标变 换矩阵和地理信息系统 软件提供的转换工具。
详细描述
决策树通过递归地将数据集划分为更小的子集来工作。在高程数据拟合中，决策树可以 基于地形特征进行划分，但面对复杂的非线性地形变化时，其预测精度可能会受到影响。
此外，决策树对噪声和异常值也较为敏感。
06 结论与展望
结论
线性回归模型精度最高，其次是 多项式回归和岭回归，最小二乘
回归精度最低。
不同高程拟合方法在不同数据集 上的精度表现存在差异，选择合
促进高程拟合方法在相关领域 的应用和推广，推动相关领域 的发展和进步。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
几种高程拟合方法的精度分析
contents
目录
• 引言 • 高程拟合方法介绍 • 数据来源与预处理 • 精度评估方法 • 实验结果与分析 • 结论与展望
二次多项式拟合法和多面函数拟合法在GNSS高程测量中的应用
二次多项式拟合法和多面函数拟合法在GNSS高程测量中的应用魏逸飞;孙伟;黄涛;王建华【期刊名称】《测绘与空间地理信息》【年(卷),期】2012(035)012【摘要】介绍了高程异常模型拟合的两种曲面拟合方法,即二次多项式拟合法和多面函数拟合法,详细推导了其数学模型.通过自编软件,在两种控制点选择方案下对某大面积、地势平缓区域的实测数据进行计算、比较和分析,验证了二次多项式拟合法、多面函数拟合法均可拟合出高精度区域高程异常模型的可行性.结果表明,采用GNSS高程测量模式完全可以取代传统四等水准测量.%The paper introduces two surface fitting methods of quadratic polynomial fitting and multidimensional function fitting and exports their mathematical formula in detail and the program is designed. According to the calculation, measured data for a large area of flat terrain in the two control point option are compared and analyzed, the feasibility of fitting high - precision height abnormal model is verified by the fitting methods of quadratic polynomial and multidimensional function. The results show that GNSS height survey mode can fully replace the traditional fourth order leveling.【总页数】4页(P32-33,36,40)【作者】魏逸飞;孙伟;黄涛;王建华【作者单位】武汉市测绘研究院,湖北武汉430022【正文语种】中文【中图分类】P224【相关文献】1.基于二次曲面的拟合推估法在GPS高程测量中的应用 [J], 王增利;黄腾;邓标2.多项式拟合在西北地区GNSS高程转换中的应用研究 [J], 容金宏;杨力;石风淼;管真;陶钧3.利用抗差多项式拟合法探测修复GNSS周跳 [J], 王福丽;成英燕;韦铖;王晓明4.基于MATLAB的抗差多项式拟合方法在GNSS周跳探测中的应用研究 [J], 于佳慧; 张世涛; 张岩5.多面函数拟合法及其在建立中国地壳平面运动速度场模型中的应用研究 [J], 刘经南;施闯;姚宜斌;陶本藻因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
GPS高程曲面拟合算法的精度分析
第31卷第4期2008年7月现 代 测 绘Modern Surveying and MappingVol.31,No.4J uly.2008GPS 高程曲面拟合算法的精度分析南亲江1,卜建阳2(1南京工程高等职业学校,江苏南京2111352江苏省水文地质工程地质勘察院,江苏淮安223005)摘 要 在GPS 高程测量中需要将大地高转换为正常高。
本文对GPS 高程的多项式曲面拟合、多面函数拟合和移动曲面函数拟合算法进行了比较分析。
结果表明,三种拟合算法均能达到四等几何水准的要求,但移动曲面拟合算法精度最高,多面函数拟合算法精度最低。
关键词 GPS 高程拟合 多项式曲面拟合 多面函数拟合 移动曲面拟合中图分类号:P228.4 文献标识码:B 文章编号:1672-4097(2008)04-0017-03 目前水准测量仍然是获取正常高的主要手段,随着GPS 定位技术的广泛应用,如何利用GPS 测高代替常规的水准测量,获取高精度的水准高程,是GPS 测量领域研究的一个热点。
GPS 测量是在W GS -84地心坐标系中进行的,所提供的高程为相对于W GS -84椭球的大地高[1]。
大地高是以参考椭球面为基准的一个几何量,通常以H 表示,在实际工程中应用很少。
我国国家高程系统一般采用的是正常高系统,因此需要将GPS 大地高转换为正常高。
由GPS 相对定位得到的基线向量,经平差后可得到高精度的大地高。
若网中有一点或多点具有精确的W GS -84大地坐标系的大地高,则在GPS 网平差后,可求得各GPS 点的W GS -84大地高。
在某一测区内,如果有一定数量的已知水准点(正常高已知),则可以在这些水准点上进行GPS 观测,可求得各点上的高程异常值ξi 。
根据已知点的高程异常值及其位置关系建立函数模型来拟合该区域的似大地水准面,再用数学内插的方法求解区域内任一点的高程异常值,进而求得该点的正常高[2]。
目前,国内外用于GPS 大地高转换为正常高的方法有:绘制等值线图法、解析内插法、曲面拟合法和BP 神经网络法等.考虑到模型的通用性、实用性以及计算实现的方便性,本文仅对多项式曲面拟合法、多面函数曲面拟合法及移动曲面拟合法进行分析比较,并用实际数据评定三种算法的精度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
❖ 倒双曲面： Q [x (xi)2(yyi)2]1 2
多面函数法高程拟合
❖ 高程拟合的精度评定指标
❖ 内常符值合 i0精用度vi：i根据i0求参得与残计差算值的，己按知下点式的计高算程G异P常S值水准 i 的和内计符算合后精得度到的高程异
[VV ] n 1
❖ 外符合精度： 同样根据参与检核的己知点的高程异常值 i 和计算后得到的高
❖ 式中 a0， a1 ， a2， ， a9为模型的待定参数。
❖ 当控制点为n个，所取的项数为n项时，则存在如下方程组矩阵:
XA
二次曲面法高程拟合
❖ 其中
0
1
n1
a0
A
a1
a
n
1
1
X
1
x0
x1
y0
y1
x02 x12
1 xn1
yn1
xn21
❖ 通过高斯消元法求出模型参数A，然后求出未知点的高程异常值，进而
程异常值
0 i
用
vii
i0
求得残差值，按下式计算GPS水准的内符合精度
M [VV] n 1
多面函数法高程拟合
❖ 内符合精度与外符合精度都是从点的统计角度出发的，可以说是一种相对意 义上的绝对精度评定。垂直数据因参考基准的不同，会有不同的系统偏差， 所以在某种意义上相对精度的评定更有说服力。
测量等级 三等几何水准测量 四等几何水准测量 普通几何水准测量
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
X坐标 -9230.899 -10589.011 -8775.220 -7666.317 -11649.851 -8129.317 -4334.088
❖ 高程系统：与三个高程基准面相对应有三个常用的高程系统，正高高程系统、 大地高高程系统、似大地高高程系统。
❖ 目前我国所用的高程系统为似大地高高程系统而GPS高程是大地高高程系统。 由于参考椭球面与似大地水准面不重合。大地高与正常高之间就存在一个高 程异常。如下图所示
GPS高程拟合的基本理论
❖ 正常高与大地高之间的关系为：
高程异 H 常 H
❖ 因此求出高程异常进而求的正常高， 建立似大地水准面的过程就是GPS 高程拟合的过程。
二次曲面法高程拟合
❖ 曲面拟合法： 当GPS点布设成一定区域面时，可以用数学曲面拟合法求定待 定点的正常高。其原理是:根据测区中已知点的平面坐标x、y(或大地坐标B、 L)和高程异常值，用数值法拟合，拟合出测区似大地水准面，再内插出待求 点的高程异常，从而求出待求点的正常高。
x2 n1
a0
A
a1
a
n
1
0
0 1
0 2
0 n
❖ 根据最小二乘原理可求： A(XTX)1XT0 带入模型公式可求出未知点的
高程异常，进而求出正常高。
二次曲面法高程拟合
❖ 在工程中应用较多的是二次曲面法拟合，其数学模型为：
a 0 a 1 x a 2 y a 3 x 2 a 4 x数与二次曲 面高程拟合的精度 比较
摘要
GPS平面测量数据由于其高精度的特性已在测绘领域到了广泛的应用。 如何有效利用其高程信息，把大地高转化为正常高，直接为测绘行业服务是 一个非常实际且有意义的课题。针对目前GPS高程拟合的研究现状，本文主 要讨论GPS点位成面状分布时的两种拟合方法，即对二次曲面法和多面函数 法比较。
❖ 在求模型参数时需要至少6个已知点的高程异常值。
多面函数法高程拟合
❖ 多面函数拟合曲面的方法是美国Hardy教1977年提出的，其理论基础是，任 何一个圆滑的数学曲面总可以用一系列有规则的数学表面的综合，以任意精 度逼近。
❖ GPS高程多面函数拟合法就是把拟合区域的高程异常，用多个曲面高度逼近， 建立数学模型，借此可以求得未知点的高程异常，然后根据GPS所求的大地 高来计算常规基准下的正常高。
水准限差
允许的最大限差（mm）
12 L 20 L 30 L
注：L为已知点与检核点的距离（单位：公里）
实例分析
❖ 右图为某中型城 市的城市控制网，图 中共有37个GPS—E 级控制点。为了研究 GPS拟合原理，对以 上所有控制点都进行 了三等水准测量，并 应用稳健估计进行粗 差探测，未发现粗差。
❖ 为了保证试验数 据的可靠性，其具体 数据见下表。
❖ 多项式曲面拟合： 多项式曲面拟合法是近年来使用的主要拟合方法，其中二 次多项式曲面拟合最为常见。多项式曲面拟合的一般模型为:
a 0 a 1 x a 2 y a 3 x 2 a 4 x a 5 y y 2 a 6 x 3 a 7 x 2 y a 8 x 2 a 9 y 3 ...
知点坐标。
❖ 其矩阵形式为: VAQ0
❖ 根据最小二乘原理可知其模型参数： A(QTQ)1QT0
❖ 将模型参数代入函数模型可得高程异常值，进而求出未知点的正常高。
❖ 常用的核函数有正双曲面和倒双曲面两种，其函数模型如下： 1
❖ 正双曲面：Q[x (xi)2(yyi)2]2 其中称为光滑因子，当其值为0时，正
关键词：大地高 正常高 二次曲面法 多面函数法
目录
GPS高程拟合基本理论 二次曲面法拟合 多面函数法拟合 实例分析 总结分析
GPS高程拟合基本理论
❖ 高程基准面：高程基准面是地面点的高程起算面，即水准零点。
❖ 测量中主要涉及三个高程基准面：地球的物理表面―大地水准面，地球的数 学表面―参考椭球面，还有一个抽象的曲面―似大地水准面。
❖ 一个数学表面上点 (x, y) 的函数值 (x, y)可表达成
u
(x,y) ajQ(x,y,xi,yi) j1
多面函数法高程拟合
❖ 式中，a j 为待定系数； Q(x,y,xi,yi) 是x和y的二次核函数，其中核心在 (xi , yi )
处，可由二次式的和确定，故称多面函数；x, y为待求点的坐标， xi , yi 为已
。 求出正常高 H
二次曲面法高程拟合
❖ 当控制点个数多于多项式的项数时，为了充分利用己知数据，通常会采用最 小二乘法拟合。
❖ 设点的高程异常 与其平面坐标 x, y 存在以下关系式：
VXA0
❖ 其中
v0
V
v1
v
n
1
1
X
1
x0
x1
y0
y1
x02 x12
1 xn1
yn1